微分形式及其应用

有没有更好的表达方式呢？有利用外微分（过一会再解释）
好奇怪的运算规则：任何两个函数微分的外积，互换次序得负；任何相同表达式微分的外积为0。 ，
这让我们想起了面积的定义。对了！外积的意义就是面积。
我们重新理解一下（见图）
如果将 作为两个变量，则组成空间。 作为 的函数，当 改变时， 也随之改变。当函数 互不关联（不互为函数时），由于各自独立改变，当 遍历一个非常小的方形区域 时， 也形成一个小面积。但是当函数 互为关联（互为函数时），由于各自改变不独立，当 遍历一个非常小的方形区域 时， 仅在一个小线段上（或者在一个点，总之在低维的空间上）运动。由于 就代表面积元，因此为0.
5．计算偏导数问题
在热力学中经常需要计算各种偏导数问题。采用微分形式可以方便地计算。
热力学中只有两个自由参数。
利用 等关系定义变量间关系。将其外微分，得到
那么热力学可以方便地给出热力学公式，比如
，两边除以 可以得到
可以得到
对任意一个等式，都可以改变自变量
如
外微分后 除以 可以得到
三对换关系
就是
求导换自变量
比如
方便得很
6．正交曲线坐标系的求导公式
形式地写作
，
可以特解 ，其齐次方程 的解
满足 的解为
根据微分关系记忆很容易
,系数反对称化是 的要求
例如球坐标系
根据这个公式可以写出在球面坐标系下的各种梯度、旋度、散度等。方法是方向矢量的偏微分直接计算。
记住这个公式，需要借助立体图。图中画出了点 及经过其点曲面坐标的三个单位矢量； 改变形行成的大圆弧， 改变形成的小圆， 改变形成通过坐标原点的射线。 改变不会影响这些方向。每个单位矢量在这些变化中，形成的图形：大圆，小圆，上椎体，下椎体。
，这就定义了包络几何。
设原方程代表N维空间中m维的曲面簇，x的维数是N，f的维数是（N-m），其包络为N维空间中N+1-2（N-m）=2m+1-N维的曲面，当N>=2m+1时，则不存在包络几何。如二维空间中的曲线簇，其包络是曲线；三维空间中的曲面线簇，其包络是一个曲面；三维空间中的曲线簇，其包络可能只是一个点。
（1）当 改变时， 是大圆的径向，变化量为大圆半径为1时对应的弧长，大圆切线方向 ；当 改变时， 是下椎体母线方向，改变量为母线长度为1时对应椎体边弧长，方向小圆切线方向 ；
（2）当 改变时， 是大圆切线方向，改变向心方向 ；当 改变时， 是上椎体母线方向，改变量为母线为1时的体边弧长，方向小圆切线方向 ；
（3）当 改变时， 平行移动；当 改变时， 是小圆切线，按照小圆转动，改变向心方向 ；
在柱面坐标系中，完全通过直观可以给出
7．包络几何（包络线，包络面等）理论
含有参数的方程组代表空间几何曲线或几何面簇，当参数改变时，几何曲线或几何面会随之改变。这些几何簇的包络就是他们共切的曲线。
定义了一簇低维面，如果将参数 改变后仍满足 ，于是可以得到包络几何满足的方程
3个函数相关
其他以此类推。
4．条件极值
即在 情况下计算 的极值。通常用Lagrange乘子法，这里可以用微分形式表达式。
在极值点附近区域映射为线。
比如在约束 ，情况下计算 的极值点。
因为
所以
得到 ，与Lagrange乘子法计算的一致，但是方程简单。
多个约束以此类推，
如两个约束极值问题,在 情况下计算 的极值,就可以按照下面方程给。
如下是计算线簇y=a sin(ax)及其包络线。
如果去掉积分号
我们则称wenku.baidu.com为微分形式（只有形式，等待内容——曲线或1维的映射）。给定一个映射，如 ，我们就能计算这个微分
我们称映射将二维空间上的微分形式 ，拉回到1维空间上 。
微分形式是与坐标无关的。也就是说，一个积分形式，不论如何改变坐标系，只要定义的曲线不变，其积分值是不变的。同样，一个微分形式，不论如何改变坐标系，只要定义的曲线不变，其微分是不变的。这个性质，满足了物理学描述客观性的愿望，因此物理规律（物理方程）用微分形式表达非常简单漂亮。
可见，在高维空间中，微分形式非常有用啊！
2微分形式
我们看在二维空间上的一个线积分
是 定义的一段曲线（在这里是半圆弧线）。可以很容易积分出来
如果换一条曲线，会得到另一个值。比如，如果 是 定义的一段抛物线，可得积分
如果不定义曲线 ，这个积分则不能得到具体的数值。
因此，可以认为这个积分
是曲线 的函数，也就是说，给定一条曲线，它就能给出一个值。我们称它为积分形式。（只有形式，等待内容——曲线）
这样我们类推地定义外积：
我们知道一个微分形式（1-形式） 描述了一个线形式。可以推理，两个1-微分形式 ， 可以构造出面形式（2-微分形式）。
如果两个1-微分形式外积为0，
这两个微分形式相关，即存在某个函数 使得
4外微分
给定一个1-微分形式能否得到一个2-微分形式？
可以通过外微分。
我们定义
一个微分形式 的外微分 ，与这个微分形式的闭合回路积分有关。
3微分形式的外积
我们看面积分 ，给定一个面，就可以计算这个积分。但是这个表达式有一个缺憾，就是对于复杂表达，如 定义模糊。
我们看变换变量 时，这个表达式变为
，
其中 是变换的Jacobi行列式。
因此我们将其表达为 ，
规定对于任何表达式 ，都要满足 ，
则变量改变就可以名正言顺地写为
刚好满足变量变换的关系。
对于无穷小面元 ，有其边界组成的闭合回路
具体地
5 微分形式的应用
1．函数是常函数
2．函数极值点
表明自变量改变时，函数值不变。
比如 ， ，得到 。
如果将函数看成映射，在这一点的映射出现奇异，即这一点附近无穷小的邻域映射为一点。
3．两个函数相关（这在引子中给出了）
如果将函数看成映射，将自变量整个空间映射成一条线或点（低于2维的空间）。
微分形式及其应用
1引子
两个函数，如何检验它们是否互为函数呢？
比如 ， ，它们之间就有关系 ，这很明显。但是对于复杂的函数就未必一眼看得出。
另一个老实的办法是，计算它们的雅克比行列式
，因此它们相关，互为函数关系。
对于多元的就要麻烦些，要计算多个雅克比。比如 ，要想判定他们是否互为函数，就要判定
， ， 都为0才对。