2014-2019高考数学分类汇编专题2函数(函数的基本性质)

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题2：函数（函数的基本性质）（一）函数的单调性及最值选择题1．（2014•北京文）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．x y e -=B ．y x =C ．y lnx =D ．||y x =【考点】函数单调性的性质与判断【分析】根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论． 【解答】解：A ．函数的定义域为R ，但函数为减函数，不满足条件．B ．函数的定义域为R ，函数增函数，满足条件．C ．函数的定义域为(0,)+∞，函数为增函数，不满足条件．D ．函数的定义域为R ，在(0,)+∞上函数是增函数，在(,0)-∞上是减函数，不满足条件．故选：B ．【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础． 2．（2014•北京理）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A ．y =B ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．0.5log (1)y x =+【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．【解答】解：由于函数y =(1,)-+∞上是增函数，故满足条件， 由于函数2(1)y x =-在(0,1)上是减函数，故不满足条件， 由于函数2x y -=在(0,)+∞上是减函数，故不满足条件， 由于函数0.5log (1)y x =+在(1,)-+∞上是减函数，故不满足条件， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题． 3．（2014•天津理）函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为( )A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(2,)+∞D ．(,2)-∞-【考点】复合函数的单调性【分析】令240t x =->，求得函数()f x 的定义域为(-∞，2)(2-⋃，)+∞，且函数12()()log f x g t t ==．根据复合函数的单调性，本题即求函数t 在(-∞，2)(2-⋃，)+∞ 上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t 在(-∞，2)(2-⋃，)+∞ 上的减区间． 【解答】解：令240t x =->，可得2x >，或2x <-， 故函数()f x 的定义域为(-∞，2)(2-⋃，)+∞，当(,2)x ∈-∞-时，t 随x 的增大而减小，12log y t =随t 的减小而增大，所以212log (4)y x =-随x 的增大而增大，即()f x 在(,2)-∞-上单调递增．故选：D ．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题． 4．（2016•北京文）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是( ) A ．11y x=- B ．cos y x = C ．(1)y ln x =+D ．2x y -=【考点】函数单调性的性质与判断【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在(1,1)-上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A ．x 增大时，x -减小，1x -减小，∴11x-增大； ∴函数11y x=-在(1,1)-上为增函数，即该选项错误； B ．cos y x =在(1,1)-上没有单调性，∴该选项错误；C ．x 增大时，1x +增大，(1)ln x +增大，(1)y ln x ∴=+在(1,1)-上为增函数，即该选项错误；1.2()2x x D y -==；∴根据指数函数单调性知，该函数在(1,1)-上为减函数，∴该选项正确．故选：D ．【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算．5．（2016•北京理）已知x ，y R ∈，且0x y >>，则( ) A ．110x y-> B ．sin sin 0x y -> C ．11()()022x y -<D ．0lnx lny +>【考点】不等关系与不等式【分析】x ，y R ∈，且0x y >>，可得：11x y <，sin x 与sin y 的大小关系不确定，11()()22x y <，lnx lny+与0的大小关系不确定，即可判断出结论． 【解答】解：x ，y R ∈，且0x y >>，则11x y <，sin x 与sin y 的大小关系不确定，11()()22x y <，即11()()022x y -<，lnx lny +与0的大小关系不确定． 故选：C ．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．（2017•新课标Ⅱ文）函数2()(28)f x ln x x =--的单调递增区间是( ) A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【考点】复合函数的单调性【分析】由2280x x -->得：(x ∈-∞，2)(4-⋃，)+∞，令228t x x =--，则y lnt =，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．【解答】解：由2280x x -->得：(x ∈-∞，2)(4-⋃，)+∞， 令228t x x =--，则y lnt =，(,2)x ∈-∞-时，228t x x =--为减函数； (4,)x ∈+∞时，228t x x =--为增函数； y lnt =为增函数，故函数2()(28)f x ln x x =--的单调递增区间是(4,)+∞， 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档．7．（2017•山东文）若函数()( 2.71828x e f x e =⋯是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( ) A ．()2x f x -=B ．2()f x x =C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =【考点】函数单调性的性质与判断【分析】根据已知中函数()f x 具有M 性质的定义，可得()2x f x -=时，满足定义． 【解答】解：当()2x f x -=时，函数()()2x x ee f x =在R 上单调递增，函数()f x 具有M 性质，故选：A ．【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，难度不大，属于基础题． 8．（2019北京文科3）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．12y x =B ．2x y -=C ．12log y x =D ．1y x=【考点】函数单调性的性质与判断【分析】判断每个函数在(0,)+∞上的单调性即可．【解答】解：12y x =在(0,)+∞上单调递增，122,x y y log x -==和1y x=在(0,)+∞上都是减函数． 故选：A ．【点评】考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性． 9．（2019•上海）下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy = B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =【考点】函数的值域【分析】此题考查求函数的定义域与值域，对应求出值域即可确定正确答案为B 【解答】解：A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y =的定义域为[0，)+∞，值域也是[0，)+∞，故B 正确．C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1-，1]+，故D 错． 故选：B ．【点评】本题目属于基础题型，准确求出每一个函数的值域，即可确定正确答案，考查学生的基础解题能 力．填空题1．（2014•天津文）函数2()f x lgx =的单调递减区间是 (,0)-∞ ． 【考点】复合函数的单调性【分析】先将()f x 化简，注意到0x ≠，即()2||f x lg x =，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由2t x y lgt⎧=⎨=⎩复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．【解答】解：方法一：22||y lgx lg x ==，∴当0x >时，()2f x lgx =在(0,)+∞上是增函数；当0x <时，()2()f x lg x =-在(,0)-∞上是减函数．∴函数2()f x lgx =的单调递减区间是(,0)-∞．故答案为：(,0)-∞．方法二：原函数是由2t x y lgt ⎧=⎨=⎩复合而成，2t x =在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞为增函数；又y lgt =在其定义域上为增函数，2()f x lgx ∴=在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞为增函数，∴函数2()f x lgx =的单调递减区间是(,0)-∞．故答案为：(,0)-∞．【点评】本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将22||y lgx lg x ==中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出2||y lg x =的图象，得到函数的递减区间．2．（2015•山东理）已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1-，0]，则a b += 32- ．【考点】34：函数的值域 【专题】函数的性质及应用【解答】解：当1a >时，函数()x f x a b =+在定义域上是增函数，所以1101b a b -+=⎧⎨+=-⎩，解得1b =-，10a=不符合题意舍去； 当01a <<时，函数()x f x a b =+在定义域上是减函数，所以1110b a b -+=-⎧⎨+=⎩，解得2b =-，12a =，综上32a b +=-， 故答案为：32-【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题． 3．（2016•北京文）函数()(2)1xf x x x =-…的最大值为 2 ． 【考点】函数的值域【分析】分离常数便可得到1()11f x x =+-，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，)+∞上为减函数，从而2x =时()f x 取最大值，并可求出该最大值． 【解答】解：111()1111x x f x x x x -+===+---； ()f x ∴在[2，)+∞上单调递减； 2x ∴=时，()f x 取最大值2．故答案为：2．【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．4．（2018•北京理13）能说明“若()(0)f x f >对任意的(0x ∈，2]都成立，则()f x 在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是 ()sin f x x = ． 【考点】2J ：命题的否定；函数的性质及应用 【分析】本题答案不唯一，符合要求即可． 【解答】解：例如()sin f x x =，尽管()(0)f x f >对任意的(0x ∈，2]都成立，当[0x ∈，)2π上为增函数，在(2π，2]为减函数，故答案为：()sin f x x =．【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题． （二）函数的奇偶性选择题1．（2014•新课标Ⅰ文理）设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是( ) A ．()()f x g x 是偶函数 B ．|()|()f x g x 是奇函数 C ．()|()|f x g x 是奇函数 D ．|()()|f x g x 是奇函数【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【解答】解：()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=，()()()()f x g x f x g x --=-，故函数是奇函数，故A 错误， |()|()|()|()f x g x f x g x --=为偶函数，故B 错误， ()|()|()|()|f x g x f x g x --=-是奇函数，故C 正确．|()()||()()|f x g x f x g x --=为偶函数，故D 错误，故选：C ．2．（2014•广东文）下列函数为奇函数的是( ) A ．122x x-B ．3sin x xC ．2cos 1x +D ．22x x +【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】根据函数的奇偶性的定，对各个选项中的函数进行判断，从而得出结论． 【解答】解：对于函数1()22x x f x =-，由于11()22()22xx x x f x f x ---=-=-=-，故此函数为奇函数． 对于函数3()sin f x x x =，由于33()(sin )sin ()f x x x x x f x -=--==，故此函数为偶函数． 对于函数()2cos 1f x x =+，由于()2cos()12cos 1()f x x x f x -=-+=+=，故此函数为偶函数． 对于函数2()2x f x x =+，由于22()()22()x x f x x x f x ---=-+=+≠-，且()()f x f x -≠， 故此函数为非奇非偶函数． 故选：A ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．3．（2014•湖南理）已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则f （1）g +（1）(= )A ．3-B ．1-C ．1D ．3【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】将原代数式中的x 替换成x -，再结合着()f x 和()g x 的奇偶性可得()()f x g x +，再令1x =即可． 【解答】解：由32()()1f x g x x x -=++，将所有x 替换成x -，得32()()1f x g x x x ---=-++，根据()()f x f x =-，()()g x g x -=-，得32()()1f x g x x x +=-++，再令1x =，计算得， f （1）g +（1）1=．故选：C ．【点评】本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍．本题中也可以将原代数式中的x 直接令其等于1-也可以得到计算结果．4．（2014•重庆文）下列函数为偶函数的是( )A ．()1f x x =-B ．2()f x x x =+C ．()22x x f x -=-D ．()22x x f x -=+【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义域，再分析()()f x f x -=是否成立，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：A 、()1f x x =-，其定义域为R ，()1f x x -=--，()()f x f x -≠，不是偶函数，不符合题意；B 、2()f x x x =+，其定义域为R ，2()f x x x -=-，()()f x f x -≠，不是偶函数，不符合题意；C 、()22x x f x -=-，其定义域为R ，()22x x f x --=-，()()f x f x -=-，是奇函数不是偶函数，不符合题意；D 、()22x x f x -=+，其定义域为R ，()22x x f x --=+，()()f x f x -=，是偶函数，符合题意；故选：D ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意要先分析函数的定义域． 5．（2015•北京文理）下列函数中为偶函数的是( ) A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．||y lnx =D ．2x y -=【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】首先从定义域上排除选项C ，然后在其他选项中判断x -与x 的函数值关系，相等的就是偶函数． 【解答】解：对于A ，22()sin()sin x x x x --=-；是奇函数； 对于B ，22()cos()cos x x x x --=；是偶函数； 对于C ，定义域为(0,)+∞，是非奇非偶的函数；对于D ，定义域为R ，但是()222x x x ---=≠，22x x -≠-；是非奇非偶的函数； 故选：B ．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如果不对称，函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断()f x -与()f x 关系，相等是偶函数，相反是奇函数． 6．（2015•福建文理）下列函数为奇函数的是( )A ．y =B ．x y e =C ．cos y x =D ．x x y e e -=-【考点】函数奇偶性的性质与判断；余弦函数的对称性 【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：A ．函数的定义域为[0，)+∞，定义域关于原点不对称，故A 为非奇非偶函数．B ．函数x y e =单调递增，为非奇非偶函数．C ．cos y x =为偶函数．D ．()()()x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，则()f x 为奇函数，故选：D ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键． 7．（2015•广东文）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．sin 2y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x xy =+D ．2sin y x x =+【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择． 【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R ， 对于A ，sin(2)(sin 2)x x x x -+-=-+；是奇函数； 对于B ，22()cos()cos x x x x ---=-；是偶函数； 对于C ，112222x x x x --+=+，是偶函数； 对于D ，222()sin()sin sin x x x x x x -+-=-≠+，22sin (sin )x x x x -≠-+；所以是非奇非偶的函数； 故选：D ．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下，判断()f x -与()f x 的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数．8．（2015•广东理）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y =B ．1y x x=+C ．122x xy =+D ．x y x e =+【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A ，y =A 不正确； 对于B ，1y x x=+函数是奇函数，所以B 不正确； 对于C ，122x xy =+是偶函数，所以C 不正确； 对于D ，不满足()()f x f x -=也不满足()()f x f x -=-，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．9．（2019新课标Ⅱ文6）设()f x 为奇函数，且当0x …时，()1x f x e =-，则当0x <时，()(f x = ) A ．1x e --B ．1x e -+C ．1x e ---D ．1x e --+【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质与判断【分析】设0x <，则0x ->，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得0x <时的()f x ． 【解答】解：设0x <，则0x ->，()1x f x e -∴-=-，设()f x 为奇函数，()1x f x e -∴-=-， 即()1x f x e -=-+． 故选：D ．【点评】本题考查函数的解析式即常用求法，考查函数奇偶性性质的应用，是基础题．填空题1．（2014•湖南文）若3()(1)x f x ln e ax =++是偶函数，则a = 32- ．【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论． 【解答】解：若3()(1)x f x ln e ax =++是偶函数， 则()()f x f x -=，即33(1)(1)x x ln e ax ln e ax -++=+-，即333333331(1)2(1)(1)()311x x x xxx x xe e e ax ln e ln e ln ln lne x e e----++=+-+====-++， 即23a =-，解得32a =-，故答案为：32-，【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到()()f x f x -=是解决本题的关键．2．（2015•新课标Ⅰ理）若函数()(f x xln x =+为偶函数，则a = 1 ． 【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】由题意可得，()()f x f x -=，代入根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：()(f x xln x =+为偶函数，()()f x f x ∴-=，()((x ln x xln x ∴--+=+，((ln x ln x ∴--+=+，((0ln x ln x ∴-+++=，)0ln x x ∴+=，0lna ∴=， 1a ∴=．故答案为：1．【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．3．（2017•新课标Ⅱ文）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+，则f （2）= 12 ．【考点】函数奇偶性的性质与判断；抽象函数及其应用【分析】由已知中当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+，先求出(2)f -，进而根据奇函数的性质，可得答案． 【解答】解：当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+， (2)12f ∴-=-，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数， f ∴（2）12=，故答案为：12【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．4．（2018•新课标Ⅲ文16）已知函数())1f x ln x =+，f （a ）4=，则()f a -= 2- ． 【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可．【解答】解：函数())g x ln x =满足()))()g x ln x ln x g x -===-=-，所以()g x 是奇函数．函数())1f x ln x =+，f （a ）4=，可得f （a ）4)1ln a ==+，可得)3ln a =，则())1312f a ln a -=-+=-+=-． 故答案为：2-．【点评】本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查计算能力．5．（2019新课标Ⅱ理14）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e =-．若(2)8f ln =，则a = ． 【考点】函数奇偶性的性质与判断；对数的运算 【分析】奇函数的定义结合对数的运算可得结果 【解答】解：()f x 是奇函数，(2)8f ln ∴-=-，又当0x <时，()ax f x e =-，2(2)8aln f ln e -∴-=-=-， 28aln ln ∴-=，3a ∴=-．故答案为：3-【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，对数的运算性质，属于基础题． （三）函数的周期性填空题1．（2014•四川文理）设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1x ∈-，1)时，242,10(),01x x f x x x ⎧-+-<=⎨<⎩……，则3()2f = 1 ．【考点】函数的周期性【分析】由函数的周期性(2)()f x f x +=，将求3()2f 的值转化成求1()2f 的值．【解答】解：()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，∴2311()()4()21222f f =-=-⨯-+=．故答案为：1．【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．2．（2016•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1)上，,10()2||,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩……，其中a R ∈，若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是 25- ．【考点】周期函数；分段函数的应用【分析】根据已知中函数的周期性，结合59()()22f f -=，可得a 值，进而得到(5)f a 的值．【解答】解：()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1)上，,10()2||,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩……，511()()222f f a ∴-=-=-+，91211()()||225210f f ==-=， 35a ∴=， (5)f a f ∴=（3）32(1)155f =-=-+=-， 故答案为：25-【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a 值，是解答的关键． 3．（2018•江苏9）函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2-，2]上，cos ,022()1||,202x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+-<⎪⎩……，则((15))f f 的值为． 【考点】函数的值【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可．【解答】解：由(4)()f x f x +=得函数是周期为4的周期函数， 则11(15)(161)(1)|1|22f f f =-=-=-+=，11()cos()cos 2224f ππ=⨯=，即((15))2f f =，【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．（四）函数的对称性选择题1．（2014•山东文）对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( ) A．()f x =B ．2()f x x =C ．()tan f x x =D ．()cos(1)f x x =+【考点】抽象函数及其应用【分析】由题意判断()f x 为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可．【解答】解：对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，∴函数的对称轴是x a =，0a ≠，选项A 函数没有对称轴；选项B 、函数的对称轴是0x =，选项C ，函数没有对称轴． 函数()cos(1)f x x =+，有对称轴，且0x =不是对称轴，选项D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查函数的对称性的应用，新定义的理解，基本知识的考查．2．（2015•新课标Ⅰ文）设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则(a = ) A ．1-B ．1C ．2D ．4【考点】函数的图象与图象的变换【分析】先求出与2x a y +=的反函数的解析式，再由题意()f x 的图象与2x a y +=的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数()f x 的解析式，问题得以解决．【解答】解：与2x a y +=的图象关于y x =对称的图象是2x a y +=的反函数， 2log (0)y x a x =->，即2()log g x x a =-，(0)x >．函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于y x =-对称， 2()()log ()f x g x x a ∴=--=--+，0x <，(2)(4)1f f -+-=， 22log 2log 41a a ∴-+-+=，解得，2a =， 故选：C ．【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题3．（2016•新课标Ⅱ文）已知函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-，若函数2|23|y x x =--与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【考点】带绝对值的函数；函数迭代；二次函数的性质与图象【分析】根据已知中函数函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-，分析函数的对称性，可得函数2|23|y x x =--与()y f x = 图象的交点关于直线1x =对称，进而得到答案． 【解答】解：函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-， 故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，函数2|23|y x x =--的图象也关于直线1x =对称，故函数2|23|y x x =--与()y f x = 图象的交点也关于直线1x =对称， 故122mi i mx m ==⨯=∑， 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档． 4．（2016•新课标Ⅱ理）已知函数()()f x x R ∈满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1()(mi i i x y =+=∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【考点】抽象函数及其应用【分析】由条件可得()()2f x f x +-=，即有()f x 关于点(0,1)对称，又函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点(0,1)对称，即有1(x ，1)y 为交点，即有1(x -，12)y -也为交点，计算即可得到所求和． 【解答】解：函数()()f x x R ∈满足()2()f x f x -=-， 即为()()2f x f x +-=， 可得()f x 关于点(0,1)对称， 函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点(0,1)对称， 即有1(x ，1)y 为交点，即有1(x -，12)y -也为交点， 2(x ，2)y 为交点，即有2(x -，22)y -也为交点，⋯则有11221()()()()mi i m m i x y x y x y x y =+=++++⋯++∑111122221[()(2)()(2)()(2)]2m m m m x y x y x y x y x y x y =++-+-+++-+-+⋯+++-+- m =．故选：B ．【点评】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．5．（2018•新课标Ⅲ文7）下列函数中，其图象与函数y lnx =的图象关于直线1x =对称的是( ) A ．(1)y ln x =-B ．(2)y ln x =-C ．(1)y ln x =+D ．(2)y ln x =+【考点】函数的图象与图象的变换【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果． 【解答】解：首先根据函数y lnx =的图象，则：函数y lnx =的图象与()y ln x =-的图象关于y 轴对称． 由于函数y lnx =的图象关于直线1x =对称．则：把函数()y ln x =-的图象向右平移2个单位即可得到：(2)y ln x =-． 即所求得解析式为：(2)y ln x =-． 故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的对称和平移变换．6．（2019新课标Ⅱ理12）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -…，则m 的取值范围是( ) A ．(-∞，9]4B ．(-∞，7]3C ．(-∞，5]2D ．(-∞，8]3【考点】函数与方程的综合运用【分析】因为(1)2()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-，分段求解析式，结合图象可得． 【解答】解：因为(1)f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-，(0x ∈，1]时，1()(1)[4f x x x =-∈-，0]，(1x ∴∈，2]时，1(0x -∈，1]，1()2(1)2(1)(2)[2f x f x x x =-=--∈-，0]；(2x ∴∈，3]时，1(1x -∈，2]，()2(1)4(2)(3)[1f x f x x x =-=--∈-，0]， 当(2x ∈，3]时，由84(2)(3)9x x --=-解得73m =或83m =，若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -…，则73m …．故选：B ．【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．填空题1．（2014•山东理）已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x R =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x R =∈，()y h x =满足：对任意x R ∈，两个点(x ，())h x ，(x ，())g x 关于点(x ，())f x对称．若()h x 是()g x =()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 ) ．【考点】奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论．【解答】3x b =+，即()62h x x b =+- 若()()h x g x >恒成立，则等价为62x b +即3x b +>恒成立，设13y x b =+，2y = 作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离2d ===，即||b =b ∴=-（舍去）， 即要使()()h x g x >恒成立，则b >即实数b 的取值范围是)+∞，故答案为：)+∞【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．2．（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()1()f x og x a =+．()f x 的图象与()g x 的图像关于y x =对称，若()g x 的图象经过点(3,1)，则a = 7 ． 【考点】对称性【分析】由反函数的性质得函数2()1()f x og x a =+的图象经过点(1,3)，由此能求出a ． 【解答】解：常数a R ∈，函数2()1()f x og x a =+． ()f x 的反函数的图象经过点(3,1)，∴函数2()1()f x og x a =+的图象经过点(1,3)，2log (1)3a ∴+=，解得7a =． 故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．（五）函数的性质（综合）1．（2014•大纲版文）奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且f （1）1=，则f （8）f +（9）(= )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到(8)()f x f x +=，即可得到结论． 【解答】解：(2)f x +为偶函数，()f x 是奇函数，∴设()(2)g x f x =+，则()()g x g x -=， 即(2)(2)f x f x -+=+， ()f x 是奇函数，(2)(2)(2)f x f x f x ∴-+=+=--，即(4)()f x f x +=-，(8)(44)(4)()f x f x f x f x +=++=-+=， 则f （8）(0)0f ==，f （9）f =（1）1=， f ∴（8）f +（9）011=+=，故选：D ．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键． 2．（2014•福建理）已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨⎩…，则下列结论正确的是( )A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的值域为[1-，)+∞【考点】分段函数的应用【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可． 【解答】解：由解析式可知当0x …时，()cos f x x =为周期函数，当0x >时，2()1f x x =+，为二次函数的一部分， 故()f x 不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性， 故可排除A 、B 、C ，对于D ，当0x …时，函数的值域为[1-，1]， 当0x >时，函数的值域为(1,)+∞， 故函数()f x 的值域为[1-，)+∞，故正确． 故选：D ．【点评】本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．3．（2014•湖北文）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时，2()3f x x x =-，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{3-，1-，1，3}C ．{21，3}D ．{2-，1，3}【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】首先根据()f x 是定义在R 上的奇函数，求出函数在R 上的解析式，再求出()g x 的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决． 【解答】解：()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时，2()3f x x x =-， 令0x <，则0x ->，2()3()f x x x f x ∴-=+=-2()3f x x x ∴=--， ∴223,0()3,0x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩…()()3g x f x x =-+2243,0()43,0x x x g x x x x ⎧-+∴=⎨--+<⎩… 令()0g x =，当0x …时，2430x x -+=，解得1x =，或3x =，当0x <时，2430x x --+=，解得2x =-∴函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为{2-，1，3}故选：D ．【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．4．（2014•湖北理）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若x R ∀∈，(1)()f x f x -…，则实数a 的取值范围为( ) A ．1[6-，1]6B．[C ．1[3-，1]3D．[【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数恒成立问题；函数最值的应用【分析】把0x …时的()f x 改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得0x <时的函数的最大值，由对x R ∀∈，都有(1)()f x f x -…，可得222(4)1a a --…，求解该不等式得答案． 【解答】解：当0x …时，2222223,2(),2,0x a x a f x a a x a x x a ⎧->⎪=-<⎨⎪-⎩…剟，由2()3f x x a =-，22x a >，得2()f x a >-； 当222a x a <…时，2()f x a =-；由()f x x =-，20x a 剟，得2()f x a -…．∴当0x >时，2()min f x a =-． 函数()f x 为奇函数，∴当0x <时，2()max f x a =．对x R ∀∈，都有(1)()f x f x -…，222(4)1a a ∴--…，解得：a ． 故实数a的取值范围是[． 故选：B ．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对x R ∀∈，都有(1)()f x f x -…得到不等式222(4)1a a --…，是中档题．5．（2014•湖南理）若函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()()g x x ln x a =++图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A．(-∞B．(-∞C．( D．(【考点】函数的图象与图象的变换 【分析】由题意可得_001()02x e ln x a ---+=有负根，函数1()()2x h x e ln x a =---+为增函数，由此能求出a 的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在0(,0)x ∈-∞，满足2_020001()()2x x e x ln x a +-=-+-+， 即_001()02x e ln x a ---+=有负根， 当x 趋近于负无穷大时，_001()2x e ln x a ---+也趋近于负无穷大， 且函数1()()2x h x e ln x a =---+为增函数， 01(0)02h e lna ∴=-->，lna ∴<，a ∴a ∴的取值范围是(-∞，故选：A ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用．6．（2014•湖南文）下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是( ) A ．21()f x x =B ．2()1f x x =+C ．3()f x x =D ．()2x f x -=【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增，得到本题结论． 【解答】解：选项A ，21()f x x =，2211()()()f x f x x x -===-，()f x ∴是偶函数，图象关于y 轴对称． 2()f x x -=，20-<，()f x ∴在(0,)+∞单调递减，∴根据对称性知，()f x 在区间(,0)-∞上单调递增； 适合题意．选项B ，2()1f x x =+，是偶函数，在(0,)+∞上单调递增，在区间(,0)-∞上单调递减，不合题意． 选项C ，3()f x x =是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项D ，()2x f x -=在(,)-∞+∞单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意． 故选：A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题． 7．（2014•辽宁理）已知定义在[0，1]上的函数()f x 满足：①(0)f f =（1）0=；②对所有x ，[0y ∈，1]，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-． 若对所有x ，[0y ∈，1]，|()()|f x f y m -<恒成立，则m 的最小值为( ) A ．12B ．14C ．12π D ．18【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【分析】依题意，构造函数1,012()(0)12,12kx x f x k k kx x ⎧⎪⎪=<<⎨⎪-⎪⎩剟剟，分[0x ∈，1]2，且[0y ∈，1]2；[0x ∈，1]2，且1[2y ∈，1]；[0x ∈，1]2，且1[2y ∈，1]；及当1[2x ∈，1]，且1[2y ∈，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x ，[0y ∈，1]，1|()()|4f x f y -<恒成立，从而可得14m …，继而可得答案．【解答】解：依题意，定义在[0，1]上的函数()y f x =的斜率1||2k <， 依题意可设0k >，构造函数1,012()(0)12,12kx x f x k k kx x ⎧⎪⎪=<<⎨⎪-⎪⎩剟剟，满足(0)f f =（1）0=，1|()()|||2f x f y x y -<-． 当[0x ∈，1]2，且[0y ∈，1]2时，111|()()||||||0|224f x f y kx ky k x y k k -=-=--=⨯<…；当[0x ∈，1]2，且1[2y ∈，1]，11|()()||()||()||(1)|224k f x f y kx k ky k x y k k k -=--=+-+-=<…；当[0y ∈，1]2，且1[2x ∈，1]时，同理可得，1|()()|4f x f y -<；当1[2x ∈，1]，且1[2y ∈，1]时，11|()()||()()|||(1)224k f x f y k kx k ky k x y k -=---=-⨯-=<…；综上所述，对所有x ，[0y ∈，1]，1|()()|4f x f y -<， 对所有x ，[0y ∈，1]，|()()|f x f y m -<恒成立， 14m ∴…，即m 的最小值为14．故选：B ．【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．8．（2014•浙江理）设函数21()f x x =，22()2()f x x x =-，31()|sin 2|3f x x π=，99i i a =，0i =，1，2，⋯，99．记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋯+-，1k =，2，3，则( )。