时间序列入门级74页
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时间序列分析教材(PPT 64页)
第二节 时间序列的水平分析 描述现象在某一段时间上发展变化的水平
高低及其增长变化的数量多少。 包括：
发展水平 平均发展水平 增长量 平均增长量
9-7
一 发展水平 1、每一项指标数值就是发展水平 2、常用a0、a1、…、an表示 3、通常把a0称为最初水平， 把an称为最末水平
二 平均发展水平
4.定基增长速度与环比增长速度之间的推 算，必须通过定基发展速度和环比发展 速度才能进行。
5.增长1%绝对值 = 基期水平/100 9-39
为了消除季节变动因素的影响，也常常计 算：
同比增长速度
同比增长量 上年同期水平
＝同比发展速度
1
9-40
速度的表现形式和文字表述
速度指标的表现形式：一般为 %、倍数，也有 用‰、番数等等。
则：1—6号平均每天的职工人数为：
a a
n
98 100 99 101 108 106 10（2 人） 6
例4-2-3：有某企业职工人数资a1
a2
职工人数（人） 102
105
16日—30日 a3
108
则：1号至30号平均每天的职工人数为：
a
af f
102 8 105 7 108 15 10（6 人） 30
第四章 时间序列分析
本章重点
第一节 时间序列分析概述 第二节 时间序列的水平分析 第三节 时间序列的速度分析 第四节 长期趋势的测定
第一节 时间序列分析概述
时间序列的概念 时间序列的种类 时间序列的编制原则
9-2
表4-1
9-3
一、时间序列的概念
时间序列（time series）— 动态数列, 把同
2.根据下表数据，计算我国居民消费水平的增长量 和平均增长量。
精选时间序列分析时间序列讲解讲义
§1.2 平稳序列
一· 平稳序列
定义 如果时间序列 {X t} {X t : t N满}足
（1） 对任何的
t
N,
EX
2 t
（2） 对任何的 t N , EX t
（3） 对任何的 t, s N , E[( X t )( X s )] ts
就称是 X平t 稳时间序列，简称时间序列。称实数 为 的{自 t协} 方差X函t 数。
a则j 称 是绝对可{a和j}的。
j
对于绝对可和的实数列
，{a{定Xj}{义tX}零t}均值白噪声 的无穷{滑t动} 和
如下 X t a j t j ,t ，Z则 是{X平t}稳序列。下面说明 是
j
{X t}
平稳序列。
由 Schwarz不等式得到
E[ a jt j ] a j E t j a j
j0
k
q
0, k q
{ X t }平稳
第三十七页，共74页。
例：X t t 0.36 * t1 0.85 * t2 , t ~ WN (0,22 )
第三十八页，共74页。
概率极限定理：
定理 （单调收敛定理） 如果非负随机变量序列单调不减： 0 1 2
lim 则当 n ,a时s ，有 E
{St }
3. 随机项估计即为
方法一：分段趋势法
1 趋势项（年平均）
第五页，共74页。
减去趋势项后,所得数据 {Xt Tˆt}
第六页，共74页。
2、季节项 {Sˆt}
第七页，共74页。
3.随机项的估计 Rˆt xt Tˆt Sˆt ,t 1,2,,24.
第八页，共74页。
方法二：回归直线法
当 0, 2 称1为标准白噪声。
第4章时间序列分析共66页
相等； c自协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点
无关。
10
2、平稳随机过程的数字
特征
（1）数学期望：平稳过程
的数学期望是常数。即
t t
(169 )
( 2 )自协方差函数：平稳过
程的相关函数是与 t
无关的一元函数，即：
＝ ( x )＝ D ( X t , X t ) D ( X t , X s )
2
3
二、随机过程的数字特征
随机过程的数学期望和方差函数。
随机过程Xt ,t T，在每一t T的状态是一个
随机变量，它的数学期望和方差都是依赖于参数t的
函数，分别称为随机过程的数学期望和方差函数，
其数学期望为：
t
E(Xt )
xt
f
(xt；t)dxt
方差为：D(Xt ) D(Xt ) E [Xt t ]2
1： 0 0 2 ： － ＝ 3 ： 0
4 ： 是非负定的，即对于任 意数组
t
，
1
t
2，
，
tn
T 和任意实值函数
g (t )都有：
n
( X i X j )g (ti )g (t j ) 0
i, j1
13
(4)、平稳随机过程的遍历性 设xt是平稳过程X T的一个样本函数，若其
S ( ) k e ik
(175 )
k
16
对于白噪声系列ak ，因它的自协方差函为数
k
(a)
2 a
0
k 0 k 0
所以它的谱密度为：
S()
k eik
2 a
k
(176)
17
第二节、时间序列的随机线性模型
无关。
10
2、平稳随机过程的数字
特征
（1）数学期望：平稳过程
的数学期望是常数。即
t t
(169 )
( 2 )自协方差函数：平稳过
程的相关函数是与 t
无关的一元函数，即：
＝ ( x )＝ D ( X t , X t ) D ( X t , X s )
2
3
二、随机过程的数字特征
随机过程的数学期望和方差函数。
随机过程Xt ,t T，在每一t T的状态是一个
随机变量，它的数学期望和方差都是依赖于参数t的
函数，分别称为随机过程的数学期望和方差函数，
其数学期望为：
t
E(Xt )
xt
f
(xt；t)dxt
方差为：D(Xt ) D(Xt ) E [Xt t ]2
1： 0 0 2 ： － ＝ 3 ： 0
4 ： 是非负定的，即对于任 意数组
t
，
1
t
2，
，
tn
T 和任意实值函数
g (t )都有：
n
( X i X j )g (ti )g (t j ) 0
i, j1
13
(4)、平稳随机过程的遍历性 设xt是平稳过程X T的一个样本函数，若其
S ( ) k e ik
(175 )
k
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对于白噪声系列ak ，因它的自协方差函为数
k
(a)
2 a
0
k 0 k 0
所以它的谱密度为：
S()
k eik
2 a
k
(176)
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第二节、时间序列的随机线性模型
时间序列分析课件讲义共85页
时间序列分析课件讲义
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
时间序列入门级
结论： 1 时，一阶自回归序列渐进平稳
③ AR(p)旳自有关函数
• 自协方差函数
rk E(xt xtk )
Ext (1xtk1 2 xtk2 p xtk p tk ) Ext1xtk1 Ext2 xtk2 Ext xp tk p 1 rk1 2rk2 prk p
13
212 122 12
AR(p) 自有关函数旳拖尾性
• 对AR(p)模型，其自有关函数不能在某一 步之后为零（截尾），而是按指数衰减， 称其具有拖尾性
举例
ρk 1
yt 2 0.9 yt1 t
k 0.9k
0
k
yt
yt 2 0.9 yt1 t 旳序列
20 t
④ 偏自有关函数
耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程
，与t无关
满足这两个
(2) 1时，Var(xt )为有限常数 条件成立
AR(1)平稳旳条件
• 自协方差
rt,tk Cov(xt , xtk )
E(xt xtk )
2 k (1 2 4 6 )
t充分大时，rt ,t k
2 1
k 2
k Var(xt )
仅与k有关，与t无关
③ 滞后算子形式
xt 1xt1 2xt2 p xtp t 1t1 2t2 qtq
p (B)xt q (B)t
xt
1 p
(
B)
q
(
B)
t
t
1 q
(
B)
p
(
B)
xt
性质总结
模型
• 自有关 • 函数 • 偏自有
关函数
• 平稳旳 条件
• 可逆旳 条件
AR(p) 拖尾
第六章时间序列
间隔相等的连续时点
数列计算同时期数列： a
a n
间隔相等的连续时
af
点数列计算公式为： a
f
5/12/2020
扬州大学经济学院
20
某商店2004年6月下旬营业员人数 资料如下表：
日 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 期 人 76 79 80 78 80 77 81 84 83 82 数
5/12/2020
扬州大学经济学院
10
例如：
年份 GDP 年末总人口 人口增长率 居民消费水平
1990 18547.9 114333 14.39
803
1991 21617.8 115823 12.98
896
1992 26638.1 117171 11.60
1070
1993 34634.4 118517 11.45
5/12/2020
扬州大学经济学院
6
所谓时点数列是指由时点指标构成的 数列，即数列中的每一指标值反映的是现 象在某一时刻上的总量。 时点数列具有以下特点： （１）数列指标不具有连续统计的特点； （２）数列中各个指标值不具有可加性； （３）数列中每个指标值的大小与其时间 间隔长短没有直接联系。
5/12/2020
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74520
123092
78345
124219
82067
125927
89442
126259
95933
127181
102398
128045
扬州大学经济学院
6054 6307 6517 7084 7543 7997
3
2、意义 ：
根据历史资料，编制时间数列来研究社会 经济现象数量方面的发展变化过程，认识其 发展规律并预见它的发展趋势，就是动态分 析的方法。
时间序列分析 时间序列PPT学习教案
0
5
10
15
20
25
30
第16页/共75页
1. 趋势项（5项平均）
第17页/共75页
2.季节项和随机项
800 600 400 200
0 -200 -400 -600 -800 -1000
0
5
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第18页/共75页
例三、化学溶液浓度变化数据
18.5
18
17.5
17
16.5
16 0
Z (k) X (k) Y (k) 2X Y , k 0,1,2,
（2）如果{X t} 和{Yt} 不相关，则{Zt} 是平稳序列，有自协方差函数
Z (k) X (k) Y (k), k 0,1,2,
证明：（1）当{X t} 和{Yt} 正交，利用cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)得到 cov(Zt , Zs ) c ov( Xt Ys , X s Yt ) cov( Xt , X s ) cov(Yt ,Ys ) cov( Xt ,Ys ) cov(Yt , X s ) X (t s) Y (t s) EXt EYs EYt EX s X (t s) Y (t s) 2X Y
（2 ）如果对任何的 s, t∈ Z，cov(XtYs ) 0 ，则称{Xt} 和{Yt}
是不相关的。
定理2.2 设 X (k) 和 Y (k) 分别是平稳序列{X t} 和 {Yt}的自协方差函
数，
记 x EXt和y EYt 定义
Zt Xt Yt ,t Z
第34页/共75页
（1）如果{X t} 和{Yt} 正交，则{Zt}是平稳序列，有自协方差函数
例2.3 Poisson过程和Poisson白噪声
5
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1. 趋势项（5项平均）
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2.季节项和随机项
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0 -200 -400 -600 -800 -1000
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例三、化学溶液浓度变化数据
18.5
18
17.5
17
16.5
16 0
Z (k) X (k) Y (k) 2X Y , k 0,1,2,
（2）如果{X t} 和{Yt} 不相关，则{Zt} 是平稳序列，有自协方差函数
Z (k) X (k) Y (k), k 0,1,2,
证明：（1）当{X t} 和{Yt} 正交，利用cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)得到 cov(Zt , Zs ) c ov( Xt Ys , X s Yt ) cov( Xt , X s ) cov(Yt ,Ys ) cov( Xt ,Ys ) cov(Yt , X s ) X (t s) Y (t s) EXt EYs EYt EX s X (t s) Y (t s) 2X Y
（2 ）如果对任何的 s, t∈ Z，cov(XtYs ) 0 ，则称{Xt} 和{Yt}
是不相关的。
定理2.2 设 X (k) 和 Y (k) 分别是平稳序列{X t} 和 {Yt}的自协方差函
数，
记 x EXt和y EYt 定义
Zt Xt Yt ,t Z
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（1）如果{X t} 和{Yt} 正交，则{Zt}是平稳序列，有自协方差函数
例2.3 Poisson过程和Poisson白噪声
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(3) 二次滑动平均模型
yˆˆt yˆt yˆt1N yˆtN1
t N
对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均
(4) 指数平滑模型
y ˆty ˆt 1(yt 1y ˆt 1)
y ˆtyt 1(1)y ˆt 1
01平滑常数
本期预测值是前期实际值和预测值的加权和
二. 随机时间序列模型及其性质
xt t
xt t
平稳序列的特性
• 方差
rt,tr0E [x (t)2]x 2
• 自相关函数：
k
rk
2 x
rk r0
01,kk,k 1
自相关函数的估计
T
ˆ x
( xt x )( xt k x )
t 1
T
(xt x)2
rˆk rˆ0
t 1
x
1 T
T
xt
t 1
平稳序列的判断
ρk
ρk
1
1
0
k
平稳序列的自相关函数
迅速下降到零
0
k
非平稳序列的自相关函数
缓慢下降
一类特殊的平稳序列 ——白噪声序列
• 随 均机值序为列零{，xt方}对差任为何有x限t和常xt都数不相关，且
Ex t 0
r0
ห้องสมุดไป่ตู้
2 x
rk 0 (k 0 )
• 正态白噪声序列：白噪声序列，且服从 正态分布
3. 随机时间序列模型
(1) 滑动平均模型
yˆt yt yt1N ytN1
t N
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并用 于预测趋势
(2) 加权滑动平均模型
y ˆtw a 0yta 1yt 1 N aN 1yt N 1
N 1
ai
其中 i 0 1 N
t N
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通 过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势 预测更准确
主要内容
• 确定性时间序列模型 • 随机时间序列模型及其性质 • 时间序列模型的估计和预测
一. 确定性时间序列模型
• 时间序列：各种社会、经济、自然现象 的数量指标按照时间次序排列起来的统 计数据
• 时间序列分析模型：解释时间序列自身 的变化规律和相互联系的数学表达式
确定性时间序列模型
• 滑动平均模型 • 加权滑动平均模型 • 二次滑动平均模型 • 指数平滑模型
• 所谓平稳时间序列是指时间序列
{xt, t=0,±1,±2,···}
对任意整数t， Ex2 ，且满足以下条件： t 1) 对任意t，均值恒为常数 Ext (与t无关的常 ) 数
2)
Vaxrt
2(与t无关的有限)常数 x
3) 对任意整数t和k， r r t,t+k只和k有关 t,tk rk
• 随机序列的特征量随时间而变化，称为非平 稳序列
两边同除以r0 • 自相关函数
kr rk 01 k 1 2 k2p kp
AR(p)的自相关函数
kr rk 01 k 1 2 k2p kp
k k,01
耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程
1 1 21 p p1 2 11 2 p p2
p 1 p1 2 p2 p
时间序列的统计性质
• 自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质
r t,s C (x to ,x s) v E (x t E t)x x s ( E s)x rt,s rs,t
rt,t Va(rxt)
时间序列的统计性质
• 自相关函数
t,s
rt , s rtt rss
t,s s,t
t,t 1
2. 平稳时间序列
例：求AR(1)的自相关函数
xt xt1t
k k1
k1 k2
k k
例： AR(2)的自相关函数
xt1xt 12xt 2t
k 1 k 1 2 k2
取k=1 11021 11 1 2
取k=2 取k=3
2112 21 2 1 2(1 2 2) 312 21 31 32 1 1 22 1 2 2
随机序列的现实
• 对于一个随机序列，一般只能通过记录 或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···, xn， 称它为随机序列{xt}的一个现实
• 随机序列的现实是一族非随机的普通数 列
(2) 时间序列的统计性质(特征量)
• 均值函数：某个时刻t的性质
E(xt)t xtp(x)dx
pt(x)是xt的概率密度函数
x ttt 12t 23t 3
• 均值
E (t) 0 E (x t) 0 成立
• 方差
V(x ta ) r2 (1 246 )
(1)t充
分
大 V时 a(rxt)122，
与 t无关
满足这两个
(2) 1时， Va(rxt)为有限常数 条件成立
AR(1)平稳的条件
• 自协方差
rt,tk Cov(xt , xtk )
AR(p) 自相关函数的拖尾性
• 对AR(p)模型，其自相关函数不能在某一 步之后为零（截尾），而是按指数衰减， 称其具有拖尾性
• 随机时间序列 • 平稳时间序列 • 随机时间序列模型
1. 随机时间序列
• 随机过程与随机序列 • 时间序列的性质
(1) 随机过程与随机序列
设T为某个时间集，t 对T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全 xt,体 t T
• 当取T为连续集，T如(,)或T [0,)
等,则称xt为随机过程 • 当取T为离散集，T如，2，1，0， 1，2，或 T 1，2，等，则称 xt为随机序列
随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不相关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
② (一阶)自回归序列平稳的条件
xt xt 1 t xt 1 xt 2 t 1
x ttt 12t 23t 3
均值为零？ 是否平稳？ 方差为有限常数？
自协方差与t无关？
AR(1)平稳的条件
• 自回归模型（AR） • 移动平均模型（MA） • 自回归—移动平均模型（ARMA）
(1) 自回归模型及其性质
• 定义 • 平稳条件 • 自相关函数 • 偏自相关函数 • 滞后算子形式
① 自回归模型的定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间的相互关系
x t1 x t 1 2 x t 2 p x t pt
E(xt xtk )
2k (12 4 6 )
t充分大时，rt,tk
2 k 12
kVar(xt )
仅与k有关，与t无关
结论： 1 时，一阶自回归序列渐进平稳
③ AR(p)的自相关函数
• 自协方差函数
rk E(xt xtk)
Ext(1xtk12xtk2pxtkp tk) Ext1xtk1Ext2xtk2 Extpxtkp 1rk12rk2 prkp