二次函数顶点坐标公式及其应用PPT
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二次函数(顶点式)图像性质ppt课件
k>0 上移 y=ax2
k<0 下移
y=ax2+k
y=ax2
左加 右减
y=a(x-h)2
6
y
y=2x2
4.
3. 2. 1.
y=2(x-1)2
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
-1
7
y
y=2(x-1)2+1
y=2(x-1)2
4. 3. 2. 1.
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
-1
y 0.5x2 开口向下 直线X=0 (0,0)
y 0.5x2 1 开口向下 直线X=0 (0,1)
y 0.5x2 1 开口向下 直线X=0 (0,-1)
3
填表:
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐 标
y 2x2 开口向上 直线X=0 (0, 0)
y 2(x 1)2 开口向上 直线X=1 (1, 0)
14
练习1:指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标， 最值及增减性。
1) y=2(x+3)2+5
2) y=4(x-3)2+7
3) y=-3(x-1)2-2
4) y=-5(x+2)2-6
练习2:对称轴是直线x= -2的抛物线是(C )
A y= -2x2-2
B y=2x2-2
C y= -2(x+2)2-2 D y= -5(x-2)2-6
34.3二次函数y=a(x-h)²+k的 图象及其性质
1
教学目标:
1 .会用描点法画出二次函数y a(x h)2 k
的图像
2 会说出二次函数图像 y a(x h)2 k 的
二次函数的应用(经典) PPT
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件 衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 盈利最多？
最值应用题——销售问题
某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据 试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每 件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系： t＝－3x＋204。 写出商场卖这种服装每天销售利润y（元） 与每件的销售价x（元）间的函数关系式； 通过对所得函数关系式进行配方，指出商场 要想每天获得最大的销售利润，每件的销售 价定为多少最为合适？最大利润为多少？
显而易见：顶点式
已知函数y=ax2+bx+c的图象是以点（2，3） 为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3， 1），求这个函数的解析式。（要求分别用一 般式和顶点式去完成，对比两种方法）
已知某二次函数当x＝1时，有最大值－6， 且图象经过点（2，－8），求此二次函数的 解析式。
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么 时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？
求函数最值点和最值的若干方法： 直接代入顶点坐标公式 配方成顶点式 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合 和x轴两个交点坐标求。
二次函数的三种式
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+n 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的一个交点坐标是（8,0），顶点是 （6,-12），求这个二次函数的解析式。 （分别用三种办法来求）
窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的 周长等于6cm，要使窗能透过最多的光 线，它的尺寸应该如何设计？
A
O
D
B
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 盈利最多？
最值应用题——销售问题
某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据 试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每 件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系： t＝－3x＋204。 写出商场卖这种服装每天销售利润y（元） 与每件的销售价x（元）间的函数关系式； 通过对所得函数关系式进行配方，指出商场 要想每天获得最大的销售利润，每件的销售 价定为多少最为合适？最大利润为多少？
显而易见：顶点式
已知函数y=ax2+bx+c的图象是以点（2，3） 为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3， 1），求这个函数的解析式。（要求分别用一 般式和顶点式去完成，对比两种方法）
已知某二次函数当x＝1时，有最大值－6， 且图象经过点（2，－8），求此二次函数的 解析式。
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么 时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？
求函数最值点和最值的若干方法： 直接代入顶点坐标公式 配方成顶点式 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合 和x轴两个交点坐标求。
二次函数的三种式
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+n 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的一个交点坐标是（8,0），顶点是 （6,-12），求这个二次函数的解析式。 （分别用三种办法来求）
窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的 周长等于6cm，要使窗能透过最多的光 线，它的尺寸应该如何设计？
A
O
D
B
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
二次函数的顶点式ppt课件
❖ 2.y2+3y+ （
3 ）2 2
3
=(y+ 2
)2
❖ 3.函数y=x2+6x化为顶点式是 y(x3)29 。
❖ 4.函数y=2x2-6x+9化为顶点式是y2(x23)2。92
❖ 5. 函数y=ax2+bx+c化为顶点式是
.
精选ppt课件
12
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
1y2x23x1;
点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上
a-b+c>0 a-b+c<0 a-b+c=0
练习
11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中下不正确的是 （ D ）
A、abc＞0
y
B、b2-4ac＞0
C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0
-1 o 1 x
试一试：已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总 有交点,并指出m为何值时,只有一个交点； (2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时 函数图像与x轴的另一个交点； (3)若函数图像的顶点在第四象限,求m的取值 范围.
整理:前三项化为平方形式，后两 项合并同类项
配方后的表达 3x122. 化简:去掉中括号
式通常称为顶
点式
简单说成：一提、二配、三化简
函数y=3x2-6x+5的图象特征
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称 轴,顶点坐标.
y3 x1 22.
∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标课件.ppt
那么二次函数的解析式是怎样的呢？ 10
二次函数解析式
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 二次三项式
y
2、交点式：y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0）
3、顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)
· · (X1,0) o
x
(X2,0)
1、顶点式的对称轴和顶点坐标是什么？ 2、一般式如何转化成顶点式呢？
c 3. 抛物线y=2(x+3)2 的顶点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上
13
一般式如何转化成顶点式呢？
由顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)可知：对称轴x=h, 顶点坐标（h,k).
y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点坐标最关键，
ax2bxc a a
一般式配方它就 现！横标即为对
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)近代交通由传统的人力工具逐渐演变为
机械动力牵引的新式交通工具，火车、
汽车、电车、轮船、飞机先后出现。
二次函数解析式
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 二次三项式
y
2、交点式：y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0）
3、顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)
· · (X1,0) o
x
(X2,0)
1、顶点式的对称轴和顶点坐标是什么？ 2、一般式如何转化成顶点式呢？
c 3. 抛物线y=2(x+3)2 的顶点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上
13
一般式如何转化成顶点式呢？
由顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)可知：对称轴x=h, 顶点坐标（h,k).
y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点坐标最关键，
ax2bxc a a
一般式配方它就 现！横标即为对
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)近代交通由传统的人力工具逐渐演变为
机械动力牵引的新式交通工具，火车、
汽车、电车、轮船、飞机先后出现。
二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标完整精选ppt
整理
15
·二次函数顶点式的对称轴和顶点坐
标。
·用配方法（九年级上册一元二次方 程时已经学过配方）推导出一般 式的对称轴及顶点 才 只 我步 会 有
们
量
热 爱
有的
数 质变
学 的化
吧
！
才只 会有 有不 新断 的的 发思 现考
整理
数枯 数
学燥 学
因 思
因
维规
而律
耐 人
而
寻不
再 味
17
一次函数 :Y=KX+b (K≠0) 特别的,当b=0时,是正比例函数。 反比例函数：Y=K／X (K≠0)
那么二次函数的解析整理 式是怎样的呢？ 10
二次函数解析式
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 二次三项式
y
2、交点式：y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0）
3、顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)
y
o
x
·（h,k）
2、a ﹤ 0时， a(x-h)2 ≤ 0,即 － ∞ ～0 故当X=h时，a(x-h)2有最大值0，
y
· （h,k）
即当X=h时,y=a(x-h)2+k (a≠0)有最大值K
即顶点坐标（h,k）
o
x
对称轴：x=h
顶点坐标:（h,k）整理
12
练一练
1.抛物线y=2(x-4)2 +8的顶点在第(一)象限
y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点坐标最关键，
ax2b x c a a
一般式配方它就 现！横标即为对
配 方
ax2bax2ba22ba2ac
二次函数的应用ppt课件
②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
二次函数顶点坐标公式及其应用ppt
(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系 式.
(3)当x为何值时D ，SC有最大值，并求出这个最大值.
G
A
EBF
8.如图：在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AF为BC边上 的高，矩形PQED的边PQ在线段BC上，点D、E分别 在线段AB、AC上，设BP=x.
(1)求矩形PQED的面积y关于x的函数表达式，并写 出自变量x的取值范围；
5.求二次函数y＝mx2＋2mx ＋3(m＞0)的图象的对称 轴，并叙述该函数的增减 性.
应用2.利用二次函数
的最大（小）值解决 实际问题.
▪例、 用长20cm的铁丝围成 一矩形框架，如果矩形的一 边长为xcm，写出矩形面积y （cm2）与x（cm）之间的函 数关系式.并求x为多少时， 这个矩形的面积最大，最大 面积为多少？
1.用6m长的铝合金型材做一个形状如 图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为 多少时，才能使做成的窗框的透光面积 最大？最大透光面积是多少？
图 26.2.5
过程看课本16页的例5
❖ 做练习2题 3题（规范写法）
1.已知直角三角形两条 直角边的和等于8cm,求 当两条直角边各为多少 时,此直角三角形的面积 最大,最大面积是多少?
y(cm2)
(1)求y与x之间的函数式，
并确定自变量的取值范围．
A
(2)当PQ为多少时,
此矩形的面积最大， 并求这个最大面积.
P
EN
BQ
DM C
6.如图，RT△ABC中， ∠C=90°AB= 2 5 ，
sinB= 5 ，点P为边BC上一动点，PD∥AB，
5
PD交AC于点D，连结AP.
(1)求AC、BC长；
小结：
(3)当x为何值时D ，SC有最大值，并求出这个最大值.
G
A
EBF
8.如图：在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AF为BC边上 的高，矩形PQED的边PQ在线段BC上，点D、E分别 在线段AB、AC上，设BP=x.
(1)求矩形PQED的面积y关于x的函数表达式，并写 出自变量x的取值范围；
5.求二次函数y＝mx2＋2mx ＋3(m＞0)的图象的对称 轴，并叙述该函数的增减 性.
应用2.利用二次函数
的最大（小）值解决 实际问题.
▪例、 用长20cm的铁丝围成 一矩形框架，如果矩形的一 边长为xcm，写出矩形面积y （cm2）与x（cm）之间的函 数关系式.并求x为多少时， 这个矩形的面积最大，最大 面积为多少？
1.用6m长的铝合金型材做一个形状如 图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为 多少时，才能使做成的窗框的透光面积 最大？最大透光面积是多少？
图 26.2.5
过程看课本16页的例5
❖ 做练习2题 3题（规范写法）
1.已知直角三角形两条 直角边的和等于8cm,求 当两条直角边各为多少 时,此直角三角形的面积 最大,最大面积是多少?
y(cm2)
(1)求y与x之间的函数式，
并确定自变量的取值范围．
A
(2)当PQ为多少时,
此矩形的面积最大， 并求这个最大面积.
P
EN
BQ
DM C
6.如图，RT△ABC中， ∠C=90°AB= 2 5 ，
sinB= 5 ，点P为边BC上一动点，PD∥AB，
5
PD交AC于点D，连结AP.
(1)求AC、BC长；
小结：
用公式求二次函数的顶点与对称轴ppt课件
2
行配方，写出它的顶点坐标与对称轴。
.
你做对了吗？
结果：
y1x2 4x3 1 x4 2 5
2
2
所以，抛物线 y1x2 4x3 的顶点坐 2
标是（4，-5），与对称轴是 直线x＝4 。
.
启发 把 y1x2 4x3 通过配方法化成
2
的顶点式，容易吗？难在哪里？
有没有简单 的办法？
.
活动三：温故知新
得到的。
分析17 第6
.
-5
6 4 2
-2 -4 -6
5
10
.
2a 2a a
a写x成b完2全a平b方2的a•形c式
2a 2a a
a乘x法2ba分2配a•律4ba22 c
过看 程以
下
ax2ba2a•4ba22 c
过看 程以
下
ax2ba2a•4ba22 c
ax
b
2
b2
c
2a 4a
a化x简b整2理cb2
2a
4a
a交x换b项2的c•位4a置b2
2a 4a 4a
坐标和对称轴。 2
3、抛物线 yx2m1x1的对称
4
轴是x=2，则求m的值。
.
4、某篮球运动员某次投篮，篮球的运 动员路线是抛物线 y 2x 1 x2 的
2 图像（如图），则篮球经过最高点M的
高度是 2 M，其中y是垂直高度，
x是水平距离。
y
x
.
二次函数y=ax2+bx+c的图像有何特征？
（1）二次函数y=ax2+bx+c的图像是一
回忆 对于比较复杂的一元二次方程，如
1x2 4x30我们用什么方法去求它的根？
行配方，写出它的顶点坐标与对称轴。
.
你做对了吗？
结果：
y1x2 4x3 1 x4 2 5
2
2
所以，抛物线 y1x2 4x3 的顶点坐 2
标是（4，-5），与对称轴是 直线x＝4 。
.
启发 把 y1x2 4x3 通过配方法化成
2
的顶点式，容易吗？难在哪里？
有没有简单 的办法？
.
活动三：温故知新
得到的。
分析17 第6
.
-5
6 4 2
-2 -4 -6
5
10
.
2a 2a a
a写x成b完2全a平b方2的a•形c式
2a 2a a
a乘x法2ba分2配a•律4ba22 c
过看 程以
下
ax2ba2a•4ba22 c
过看 程以
下
ax2ba2a•4ba22 c
ax
b
2
b2
c
2a 4a
a化x简b整2理cb2
2a
4a
a交x换b项2的c•位4a置b2
2a 4a 4a
坐标和对称轴。 2
3、抛物线 yx2m1x1的对称
4
轴是x=2，则求m的值。
.
4、某篮球运动员某次投篮，篮球的运 动员路线是抛物线 y 2x 1 x2 的
2 图像（如图），则篮球经过最高点M的
高度是 2 M，其中y是垂直高度，
x是水平距离。
y
x
.
二次函数y=ax2+bx+c的图像有何特征？
（1）二次函数y=ax2+bx+c的图像是一
回忆 对于比较复杂的一元二次方程，如
1x2 4x30我们用什么方法去求它的根？
二次函数图ppt课件
02 二次函数的图像性质
CHAPTER
开口方向
总结词：由二次项系数决定 a>0时，向上开口；a<0时，向下开口。
顶点坐标
01
总结词：由公式 y=ax^2+bx+c(a≠0)直接读
02
顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐 标为y=4ac-b^2/4a。
对称轴
总结词：对称轴是直线x=-b/2a
二次函数图像是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a，对称轴与y轴平行。
二次函数的表达式由三部分组成，分 别是二次项系数$a$、一次项系数$b$ 和常数项$c$。这些系数可以根据实际 情况进行选择和调整。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个开口方向由系数$a$决定的抛物线。当$a > 0$时，抛物 线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。同时，抛物线的对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$ 。
二次函数图PPT课件
目录
CONTENTS
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像性质 • 二次函数的应用 • 二次函数与其他知识点的联系 • 练习题与答案
01 二次函数的基本概念
CHAPTER
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其定义形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其 中$a, b, c$为常数，且$a neq 0$。
《二次函数》ppt课件
判别式意义
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等 的实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点。
02
二次函数与一元二次方程 关系
一元二次方程求解方法
01
02
03
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，从 而求解。
因式分解法
首先，通过配方将二次函数转 化为顶点式f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。然后， 根据二次函数的性质，对称轴 为x = h，顶点坐标为(h, k)。最 后，代入具体的a、b、c值求解。
已知二次函数f(x) = x^2 - 2x， 求在区间[-1, 3]上的最值。
首先，将二次函数配方为f(x) = (x - 1)^2 - 1，确定对称轴为x = 1。然后，根据二次函数的单 调性，在区间[-1, 1]上单调递减， 在[1, 3]上单调递增。因此，在x = 1处取得最小值f(1) = -1，在 x = 3处取得最大值f(3) = 3。
04
根的判别式Δ=b²-4ac可 以用于判断二次函数与x 轴交点的个数。
当Δ>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点。
当Δ=0时，二次函数与x 轴有一个重根，即一个 交点。
当Δ<0时，二次函数与x 轴无交点。
03
二次函数图像变换与性质 分析
平移变换对图像影响
平移方向
二次函数图像在平面直角坐标系中可 沿x轴或y轴方向进行平移。
04
二次函数在实际问题中应 用举例
利润最大化问题建模与求解
1 2 3
问题描述
某公司生产一种产品，其成本和销售价格与产量 之间存在一定的关系。公司希望通过调整产量来 实现利润最大化。
二次函数的顶点课件
二次函数的顶点课件一、教学目标：1、知识目标：经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。
2、技能目标：会用待定系数法求二次函数的表达式。
3、情感目标：逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
二、教学重、难点：1、重点：用待定系数法求二次函数的解析式2、难点：建立适当的直角坐标系,求出函数解析式,与环保知识相结合解决实际问题三、学习方法：积极探索，并和同伴进行交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现新知识.四、目标评价：1、通过两个典例示范，让学生明白如何利用一般式和顶点式来确定二次函数的表达式，以完成知识目标。
2、通过变式训练小结出如何根据不同的条件恰当的选择二次函数的表达式，以完成技能目标；3、通过提升应用将二次函数回归生活，应用于生活，以完成情感目标。
五、学习过程：一、复习引入：1、想一想一次函数的表达式是什么？如何确定一次函数的表达式？二次函数的一般式是什么？怎样确定二次函数的表达式？设计意图：利用已有的知识经验迁移到新知识中：用同样的思路去确定二次函数表达式。
2、典例示范，获取新知：（1）例1：给定三点试求二次函数的解析式已知抛物线经过三点A（0，2），B（1，0），C（-2，2），求二次函数的解析式。
先让学生自己尝试完成，然后教师通过屏幕演示，强调二元一次方程组的解法，加深做题印象，强化做题步骤。
（2）例2：给定两点试求二次函数的解析式已知抛物线其顶点坐标为（－1，－6）, 且经过A（2，3）点，求二次函数的解析式。
首先让学生思考给定三个点的坐标可以确定出二次函数的一般式，如果给定两点可以吗？如果可以，必须是什么样的两点？让学生感受到确定二次函数的表达式有不同的方法。
设计意图：做题过程中，鼓励学生采用多种方法去解题，然后对各种方法进行比较，从而得出用顶点式的表达式的方法更为简单；也让学生明确了什么时候该用顶点式的表达式。
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确定自变量x的取值范围);
(2)当AB为多少时此矩形ABCD面积最 大，并求这个最大面积.
18
4.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可 售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售, 增加盈利,商场决定采取适当的降价措施, 经过调查发现,每件衬衫每降价1元,商场 平均每天就可以多卖出 2件.若商场每天 要赢利y元，每件衬衫应降价x元.
(2)设PC的长为x，△ADP的面积为y.当x为何值时，
y最大，并求出最大值.
A
D
B
P
C
21
7.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°， ∠A=45°，AB=30，BC=x，其中15＜x＜30.作 DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F 处，DF交BC于点G.
(1)用含有x的代数式表示BF的长.
6
❖2．抛物线y＝ax2-4x-6的顶 点横坐标是-２，则a=_____. ❖3.已知二次函数y＝x2-6x+m 的最小值为１，则m=____.
7
4.抛物线y＝ax2 +2x+c的顶点坐标是
（
1 3
，１），则a=____ ,c=___.
8
5.求二次函数y＝mx2＋2mx ＋3(m＞0)的图象的对称 轴，并叙述该函数的增减 性.
(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系 式.
(3)当x为何值时D ，SC有最大值，并求出这个最大值.
G
A
EBF
22
8.如图：在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AF为BC边上 的高，矩形PQED的边PQ在线段BC上，点D、E分别 在线段AB、AC上，设BP=x.
(1)求矩形PQED的面积y关于x的函数表达式，并写 出自变量x的取值范围；
9
应用2.利用二次函数
的最大（小）值解决 实际问题.
10
▪例、 用长20cm的铁丝围成 一矩形框架，如果矩形的一 边长为xcm，写出矩形面积y （cm2）与x（cm）之间的函 数关系式.并求x为多少时， 这个矩形的面积最大，最大 面积为多少？
11
1.用6m长的铝合金型材做一个形状如 图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为 多少时，才能使做成的窗框的透光面积 最大？最大透光面积是多少？
a＜0 向
4a
下
3
二次函数的图象特点和性质（两种形式的统一）：
二次函数 开口 方向
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0 增 a＞0 减 性 a＜0
y=a(x－h)2+k
y=ax2+bx+c
a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
x=h
x b 2a
(h , k)
b 2a
,
4ac 4a
b2
当x=h时y最小值=k 当x=h时y最大值=k
y平方厘米.
（1）写出y(平方厘米)与x(秒)之 C
间的函数关系式.
Q
（2）经过几秒时△PBQ的面积最大，
最大面积是多少.
B
A
P
17
3.一边靠校园院墙(院墙长22米)， 其它三边用40米的篱笆围成一个矩 形花圃，设矩形ABCD的边AB=x米 (AB边垂直于墙)，面积为y平方米.
(1)求y与x之间的函数关系式(并且
(1)写出ｙ与ｘ的函数关系式，并确定自 变量的取值范围.
(2) 当每件衬衫降价多少元时，每天的赢 利最多．最多赢利是多少?
19
5、△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高
AD=8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边
QM在BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，
假设这个矩形PQMN的一边长PQ=x(cm), 面积是
(2)当x取什么值时，矩形PQED 的面积最大？
(3)连结PE，当PE∥AB时，矩形PQED的面积是多少？
A
D
E
B
PF Q
C
23
当 当xx22baba时时yy最最大小==
4ac b2 4a
4ac b2 4a
左减右增
左增右减
4
应用1.直接求抛 物线的顶点坐标.
5
1.y把=a二(x次-h函)²+数k的y=形- 式15 x为²-2_x_+_2_化__为_, 其图象的顶点坐标为____, 对称轴为_____； 当x____时，y随x的增大而增大； 当x____时，y随x的增大而增小.
第七课时
二次函数的顶点坐标 公式及其应用
1
复习、抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)
顶点坐标公式：
h=- b
2a
k= 4acb2
4a
2
二次函数y=ax²+bx+c 的图象及性质
条 件
a≠0 开
口
图象
对称轴 顶点
性质
增减性 最 值
a＞0
向 上
b ,
直线x b 2a
2a 4 ac b 2
图 2 6 .2 .5
12
过程看课本16页的例5
❖ 做练习2题 3题（规范写法）
13
1.已知直角三角形两条 直角边的和等于8cm,求 当两条直角边各为多少 时,此直角三角形的面积 最大,最大面积是多少?
14
小结：
▪ 1.抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)
顶点坐标公式： h=- b 2a
k= 4acb2Βιβλιοθήκη y(cm2)(1)求y与x之间的函数式，
并确定自变量的取值范围．
A
(2)当PQ为多少时,
此矩形的面积最大， 并求这个最大面积.
P
EN
BQ
DM C
20
6.如图，RT△ABC中， ∠C=90°AB= 2 5 ，
sinB= 5 ，点P为边BC上一动点，PD∥AB，
5
PD交AC于点D，连结AP.
(1)求AC、BC长；
4a
▪ ２.熟练应用二次函数顶点坐标公式解 决实际问题．
15
作业本
16
2、如图所示，△ABC中，AB=6厘米，BC=8厘米，
∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1厘米/秒的速度 移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移 动.当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动. 如
果P、Q分别从A、B同时出发,经过x秒△PBQ的面积等于
(2)当AB为多少时此矩形ABCD面积最 大，并求这个最大面积.
18
4.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可 售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售, 增加盈利,商场决定采取适当的降价措施, 经过调查发现,每件衬衫每降价1元,商场 平均每天就可以多卖出 2件.若商场每天 要赢利y元，每件衬衫应降价x元.
(2)设PC的长为x，△ADP的面积为y.当x为何值时，
y最大，并求出最大值.
A
D
B
P
C
21
7.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°， ∠A=45°，AB=30，BC=x，其中15＜x＜30.作 DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F 处，DF交BC于点G.
(1)用含有x的代数式表示BF的长.
6
❖2．抛物线y＝ax2-4x-6的顶 点横坐标是-２，则a=_____. ❖3.已知二次函数y＝x2-6x+m 的最小值为１，则m=____.
7
4.抛物线y＝ax2 +2x+c的顶点坐标是
（
1 3
，１），则a=____ ,c=___.
8
5.求二次函数y＝mx2＋2mx ＋3(m＞0)的图象的对称 轴，并叙述该函数的增减 性.
(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系 式.
(3)当x为何值时D ，SC有最大值，并求出这个最大值.
G
A
EBF
22
8.如图：在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AF为BC边上 的高，矩形PQED的边PQ在线段BC上，点D、E分别 在线段AB、AC上，设BP=x.
(1)求矩形PQED的面积y关于x的函数表达式，并写 出自变量x的取值范围；
9
应用2.利用二次函数
的最大（小）值解决 实际问题.
10
▪例、 用长20cm的铁丝围成 一矩形框架，如果矩形的一 边长为xcm，写出矩形面积y （cm2）与x（cm）之间的函 数关系式.并求x为多少时， 这个矩形的面积最大，最大 面积为多少？
11
1.用6m长的铝合金型材做一个形状如 图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为 多少时，才能使做成的窗框的透光面积 最大？最大透光面积是多少？
a＜0 向
4a
下
3
二次函数的图象特点和性质（两种形式的统一）：
二次函数 开口 方向
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0 增 a＞0 减 性 a＜0
y=a(x－h)2+k
y=ax2+bx+c
a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
x=h
x b 2a
(h , k)
b 2a
,
4ac 4a
b2
当x=h时y最小值=k 当x=h时y最大值=k
y平方厘米.
（1）写出y(平方厘米)与x(秒)之 C
间的函数关系式.
Q
（2）经过几秒时△PBQ的面积最大，
最大面积是多少.
B
A
P
17
3.一边靠校园院墙(院墙长22米)， 其它三边用40米的篱笆围成一个矩 形花圃，设矩形ABCD的边AB=x米 (AB边垂直于墙)，面积为y平方米.
(1)求y与x之间的函数关系式(并且
(1)写出ｙ与ｘ的函数关系式，并确定自 变量的取值范围.
(2) 当每件衬衫降价多少元时，每天的赢 利最多．最多赢利是多少?
19
5、△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高
AD=8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边
QM在BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，
假设这个矩形PQMN的一边长PQ=x(cm), 面积是
(2)当x取什么值时，矩形PQED 的面积最大？
(3)连结PE，当PE∥AB时，矩形PQED的面积是多少？
A
D
E
B
PF Q
C
23
当 当xx22baba时时yy最最大小==
4ac b2 4a
4ac b2 4a
左减右增
左增右减
4
应用1.直接求抛 物线的顶点坐标.
5
1.y把=a二(x次-h函)²+数k的y=形- 式15 x为²-2_x_+_2_化__为_, 其图象的顶点坐标为____, 对称轴为_____； 当x____时，y随x的增大而增大； 当x____时，y随x的增大而增小.
第七课时
二次函数的顶点坐标 公式及其应用
1
复习、抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)
顶点坐标公式：
h=- b
2a
k= 4acb2
4a
2
二次函数y=ax²+bx+c 的图象及性质
条 件
a≠0 开
口
图象
对称轴 顶点
性质
增减性 最 值
a＞0
向 上
b ,
直线x b 2a
2a 4 ac b 2
图 2 6 .2 .5
12
过程看课本16页的例5
❖ 做练习2题 3题（规范写法）
13
1.已知直角三角形两条 直角边的和等于8cm,求 当两条直角边各为多少 时,此直角三角形的面积 最大,最大面积是多少?
14
小结：
▪ 1.抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)
顶点坐标公式： h=- b 2a
k= 4acb2Βιβλιοθήκη y(cm2)(1)求y与x之间的函数式，
并确定自变量的取值范围．
A
(2)当PQ为多少时,
此矩形的面积最大， 并求这个最大面积.
P
EN
BQ
DM C
20
6.如图，RT△ABC中， ∠C=90°AB= 2 5 ，
sinB= 5 ，点P为边BC上一动点，PD∥AB，
5
PD交AC于点D，连结AP.
(1)求AC、BC长；
4a
▪ ２.熟练应用二次函数顶点坐标公式解 决实际问题．
15
作业本
16
2、如图所示，△ABC中，AB=6厘米，BC=8厘米，
∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1厘米/秒的速度 移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移 动.当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动. 如
果P、Q分别从A、B同时出发,经过x秒△PBQ的面积等于