时间序列入门级74页

随机序列的现实
• 对于一个随机序列，一般只能通过记录 或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···, xn， 称它为随机序列{xt}的一个现实
• 随机序列的现实是一族非随机的普通数 列
(2) 时间序列的统计性质(特征量)
• 均值函数：某个时刻t的性质
E(xt)t xtp(x)dx
pt(x)是xt的概率密度函数
ρk
1
1
0
k
平稳序列的自相关函数
迅速下降到零
0
k
非平稳序列的自相关函数
缓慢下降
一类特殊的平稳序列 ——白噪声序列
• 随 均机值序为列零{，xt方}对差任为何有x限t和常xt都数不相关，且
Ex t 0
r0
2 x
rk 0 (k 0 )
• 正态白噪声序列：白噪声序列，且服从 正态分布
3. 随机时间序列模型
(3) 二次滑动平均模型
yˆˆt yˆt yˆt1N yˆtN1
t N
对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均
(4) 指数平滑模型
y ˆty ˆt 1(yt 1y ˆt 1)
y ˆtyt 1(1)y ˆt 1
01平滑常数
本期预测值是前期实际值和预测值的加权和
二. 随机时间序列模型及其性质
• 自回归模型（AR） • 移动平均模型（MA） • 自回归—移动平均模型（ARMA）
(1) 自回归模型及其性质
• 定义 • 平稳条件 • 自相关函数 • 偏自相关函数 • 滞后算子形式
① 自回归模型的定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间的相互关系
x t1 x t 1 2 x t 2 p x t pt
时间序列的统计性质
• 自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质
r t,s C (x to ,x s) v E (x t E t)x x s ( E s)x rt,s rs,t
rt,t Va(rxt)
时间序列的统计性质
• 自相关函数
t,s
rt , s rtt rss
t,s s,t
t,t 1
2. 平稳时间序列
• 随机时间序列 • 平稳时间序列 • 随机时间序列模型
1. 随机时间序列
• 随机过程与随机序列 • 时间序列的性质
(1) 随机过程与随机序列
设T为某个时间集，t 对T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全 xt,体 t T
• 当取T为连续集，T如(,)或T [0,)
等,则称xt为随机过程 • 当取T为离散集，T如，2，1，0， 1，2，或 T 1，2，等，则称 xt为随机序列
两边同除以r0 • 自相关函数
kr rk 01 k 1 2 k2p kp
AR(p)的自相关函数
kr rk 01 k 1 2 k2p kp
k k,01
耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程
1 1 21 p p1 2 11 2 p p2
p 1 p1 2 p2 p
主要内容
• 确定性时间序列模型 • 随机时间序列模型及其性质 • 时间序列模型的估计和预测
一. 确定性时间序列模型
• 时间序列：各种社会、经济、自然现象 的数量指标按照时间次序排列起来的统 计数据
• 时间序列分析模型：解释时间序列自身 的变化规律和相互联系的数学表达式
确定性时间序列模型
• 滑动平均模型 • 加权滑动平均模型 • 二次滑动平均模型 • 指数平滑模型
随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不相关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
② (一阶)自回归序列平稳的条件
xt xt 1 t xt 1 xt 2 t 1
x ttt 12t 23t 3
均值为零？ 是否平稳？ 方差为有限常数？
自协方差与t无关？
AR(1)平稳的条件
x ttt 12t 23t 3
• 均值
E (t) 0 E (x t) 0 成立
• 方差
V(x ta ) r2 (1 246 )
(1)t充
分
大 V时 a(rxt)122，
与 t无关
满足这两个
(2) 1时， Va(rxt)为有限常数 条件成立
AR(1)平稳的条件
• 自协方差
rt,tk Cov(xt , xtk )
xt t
xt t
平稳序列的特性
• 方差
rt,Biblioteka Baidur0E [x (t)2]x 2
• 自相关函数：
k
rk
2 x
rk r0
01,kk,k 1
自相关函数的估计
T
ˆ x
( xt x )( xt k x )
t 1
T
(xt x)2
rˆk rˆ0
t 1
x
1 T
T
xt
t 1
平稳序列的判断
ρk
(1) 滑动平均模型
yˆt yt yt1N ytN1
t N
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并用 于预测趋势
(2) 加权滑动平均模型
y ˆtw a 0yta 1yt 1 N aN 1yt N 1
N 1
ai
其中 i 0 1 N
t N
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通 过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势 预测更准确
AR(p) 自相关函数的拖尾性
• 对AR(p)模型，其自相关函数不能在某一 步之后为零（截尾），而是按指数衰减， 称其具有拖尾性
例：求AR(1)的自相关函数
xt xt1t
k k1
k1 k2
k k
例： AR(2)的自相关函数
xt1xt 12xt 2t
k 1 k 1 2 k2
取k=1 11021 11 1 2
取k=2 取k=3
2112 21 2 1 2(1 2 2) 312 21 31 32 1 1 22 1 2 2
E(xt xtk )
2k (12 4 6 )
t充分大时，rt,tk
2 k 12
kVar(xt )
仅与k有关，与t无关
结论： 1 时，一阶自回归序列渐进平稳
③ AR(p)的自相关函数
• 自协方差函数
rk E(xt xtk)
Ext(1xtk12xtk2pxtkp tk) Ext1xtk1Ext2xtk2 Extpxtkp 1rk12rk2 prkp
• 所谓平稳时间序列是指时间序列
{xt, t=0,±1,±2,···}
对任意整数t， Ex2 ，且满足以下条件： t 1) 对任意t，均值恒为常数 Ext (与t无关的常 ) 数
2)
Vaxrt
2(与t无关的有限)常数 x
3) 对任意整数t和k， r r t,t+k只和k有关 t,tk rk
• 随机序列的特征量随时间而变化，称为非平 稳序列