《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计
示范教案(1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象)
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象三维目标1.通过实验演示,让学生经历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识.. 重点难点教学重点:正弦函数、余弦函数的图象.教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系. 课时安排:1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx 与y=cosx 的图象是怎样的呢?回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通过取值,画出当x ∈［0,2π］时,y=sinx 的图象. 推进新课 新知探究 提出问题问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x ∈［0,2π］的精确图象呢? 问题②:如何得到y=sinx,x ∈R 时的图象? 活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在x 轴上标横坐标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x ∈［0,2π］的图象,就很容易得到y=sinx,x ∈R 时的图象了.对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线,就可以得到对应于0、6π、4π、3π、2π、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx 在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.图1对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx 在x ∈[2kπ,2(k+1)π],k ∈Z 且k≠0上的图象与函数y=sinx 在x ∈[0,2π]上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x ∈[0,2π］的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)图2讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x ∈［0,2π］的图象. ②左、右平移,每次2π个长度单位即可.提出问题: 如何画出余弦函数y=cosx,x ∈R 的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?活动:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.讨论结果:把正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象向左平移2个单位长度即可得到余弦函数图象.如图3.图3正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象和余弦函数y=cosx,x ∈R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.提出问题问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点?问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗?活动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx 在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下:(0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0).因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握. 对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象. 讨论结果:关键点也有五个,它们是:(0,1),(2π,0),(π,-1),(23π,0),(2π,1).应用示例例1 画出下列函数的简图(1)y=1+sinx,x ∈[0,2π];(2)y=-cosx,x ∈[0,2π].活动:本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图象的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处. 解:(1)按五个关键点列表:x 0 2π π 23π 2π sinx 0 1 0 -1 0 1+sinx1211描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).图4(2)按五个关键点列表:x 0 2π π 23π 2π cosx 1 0 -1 0 1 -cosx-11-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).图5知能训练:课本本节练习 解答:1.可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象,也可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象.两条曲线形状相同,位置不同,例如函数y=sinx,x ∈[0,2π]的图象,可以通过将函数y=cosx,x ∈[2π,23π]的图象向右平行移动2π个单位长度而得到(图10).图10点评:在同一个直角坐标系中画出两个函数图象,利于对它们进行对比,可以加强正弦函数与余弦函数的联系.通过多种方法画图,渗透数形结合思想,强化学生对数学概念本质的认识. 两个函数的图象相同.课堂小结1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图象扩展到整个定义域的?2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法. 作业1.课本习题1.4 A 组1.2.预习下一节:正弦函数、余弦函数的性质. 板书设计:(略) 课后记:教研组长意见:。
《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计
《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计教学要求：熟练把握正弦、余弦函数图象的形状特征.教学重点：正弦、余弦函数的图象作法及其形状特征.教学难点：正弦函数图象的作法、正弦函数和余弦函数图象间的关系.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（余弦）值. 由这个对应法则所确定的函数sin y x =（或cos y x =）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域是R .2. 提问：如何作出正弦函数的图象？（利用正弦线可以画出较精确的正弦函数图象）二、讲授新课：1. 教学正弦函数图象的画法：① 提问：正弦线的意义？(正弦线是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段，它是正弦函数的几何表示)② 用正弦线画出正弦函数的图象（边讲边画）：第一步：先作单位圆，把⊙O 1十二等分（当然分得越细，图象越精确）；第二步：十二等分后得0,6π, 3π,2π,…2π等角，作出相应的正弦线； 第三步：将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形”；第四步：取点，平移正弦线，使起点与x 轴上的点重合；第五步：用光滑的曲线把上述正弦线的终点连接起来，得y=sinx ，x ∈[0,2π]的图象； 第六步： 由终边相同的三角函数性质知y=sinx ，x ∈[2k π,2(k+1)π] k ∈Z,k ≠0的图象与函数y=sinx ， x ∈[0,2π]图象相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2π单位长.③ 用“五点（画图）法”作正弦函数图象时，要抓住关键的五个点：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0). （通过学生观察正弦函数的图象，找出体现图象形状特征的点，再来讲“五点法”.）“五点法”的优点是方便，但精确度不高，熟练后才使用.2. 教学余弦函数图象的画法： 由于cos sin()2y x x π==+，而s i n (),2y x x R π=+∈的图象可以通过将正弦函数sin ,y x x R =∈的图象向左平移2π个单位长度得到，因此只需将函数sin ,y x x R =∈的图象向左平移2π个单位长度就可以得到函数cos ,y x x R =∈的图象.思考：如果用“五点法”作余弦函数的图象，则应抓住哪五个关键点？3. 例题讲解：例、画出下列函数的简图：（1）sin ,[0,2]y x x π=-∈；（2）1cos ,[0,2]y x x π=+∈. （教师引导→学生板书）4、小结：正弦曲线、余弦曲线的几何画法、“五点法”画法及正弦、余弦函数图象的形状特征.三、巩固练习：1. 在同一直角坐标系中，分别作出函数3cos ,[,]22y x x ππ=∈- 、3sin(),2y x x R π=-∈的草图.2. 讨论如何用“五点法”画sin(2)6y x π=-的图象？（方法：取320,,,,2622x πππππ-=） 3. 作业：教材P52 第1题。
1.4.1正弦函数-余弦函数的图象教案
§1.4.1正弦函数,余弦函数的图象【教学目标】1、知识与技能： （1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状；（2）根据关系)2sin(cos π+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图。
2、过程与方法进一步培养合作探究、分析概括，以及抽象思维能力。
3、情感态度价值观通过作正弦函数和余弦函数图象，培养认真负责，一丝不苟的学习精神。
{【教学重点难点】教学重点：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象教学难点：运用几何法画正弦函数图象。
【教学过程】1. 问题引入，创设情境：问题1：:任意给定一个实数x ，对应的正弦值sinx 、余弦值cosx 是否存在是否唯一 问题2：一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面入手图象视频演示：…“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”思考： 有什么办法画出该曲线的图象2、新课讲解（1）提出问题：根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出正弦函数的图象作图过程中有什么困难答：列表、描点、连线。
由于表中部分值只能取近似值，再加上描点时的误差，部分同学取的点较少，所以画出的图象难免误差大。
如何画出更精确的图象呢（2）探究新知：根据学生的认知水平,正弦曲线的形成分了三个层次： 引导学生画出点)3sin ,3(ππ | 问题一：你是如何得到23的呢如何精确描出这个点呢 问题二：请大家回忆一下三角函数线，看看你是否能有所启发电脑演示正弦线、余弦线的定义，同时说明：当角度变化时，对应的线段MP 的长度就是这个角度的正弦值。
演示点)3sin ,3(ππ的画法。
问题三：能否借用画点)3sin,3(ππ的方法，作出y=sinx，x∈[0，2π]的图象呢课件演示：正弦函数图象的几何作图法教师引导：在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从圆O1与x轴的交点A起把圆O1分成12等份（份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确），过圆O1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、6π、3π、2π、……、π2等角的正弦线，相应地，再把x轴上从0到π2这一段分成12等份，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了函数xy sin=，[]π2,0∈x的图象问题四：如何得到xy sin=，Rx∈的图象因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数xy sin=在[]0,,)1(2,2≠∈+∈kZkkkxππ的图象与函数xy sin=，[]π2,0∈x的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每次π2个单位长度），就可以得到正弦函数xy sin=，Rx∈的图象，即正弦曲线。
正弦函数
《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计海林市高级中学数学教师王淑艳本节课选自人教版普通高中课程标准实验教科书（必修）《数学》4第一章《三角函数》中的第4节《三角函数的图象与性质》。
一、教材分析和处理1、教材的地位和作用：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中都有重要的作用。
在前面，学生掌握了三角函数的基本定义，掌握了如何求三角函数的值，如何画三角函数线，还有一些三角的计算公式。
本节课给出了正弦函数和余弦函数的完整定义，学习了正弦曲线和余弦曲线的得来，这样，以后才能通过图象直观去研究三角函数的性质。
所以，本节课的地位十分重要，它把学生从三角函数的求值、化简、证明带到了纯粹的函数的范畴。
2、对教材的处理：本节在回顾三角函数的基础上，用集合对应的语言给出了正弦函数和余弦函数的完整定义，接着利用多媒体播放书上的关于沙漏的实验，使学生对正弦、余弦函数的图象有一个直观的认识，另外也能让学生感受到数学是来源于生活的。
然后利用正弦线画出正弦曲线，在画正弦曲线时，分为两步，第一步，利用正弦线画出它在[0,2π]上的图象；第二步，根据“终边相同的角有相同的函数值”，得出它在R上的图象。
接着再做出的正弦曲线的基础上，利用公式六，通过图象变换得出余弦曲线。
然后确定出五个关键点，即“五点法”作图。
在对例1的处理上，还是要求学生先用“五点法”列表作图，然后在引导学生从图象变换的角度得出这两个图象。
二、学情分析从身心上，高一学生对于比较抽象的内容不是很感兴趣，所以借助多媒体创设教学情境引起学生的兴趣，另外让学生自己动手画函数图象，使所有学生都参与进来，以达到较好的教学效果。
从知识上，学生在前面学习的基础上，已经对三角函数有了一个较为深刻的认识，但他们还是习惯于在三角函数的求值、化简、证明等内容上，提到三角函数的定义，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值这一点还是掌握得很牢固的，另外，他们提到角，还是首先想到角度，而后才想到弧度，所以，在给出正弦函数和余弦函数的定义时，学生可能会觉得不太习惯。
《正弦函数、余弦函数的图像》教案与导学案
《第五章三角函数》《5.4.1正弦函数、余弦函数的图像》教案【教材分析】由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．【教学目标与核心素养】课程目标1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.2.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.数学学科素养1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念；2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系；3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像；4.数学运算：五点作图；5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.【教学重难点】重点：正弦函数、余弦函数的图象．难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】一、情景导入遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？请学生尝试画出当x∈[0,2π]时，y＝sinx 的图象．要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本196-199页，思考并完成以下问题1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的？2．怎样作出正弦函数y=sinx的图像？3.怎样作出余弦函数y＝cosx的图像？4.正弦曲线与余弦曲线的区别与联系.要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
正弦、余弦函数的图象 说课稿 教案 教学设计
正弦函数、余弦函数的图象●三维目标 1．知识与技能(1)利用单位圆中的三角函数线作出y ＝sin x ，x ∈R 的图象，明确图象的形状． (2)根据关系cos x ＝sin(x ＋π2)，作出y ＝cos x ，x ∈R 的图象．(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题． 2．过程与方法(1)通过利用单位圆中的三角函数线作出正弦函数、余弦函数的图象的过程，让学生体验、理解数形结合这一重要思想方法．(2)通过“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象，使学生理解并掌握这一个作函数简图的基本方法．(3)引导学生利用正弦函数与余弦函数的联系，由正弦曲线，通过图象变换作出余弦曲线，使学生学会用联系的观点思考问题．3．情感、态度与价值观通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神． ●重点、难点重点：正弦、余弦函数图象的作法．难点：正弦函数、余弦函数图象间的关系、图象变换及其应用． ●教学建议 1．问题引入为了使学生对研究的问题和方法先有一个概括性的认识，教科书在本节开头用了一段引导性语言．教学中应当对这段话给予充分重视，可以先引导学生回顾《数学1》中研究过哪些函数性质，然后说明可以在过去研究函数的经验的指导下研究三角函数的性质，并要特别注意思考三角函数的特殊性——周而复始的变化规律．为了使学生对三角函数图象有一个直观的认识，教科书利用单摆做简谐振动的实验引出正弦函数、余弦函数的图象．教学中，可以让学生亲自动手做实验，也可以由教师做演示实验，只要学生能够对正弦曲线、余弦曲线有一个直观的印象就算达到目的．另外，由于受实验条件及操作过程的影响，得到的图象很可能是不标准的．2．正弦函数的图象在简谐振动试验的基础上，教学中应先介绍用正弦线作比较精确的正弦函数图象的方法，才能从图象上观察到某些点是关键点，再讲“五点法”作简图．3．余弦函数的图象可以引导学生利用正弦函数与余弦函数的联系，在正弦曲线的基础上，利用图象变换作出余弦曲线，也可以用“五点法”作简图．●教学流程1．用描点法画y＝sin x在[0,2π]上的图象如何操作？难点是什么？【提示】列表取值、描点、连线、难点在取值．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象和余弦函数y＝cos x，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．你认为哪些点是y＝sin x，x∈[0,2π]图象上的关键点？【提示】最高点、最低点及图象与x轴的三个交点．类型1用“五点法”作三角函数的图象例1用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝1＋2sin x，x∈[0,2π](2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]【思路探究】在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可．【自主解答】列表：x 0π2π3π22πsin x 010－101＋2sin x 131－1 1在直角坐标系中描出五点(0,1)，(π2，3)，(π，1)(3π2，－1)，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象．(2)列表：x 0π2π32π2πcos x 10－10 12＋cos x 3212 3规律方法1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、画余弦函数图象的五点(0,1)(π2,0)(π，－1)(3π2,0)(2π，1)与x轴的交点．2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点．变式训练画出y＝2sin x，x∈[0,2π]的简图．【解】按五个关键点列表：x 0π2π3π22π2sin x 020－20描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示．类型2利用“图象变换”作三角函数的图象例2利用图象变换作出下列函数的简图．(1)y＝1－cos x；(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．【思路探究】对(1)先作出y＝cos x的图象，然后利用对称作出y＝－cos x的图象，最后向上平移1个单位即可；对(2)先画出y＝sin x在[0,4π]上的图象，然后把x轴下方的部分翻到x轴的上方即可．【自主解答】(1)作出y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，并作出其关于x轴的对称图形，得y＝－cos x，x∈[0,2π]的图象，然后向上平移一个单位，得y＝1－cos x的图象(如图①所示)．(2)作y ＝sin x ，x ∈[0,4π]的图象，并将x 轴下方的部分翻转到x 轴上方(原x 轴上方的部分不变)，得y ＝|sin x |的图象(如图②所示)．规律方法函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数f (－x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，－f (x )与f (x )的图象关于x 轴对称，－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，f (|x |)的图象关于y 轴对称．变式训练作出y ＝1－sin 2x 的图象．【解】 y ＝1－sin 2x ＝cos 2x ＝|cos x |. 作出y ＝cos x (x ∈R )的图象， 由于y ＝|cos x |的图象关于y 轴对称．∴把y ＝cos x (x ∈R )的图象位于x 轴下方的图象翻折到x 轴上方(原x 轴上方部分保留)得y ＝|cos x |的图象(如图所示)．类型3正弦(余弦)函数图象的应用例3 写出不等式sin x ≥12的解集．【思路探究】 解答本题可利用数形结合，分别画出y ＝sin x 和y ＝12的图象，通过图象写出不等式的解集．【自主解答】 在同一坐标系下，作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象以及直线y ＝12.由函数的图象知， sin π6＝sin 56π＝12.∴当0≤x ≤2π时，sin x ≥12的解为π6≤x ≤56π.∴不等式sin x ≥12的解集为{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z }．规律方法1．用三角函数的图象解sin x >a (或cos x >a )的方法： (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象； (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值；(3)选取一个合适周期写出sin x >a (或cos x >a )的解集，要尽量使解集为一个连续区间． 2．用三角函数线解sin x >a (或cos x >a )的方法：(1)找出使sin x ＝a (或cos x ＝a )的两个x 值的终边所在位置． (2)根据变化趋势，确定不等式的解集． 变式训练写出sin x <12的解集．【解】 作出y ＝sin x ，x ∈[π2，52π]及y ＝12的图象如下：由函数图象可知sin x <12时56π<x <136π， 所以sin x <12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋56π<x <2k π＋136π，k ∈Z思想方法技巧数形结合思想在三角函数图象中的应用典例 (12分)求下列函数的定义域： (1)y ＝2sin x ＋1； (2)y ＝sin x －cos x【思路点拨】 写出使得函数有意义时所满足的条件→结合三角函数的定义域→求出不等式的交集即可【规范解答】 (1)要使y ＝2sin x ＋1有意义，则必须满足2sin x ＋1≥0，即sin x ≥－12.2分结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：知函数y ＝2sin x ＋1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π6≤x ≤2k π＋7π6，k ∈Z .............................6分(2)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.......8分利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示................................................10分在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的图象．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π，k ∈Z .........12分思维启迪(1)求由三角函数参与构成的函数定义域，对于自变量必须满足：①使三角函数有意义；②分式形式的分母不等于零；③偶次根式的被开方数不小于零． (2)三角函数定义域的求法：求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．课堂小结1．三角函数图象直观地反映了三角函数的性质，所以画好三角函数的图象是研究三角函数性质的关键，因此一定要掌握正弦、余弦函数的图象特征，特别是会灵活运用五点作图法准确作出函数图象．2．关键点指的是图象的最高点最低点及与x 轴的交点． 3．在作函数图象时，自变量要采用弧度制，确保图象规范．当堂双基达标1．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A ．(π6，12)B ．(π2，1)C ．(π，0)D ．(2π，0)【解析】 易知(π6，12)不是关键点．【答案】 A2．下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )【解析】 由y ＝sin x 在[0,2π]上的图象作关于x 轴的对称图形，应为D 项． 【答案】 D3．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个．【解析】 作y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象及直线y ＝ －12(图略)，知两曲线有两个交点． 【答案】 两4．在[0,2π]内用五点法作出y ＝－sin x －1的简图．【解】 (1)按五个关键点列表：x 0 π2 π 3π2 2π y－1－2－1－1(2)如图所示：课后知能检测一、选择题1．对于正弦函数y ＝sin x 的图象，下列说法错误的是( ) A ．向左右无限伸展B ．与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同C ．与x 轴有无数个交点D ．关于y 轴对称【解析】 由正弦曲线，知A 、B 、C 均正确，D 不正确． 【答案】 D2．点M (π2，－m )在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2【解析】 由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1，∴m ＝－1.【答案】 C3．从函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象来看，对应于sin x ＝12的x 有( )A ．1个值B ．2个值C ．3个值D ．4个值【解析】 当x ∈[0,2π]时，sin π6＝sin 5π6＝12.【答案】 B4．函数y ＝cos x |tan x |(0≤x ＜3π2且，x ≠π2)的图象是下列图象中的( )【解析】 y ＝cos x |tan x |＝⎩⎨⎧sin x ，0≤x ＜π2或π≤x ＜3π2，－sin x ，π2＜x ＜π.其图象如图所示：【答案】 C5．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A ．(π4，π2)∪(π，5π4) B ．(π4，π)C ．(π4，5π4)D ．(π4，π)∪(5π4，3π2)【解析】 如图所示(阴影部分)时满足sin x >cos x .【答案】 C 二、填空题6．利用余弦曲线，写出满足cos x >0，x ∈[0,2π]的x 的区间是__________．【解析】 画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]上的图象如下图所示． cos x >0的区间为[0，π2)∪(3π2，2π]．【答案】 [0，π2)∪(3π2，2π]7．函数y ＝log 12sin x 的定义域是__________． 【解析】 由log 12sin x ≥0知0<sin x ≤1，由正弦函数图象知2k π<x <2k π＋π，k ∈Z .【答案】 {x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z }8．如果直线y ＝m 与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象只有一个交点，则m ＝________；有且只有两个交点，则m 的取值范围是________．【解析】 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]及y ＝m 的图象如下：由图可知，当m ＝1或m ＝－1时二图象只有一个交点；当－1<m <1时，二图象有且只有两个交点．【答案】 1或－1，(－1,1) 三、解答题9．用五点法作出函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 【解】 列表：x 0 π2 π 32π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x12110．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．图1－4－1【解】 观察图可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形， 有S1＝S 2，S 3＝S 4.因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC 的面积．∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. ∴所求封闭图形的面积为4π.11．已知函数y ＝f (x )的定义域是[0，14]，求函数y ＝f (sin 2x )的定义域．【解】 依题意，有0≤sin 2x ≤14，∴－12≤sin x ≤12.∴f (sin 2x )的定义域为2k π－π6≤x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ≤2k π＋7π6(k ∈Z )，即[k π－π6，k π＋π6](k ∈Z )．【教师备课资源】1．巧用正弦、余弦函数图象解决方程有解问题(1)方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是__________． (2)方程sin x ＝lg x 的解的个数是__________．【思路探究】 (1)可在同一坐标系中作出y ＝x 2，y ＝cos x 图象，数形结合判断；(2)在同一直角坐标系中作出y ＝sin x 与y ＝lg x 图象来解．【解析】 (1)作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．(2)建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2 π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点(110，－1)，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．【答案】2 31．对于含有对数式、指数式、三角函数式的方程问题常常通过构建相关函数，借助于其图象来求解．2．求解这类问题思路是：(1)分离函数式到方程两边；(2)分别构建函数；(3)在同一平面直角坐标系中作函数图象，数形结合求解．。
正弦函数余弦函数的图象与性质教案
一、教案基本信息正弦函数与余弦函数的图象与性质课时安排：2课时教学目标：1. 理解正弦函数和余弦函数的定义和基本性质。
2. 学会绘制正弦函数和余弦函数的图象。
3. 能够运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。
教学重点：1. 正弦函数和余弦函数的定义和基本性质。
2. 正弦函数和余弦函数的图象绘制方法。
教学难点：1. 正弦函数和余弦函数的图象绘制方法。
2. 运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 教学黑板。
3. 粉笔。
4. 学生用书。
教学过程：第一课时：一、导入（5分钟）教师通过复习正弦函数和余弦函数的定义，引导学生回顾初中阶段学习的三角函数知识，为新课的学习做好铺垫。
二、新课内容（15分钟）1. 讲解正弦函数的定义和性质。
2. 讲解余弦函数的定义和性质。
3. 引导学生通过数学软件或手绘图象，绘制正弦函数和余弦函数的图象。
4. 分析正弦函数和余弦函数图象的特点。
三、课堂练习（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
第二课时：一、复习导入（5分钟）教师通过复习上节课所学内容，检查学生对正弦函数和余弦函数的定义、性质以及图象的掌握情况。
二、深入学习（15分钟）1. 讲解正弦函数和余弦函数的图象绘制方法。
2. 讲解如何运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。
3. 引导学生通过实例，运用正弦函数和余弦函数的性质解决问题。
三、课堂练习（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
四、总结与反思（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程，为课后复习做好规划。
教学评价：通过课堂讲解、练习题以及课后作业，评估学生对正弦函数和余弦函数的定义、性质、图象以及应用的掌握情况。
对学生在学习过程中遇到的问题进行针对性的辅导，提高学生的学习效果。
六、教学案例分析本节课以一道实际问题为例，让学生运用正弦函数和余弦函数的性质解决问题。
案例：某城市一条道路的路灯间隔为5米，路灯的高度为10米。
教学设计2：5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【教学目标】1．了解正弦函数、余弦函数的图象．2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象． 3．能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．【要点梳理】1．正弦曲线正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．2．正弦函数图象的画法 (1)几何法①利用正弦线画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． 3．余弦曲线余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．4．余弦函数图象的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可，这是由于cos x＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2.(2)用“五点法”：画余弦曲线y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 温馨提示：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．【思考诊断】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) (2)将正弦曲线向右平移π2个单位就得到余弦曲线．( )(3)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( ) (4)函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]k ∈Z ，且k ≠0的图象与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√【课堂探究】题型一 用“五点法”作简图【典例1】 用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]．[思路导引] 利用“五点法”作函数简图时，应先列表，再描点，再连线． [解] (1)列表：描点连线，如图所示．(2)列表：描点连线，如图所示．[名师提醒]用“五点法”画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤 (1)列表(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y 1)，⎝⎛⎭⎫π2，y 2，(π，y 3)，⎝⎛⎭⎫3π2，y 4，(2π，y 5)．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． [针对训练]1．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]． [解] (1)列表：在直角坐标系中描出五点(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，3，(π，1)，⎝⎛⎭⎫3π2， －1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象．如图．(2)列表：在直角坐标系中，描出五点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭⎫3π2，1，(2π，0)，然后并用光滑的曲线连接起来，就得到y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象．如图．题型二 正、余弦函数图象的简单应用【典例2】 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合． (1)sin x ≥12；(2)cos x ≤12.[思路导引] 先在[0,2π]上找到使等式成立的关键点，再依据图象或三角函数线找到不等式的解．[解] (1)作出正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z . (2)作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z . [名师提醒]用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)； (2)在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集； (3)根据公式一写出定义域内的解集． [针对训练]2．求下列函数的定义域．(1)y ＝lg(－cos x )；(2)y ＝2sin x － 2.[解] (1)为使函数有意义，则需要满足－cos x >0，即cos x <0. 由余弦函数图象可知满足条件的x 为π2＋2k π<x <3π2＋2k π，k ∈Z .所以原函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π2＋2k π<x <3π2＋2k π，k ∈Z . (2)为使函数有意义，则需要满足2sin x －2≥0，即sin x ≥22. 由正弦函数图象可知满足条件的x 为π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .所以原函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z . 【课堂小结】1．本节课要牢记正、余弦函数图象中“五点”的确定y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：(1)图象与x 轴的交点；(2)图象上的最高点和最低点．2．用“五点法”在[0,2π]内做出正、余弦函数的简图，再通过平移即可得到正、余弦曲线.【随堂验收】1．用“五点法”画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C ．(π，0)D ．(2π，0)[解析] 五个关键点为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，故选A. [答案] A2．对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述：①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[解析] 如图所示为y ＝cos x 的图象．可知三项描述均正确． [答案] D3．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )[解析] 列表描点与选项比较，可知选B. [答案] B4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π[解析] 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32，sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3. 由图可知不等式sin x <－32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3. [答案] C5．画出函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象，并利用图象判断与直线y ＝32的交点个数．[解] 在同一坐标系内画出y ＝1＋sin x 和y ＝32的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.。
5.4.1正弦函数余弦函数的图象教学设计
引入新课观看生活中的波形视频设计问题,回归教材三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数,类比指数函数,对数函数的研究过程,学习了三角函数的定义之后,接下来我们应该研究什么问题呢?根据教师的提问,学生进行知识衔接。
师：生活中有大量这样的波形,如果抽象成数学问题,可以用哪一类函数来刻画呢?生:三角函数师:三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数,类比指数函数,对数函数的研究过程,学习了三角函数的定义之后,接下来我们应该研究什么问题呢?生:用定义画图象师;定义-图象-性质请同学们先看一下本节课的学习目标,复习一下定义和诱导公式.温故知新图象的形成学生探索,尝试解决问题 1.如何画出正弦函数Rxxy∈=,sin的图像呢？问题2.画函数图象的基本方法是什么？问题3.画函数xy sin=在[]π2,0上的图象如何取点呢？问题 4.在坐标系中，能准确的描出⎪⎪⎭⎫⎝⎛233，π这个点吗？问题 5.在[]π20，上任取一个值x，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx,并画出点问题1：生：描点法师：Rx∈，范围太大，不好操作，如何简化？生：先画[]π2,0∈x的图象师：非常好，这一特性从我们刚刚复习的正弦函数的定义和诱导公式一体现了。
问题2.生：描点法师：描点法和图象变换问题3.生：取.2332160⎪⎪⎭⎫⎝⎛，），，），（，（ππ问题4.生：不能师：如何解决这个问题呢？生：正弦函数的定义师：回答得非常好，根深叶茂，定义是一切知识的出发点，下面请同学们看问题5.问题5.生：先画个单位圆师：好，如何找到π2呢，请一位同学到前面来和老师一起动手操作。
在事先准备好的圆上找到一点，转一圈.学生找到π2，再进一步找到32πππ，，等。
这一过程体现了“曲化直”的化设置意图：为学生提供一个轻松、开放的学习环境，有助于有效地组织课堂学习，有助于带动和提高全体学习的积极性、主动性，更有助于培养学生的集体荣誉感，以及他们的竞争意识把学生推向问题的中心，让学生动手操作。
正弦函数、余弦函数的图象和性质教案
正弦函数、余弦函数的图象和性质教案第一章：正弦函数的定义与图象1.1 教学目标了解正弦函数的定义能够绘制正弦函数的图象1.2 教学内容正弦函数的定义：正弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值。
正弦函数的图象：正弦函数的图象是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。
1.3 教学活动讲解正弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。
使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制正弦函数的图象，并观察其特点。
1.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数的练习题，包括选择题和解答题。
第二章：余弦函数的定义与图象2.1 教学目标了解余弦函数的定义能够绘制余弦函数的图象2.2 教学内容余弦函数的定义：余弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值。
余弦函数的图象：余弦函数的图象也是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。
2.3 教学活动讲解余弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。
使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制余弦函数的图象，并观察其特点。
2.4 作业与练习让学生完成一些关于余弦函数的练习题，包括选择题和解答题。
第三章：正弦函数和余弦函数的性质3.1 教学目标了解正弦函数和余弦函数的性质3.2 教学内容正弦函数和余弦函数的周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是2π。
正弦函数和余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正弦函数和余弦函数的单调性：正弦函数和余弦函数在一个周期内都是先增后减。
3.3 教学活动讲解正弦函数和余弦函数的性质，并通过实际例子进行解释。
让学生通过观察图象，总结正弦函数和余弦函数的性质。
3.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数和余弦函数性质的练习题，包括选择题和解答题。
第四章：正弦函数和余弦函数的应用4.1 教学目标能够应用正弦函数和余弦函数解决实际问题4.2 教学内容正弦函数和余弦函数在物理学中的应用：正弦函数和余弦函数可以用来描述简谐运动，如弹簧振子的运动。
1_4_1正弦、余弦函数的图象教案
正弦、余弦函数的图象知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状； （2）根据关系)2sin(cos π+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些相关问题. 水平目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法； （2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法.德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神. 教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象. 教学难点：作余弦函数的图象. 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：一、复习引入：1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角. 2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）， P 与原点的距离r (02222>+=+=y x yx r )，则比值ry叫做α的正弦，记作：r y =αsin比值r x叫做α的余弦，记作：rx =αcos3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM rx==αcos 向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲解新课：1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：（1）函数y=sinx 的图象第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这个段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相对应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．ry)(x,αP根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相对应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.（2）余弦函数y=cosx 的图象正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)余弦函数y=cosx ，x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．所以在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚能够. 3.讲解范例：例1 作以下函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]，(2) y=-cosx.y=cosxy=sinx π2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5π-6π-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-11yx-11o xy解：三、小结：本节课学习了以下内容：1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法；2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系. 四、练习：在同一直角坐标系内画出和的图象.3sin()2y x =-πcos y x =。
《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计
《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计正弦函数、余弦函数的图象一、教学目标 （一）学习目标1.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数图象.2.会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数简图.3.掌握作正弦函数和余弦函数图象的特征，能利用其解决三角不等式等问题. （二）学习重点正弦函数和余弦函数图像的作法. （三）学习难点1.用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像.2.运用图象变换法作余弦函数图象. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第30页到32页.（2）想一想：用三角函数线如何画正弦函数的图象. （3）画一画：三角函数线. 2.预习自测（1）给定角α，画出它的的正弦线、余弦线.（2）任意给定一个实数x ,有 唯一确定的值 x sin (或x cos )与之对应,由这个对应法则所确定的函数sin y x =(或cos y x =)叫作正弦函数(或余弦函数),其定义域为R .（3）用五点法作图，在正弦函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图象上,起关键作用的5个点为:()0,0 、_,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭____、___(),0π___、___3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭____、___()2,0π__.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点()P x y ，，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段 PM 叫做角α的正弦线，有向线段 OM 叫做角α的余弦线.（2）函数图像的画法（描点法）：列表、描点、连线. 【设计意图】回顾旧知，让探究始于思维邻近发展区. 2.问题探究探究一 如何得到正弦函数sin y x =的图象？学生方法：列表描点法.（步骤：列表，描点，连线）如果我们仍用描点法来画正弦函数图象，由于对于角的每一个取值，在计算相应的函数值时，都是利用计算机或数学用表得来的，大多是近似值，因此不易描出对应点的准确位置，画出的图象不够准确.为此我们应考虑其他方法来作正弦函数的图象. 【设计意图】利用已有知识经验解决新问题. （一）正弦函数的图象（1）几何法：用单位圆中的正弦线----几何画法；第一步：列表.在平面内建立一平面直角坐标系，然后在直角坐标系的x 轴上任意取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从⊙1O 与x 轴的交点A 起把⊙1O 分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确).过⊙1O 上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0、6π、、、…2π等角的正弦线(例如有向线段1O B 对应于2π角的正弦线).第二步：描点.把x 轴上从0到2π这一段(2π≈6.28)分成12等份(例如，从原点起向右的第四个点，就是对应于2π角的点)，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合(例如，把正弦线1O B 向右平移，使点1O 与x 轴上的点2π重合).第三步：连线.把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来.xy2π3π2ππ2BO 1OA我们看到的这段光滑曲线就是函数sin y x =在[]0,2x π∈上的函数.因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数sin y x =在221(0)x k k k Z k ππ∈∈≠［，＋］，且上的图象与函数sin y x =在[]0,2x π∈上的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数sin y x =，[]0,2x π∈的图象向左、右平行移动(每次π2个单位长度)，就可以得到正弦函数sin y x =在x R ∈上的图象.xy5π4π3π2ππ-π-3π-2π-4x-5πO这时，我们看到的这支曲线就是正弦函数sin y x =在整个定义域上的图象，我们也可把它称为正弦曲线.【设计意图】让学生体会原有的描点法的优缺点：精确度较高但步骤繁琐.思考：用前面的方法来作图象，虽然比较精确，但不太实用，我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢?(2) 用五点法作正弦函数的简图在函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图象上，起着关键作用的点只有以下五个：3()(,)()0()(,01,0212,0)2ππππ， ， ， -， ,事实上，描出这五个点后，函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图象的形状就基本上确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就可得到函数的简图.今后，我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”.【设计意图】让学生通过前面作的正弦函数的图象，捕捉这种周期函数图象的关键信息，归纳简图作法的关键节点与图象大致走势，培养学生的图形直观，归纳总结的能力. 探究二 如何得到余弦函数cos y x =的图象?（二）余弦函数的图象●活动①：你能根据诱导公式,以正弦函数的图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗?（1）图象变换法：利用图象平移，sin()cos 2x x π+=，将正弦函数sin y x =的图象向左平移2π个单位即可得到余弦函数cos y x =的图象.由诱导公式可知：()sin()2=cossin 2y x x x ππ==＋＋余弦函数cos y x x R =∈，与函数2)sin(y x x R π=∈＋，是同一个函数.而2)sin(y x x R π=∈＋，的图象可通过将正弦曲线向左平行移动2π个单位长度而得到.现在看到的曲线也就是余弦函数cos y x =在x R ∈上的图象，即余弦曲线. （2）五点法：●活动②：类似于正弦函数图象的5个关键点,请找出余弦函数的5个关键点,并填入下表,然后作出]2,0[,cos π∈=x x y 的简图x x cos同样，可发现在函数]2,0[,cos π∈=x x y 的图象上，起着关键作用的点是以下五个：0,1013()(,)()(,)()02,122ππππ， ， ，-， ， 与画函数]2,0[,sin π∈=x x y 的简图类似，通过这五个点，可以画出函数]2,0[,cos π∈=x x y 的简图.●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1用“五点法”作出下列函数的简图(1) []12sin 0,2y x x π=∈＋，； (2) []2cos 0,2.y x x π=+∈， 【知识点】五点法作三角函数的图象 【数学思想】数形结合x yx y o【思路点拨】在[]0,2 π上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可. 【解题过程】（1）列表：x 0 2ππ 32π 2π sin x 0 1 0 -1 0 12sin x +131-11在直角坐标系中描出五点 ()30,1,3,1,1,2,122()()ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ， ， ，，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到[]12sin 0,2y x x π+∈＝，的图象.（2）列表：x 0 2ππ32π2π cos x 1 0 -1 0 1 2cos x +32123描点连线，如图【设计意图】（1）巩固新知；（2）从层次上逐层深化、拾级而上，为往后学习三角函数图像的变换打下一定的基础. 同类训练用五点法作函数2cos()3y x π=+的简图.【知识点】五点法作()cos y A x ωϕ=+的函数图像 【数学思想】数形结合，函数复合 【思路点拨】令03x π+=，2π，π，32π，2π可得275-,36363x πππππ＝， ， , 【解题过程】（1）列表：3x π+2π π32π2π x 3π-6π 23π 76π 53π2cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭2 0-2 0 2（2）描点连线xy5π37π62π3π6-π3O【设计意图】 在例1的基础上做变式拓展，培养整体思想与复合函数的思想. ●活动4 强化提升、灵活应用例3 画出sin y x =的简图，并根据图像写出12y ≥时x 的集合. 【知识点】三角函数线和三角函数图像的应用 【数学思想】数形结合【思路点拨】利用正弦函数与余弦函数图象或单位圆寻求满足条件的取值.【解题过程】利用“五点法”作出sin y x =的简图，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作x 轴的平行线，在[]0,2π上直线12y =与正弦曲线交于1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭，51,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭两点.在[]0,2π内，满足12y ≥时x 的集合为566x x ππ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.因此，当x R ∈时，若12y ≥，则x 的集合为522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【答案】522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【设计意图】让学生经历利用三角函数图像和三角函数线解决实际问题，在这一过程中巩固新知，感受数形结合的魅力.例3 判断方程 04xcos x －＝根的个数.【知识点】三角函数图像的应用 【数学思想】函数方程与数形结合【思路点拨】当求解的方程不是普通方程时，经常采用数形结合法求解，即分别画出两个函数图象来求方程解的个数.【解题过程】设()() 4xf xg x cos x ＝，＝，在同一直角坐标系中画出()()f x g x 与的图象，如图：由图可知，()()f x g x 与的图象有三个交点，故方程 04xcos x －＝有三个根.【设计意图】让学生经历利用三角函数图像和三角函数线解决实际问题，在这一过程中巩固新知，感受数形结合的魅力. 3. 课堂总结 知识梳理（1） 正弦函数图象的几何作图法.（2） 正弦函数图象的五点作图法（注意五点的选取）. （3） 由正弦函数图象平移得到余弦函数的图象. 重难点归纳（1）正、余弦函数图象的简单应用.(难点) （2）正、余弦函数图象的区别与联系.(易混点) （三）课后作业 基础型 自主突破1.下列叙述正确的是（ ）①,]02[y sinx x π∈＝，的图象关于点()0P π，成中心对称； ②,]02[y cosx x π∈＝，的图象关于直线x π＝成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线11y y ＝和＝-所夹的范围. A.0 B.1个 C.2个 D.3个【知识点】正弦函数、余弦函数的图象的认识.【解题过程】分别画出函数,]02[y sinx x π∈＝，和,]02[y cosx x π∈＝，的图象，由图象观察可知①②③均正确.【思路点拨】分别画出正弦函数、余弦函数的图象即可. 【答案】D.2.用五点法作函数2sin 1y x =-的图象时，首先应指出的五点的横坐标可以是（ ） A.322ππππ0,, ,，2； B.3424ππππ0, , , ，； C.ππππ0, , 2, 3，4； D.26323ππππ0, ,,,. 【知识点】五点法作图的应用【解题过程】与作函数sin y x =的图象所取的五点的横坐标一样. 【思路点拨】 结合五点法作函数sin y x =的图象即可解答. 【答案】A.3.将余弦函数cos y x = 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数sin y x =-的图象，则m ＝( ) A.2π B. π C. 32π D. 34π 【知识点】图象变换的应用【解题过程】根据诱导公式得，33sin cos cos 22y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故欲得到sin y x =-的图象，需将cos y x =的图象向右至少平移.，32π个单位长度.【思路点拨】 利用诱导公式或函数图象左右平移方法即可解答 【答案】C.4.函数sin []0,2y x x π=∈，的图象与直线12y =-的交点有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 【知识点】正弦函数图象的应用 【数学思想】数学结合【解题过程】在[]0,2π内使1sin 2x =-的角71166x ππ为和所以sin []0,2y x x π=∈，的图象与直线12y=-有2个交点.【思路点拨】画出sin[]0,2y x xπ=∈，的图象与直线12y=-即可解答【答案】B5. 用“五点法”作出函数(sin02)y x xπ=-≤≤的简图.【知识点】“五点法”作图【数学思想】【解题过程】列表，描点、连线，如图所示.【思路点拨】利用关键的“五点”作图【答案】上图所示能力型师生共研6.函数cos cos0,2[]y x x xπ=∈＋，的大致图象为（）【知识点】函数图象的应用【数学思想】分类讨论思想【解题过程】由题意得32cos,02,2230,22x x xxyπππππ≤≤≤≤<<⎧⎪=⎨⎪⎩或【思路点拨】函数解析式含绝对值，一般原则去绝对值符号，画出分段函数图象，图象问题的选择题也可利用函数性质，例如单调性，对称性等解答.【答案】D7.求函数2sin1y x=+的定义域.【知识点】函数图象的应用【数学思想】数形结合 【解题过程】要使2sin 1y x =+有意义，则必须满足2sin 10x +≥，结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：【思路点拨】利用正弦函数图象或三角函数线法.【答案】722,66x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭8.方程2co 0s x x -=的实数解的个数是__________.【知识点】余弦函数图象应用【数学思想】数形结合思想【解题过程】作函数2cos y x y x ==与的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.【思路点拨】作函数2cos y x y x ==与的图象.【答案】2自助餐1.以下对于正弦函数sin y x =的图象描述不正确的是( )A.在2,22[]x k k k πππ∈∈Z ＋，上的图象形状相同，只是位置不同B.关于x 轴对称C.介于直线11y y ＝和＝-之间D.与y 轴仅有一个交点【知识点】正弦函数图象的应用.【解题过程】逐一判断.【思路点拨】利用正弦函数图象【答案】B2.用“五点法”作函数cos 2y x =的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是()A.322ππππ0, , , ，2B.3424ππππ0, , , ， C.0234ππππ，， ， ， D.26323ππππ0,, , , 【知识点】“五点法”作余弦函数图象.【数学思想】转化与化归思想 【解题过程】令320222x ππππ＝， ， , 和，得30,424x ππππ＝， ， , 【思路点拨】利用作余弦函数图象的关键五点.【答案】B3.点,2M m π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数sin y x =的图象上，则m 等于( )A.0B.1C.－1 D .2【知识点】正弦函数的图象.【数学思想】【解题过程】由题意sin 1 1.2m m m π=∴-∴-，＝，＝-【思路点拨】点代入函数解析式.【答案】C4.在[]0,2π内，不等式3sin 2x <-的解集是( )A.(0,)πB. 4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 45,33πππ⎛⎫⎪⎝⎭ D. 5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭【知识点】正弦函数的图象应用.【数学思想】数形结合思想【解题过程】画出[]sin 0,2y x x π=∈，的草图如下：【思路点拨】画出草图解不等式.【答案】C。
正弦函数、余弦函数的图象和性质教案
一、教学目标1. 让学生了解正弦函数和余弦函数的图象特征，掌握它们的基本性质。
2. 培养学生运用数形结合的方法分析函数图象和性质的能力。
3. 引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二、教学内容1. 正弦函数的图象和性质2. 余弦函数的图象和性质3. 正弦函数和余弦函数的图象和性质的综合应用三、教学重点与难点1. 重点：正弦函数和余弦函数的图象特征，基本性质。
2. 难点：正弦函数和余弦函数的图象和性质的综合应用。
四、教学方法1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示函数图象和性质。
2. 运用数形结合的方法，引导学生分析函数图象和性质。
3. 案例分析法，让学生在实际问题中体验函数图象和性质的应用。
4. 小组讨论法，培养学生的合作能力和口头表达能力。
五、教学过程1. 导入新课：回顾正弦函数和余弦函数的定义，引导学生思考它们的图象和性质。
2. 讲解与演示：利用多媒体课件，展示正弦函数和余弦函数的图象，讲解图象特征和基本性质。
3. 案例分析：选取实际问题，让学生运用所学知识分析问题，解决问题。
4. 小组讨论：分组讨论正弦函数和余弦函数图象和性质的综合应用，分享讨论成果。
5. 总结与评价：总结本节课所学内容，对学生的学习情况进行评价，布置课后作业。
六、教学策略1. 运用对比分析法，让学生区分正弦函数和余弦函数的图象和性质。
2. 利用数学软件或教具，动态展示正弦函数和余弦函数的图象变化，增强学生直观感受。
3. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
4. 创设情境，引导学生发现生活中的正弦函数和余弦函数模型，提高学生的数学素养。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习态度和兴趣。
2. 练习完成情况：检查学生课后作业和实践任务的完成质量，评价学生的学习效果。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作能力、口头表达能力等。
4. 自我评价：鼓励学生进行自我评价，反思学习过程中的优点和不足。
正弦函数余弦函数的图象与性质教案
正弦函数与余弦函数的图象与性质教案教学目标：1. 理解正弦函数和余弦函数的定义。
2. 学会绘制正弦函数和余弦函数的图象。
3. 掌握正弦函数和余弦函数的性质。
教学内容：第一章：正弦函数的定义与图象1.1 正弦函数的定义1.2 正弦函数的图象1.3 绘制正弦函数的图象第二章：余弦函数的定义与图象2.1 余弦函数的定义2.2 余弦函数的图象2.3 绘制余弦函数的图象第三章：正弦函数的性质3.1 周期性3.2 奇偶性3.3 最大值和最小值3.4 相位变换第四章：余弦函数的性质4.1 周期性4.2 奇偶性4.3 最大值和最小值4.4 相位变换第五章：正弦函数和余弦函数的应用5.1 振动现象的应用5.2 波动现象的应用5.3 温度变化的应用教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解正弦函数和余弦函数的定义和性质。
2. 采用图象绘制法，让学生通过绘制图象来加深对函数的理解。
3. 采用实例分析法，通过实际应用来让学生掌握正弦函数和余弦函数的图象与性质。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生绘制函数图象的准确性。
3. 学生对正弦函数和余弦函数性质的理解程度。
4. 学生解决实际问题的能力。
教学资源：1. 教学PPT。
2. 函数图象绘制软件。
3. 实际应用案例资料。
教学步骤：第一章：正弦函数的定义与图象1.1 讲解正弦函数的定义，引导学生理解正弦函数的概念。
1.2 利用函数图象绘制软件，演示正弦函数的图象。
1.3 学生动手绘制正弦函数的图象，加深对函数的理解。
第二章：余弦函数的定义与图象2.1 讲解余弦函数的定义，引导学生理解余弦函数的概念。
2.2 利用函数图象绘制软件，演示余弦函数的图象。
2.3 学生动手绘制余弦函数的图象，加深对函数的理解。
第三章：正弦函数的性质3.1 讲解正弦函数的周期性，引导学生理解周期性的概念。
3.2 讲解正弦函数的奇偶性，引导学生理解奇偶性的概念。
3.3 讲解正弦函数的最大值和最小值，引导学生理解最大值和最小值的概念。
(公开课导学案)正弦函数余弦函数的图象学教案
公开课导学案——正弦函数余弦函数的图像学教案第一章：正弦函数图像的基本特征1.1 学习目标：了解正弦函数图像的形状和基本特点。
1.2 教学内容：(1) 引导学生观察正弦函数图像的波形，理解其周期性和振幅的概念。
(2) 分析正弦函数图像在各个象限的符号和变化规律。
1.3 课堂活动：(1) 让学生自主绘制正弦函数图像，观察其特点。
(2) 分组讨论正弦函数图像在各个象限的变化规律。
1.4 练习题目：(1) 描述正弦函数图像的一个周期内的变化情况。
(2) 判断给定的点在正弦函数图像的哪个象限。
第二章：余弦函数图像的基本特征2.1 学习目标：了解余弦函数图像的形状和基本特点。
2.2 教学内容：(1) 引导学生观察余弦函数图像的波形，理解其周期性和相位的概念。
(2) 分析余弦函数图像在各个象限的符号和变化规律。
2.3 课堂活动：(1) 让学生自主绘制余弦函数图像，观察其特点。
(2) 分组讨论余弦函数图像在各个象限的变化规律。
2.4 练习题目：(1) 描述余弦函数图像的一个周期内的变化情况。
(2) 判断给定的点在余弦函数图像的哪个象限。
第三章：正弦函数和余弦函数图像的比较3.1 学习目标：掌握正弦函数和余弦函数图像的异同点。
3.2 教学内容：(1) 分析正弦函数和余弦函数图像的形状和周期的关系。
(2) 比较正弦函数和余弦函数图像在各个象限的变化规律。
3.3 课堂活动：(1) 让学生对比绘制正弦函数和余弦函数图像，观察其异同点。
(2) 分组讨论正弦函数和余弦函数图像的比较。
3.4 练习题目：(1) 说明正弦函数和余弦函数图像的异同点。
(2) 绘制一个给定角度的正弦函数和余弦函数图像，并比较它们的特点。
第四章：正弦函数余弦函数图像的应用4.1 学习目标：学会利用正弦函数和余弦函数图像解决实际问题。
4.2 教学内容：(1) 引导学生利用正弦函数和余弦函数图像解决物理、工程等领域的问题。
(2) 分析正弦函数和余弦函数图像在实际问题中的应用。
【教案】正弦函数、余弦函数的图像教学设计(第1课时)必修第一册
课题：5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（第一课时）一、教学内容：正弦函数、余弦函数的图像二、教学目标：（一）、了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．达成上述目标的标志是：学生能先根据正弦函数的定义绘制一个点，再绘制正弦函数在一个周期［0,2π］内的图象，最后通过平移得到正弦函数的图象；学生能用图象变换的方法，由正弦函数的图象绘制余弦函数的图象，并能就一个具体的点清晰地解释图象的变换方式及原因；能说出正弦函数、余弦函数图象的五个特殊点，并能用五点法绘制正弦函数的图象.（二）、正、余弦函数图象的区别与联系达成上述目标的标志是：先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析.得到只要将函数y=sinx图象上的点向左平移π2个单位长度，即可得到函数y=cosx的图象.（三）、正、余弦函数图象的简单应用．达成上述目标的标志是：会用“五点法”作出与正、余弦函数相关的函数简图．三、教学重点及难点（一）重点：正弦函数、余弦函数的图象．（二）难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法；探究正、余弦函数图象间的联系．四、教学过程设计问题1:三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题？怎样研究？追问：（1）研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的？（2）绘制一个新函数图象的基本方法是什么？（3）根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？师生活动：教师提出问题，学生回忆函数研究的路线图，师生共同交流、规划，完善方案. 预设的答案如下.研究的线路图：函数的定义——函数的图象——函数的性质.绘制一个新函数图象的基本方法是描点法.对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用公式一表示，据此，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程，比如可以先画函数y=sinx，x∈［0,2π］的图象，再画正弦函数y=sinx，x∈R的图象．设计意图：规划研究方案，构建本单元的研究路径，以便从整体上掌握整个内容的学习进程，形成整体观念.问题2:在［0,2π］上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0并画出点T（x0，sinx0）？师生活动:方法1：一起作图探讨，如图5.4.1，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A（１，0）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0=sinx0．由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（x0，sinx0）.追问：如何科学地将单位圆上每一点对应的图像画出？师生活动:若把x轴上从0到２π这一段分成12等份，使x0的值分别为0,π6, π3, π2，…，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T（x0，sinx0）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图5.4.2）．方法2：利用信息技术，可使x0在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T（x0，sinx0）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数y=sinx，x∈［0,2π］的图象.设计意图：通过正弦函数的定义，得到点的坐标，通过分析点的坐标的几何意义，准确描点.进一步熟悉，描点连线成图，即点动成线的作图过程.问题3:根据函数y=sinx，x∈［0,2π］的图象，你能想象函数y=sinx，x∈R 的图象吗？师生活动:由诱导公式一可知，函数y=sinx，x∈［２kπ，２（k＋１）π ］，k∈Z且k≠０的图象与y=sinx，x∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数y =sinx ， x ∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y =sinx ， x ∈R 的图象（图5.4.4）．知识梳理：正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve ），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．追问：确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？师生活动:观察图5.4.3，在函数y =sinx ， x ∈［0,2π］的图象上，以下五个点：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，−1)，（2π，0） 在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数数y =sinx ， x ∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．知识梳理：在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种作图方法近似地称为“五点（画图）法”，今后作简图是非常实用的．设计意图：观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便画法.问题4:由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．你能利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象吗？师生活动:学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系 研究的依据.教师引导学生通过比较进行选择.从数的角度看，对于函数y=cosx，由诱导公式cosx=sin(x+π2)得，y=cosx=sin(x+π2),x∈R．追问1：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？师生活动:函数y=sin(x+π2),x∈R 的图象可以通过正弦函数y=sinx，x∈R 的图象向左平移π2个单位长度而得到．将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4.5 所示．知识梳理：余弦函数y=cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．追问2：你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？师生活动：这是教学的难点，教师要首先进行示范.教师可以先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析.得到图象之后还可以再利用图象进行验证.设(x0,y0）是函数y=cosx图象上任意一点，则有y0=cosx0=sin(x0+π2).令x0+π2=t0，则y0=sinxt0，即在函数y=sinx图象上有对应点（t0，y0）.比较两个点：（x0，y0）与（t0，y0）.因为x0+π2 =t0即x0=t0-π2.所以点（x 0，y 0）可以看做是点（t 0，y 0）向左平移π2个单位得到的，只要将函数y =sinx 图象上的点向左平移π2个单位长度，即可得到函数y =cosx 的图象，如图5.4.5 所示．知识梳理：余弦函数y =cosx ，x ∈R 的图象叫做余弦曲线（cosinecurve ）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两 个函数图象之间的联系性的认识.问题5:类似于用“五点法”画正弦函数的图象，你能找出余弦函数在区间［－π，π］上相应的五个关键点吗？可以画出y =cosx ，x ∈［－π，π］的简图吗?师生活动:画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．用光滑曲线顺次连接这五个点，得到余弦曲线的简图．设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法”． 问题6:例题分析：如何用“五点法”作出下列函数的简图？(1)y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]；(2)y ＝-cos x ，x ∈[0,2π].师生活动:老师点拨：在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可．预设学生：在直角坐标系中描出五点，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象．追问：你能利用函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cos x，x∈[0,2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-cos x，x∈[0,2π] 的图象？师生活动：学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答.设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法"画图，掌握画图的基本技能.通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫.五、课堂小结1．正弦函数和余弦函数的图象．正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线．2．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数最高点、最低点与x轴的交点．3．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点．六、目标检测设计（一）课前预习整理1、正弦曲线和余弦曲线1．可以利用单位圆中的______线作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．2．y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向____、____平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．3．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象和余弦函数y＝cos x，x∈R的图象分别叫做__________和__________．整理2、正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图 “五点法”作图的一般步骤是______⇒______⇒______. 设计意图:预习知识，引发思考．（二）课堂检测1．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π32．用“五点法”画出y ＝cos （3π2－x ），x ∈[0,2π]的简图．设计意图:强化知识目标3 课后作业：（1）教科书第200页练习题.（2）习题5.4/1.设计意图：巩固知识，提升动手操作能力.七、教学反思。
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《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计一、学情分析在初中，学生已经学习过代数描点作图法——列表，描点、连线，对于函数y ＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌．因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础．在利用正弦线动手作出函数y＝sinx的图象时，一般学生对作图的思路和步骤不会感到困难，但是部分动手能力欠佳的学生来说，可能会在平移、描点、连线时，出现描点不精确，连线不平滑，致使画出的图象与正弦函数图象误差较大．为了解决这部分学生的困难，教师应设计精确度较高的坐标纸，便于学生作图．在《数学（必修①）》中学生已经学习过图象变换，可能因为时间太长，部分学生遗忘，故上课前应指导学生复习这部分知识；另外，在前一节刚刚学习过诱导公式，为了有利于这节课的顺利进行，上课前也应指导学生复习一下诱导公式．二、学习内容分析本节课是在学生已经学习了任意三角函数的定义，三角函数线，三角函数的诱导公式等知识基础上进行学习的，主要是对正弦函数和余弦函数的图象进行系统的研究．正弦、余弦函数是继前面《数学（必修①）》学过的指数函数、对数函数、幂函数的函数内容，也是后面学习三角函数的性质的重要基础依据，及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础．所以说本节课的内容对知识的掌握起到了承上启下的作用．由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此，利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法．当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．在利用三角函数线和“五点法”作图的基础上，进一步复习图象变换的有关知识，利用图象变换的方法作三角函数图象，温故知新，让学生对前后知识的联系和应用融会贯通；从多个角度认识三角函数的图象，开拓思维，培养学生的创新能力．三、教学目标（一）知识与能力1．会用正弦线画正弦函数的图象，培养学生观察能力；2．会用平移法作余弦函数的图象，提高学生分析问题能力；3．掌握“五点法”作正、余弦函数图象的方法，提高学生解决问题的能力．（二）过程与方法1．让学生动手作正弦线——平移——描点——连线的实际操作，绘出正弦函数图象，体会认识未知函数过程；通过“图象变换”和“五点法”的作图方法，让学生学会善于寻找、观察数学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想；2．通过《几何画板》软件，让学生掌握利用现代信息技术研究函数的方法；3．课堂过程始终贯穿着由简单到复杂、由局部到整体的思想方法；4．培养学生从特殊到一般与一般到特殊的辩证思想方法．（三）情感态度与价值观1．通过作正弦函数和余弦函数图象（尤其是图象的和谐与优美），培养学生对数学知识及学习数学的兴趣；2．培养学生动手能力与认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；3．培养学生灵活的思维方法和勇于探索、勇于创新的精神．四、重难点分析教学重点：正、余弦函数图象的作法、五点法作图教学难点：利用正弦线作正弦函数图象、正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换规律重难点突破：本节课从先前的函数知识引入如何画函数图象的有关方法，画函数图象的时候，由如何精确的描一个点引入，从而找出画整个正弦函数的图象的方法，培养学生由点到面的能力．整个教学过程遵循由简单到复杂、由局部到整体的原则，让同学能够逐步掌握如何简单的画出正弦函数的图象的方法“五点（作图）法”及如何得到余弦函数的图象．在教学过程中充分体现学生的主体作用，引导学生如何画函数的图象，为什么这样画，使学生体会到波形曲线的流畅美，激发学生学习的兴趣．五、教学流程图六、教学过程1.复习回顾①图象变换：②三角函数线：如图，如何作出角α的正弦线③诱导公式：sin(2)________απ+=，cos(2)________απ+=sin()________2πα+=，s()________2co πα+=．设计意图：以上基础知识的复习为下面的新课教学做好准备．师生活动：教师在上课前做好学案，学生在上课前完成上面的复习内容，课上用２～３分钟的时间，学生说出答案，教师评价．２. 由简谐振动的图象获得正、余弦函数图象的直观印象设计意图：通过课件演示，让学生对正弦函数或余弦函数图象有一个直观印象师生活动：教师——正弦函数，余弦函数可以看成是以角的弧度数为自变量，分别以终边与单位圆的交点的纵坐标y、横坐标x为函数值的函数，它们的定义域是R．对函数的研究我们常常借助其图象，那么正弦函数、余弦函数的图象是怎样的呢?我们知道，质点作简谐运动的图象是正弦曲线或余弦曲线，下面，我们看“简谐振动”的动画．感受正弦函数的图象．学生——认真观察简谐运动的图象．3. y=sinx,x∈[0,2π]的图象（1）提问：如何画一般函数的图象?有哪些方法?设计意图：复习前知，为新知作铺垫．师生活动：教师——展示问题，启发学生思考学生——画一般函数的图象的步骤是：列表、描点、连线，作图方法有：描点法、图像变换法．(2)如何画出函数y=sinx ,x∈[0,2π]的图象？设计意图：从学生熟悉的知识出发，培养学生独立观察能力和分析能力，自然找出画正弦函数的图象的方法．培养学生的动手操作能力，形成对正弦函数图象感知．预案一:代数描点法第一步列表；第二步，根据表中每组x ，y 的取值逐一在直角坐标系下找到相应的点；第三步，用平滑曲线将所描各点连接．此题函数定义域为[0，2π]，所以表中自变量x 可选择此范围内的特殊角，依次为0，6π，4π，3π，2π，23π，34π，56π，π，76π，54π，43π，32π，53π，74π，116π，2π，然后求出每个特殊角的正弦值即可完成列表：(在完成此表时，当x∈[π，2π]时，也可使用诱导公式 sin(π＋α)=－sin α来计算．)根据此表在直角坐标系下描出相应的点．再用平滑曲线连接．如下图．在这里应该提醒学生注意以下两点：①在建立直角坐标系时，x 轴的刻度应以π为单位长取值，而y 轴单位长1的选π0１②22在这里取近似值0.730.8.师生活动：教师——展示问题，启发学生思考．学生——列表、描点、连线．教师——怎样得到函数图象上点的两个坐标数据？学生——通过计算器得到，特殊角的函数值还可直接计算得到．教师——很好，但是由于对一般角的正弦值都是近似值，作的图不够精确，你如何解决这个问题？(留时间让学生思考)预案二:几何描点法师生活动：学生——利用单位圆中的正弦线表示函数值．教师——很好，如何利用正弦线得到y=sinx的图象上的点(x,sin x)？(留时间让学生思考)学生——从单位圆与x轴交点A开始，将单位圆分成12等份,作出各个角的正弦线，然后通过平移可以得到12个点，再用平滑曲线把这些点连起来即可．教师——很好，下面利用学案上的坐标纸作出函数y=sinx ,x∈[0,2π]的图象学生——动手作图教师——巡视，个别辅导，发现问题，及时引导、点拨，并实物投影出学生做的较好图象，并予以表扬．最后课件演示作图过程．4．在做出正弦函数y=sinx ,x∈[0，2π]的图像时，应抓住哪些关键点？设计意图：从对图像的整体观察入手，引出“五点法”．师生活动：教师——正弦函数的图象和余弦函数的图象我们都有了直观的印象了，在进一步的学习和解决问题中，我们往往只是要它们的大致图象，也就是不必这么细致地、复杂地去画出，想着通过图象上的几个关键点而勾勒出函数的图象．那么，请你“观察正弦函数在[0，2π]内的图象，思考在作出正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点?”学生——观察，思考．教师——通过提问、说理，大家论证认可，将五个关键点明确出来．并演示“五点法”画y=sinx ,x∈[0，2π]的简图５．如何做出函数y=sinx ,x∈R的图象？设计意图：引导学生利用诱导公式(一)，只要将函数 y=sinx ,x∈[0，2π]的图像左、右平移（每次2π个单位长度）就可以得到函数y=sinx ,x∈R的图像．师生活动：教师——提示学生从诱导公式入手，进行思考．学生——思考问题，总结规律，动手画图．学生——因为终边相同的角有相同的三角函数值，三角函数值有周而复始的变化规律．所以函数y=sinx在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0的图象与y=sinx ,x∈[0,2π]函数的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每次2π个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx ,x∈R的图象，即正弦曲线．教师——几何画板演示利用正弦线得到y=sinx,x∈R的图象６．y=cosx,x∈[0,2π]的图象问题：如何作出y=cosx,x∈[0,2π]的图象？设计意图：使学生从函数解析式之间的关系思考函数图像之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法，让学生感受有了一个函数图象为基础时，可以通过图象变换得到另一函数的图象，降低作图的难度．预案一：代数描点法：列表——描点——连线预案二：几何描点法：利用余弦线教师——很好，我们可以从正弦函数图象的作法中得到启示，用代数描点法或几何描点法同样可以做出余弦函数图象，但是可以看出，利用描点法画函数图象是比较麻烦的，如果再让你用描点法去画余弦函数的图象，你可能会不耐烦，那么，你能找到一种不需要描点而画出余弦函数的图象的方法来吗?充分利用已有的东西，如已作出的正弦函数图象．学生——思考、讨论、交流预案三：图象变换法师生活动：学生——思考．如果学生有困难，教师适时提出探究性问题“你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗?”师生——教师引导学生哪组诱导公式可以把余弦转化为正弦?哪组诱导公式更有利于作出余弦函数的图象呢?通过探讨，总结余弦函数的图象的平移画法，作出余弦函数的图象，并指出正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．学生——利用诱导公式，回答两个函数之间的关系，再用坐标变换做出余弦函数图象．７．类似于正弦函数图像的五个关键点，你能找出余弦函数图像的五个关键点吗？请将它们的坐标写出来，然后做出函数y=cosx ,x∈[0,2π]的简图．设计意图：进一步让学生类比探究余弦函数图象的五个关键点，培养学生类比思维的习惯：类比正弦函数，学会“五点法”作余弦函数的简图．师生活动：教师——类比正弦函数图象的五个关键点，你能找出余弦函数图象的五个关键点吗?将它们的坐标填人下表，然后作出y=cosx ,x∈[0,2π]的简图．[0,2π]上的图像．教师——巡视，个别辅导，并实物投影出学生填的表格与画的图象，给出总结性的评价．最后课件演示作图过程．８．例题讲解：.画出下列函数的简图：(1) y =1＋sinx ，x∈[0,2π](2) y = －cosx ，x∈[0,2π]设计意图：让学生学会“五点法”作图与图象变换作图．师生活动：教师——分析、板书例l(1)．作图步骤：列表(五点法)、描点、连线、延拓．学生——独立完成例1(2)．教师——进一步提出思考问题：“你能否从函数图象变换的角度出发，利用函数y =sinx ，x∈[0,2π]的图象来得到y =1＋sinx ，x∈[0,2π] 的图象?同样的，能否从函数y =cosx ，x∈[0,2π] 图象得到函数y =－cosx ，x∈[0,2π] 的图象?”训练学生除了掌握利用描点法作图的方法外，还能掌握利用图象变换的方法来作图．学生——观察、分析、探究问题．教师——让学生回答问题，给出利用图象变换作图的方法，并加以解释．把y =sinx ，x∈[0,2π]的图象向上平移1个单位可以得到y =1＋sinx ，x∈[0,2π]的图象．作y =cosx ，x∈[0,2π]的图象关于x轴对称的图象即得y =－cosx ，x∈[0,2π]的图象．9.课堂练习：课本P34练习第1—2题学生——独立完成P34练习第1—2题．师生——巡视，个别辅导，并让学生回答，教师对学生的答案作出评价，最后给出正确答案．10．尝试小结①如何作出正弦曲线、余弦曲线?②如何用“五点法”作正弦函数，余弦函数的简图．③作函数图象有哪些基本方法?设计意图：优化学生的知识结构，使之系统化、条理化，加强知识间的内在联系的理解和认识．师生活动：师生——共同归纳、总结．利用正弦线(描点法)作出了y＝sinx在x∈[0,2π]上的图象，然后利用左、右平移作出y＝sinx(k∈R)的图象；利用平移变换由正弦曲线作出余弦曲线，“五点法”是作正弦曲线、余弦曲线的基本方法，作函数图象基本方法有描点法和图象变换法．11．作业设计作业：教科书P46习题1．4A组第1题．七、教学效果测评一、选择题★1．以下对描述不正确的是( )A．在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间C．关于x轴对称D．与y轴仅有一个交点解析：正弦函数y＝sinx的图象关于原点对称，而不关于x轴对称，故C错误答案：C★2．对于余弦函数y=cosx的图象，有以下描述：①向左向右无限伸展；②与y＝sinx图象形状完全一样，只是位置不同；③与x轴有无数个交点；④关于y轴对称．其中正确的描述有( )A．1项B．2项C．3项D．4项解析：因为y=cosx的定义域是R，所以y=cosx的图象向左向右无限伸展，故Aπ个单位得到，故B正确；正确；因为y=cosx的图象可以由y＝sinx图象向左平移2π,0)，有无数个，故C正确；由余弦曲线因为y=cosx的图象与x轴交点为(kπ＋2知y=cosx的图象关于y轴对称，故D正确．答案：Ｄ★3．从函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象来看，对应sinx＝1的x有( )2A．1个值B．2个值C．3个值D．4个值解析：由图可知，y＝sinx，x∈[0，2π]的图象与y=12的图象有两个交点，故sinx ＝12的x 有2个值 答案：B★4．函数y ＝1－sinx ，x ∈[0，2π]的简图是( )解析：列表知y ＝1(3π/2,２)，(2π,１)．答案：D 二、填空题CABD★5．作正弦函数y ＝sinx 在x ∈[0，2π]上的图象时，把单位圆中角x 的正弦线平移，使得正弦线的起点与x 轴上的点 重合．解析：要得到点（x ，sinx ），只需把单位圆中角x 的正弦线平移，使正弦线的起点与x轴上的点x 重合即可． 答案：x★６．余弦函数y ＝cosx 的图象，可由正弦函数y ＝sinx 的图象 而得到．解析：∵sin （x+2π）=cosx ，∴y= sinx 的图象向左平移2π个单位长度可得到y= cosx 的图象．答案：向左平移2π个单位长度． ★７．函数y ＝－cosx 的图象与y ＝cosx 的图象的关系是 ．解析：y ＝－cosx 的图象与y ＝cosx 的图象关于x 轴对称． 答案：关于x 轴对称 三、解答题★★８．利用正弦曲线或余弦曲线，写出满足下列条件的x 的区间：(1)sinx>0，x ∈[0，2π]； (2)cosx<0，x ∈[0，2π]． 解：(1) y ＝由图知满足sinx>0，x ∈[0，2π]的x 的范围为（0，π） (2) y ＝cosx 的图象如下：由图知满足cosx<0，x ∈[0，2π]的x 的范围为（2π，32π） ★★９．画出下列函数图象的简图：(1)y=12sinx ，x ∈[0，2π](2)y ＝1－cosx ，x ∈[0，2π]． 解：(1)按五个关键点列表：描点并将它们用平滑的曲线连接起来，如图：(2)描点并将它们用平滑的曲线连接起来，如图：课后反思：1、数学总是要在游戏中学习的，本课开场白我通过简易的物理实验吸引学生的眼球，并采用计算机绘图来增加学生的新鲜感，充分调动起学生的学习兴趣．在这节课里，我先后采用让学生上台板演及用投影仪展示学生的典型错误等丰富多彩的手段，使学生积极而充分地参与到课堂活动中来，符合新课改的理念．2、在处理教材上，我先让学生在函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象上直接找和读关键点的坐标，从而直观感知正弦曲线，再结合特殊角的三角函数值、诱导公式及简单的图象变换等旧知，让学生来探索余弦曲线及其作图方法．这种由特殊到一般，由结论到实例的直线型思维模式，一反数学的严格推理论证模式，由浅入深，使我们的学生在思维上易于理解与接受．3、板书设计工整，善于运用多媒体辅助教学．这节课存在以下几个方面的不足，需要我认真反思，并在今后不断努力改进：1、在重点知识的强调上稍快，给学生的思考和发挥的空间不足．比如开头讲函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象时，给学生寻找关键点的时间不够长；应当多让他们去领悟“五点作图法”的思维过程，而且可以用小组讨论的方法调动他们去想问题，这样才能使他们对知识的理解更为深刻．2、时间安排上不够精当．在“师生探索”中给学生作正弦曲线的时间过长，而“学生活动”中给学生作余弦曲线的时间又相对显得短了点．对于余弦函数图象的画法，基础好的学生可以直接用“五点法”画出y=cosx，x∈[0，2π]的图象，再利用cosx=cox(x－2π)和cosx=cos(－x)的性质得到出y=cosx，x∈R的图象．对于基础较差的学生最好是从基本的列表描点开始慢慢来，不要急于求成．3、教学语言还需要不断锤炼．数学这一门严谨的学科决定了老师的语言必须精确到位，不能含糊其辞，因为它对学生的逻辑思维起着潜移默化的影响．4、普通话不太标准，要再练教学基本功．《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计点评点评教师：韩继海从杨老师的课堂教学设计看，有几个创新点值得我们学习：（1）教学设计对于正弦曲线、余弦曲线首先从简谐振动实验入手形成直观印象，然后探究画法，列表，描点、连线一一代数描点作图法，对于函数y=sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y=sinx的图象的真实面貌．因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图法提供了基础．这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律．坐标纸的设计避免了个别学生作图不精确，同时也提高了课堂教学效率．（2）本设计对于正弦函数的图象的画法，先作y＝sinx在x∈[0，2π]内的图象，再得到正弦曲线，这样的设计由局部到整体，由点到面，符合探究问题的一般方法．（3）对于余弦曲线的画法，本设计从正弦与余弦的关系入手，主要运用了图象变换的方法，体现了由未知向已知转化的方法，化陌生为熟悉的方法，体现了转化与化归的数学思想．（4）本设计在画正弦曲线、余弦曲线后，又运用从一般到特殊，从整体到局部的方法，根据曲线的特征得到画正弦曲线、余弦曲线简图的“五点法”．这样设计抓住了弦曲线、余弦曲线的关键和本质．（5）通过展示课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程．使原木枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣．（6）在“五点法”后让学生理解、记忆正余弦函数在的图象，并对学生作图投影到实物投影仪进行现场点评，有利于提高课堂效率，达到了杨老师课前目标：教给学生“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现、重体验、促发展”的学习方法．（7）本节课采用启发、引导和学生探究、实践、体验相结合的教学方法，让学生既动脑又动手，充分让学生参与教学活动．体现“教师是主导，学生是主体”的教学原则．使学生不但“学会”而且“会学”，并逐步感受到数学的美，产生成就感，从而极大地提高对数学的学习兴趣．也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要．几个值得探讨的地方：（1）这节课讲述了代数描点法，几何描点法法，它们都是通过描点得到函数图象．但又有所区别，这点应让学生给予注意．在解决数学问题时，既要有代数思想又要有几何思想，这种意识应在教学过程中加以培养．（2）新课程中对学生课堂中要体现“自主探究、合作交流”的教学思想，要在平时落到实处，在由正弦函数的图象得到余弦函数的图象的探究过程中，设计了让学生“自主探究、合作交流”的教学思路，但学生对“合作—交流”的热情不够，不太主动，在调动学生积极参与课堂活动方面做得不够好．所以平时的课堂教学要多让学生参与到交流中来，否则在会开课中就只是很肤浅的“自主探究、合作交流”．。