矩阵的范数和条件数
矩阵范数
二、向量范数的抽象定义： 1、向量范数的定义 n n x 定义9（向量范数）对于向量 R 或x C 的某个实值非负
2、常用的向量范数 T n n x y x y 定义10 设x ( x1 ,, xn ) R (或x C ) N （1）向量的“∞”范数： ( x ) || x || max x i ； 1 i n
§9 向量，矩阵范数，矩阵的条件数 T 线性方程组，解的形式均为向量，如近似解 x x1 , x 2 ,, x n ，
该近似解的误差估计如何？ 下一章要讨论解大型稀疏线性方程组的迭代法，迭代法的收 敛性怎样？ 需要对向量空间R n 或矩阵空间 nn 的元素 “大小”给出某 R 度量。即向量范数（或矩阵范数）概念， 种 从而引进 n 或R nn中元素 R 的距离概念。 向量、矩阵与线性方程组有着密切的关系，向量、矩阵范数是 解方程组以及研究与探讨方程组本身性质的工具。 9.1 向量，矩阵范数 二维，三维的长度概念：
k k
max x
1 i n
(k ) i
(k ) x i 0(当k ) x x
k
0(当k )。
由范数的等价性定理有：
(k ) lim x x k (k ) lim x x
k
(k ) x x 0当k , (k ) 2 x x 0当k 。
T
2 2 R 2中，x R 2， x1 x2，其中x x1 , x2 ； x T 2 2 2 R 3中, x R 3， x 1 x 2 x 3 , 其中x x1 , x 2 , x 3 。 x 2 2 2 n x R n , x x1 x 2 x n , 其中x x1 , x 2 , , x n T 。 推广到 R ：
数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数
§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数一 、 向量、矩阵范数为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(nn nRR ⨯或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。
为此，这就需要对量空间n R (或n n R ⨯矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。
(一)向量范数：向量范数是3R 中向量长度概念的推广。
},{1为复数i n nx x x x x C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡== 称为n 维复向量空间。
},)({为复数ij n n ij n n a a A A C ⨯⨯==称为n n ⨯复矩阵空间。
(2)设nn nCA C x ⨯∈∈,,称T n Hx x x x=≡),,(1 为x 的共轭转置，T H A A =称为A 共轭转置矩阵。
在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。
nR x ∈(或nC x ∈)的某个实值非负函数x x N ≡)(，如果满足下述条件(1)正定性 00,0=⇒⇐=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α)(3)三角不等式 )(,,nn C R y x y x y x ∈∈∀+≤+或，称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。
由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。
设)(),,(1nn T n C x R x x x ∈∈=或(1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞∞=≡1max )((2)向量的“1”范数 ∑==≡ni i x xx N 111)((3)向量的“2”范数 2/1122/122)(),()(∑===≡ni i x x x xx N(4)向量的能量范数 设n n R A ⨯∈为对称正定阵2/1),()(x Ax xx N R x AA n =≡→∈∀称为向量的能量范数。
2.2矩阵的范数
§2.2 矩阵的范数我们知道：向量本身可以看作是矩阵，而一般的矩阵又有自身的运算特点，比如矩阵的乘法运算。
因此，我们定义矩阵的范数时需要考虑矩阵的本身的特点，这就有了我们以下要讨论的内容：一、 矩阵的范数1.矩阵范数的定义设||||:m n C R ×→i 是实值函数，若它满足下述三个条件： （1） 非负性：,||||0,and ||||00m n A C A A A ×∀∈≥=⇔= （2） 齐次性：,,||||||||||m n k C A C kA k A ×∀∈∈= （3） 三角不等式：,,||||||||||||m n A B C A B A B ×∀∈+≤+ 则称||||i 为广义矩阵范数，若||||i 还满足下述第四个性质： （4） 相容性：,,||||||||||||m n n l A C B C AB A B ××∀∈∈≤i 则称||||i 为矩阵范数。
注：在相容性的定义中，n l B C ×∈，m l AB C ×∈，实数||||B ，||||AB 的定义规则与实数||||A 的定义规则相同。
2. 矩阵范数的连续性与向量的情况一样，对于矩阵序列而言，它也有极限的概念。
设矩阵序列(){}k A ，其中()k m n A C ×∈，若()k A 的每一个元素()k ij a 均有极限ij a ，则称矩阵序列(){}k A 有极限()ij A a =，或者说(){}k A 收敛到矩阵A ，记作()()lim ()k k k A A A A →+∞=→不收敛的矩阵序列称为发散的。
当然，也可按照范数定义矩阵的收敛性。
即若()lim 0k k A A →∞−=则称(){}k A 在范数||||i 意义下收敛于A 。
由三角不等式，可推知,,m n A B C ×∀∈有||||||||||||||A B A B −≥−。
矩阵范数的条件数cond
矩阵范数的条件数cond矩阵范数是线性代数中的一种概念，它可以描述矩阵的大小。
与之相关的条件数cond则衡量了矩阵的稳定性，它在数值计算、信号处理、优化算法等领域中有广泛的应用。
1. 什么是矩阵范数？矩阵范数是一个将矩阵映射到实数空间的函数，可以用来衡量矩阵的大小，形式化地表示为：||A|| = max{||Ax||/||x||}其中，A是一个m×n的矩阵，x是一个n维向量，||x||表示向量x的范数。
常见的矩阵范数有欧几里得范数、一范数、无穷范数等。
2. 什么是条件数cond？条件数cond是矩阵A的范数和其逆矩阵的范数的乘积，形式化地表示为：cond(A) = ||A||·||A^-1||其中，A^-1是矩阵A的逆矩阵。
条件数越大，说明矩阵A越不稳定，容易出现误差。
3. 条件数在数值计算中的应用在数值计算中，我们经常需要求解线性方程组Ax=b。
如果矩阵A的条件数很大，那么求解过程中就容易出现误差，导致计算结果不够准确。
为了解决这个问题，我们可以使用一些技巧来减小条件数。
例如，对于大型矩阵，可以使用迭代方法来求解方程组，以减小计算复杂度和误差；对于条件数较大的矩阵，可以引入正则化项，通过约束范数来控制矩阵的大小，从而使其更加稳定。
4. 条件数在信号处理中的应用在信号处理中，我们常常需要对信号进行滤波或降噪等操作。
这些操作通常涉及到矩阵的逆或伪逆，因此需要特别注意矩阵的稳定性。
例如，对于图像降噪问题，我们可以使用奇异值分解等技巧来计算矩阵的伪逆，从而获得更好的降噪效果。
但是如果矩阵的条件数很大，那么就需要进行一些额外的处理，如截断小奇异值。
5. 条件数在优化算法中的应用优化算法通常涉及到求解目标函数的最优解。
若目标函数的Hessian矩阵条件数很大，那么优化算法容易陷入局部最优解，从而影响算法的收敛性。
为了避免这个问题，我们可以使用一些技巧来减小Hessian矩阵的条件数。
例如，可以加入正则化项，从而使Hessian矩阵更加稳定；也可以使用块对角化等技巧，将Hessian矩阵分解为若干个块对角矩阵，从而减小计算复杂度和误差。
矩阵范数的意义范文
矩阵范数的意义范文矩阵范数（Matrix Norm）是矩阵理论中的一个重要概念，它对矩阵的性质、收敛性和稳定性分析都起到了重要的作用。
矩阵范数是向量范数的推广，用于衡量矩阵的"大小"。
本文将从矩阵范数的定义、性质和应用等方面进行详细介绍。
首先，我们来定义一下矩阵范数。
设A是一个m×n的矩阵，它的矩阵范数记为‖A‖。
矩阵范数应满足以下条件：1.非负性：‖A‖≥0，并且当且仅当A=0时，等号成立。
2.齐次性：对于任意标量λ，有‖λA‖=，λ，‖A‖。
3.三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖。
常见的矩阵范数有多种，常用的有以下几种：1. 1-范数（1-Norm）：也称为列和范数，定义为矩阵的每一列元素绝对值之和的最大值，即‖A‖₁=max{∑，aᵢⱼ，}，其中i=1,2,...,m，j=1,2,...,n。
2. ∞-范数（Infinity Norm）：也称为行和范数，定义为矩阵的每一行元素绝对值之和的最大值，即‖A‖∞=max{∑，aᵢⱼ，}，其中i=1,2,...,m，j=1,2,...,n。
3. 2-范数（2-Norm）：也称为谱范数，定义为矩阵A的最大奇异值，即‖A‖₂=√(矩阵A的最大特征值)。
4. F-范数（Frobenius Norm）：也称为Euclidean范数，定义为矩阵元素绝对值的平方和的开平方，即‖A‖F=√∑(，aᵢⱼ，²)，其中i=1,2,...,m，j=1,2,...,n。
接下来，我们来探讨一下矩阵范数的意义和性质。
首先，矩阵范数可以度量矩阵的大小。
和向量范数类似，矩阵范数被用来度量矩阵的"大小"，反映矩阵与零矩阵之间的距离。
矩阵范数越大，代表矩阵越"大"。
例如，对于1-范数，它表示矩阵的每一列元素绝对值之和的最大值，因此可以表示一个矩阵中最大的列向量的长度。
对于2-范数，它表示矩阵最大奇异值的平方根，可以用来度量矩阵的条件数，即矩阵有多么病态，是否容易受到舍入误差的影响。
第五专题矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解学习
第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p x q, B q x p,则|l p+AB| = |l q + BA|证明一：参照课本194 页，例4.3.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而l p+AB ，l q+BA 中不等于1 的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
nn定义：tr(A) a ii i ，etrA=exp(trA)i 1 i 1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x H Ax) tr(Axx H),x 为向量；nn6. tr(A) i ,tr(A k) i k;i 1 i 1从Schur 定理(或Jordan 标准形) 和(4)证明；7. A 0,则tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(即A B 0),则tr(A) tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B( A B i(A) i(B) )；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得A k=0, 则tr(A)=0 (从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。
若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A H B)是m x n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式2[x,y] w [x,x]. [y,y]得定理：对任意两个m x n 复矩阵A 和B|tr(A H B)|2w tr(冲A) • tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
2范数和条件数病态方程组
由于
( I A)( I A)1 I ( I A)1 A( I A)1 I
( I A)1 I A( I A)1
在最后一式两端取范数，得
( I A) 1 I A ( I A) 1
1 A
( I A) 1 I 1.
练习:计算矩阵
1 2 A 3 4 的各种范数.
答案 : 6,7, 15 221 , 30
§2.3 矩阵的条件数与病态线性方程组
2.3.1
矩阵的条件数与线性方程组的性态
给定线性方程组 Ax =b，现在考察，系数矩阵 A 和常数列 b 有了微小变化 △A，△b ，它如何影 响解向量 x，即，解向量 x 的变化量 △x 何样？ 由于A （或 b）的元素是测量得到的，或者是 计算的结果，在前种情况下， A （或 b）常常带有 某些观测误差，在后种情况下， A （或 b）包含舍 入误差，因此我们处理的实际矩阵是A + △A （或 b+ △b ）。
n×n矩阵 A，式(1.2)中定义的函数是一种矩阵范 数，并且它与给定的向量范数是相容的.
A max Ax
单位球上的 最大像值
x 1
(1.2)
证明 先证相容性. 对任意的n×n矩阵A和n维非零向
量 y. 由于
y 1 max Ax A Ay . x 1 y y
所以有
Ay y max Ax y A ,
考察方程组 Ax = b, 当 A 或 b 有微小扰动时, 对解的影响， 首先看一个例子：
1 x1 2 1 , 1 1.0001 x2 2 1 x1 2 1 x 1 1.0001 2.0001 2
矩阵的条件数
定理2
设
A
C nn n
， ACnn ， b Cn
而Cn上的向量范数 与Cnxn上的矩阵范
数||.|| 相容.设x是线性方程组Ax=b的解，xˆ 是
线性方程组( A A)xˆ b b 的解
若 A1 A 1，则
误差对解的误差的影响
det( A)
0.00002
误差估计中的应用
1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差
的影响
定理1
设
A
C nn n
是一个可逆矩阵， ACnn
是一个矩阵，||.|| 是Cnxn上的一个矩阵范数.
若 A1 A 1 则 A A 可逆，且有
A1 ( A A)1
A1 A
A1
1 A1 A
误差估计中的应用
x xˆ
cond( A)
A
x
1 cond( A)( A A ) A
cond( A)
b
1 cond( A)( A
A)
b
误差估计中的应用
2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向
量b的数据误差对解的误差的影响
定理3
设
A
C nn n
，b, r C n
，
而Cn上的向量范数 与Cnxn上的矩阵范
(5)当A、B是可逆矩阵时，则
cond(AB) cond(A)cond(B)
矩阵的条件数
1
n阶Hilbert矩阵
H
i
1 j
1
nn
1 2
1 2 1 3
1 1
cond2 (H4 )=1.5514 104 n n 1
1
n
1
n 1
1
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题 矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：nnii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2.Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4.1tr(P AP)tr(A)-=； 5.H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. nnkk i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A HB)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。
矩阵范数的计算公式
矩阵范数的计算公式矩阵范数是用来衡量矩阵的大小或者特征的一个重要概念。
在数学和计算机科学领域，存在多种矩阵范数，如Frobenius范数、1-范数、2-范数、无穷范数等等。
这些范数具有不同的定义和计算公式，适用于不同的应用场景。
1. Frobenius范数（Frobenius Norm）：Frobenius范数是矩阵中元素的平方和的平方根。
对于一个m某n的矩阵A，Frobenius范数的计算公式为：A，_F = sqrt(sum(A_ij^2)2. 1-范数（1-Norm）：1-范数是矩阵中所有元素绝对值的和。
对于一个m某n的矩阵A，1-范数的计算公式为：A，_1 = ma某(sum(abs(A_ij))3. 2-范数（2-Norm）：2-范数（或称为Euclidean范数）是矩阵的奇异值分解后的最大奇异值（即特征值）的开方。
对于一个m某n的矩阵A，2-范数的计算公式为：A，_2 = sqrt(largest eigenvalue of A^T 某 A4. 无穷范数（Infinity Norm）：无穷范数是矩阵中每一行的绝对值之和的最大值。
对于一个m某n的矩阵A，无穷范数的计算公式为：A，_∞ = ma某(sum(abs(A_ij))除了上述常见的矩阵范数，还存在其他特殊的矩阵范数，如核范数、Schatten-p范数等。
核范数是矩阵奇异值分解后特征值之和，常用于低秩矩阵的估计与恢复。
Schatten-p范数是矩阵奇异值的p次幂之和的1/p 次幂，其中p是一个正实数。
计算矩阵范数的过程可能是计算量较大的，尤其是针对大型矩阵。
为了提高计算效率，通常会使用一些数值计算技巧，如稀疏矩阵的表示、截断SVD等。
同时，矩阵范数是一个重要的工具，在数据分析、机器学习、优化等领域有着广泛的应用，例如矩阵的条件数（condition number）、矩阵的正定性检测等。
因此，了解和掌握矩阵范数的概念、计算方法和应用场景对于研究和实践都是非常重要的。
矩阵的范数和条件数课件
02
条件数
定义与性质
定义
条件数是衡量矩阵数值稳定性的一个 重要指标，定义为矩阵A的谱范数与 Frobenius范数的比值，记为cond(A) 。
性质
条件数具有对称性，即cond(A) = cond(A^T)，且对于任意常数c，有 cond(cA) = |c| * cond(A)。
条件数的计算方法
考虑计算效率和精度
在选择范数和条件数时，需要权衡计算效率和精度。如果计算效率更重要，可以选择较小 的范数和条件数；如果精度更重要，可以选择较大的范数和条件数。
使用预处理技术改善计算的稳定性和精度
当矩阵的条件数较大时，可以考虑使用预处理技术来改善计算的稳定性和精度。例如，在 求解线性方程组时，可以使用不完全分解（Incomplete LU Factorization）或共轭梯度 法（Conjugate Gradient Method）等预处理技术来降低条件数的影响。
条件数对计算稳定性的影响
矩阵的条件数越大，计算过程中数值不稳定的程度越高，计 算结果可能偏离真实值。因此，在求解线性方程组时，如果 系数矩阵的条件数较大，则需要采取适当的预处理技术来改 善计算的稳定性。
如何选择合适的范数和条件数
根据问题需求选择合适的范数
在某些应用中，可能需要选择特定的范数来衡量矩阵的大小或稳定性。例如，在图像处理 中，可能需要使用Frobenius范数来衡量矩阵的大小。
THANKS
在数值分析中的应用
矩阵的范数可以用于求解线性方程组的迭代法和直接法中，以确定收敛性和误差控制。
条件数可以用于分析数值方法的稳定性和误差传播。
05
总结与展望
矩阵的范数和条件数的重要性和意义
矩阵的范数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用，如线性方程组的解、控制系统稳定性分析 、图像处理等。
np计算矩阵的条件树
np计算矩阵的条件树在线性代数中，矩阵的条件数（Condition Number）是一种度量矩阵的稳定性的指标。
它描述了矩阵在因变量发生微小变化时，解的变化程度。
条件数较大表示矩阵的稳定性较差，解的变化较大；条件数较小表示矩阵的稳定性较好，解的变化较小。
计算矩阵的条件数涉及到矩阵的范数（Norm）以及求逆矩阵（Inverse Matrix）。
常见的矩阵的范数有1-范数、2-范数和无穷范数等。
以2-范数为例，矩阵的条件数定义为矩阵范数与其逆矩阵范数的乘积。
设A为一个n×n的矩阵，A的2-范数定义如下：A，2 = max[ (xTAx)/(xTx) ]^1/2其中x是一个n维非零向量。
A的逆矩阵为A-1，A-1的2-范数定义如下：A-1，2 = max[ (yTA-1y)/(yTy) ]^1/2其中y是一个n维非零向量。
矩阵条件数的定义为：k(A)=，A，2×，A-1，2为了计算矩阵的条件数，首先需要计算矩阵A及其逆矩阵A-1的2-范数。
具体计算步骤如下：1.计算矩阵A的2-范数：选择一个非零向量x，计算(xTAx)/(xTx)，找到使值最大的x。
这个值的平方根就是矩阵A的2-范数。
2.计算矩阵A-1的2-范数：选择一个非零向量y，计算(yTA-1y)/(yTy)，找到使值最大的y。
这个值的平方根就是矩阵A-1的2-范数。
3.计算矩阵的条件数：将矩阵A的2-范数与逆矩阵A-1的2-范数相乘，即可得到矩阵的条件数。
根据矩阵的条件数可以判断矩阵的稳定性。
当条件数较大时，矩阵的相对误差会较大，解的变化幅度也较大，解的精确性较差，即矩阵的稳定性较差。
当条件数较小时，矩阵的相对误差较小，解的变化幅度也较小，解的精确性较高，即矩阵的稳定性较好。
值得注意的是，矩阵的条件数受到矩阵本身性质的影响，例如矩阵的奇异值分解结果。
当矩阵的奇异值较接近时，条件数会变得较大，矩阵的稳定性较差。
在实际应用中，计算矩阵的条件数可以为解决线性方程组、最小二乘问题等提供指导。
矩阵范数作用
矩阵范数作用矩阵范数是衡量矩阵性质的一种数学工具，它可以帮助我们了解矩阵的重要特征以及在实际问题中的应用。
在本文中，我们将探讨矩阵范数的定义、性质以及一些常见的应用。
让我们来定义矩阵范数。
矩阵范数是一个将矩阵映射到实数的函数，满足一定的条件。
常见的矩阵范数包括：1-范数、2-范数和无穷范数。
1-范数是矩阵每一列的绝对值之和的最大值，而2-范数是矩阵的最大奇异值，无穷范数是矩阵每一行的绝对值之和的最大值。
矩阵范数可以帮助我们评估矩阵在不同操作下的变化程度，比如矩阵乘法、矩阵求逆等。
矩阵范数具有一些重要的性质。
首先，矩阵范数是非负的，即对于任意的矩阵A，它的范数大于等于0。
其次，矩阵范数满足三角不等式，即对于任意的矩阵A和B，有范数(A+B) ≤ 范数A + 范数B。
此外，矩阵范数还满足乘法和数乘的性质，即对于任意的矩阵A和标量α，有范数(αA) = |α| × 范数A。
这些性质使得矩阵范数成为一种有效的工具，可以帮助我们分析和计算矩阵的性质。
矩阵范数在实际问题中有许多应用。
其中一个重要的应用是用于评估矩阵的条件数。
矩阵的条件数是矩阵范数的一个重要指标，它描述了矩阵在求解线性方程组时的稳定性。
具体来说，条件数越大，矩阵求解过程中的误差就越大。
因此，通过计算矩阵的条件数，我们可以评估矩阵求解的可靠性，并选择合适的算法和数值方法。
另一个应用是矩阵的奇异值分解。
矩阵的奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中包括一个正交矩阵、一个对角矩阵和它的转置矩阵。
奇异值分解在数据分析和降维等领域有广泛的应用。
通过计算矩阵的奇异值，我们可以提取矩阵的重要信息，并进行数据压缩和降维处理。
矩阵范数还可以用于矩阵的优化问题。
在优化问题中，我们经常需要求解一个矩阵或向量的最优解。
通过定义合适的矩阵范数，我们可以将优化问题转化为一个等价的标准形式，并利用矩阵范数的性质进行求解。
矩阵范数是一种重要的数学工具，它可以帮助我们了解矩阵的重要特征以及在实际问题中的应用。
矩阵 条件数
矩阵条件数
矩阵条件数是应用数值分析中经常使用的概念，它是描述矩阵稳定性的一个量，被认为是对矩阵解法的一个重要指标。
矩阵条件数有两种定义，分别为1范数条件数和2范数条件数，都通常用来衡量矩阵求解的精确度，得到的条件数越小，表明求解的精度越高，矩阵稳定性也就越好。
1范数条件数是一个算术表达式，用来评估矩阵的稳定性。
它反映了矩阵解法求解过程中，推导式的数值误差的变化情况，即在不影响本质结果的条件下，系数矩阵A的扰动，会对最终解向量x的变化产生多大的影响。
简而言之，矩阵的1范数条件数可以用来衡量矩阵求解的精确度。
2范数条件数也是一个算术表达式，用来评估矩阵的稳定性。
它反映了矩阵求解过程中，解向量x的数值误差变化的情况，即在不影响本质结果的条件下，解向量x的扰动，会对系数矩阵A的变化产生多大的影响。
简而言之，矩阵的2范数条件数可以用来衡量解向量x 的精确度。
矩阵条件数的计算主要是通过计算矩阵A的特征值来实现的，一般情况下，特征值最大的与特征值最小的比值的绝对值就是矩阵条件数。
由于矩阵条件数直接反映了矩阵求解的准确性，所以在实际使用中也会通过调整特征值的大小来减小条件数，从而提高解法的精确性。
- 1 -。
数值分析向量矩阵范数矩阵的条件数
数值分析向量矩阵范数矩阵的条件数数值分析是研究数值计算方法的一门学科，主要研究如何在计算机上对数学问题进行数值计算。
在数值分析中，向量和矩阵是常用的数学工具，而范数和条件数则是评估向量和矩阵性质的指标。
向量是一个有方向和大小的量，通常用一维数组来表示。
在数值分析中，我们常常需要计算向量的范数，即向量的大小。
向量的范数有多种定义方法，常用的有1-范数、2-范数和无穷范数。
1-范数是向量的所有元素的绝对值之和。
对于n维向量x=(x1,x2, ..., xn)，它的1-范数定义为，x，1 = ，x1， + ，x2， + ... + ，xn。
2-范数是向量的所有元素平方和的平方根。
对于n维向量x=(x1,x2, ..., xn)，它的2-范数定义为，x，2 = √(x1^2 + x2^2 + ... +xn^2)。
无穷范数是向量绝对值的最大值。
对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的无穷范数定义为，x，∞ = max(，x1，, ，x2，, ..., ，xn，)。
矩阵是一个二维数组，数值分析中常用矩阵进行线性代数的计算。
矩阵范数是对矩阵性质的度量，它可以看作是矩阵中元素的其中一种“大小”。
矩阵的范数有多种定义方法，常用的有1-范数、2-范数和无穷范数，与向量的定义类似。
矩阵的条件数是衡量矩阵相对于其逆矩阵的敏感度的度量。
一个矩阵的条件数越大，表示它的逆矩阵对输入误差的敏感度越高，计算的结果可能越不稳定。
在数值计算中，经常需要考虑矩阵的条件数，尽可能选择条件数较小的矩阵进行计算，以提高计算的稳定性和精确性。
总之，向量和矩阵是数值计算中常用的数学工具，而范数和条件数则是评估向量和矩阵性质的指标。
正确理解和应用这些概念，对于进行准确和稳定的数值计算具有重要的意义。
向量与矩阵范数矩阵条件数
定理：设 || ꞏ || 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的算子范数 也记为 || ꞏ || ，则有
Ax A x
证明：直接由算子范数定义可得。
该性质就是矩阵范数与向量范数的相容性
定理：设 || ꞏ || 是任一算子范数，若 ||B||<1 ，则 I±B 非奇异，
且
IB
1
1
1
B
向量与矩阵范数 矩阵条件数
1
向量内积，向量范数 常见向量范数：1、2、p、 范数的性质（连续性、等价性） Cauchy-Schwarz 不等式 向量序列的收敛性
3
常见向量范数
Rn 空间上常见的向量范数
1-范数： 2-范数： p-范数：
n
x 1 xi = |x1 | | x2 |
算子范数
常见的算子范数
① 1-范数（列范数） ② 2-范数（谱范数） ③ -范数（行范数）
矩阵范数性质
9
n
A
1
max
1 jn
i1
aij
A 2 ( AT A)
n
ABiblioteka max1 i n
j 1
aij
证明：③ ② 板书，① 为作业
11
(1) 连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A 的
注：教材上的定义不太严谨 A max Ax
x 0 x
算子范数举例
证明：板书
10
例：设
A
1 3
解：板书
2 4 计算
A 1,
A 2,
A,
A F
12
算子范数性质
定理：设 || ꞏ || 是任一算子范数，则 ( A) A
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2
2 2 2 x1 x2 xn
max { xi }
(3)向量的1－范数：
X
1
xi
i 1
1i n n
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4
3 || b ||2 4 0.513 10 0.01% 此时精确解为 x* ||b ||2 1.0203
|| x ||2 2.0102 > 200% || x ||2
A A x x
#证毕
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条件数和病态矩阵
定义：（条件数）
Condp ( A) A p A1
p
p
表示A的某种范数
设 Ax b ， A 引入误差 A 后，解引入误差 x ，则
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向量的范数
例1 考虑下面的两个线性方程组：
6 x2 8 6 x2 8 2 x1 2 x1 与 2 x1 6.00001x2 8.00001 2 x1 5.99999 x2 8.00002
计算cond (A)2 。
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解：考察 A 的特征根 de t(I A) 0 1 1.980050504 2 0.000050504
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定义 设向量XRn ,若X的实值函数N(X)=‖X‖,满足条件: (1)非负性: ‖X‖0 ,且‖X‖=0的充要条件为X=0; (2)齐次性: ‖kX ‖=|k |‖X‖, kR； (3)三角不等式:对任意 X,YRn ,都有: ‖X+Y‖‖X‖+‖Y‖ 则称N(X)=‖X‖为Rn上的向量 X 的范数。 定义：设X=(x1,x2,…,xn)T Rn ,则定义: (1)向量的2－范数： (2)向量的－范数：
x1 1 x 和 其解分别为： x2 1
x1 10 x x2 2
在对方程组的解进行误差分析、讨论解方程组的迭代 法的收敛性以及讨论方程组的“优劣”时，需要利 用向量与矩阵的范数的概念。
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定理：设A=(aij)n×n,则对应于3种常见的向量范数，有3种矩阵范数
A 1 max aij
1 j n
n
列和的最大值 行和的最大值
A max aij
1i n
i 1 n
A 2 max
① ② ③ ④ ⑤
j 1
max 是ATA的最大特征值，也称为谱范数
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同样，类似有
A( x x) b b Ax b
x
x
A
1
A
b
b
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注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。
若矩阵A的条件数较大，则称A为病态矩阵。
( A A)(x x) b ( A A)x b Ax A x A x x ( A A)1A x 1 1 1 A( I A A) ( A A) x 1 ( A A) A x ( I A1A) 1 A1A
矩阵范数和条件数
定义:设矩阵ARn×n ,若A的实值函数N(A)=‖A‖,满足条件:
(1)非负性: ‖A‖0 ,且‖A‖=0当且仅当 A=0; (2)齐次性: ‖A‖=| |‖A‖, R;
(3)三角不等式:‖A+B‖‖A‖+‖B‖; (4)柯西－施瓦茨不等式:‖AB‖‖A‖‖B‖.
则称‖A‖为矩阵A的范数.
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( I A1A) 1 A1 A ( I A1A) 1 A1A
注意到
因为：
( I B)
1
1 1 B
行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。
例
1 A 0.99 1.99 0.99 , b 0.98 1 . 97
1 精确解为 x 1 . 9800 9900 1 A = 9900 10000
D (I B)1 1 I (I B)D D BD D B D D (1 B )
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x
x
A
测试病态程度： 0.97 10
2 x x * x 2.0203
1 cond ( A) 2 39206 >> 1 2
为对称矩阵
，其相对误差为 给 b 一个扰动 b 0.106 10 3
1
1 A 1 A1A
条件数
A
1
A
1
A
1
A
1
A
A
1 A
A
1 A
A
A
A
A
1
A
A
A
很小
条件数表示了对误差的放大率
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定义：设向量XRn ,矩阵ARn×n ,且给定一种向量范数‖X‖p ,则称
A p max
X 0
AX X
p
p
max AX p , p 1,2,
X 1
为由向量范数派生的矩阵算子范数.
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定义：设A=(aij)n×n,的特征值为r，定义A的谱半径为：
( A) max r
1 r n
定理： ‖A‖为矩阵A的范数，则易知： 证： x A x x为A的特征向量
( A) A
x A x
x x A x A x
矩阵范数的一些性质：
A 0,&, A 0 A 0
A A , R
A B A B , A, B Rnn AB A B , A, B Rnn Ax A x , x Rn
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