导数讨论含参函数的单调性

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用导数讨论含参函数的单调性

单调性是描述函数的变化趋势的重要概念，其中，用导数讨论含参函数的单调性尤为重要。

首先，我们来解释“含参函数”一词的意思。

含参函数是指具有参数的函数，也叫带参数函数，它们可以用参数来控制函数的变化趋势。

其次，让我们来看看如何用导数讨论含参函数的单调性。

在微积分中，导数是用来表示函
数变化率的重要概念，它可以帮助我们确定函数的单调性。

通常情况下，当函数的导数大于0时，函数在此处是单调递增的；当函数的导数小于0时，函数在此处是单调递减的。

例如，考虑函数$y=ax^2+bx+c$，其中a，b，c均为常数。

该函数的导数为$y'=2ax+b$。

因此，当$2a>0$时，函数是单调递增的；当$2a<0$时，函数是单调递减的。

更一般地，如果函数$f(x)$的导数$f'(x)$满足$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递
增的；如果$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递减的。

再比如，考虑函数$y=sin(x)$，其导数为$y'=cos(x)$，当$cos(x)>0$时，函数$y=sin(x)$是单调递增的；当$cos(x)<0$时，函数$y=sin(x)$是单调递减的。

总之，用导数讨论含参函数的单调性是很有用的，我们可以用它来判断函数是单调递增还是单调递减。

正如著名数学家高斯所说：“数学是一种分析、综合和抽象的技术，它既是
一种艺术，也是一种科学。

”。

利用导数研究含参函数单调性

利用导数研究含参函数单调性函数的单调性是指函数随着自变量的变化，函数值的增减规律。

利用导数可以研究含参函数的单调性。

考虑含参函数$f(x;a)$，其中$a$是函数的参数。

我们希望研究函数$f$相对于自变量$x$和参数$a$的单调性。

首先，我们来研究函数相对于自变量$x$的单调性。

要研究函数$f(x;a)$的单调性，我们需要计算其导数。

记$f'(x;a)$为函数$f(x;a)$的导数。

根据导数的定义，我们有$$f'(x;a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x;a) - f(x;a)}{\Delta x}$$这表示了函数$f(x;a)$在$x$处的切线的斜率。

我们可以通过计算导数来研究函数的单调性。

具体来说，当导数$f'(x;a)$在一些区间内始终大于零时，函数$f(x;a)$在该区间内是递增的；当导数$f'(x;a)$在一些区间内始终小于零时，函数$f(x;a)$在该区间内是递减的。

例如，考虑函数$f(x;a) = ax^2 + bx + c$，其中$a,b,c$是参数。

我们可以计算其导数$f'(x;a) = 2ax + b$。

当$a>0$时，$f'(x;a)$在整个实数域上大于零，这表示函数$f(x;a)$是递增的；当$a<0$时，$f'(x;a)$在整个实数域上小于零，这表示函数$f(x;a)$是递减的。

接下来，我们来研究函数相对于参数$a$的单调性。

要研究函数$f(x;a)$相对于参数$a$的单调性，我们需要计算其偏导数。

记$\frac{\partial f}{\partial a}(x;a)$为函数$f(x;a)$相对于参数$a$的偏导数。

根据偏导数的定义，我们有$$\frac{\partial f}{\partial a}(x;a) = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{f(x;a+\Delta a) - f(x;a)}{\Delta a}$$类似地，我们可以通过计算偏导数来研究函数相对于参数的单调性。

如何运用导数法判断含参函数的单调性

思路探寻导数法是研究函数单调性的“利器”，判断含参函数的单调性是各类试题中的常见题目.含参函数的单调性问题一般较为复杂,需要灵活运用分类讨论思想和导数法进行求解.下面我们来探讨一下如何运用导数法来判断含参函数的单调性.一般地，运用导数法判断含参函数的单调性有如下几个步骤：1.讨论并确定函数的定义域.2.对函数进行求导，并进行适当的化简.3.求出导函数的零点.若函数的零点中含有参数，需讨论零点的符号.4.用零点将函数的定义域分为几个区间段.5.在各个区间段上讨论导函数与0之间的关系.若导函数大于0，则该函数在该区间上单调递增；若导函数小于0，则该函数在该区间上单调递减.下面举例说明.例1.已知函数f (x )=ln x -(a +1)x ，讨论f (x )的单调性．解：由已知得函数的定义域为(0,+∞)，且f '(x )=1-(a +1)x x.①当a ≤-1时，f '(x )>0，f (x )在(0,+∞)上单调递增；②当a >-1时，令f '(x )=0，得x =1a +1.当0<x <1a +1时，f '(x )>0；当x >1a +1时，f '(x )<0.所以f (x )在(0,1a +1)上单调递增，在(1a +1,+∞)上单调递减.综合①②可知，当a ≤-1时，f (x )在(0,+∞)上单调递增；当a >-1时，f (x )在(0,1a +1)上单调递增，在(1a +1,+∞)上单调递减.由此可见，讨论含参函数单调性的关键在于判断导函数与0之间的关系.解答本题的关键在于讨论1-(a +1)x 的符号.在求出导函数的零点后，用零点x =1a +1将函数的定义域分为两个区间段：(0,1a +1)、(1a +1,+∞)，再进一步讨论导函数与0之间的关系.例2.已知函数f (x )=ax -1x-ln x ，讨论f (x )的单调性．解：由题意知f '(x )=a +1x 2-1x =ax 2-x +1x 2(x >0).①当a =0时，f '(x )=1-xx2.由f '(x )>0得0<x <1，由f '(x )<0得x >1，即f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减．②当a ≠0时，令f '(x )=0，即ax 2-x +1=0，Δ=1-4a .若Δ≤0，即a ≥14，f '(x )≥0，则f (x )在(0,+∞)上单调递增.若Δ>0，即a <0或<14，由f '(x )=0得x 1=，x 2，当14时，x 2x 1>0，所以f (x )在，+∞)上单调递增，在上单调递减．当a <0时，x 1>0>x 2，所以f (x )在上单调递增，在+∞)上单调递减．在求出导函数的表达式后，我们就可以发现，只需讨论ax 2-x +1的符号，就可以确定函数的单调性.由于ax 2-x +1为二次函数，且二次项的系数含有参数，所以需运用分类讨论思想分别对二次项的系数、方程的判别式Δ进行讨论.当Δ>0时，方程有两个根，即导函数有两个零点，若为x 1,x 2，则需先比较两个零点的大小，然后再划分定义域[m ,n ]：m <n <x 1<x 2;x 1<m <n <x 2;x 1<x 2<m <n ;m <x 1<n <x 2;x 1<m <x 2<n ;m <x 1<x 2<n ,结合二次函数的图象判断导函数的符号，得出原函数的单调性.综上所述，运用导数法判断含参函数的单调性，不仅要熟练掌握上述步骤，还要明确分类讨论的对象、标准以及层级，学会灵活运用分类讨论思想，合理对参数进行分类讨论.本文系福建省教育科学“十三五”规划课题2020年度教育教学改革专项课题：学科素养视域下“读思达”教学法的数学课堂应用研究（项目编号：Fjjgzx20-077）.（作者单位：福建省莆田第二中学）54 Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

用导数解决含参数的函数的单调性

用导数解决含参数的函数的单调性单调性是数学中一个重要的概念，用于描述函数在特定区间内的增减性质。

在解决含参数的函数的单调性时，我们可以利用导数的概念和性质进行分析和推导。

本文将介绍如何使用导数解决含参数的函数的单调性，并给出相应的示例。

首先，我们来回顾一下导数的定义。

对于函数$f(x)$在点$x=a$处可导，其导数$f'(a)$表示函数曲线在该点处的斜率，可以通过以下公式计算：$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$其中，$h$为一个无限趋近于0的值。

导数可以帮助我们研究函数的变化趋势、最值以及单调性等性质。

接下来，我们将探讨含参数的函数的单调性。

含参数的函数形式可以表示为$f(x;a)$，其中$a$为参数。

我们的目标是找到使函数单调的参数范围。

解决这个问题的关键是求导。

首先，我们需要计算函数的一阶导数$f'(x;a)$和二阶导数$f''(x;a)$。

一阶导数反映了函数的变化趋势，二阶导数揭示了函数的曲率性质。

接下来，我们需要找出函数的临界点和在其定义域内的驻点。

临界点是导数为0或不存在的点，驻点是导数在该点处为0的点。

当我们求出一阶导数$f'(x;a)$后，我们可以通过求解方程$f'(x;a)=0$来计算临界点和驻点。

这些点将给出函数的极值或拐点。

通过对导数方程进行求解，我们可以找到参数$a$满足$f'(x;a)=0$，从而得到临界点和驻点。

接下来，我们需要进行符号分析，确定函数的区间性质。

具体来说，当一阶导数$f'(x;a)$在一些区间内大于0时，函数$f(x;a)$是递增的；当一阶导数在一些区间内小于0时，函数是递减的；当一阶导数的正负性在一些点发生改变时，该点可能是函数的拐点。

当我们确定函数的单调性时，还应该考虑到函数的定义域。

特别是当参数$a$对函数的定义域有影响时，我们需要对不同的参数范围进行分析，以确定函数的单调性。

使用导数来解决含参函数单调性的讨论方法的总结

155使用导数来解决含参函数单调性的讨论方法的总结蓝荣升作者发现，使用导数来解决函数的单调性，它在高中数学试卷中占有相当大的份额。

函数的单调性是求解函数极值，最值（范围）以及零点个数问题的基础，它经常出现在压轴题的第一问，并且存在一定的困难。

求函数单调性的最困难的部分是含参函数的分类讨论，而分类讨论的思想又是高中阶段着重培养的思想方法。

因此,利用分类讨论来解决带参数的函数单调性问题已成为近年来高考的重点和热点。

这类问题的难点在于学生不懂得如何讨论，或者讨论不全面，这里总结了带参函数单调性的分类讨论的一般步骤，在学会之后，没有不知道如何讨论或讨论不全面的情况。

以下是对单调性一般步骤的讨论（解决了讨论的大部分单调性问题）:第一步：求定义域，单调区间是定义域的子集，因此求单调区间必须先求定义域，定义域有三种常见的情况需要讨论。

（1）偶次根式，根号下整体不小于0。

（2）分式，分母不等于0。

（3）对数，真数大于0。

第二步：求函数导数，令0)('=x f ，求出它的根21,x x ，根的个数一般有三种情况：无根、一个根，两个根。

导函数是分式一般先通分，并且还要考虑能不能因式分解。

第三步：如果方程有两根，则要考虑4种情况；如果只有一根则只需考虑第一种情况；如果根不能被求解，并且导数不能被判断出正的或负的，那么我们就需要求函数的二阶导数，利用二阶导数的正负来确定一阶导数的单调性，然后利用最值得到一阶导数的正负，进而判断出原函数的单调性。

（1）是否存在根（判断根是否在定义域中），得到参数的讨论点。

（2）21x x =，得到参数的讨论点。

（3）21x x >，得到参数的讨论点。

（4）21x x <，得到参数的讨论点。

第四步：判断21,x x 分定义域的每个区间的导数的正负情况，如果导数大于0，则函数单调递增，如果导数小于0，则函数单调递减。

以下三种常见方法可用来判断导数的正负：（1）数轴穿根法：（2）函数图像法：（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负。

使用导数来解决含参函数单调性的讨论方法的总结

使用导数来解决含参函数单调性的讨论方法的总结
利用导数来解决含参函数单调性问题，是一个经典的数学问题，也是高数学习者常遇到的一大难题。

要想确定一个参数函数的单调性，就要考虑它的导数变化，这就引出了利用导数来解决含参函数单调性的讨论方法。

首先，我们必须了解如何计算函数的导数。

对于一元函数，可以从原函数中求得导数的定义，即求偏导；也可以使用分部法及牛顿法，直接求出导数；而多元函数的导数一般由偏导方程式求得，其中可利用梯度、相对极值等概念计算函数的偏导数及其导数大小。

之后，可以利用导数把单调性转化为数学上的一种判断，即若一函数的导数大小符合特定条件，则该函数的单调性也得到确定，不断更新函数的参数就可以实现单调性。

如果在更新函数参数的过程中，函数的导数量一直大于0，则函数具有上升的单调性，反之，如果函数的导数量一直小于0，则函数具有下降的单调性。

此外，利用导数来解决含参函数单调性的另一个方面就是，可以根据该函数的导数表达式，计算其函数值的变化与自变量的变化。

当自变量变化时，就可以求取函数的导数值，从而归结出函数某个确定点处的单调性。

总之，利用导数来解决含参函数单调性，总结起来就是这样：首先，计算函数导数，然后根据函数的导数表达式近似计算函数某一确定点处的单调性；最后，根据函数的导数大小，可以判断该函数的单调性，并利用不断更新函数参数的过程来最大程度地实现单调性。

利用导数研究含参函数单调性

利用导数研究含参函数单调性导数是研究函数的一个重要工具，可以用来研究函数的单调性。

含参函数即包含一个或多个参数的函数，我们可以通过对导数的研究来研究含参函数的单调性，下面我们就来详细介绍。

首先，我们先回顾一下导数的定义。

对于含有一个自变量的函数y=f(x)，我们可以通过求导来得到函数在其中一点的斜率。

导数的定义为：f'(x) = lim(h->0) {f(x+h)-f(x)} / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

如果函数在其中一点的导数大于0，我们可以认为该点函数是递增的；如果导数小于0，则是递减的。

如果导数恒大于0，则函数是严格递增的；如果导数恒小于0，则函数是严格递减的。

对于含参函数y=f(x，a，b，c...)，其中a，b，c...为参数，我们也可以研究其单调性。

我们可以首先将含参函数看作一个关于自变量x的函数，然后求导。

求导后的函数中不再含有参数，其导数的正负号和零点即可以用来研究函数在不同参数取值情况下的单调性。

接下来，我们通过一个具体的例子来说明。

考虑函数y=f(x,a)=ax^2，其中a为参数。

我们可以先固定a的值，然后研究函数关于x的变化情况，再通过参数a的取值来研究函数的单调性。

首先，我们分别求导得到函数关于自变量x的导数：f'(x,a) = 2ax现在我们可以根据导数的正负号来研究函数的单调性。

当a>0时，f'(x,a)恒大于0，即导数恒大于0，说明函数递增；当a<0时，f'(x,a)恒小于0，即导数恒小于0，说明函数递减。

接下来，我们可以通过研究参数a的取值来研究函数的单调性。

当a>0时，函数为开口向上的抛物线，随着a的增大，函数的正值部分会更接近x轴，说明函数递减的速度会更快，即单调性变强；当a<0时，函数为开口向下的抛物线，随着a的减小，函数的负值部分会更接近x轴，说明函数递减的速度会更快，即单调性变强。

导数应用-含参函数的单调性讨论

导数应用：含参函数的单调性讨论(一)一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。

二、典例讲解例1 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。

变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。

即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号。

一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。

变式练习2. 讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。

对于二次型函数（如1)(2+=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。

利用导数研究含参函数的单调性【公开课教学PPT课件】

3
2
y
y
y
-1 0 x
-1 a 0 x a -1 0 x
①当a=-1时
②当a>-1时
③当a<-1时
小结：当两根的大小不确定时，应进行分类讨论.
探究二
变式二：讨论函数f ( x) 1 x2 +(1 a)x a ln x的单调性. 2
y
y
0a
x a0 x
①当a>0时
②当a≤0时
小结：当根大小不确定时，应讨论根的大小及根是否在定义域内.
2、已知函数f ( x) ln x a ，求f ( x)的单调区间 x
3、已知函数f ( x) 1 ax2 x (a 1)ln x,讨论f ( x)的单调性 2
感谢您的指导
邱奉美
第三章导数应用
利用导数研究含参函数的单调性
（第1课时）
探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
3
2

探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
0，x2
1
1)当 1 1即a 1时，f (x)在（0，）上递增.
a
10 0a1 00
10
1 1
x 11
xx
1
xx
aa
2)当1 1即a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（ 1 ，1）上递减.
a
a
a
3)当1 1即0 a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（1，1 ）上递减.
探究二
变式三：讨论函数f ( x) 1 x2 (a 1)x a ln x的单调性. 2

用导数研究含参函数的单调性

用导数研究含参函数的单调性导数是研究函数在各个点上的斜率或变化率的工具，可以用来研究含参函数的单调性。

含参函数是指函数中包含一个或多个参数的函数。

研究含参函数的单调性，既可以固定参数的值，将其视为常数，研究含参函数的单调性；也可以将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性。

一、固定参数的值，研究含参函数的单调性：对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，固定参数$\theta$的值，将其视为常数。

此时，可将含参函数简化为仅含有变量$x$的函数$f(x)$。

然后利用导数的概念和性质来研究这个简化后的函数$f(x)$的单调性。

具体步骤如下：1.求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$，即计算$f(x)$关于$x$的导数。

这一步可以直接用导数的定义来计算，或者应用常见函数的导数公式，例如幂函数、指数函数、对数函数等的导数公式。

2.求出函数$f'(x)$的零点，即求出方程$f'(x)=0$的解。

这些零点对应于函数$f(x)$的驻点，它们是函数在一些点上的斜率为0的点。

3.利用导数的符号来研究函数$f(x)$的单调性。

若$f'(x)>0$，表示函数$f(x)$在该点处的斜率为正，则函数$f(x)$单调递增；若$f'(x)<0$，表示函数$f(x)$在该点处的斜率为负，则函数$f(x)$单调递减。

4.将求出的零点和函数的特殊点（如端点、奇点等）放在数轴上，根据导数的符号，划分函数$f(x)$的单调区间。

通过以上步骤，可以得到函数$f(x,\theta)$在固定参数$\theta$的取值下，函数$f(x)$的单调性。

二、将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性：对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，可以将参数值$\theta$看作是一个变量，通过改变参数值来研究函数的单调性。

这种情况下，可以使用偏导数来研究含参函数的单调性。

导数应用之含参函数单调性的讨论(含答案)

1
导数应用之含参函数单调性的讨论
一．预备知识：
（一）二次方程根的分布：
1．已知方程4x 2+2(m-1)x+(2m+3)=0（m ∈R ）有两个正根，求实数m 的取值范围。

2．已知方程2x 2-(m+1)x+m=0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

（二）穿根法拓展：
1．
02
2
2>--+x x x 2．(e x -1)(x-1)＞0 3．(e x -1)(x-1)2＞0
4．(e -x -1)(x-1)＞0 5．(1-lnx)(x-1)＞0
二．导后“一次”型：
1．已知函数f(x)=ax-(a+1)·ln(x+1)，a ≥-1，求函数f(x)的单调区间。

2．已知函数f(x)=e x -ax ，讨论函数f(x)的单调性。

三．导后“二次型”：
3．已知函数f(x)=lnx+x 2-ax(a ∈R)，求函数f(x)的单调区间。

2
4．已知函数f(x)=m ·ln(x+2)+2
1x 2
+1，讨论函数f(x)的单调性。

5．求函数f(x)=(1-a)lnx-x+2
2
ax 的单调区间。

6．已知函数f(x)=(ax 2-x)·lnx-2
1ax 2
+x ，讨论f(x)的单调性。

四．导后求导型
7．已知函数f(x)=e x -x 2，求函数f(x)的单调区间。

8．已知函数f(x)=
x
e
x 1
ln ，求函数f(x)的单调区间。

9．已知函数f(x)=e mx +x 2-mx ，讨论函数f(x)的单调性。

3
4。

利用导数研究含参函数单调性

利用导数研究含参函数单调性在数学中，单调性是指函数随着自变量的变化而变化的趋势。

如果函数在区间上递增，那么我们称函数在该区间上是单调递增的；如果函数在区间上递减，那么我们称函数在该区间上是单调递减的。

利用导数研究含参函数的单调性，是一种非常常用且有效的方法。

对于含参函数，其导数是关于自变量的函数，通过研究导数的符号来判断函数的单调性。

具体来说，如果导数在区间上恒大于0，那么函数在该区间上是递增的；如果导数在区间上恒小于0，那么函数在该区间上是递减的。

这可以通过导数的定义和性质来证明。

下面以一个简单的例子来说明如何利用导数研究含参函数的单调性。

假设我们要研究含参函数 f(x;a) = ax^2 的单调性，其中 a 是参数。

首先，我们计算函数f的导数。

由于a是参数，我们将其视为常数。

根据导数的定义，有：f'(x;a) = lim[h->0] (f(x+h;a) - f(x;a)) / h= lim[h->0] (a(x+h)^2 - ax^2) / h= lim[h->0] (2axh + ah^2) / h= lim[h->0] (2ax + ah)= 2ax因此，函数 f 的导数是 f'(x;a) = 2ax。

接下来，我们通过研究导数的符号来判断函数f的单调性。

当 a > 0 时，当 x1 < x2 时，有 2ax1 < 2ax2，即 f'(x1;a) <f'(x2;a)。

因此，函数 f 在区间上是递增的。

当 a < 0 时，当 x1 < x2 时，有 2ax1 > 2ax2，即 f'(x1;a) >f'(x2;a)。

因此，函数 f 在区间上是递减的。

当a=0时，函数f(x;a)=0，因此函数f在任意区间上是常数，既不递增也不递减。

综上所述，当 a > 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 在任意区间上都是递增的；当 a < 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 在任意区间上都是递减的；当a = 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 是常数。

利用导数研究含参函数的单调性

利用导数研究含参函数的单调性导数是研究函数的重要工具之一，通过对函数的导数进行研究，可以得到函数的单调性信息。

含参函数是指函数中包含一个或多个参数，通过改变参数的取值可以得到一组函数。

接下来，我们将讨论如何利用导数研究含参函数的单调性。

首先，我们先来回顾一下单调性的概念。

若函数在其定义域上单调递增，则函数的值随自变量的增加而增加；若函数在其定义域上单调递减，则函数的值随自变量的增加而减小。

简而言之，单调性描述了函数随自变量变化的趋势。

对于含参函数，我们首先可以将参数视为常数，通过对函数关于自变量的导数进行研究，来探究函数的单调性。

然后，我们再考虑参数的变化对函数单调性的影响。

以一元含参函数为例，设函数为f(x;a)，其中x为自变量，a为参数。

我们首先对自变量x求导，得到导函数f'(x;a)。

然后，通过研究导函数的单调性来推导出原函数f(x;a)的单调性。

在研究导函数的单调性时，我们可以采用以下几种方法：1.部分导数法：对于多元含参函数，我们可以先固定参数a，然后对自变量中的一些变量求导，得到该变量的偏导数。

通过研究偏导数的单调性，可以推导出原函数的部分单调性。

然后，再逐个固定其他变量，对其他变量求导，从而得到更完整的原函数的单调性。

2.极值点法：对于导函数f'(x;a)，我们可以求出其零点，即f'(x;a)=0的解，也就是导函数的临界点。

通过研究导函数在临界点附近的变化情况，可以推导出原函数的单调性。

具体而言，如果导函数在临界点附近从正变负，那么原函数在临界点左边单调递增，在临界点右边单调递减；反之，如果导函数在临界点附近从负变正，那么原函数在临界点左边单调递减，在临界点右边单调递增。

3.导数符号法：对于导函数f'(x;a)，如果在整个定义域上恒大于0或者恒小于0，则可以推导出原函数在整个定义域上单调递增或者单调递减。

具体而言，如果f'(x;a)>0，那么原函数单调递增；如果f'(x;a)<0，那么原函数单调递减。

导数专题：含参函数单调性讨论问题(解析版)

导数专题：含参函数单调性讨论问题一、导数与函数的单调性1、用导数求函数的单调性的概念：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '≥，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '≤，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．【注意】（1）在某区间内()0(()0)f x f x ''><是函数()f x 在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．（2）可导函数()f x 在(,)a b 上是增(减)函数的充要条件是对(,)x a b ∀∈，都有()0(()0)f x f x ''><且()f x '在(,)a b 上的任何子区间内都不恒为零．2、确定函数单调区间的求法（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．二、含参函数单调性讨论依据讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。

讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类：（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。

三、两大类含参导函数的具体方法1、含参一次函数单调性讨论（1）讨论最高次项是否为0，正负情况；（2）求解导函数的根；（3）定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值.2、含参二次函数单调性的讨论（1）确定函数的定义域；（2）讨论最高次项是否为0，正负情况；（3）可因式分解型，解得12,x x （注意讨论12x x =）；不可因式分解型，讨论0∆≤及0∆>；（4）讨论1x 和2x 的大小，能因式分解的，注意讨论12x x =；（5）12,x x 将定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值，判断根和区间端点位置关系的方法有3种：端点函数值+对称轴；韦达定理；求根公式。

利用导数讨论含参函数的单调性

利用导数讨论含参函数的单调性讨论函数的单调性是研究函数问题的基础，对于函数的最值、极值、零点等性质的研究，都是以函数的单调性为基础展开的。

在此，主要讨论含参函数单调性的讨论方法。

函数的单调性由导函数的正负决定，讨论函数的单调性关键在于研究导函数的正负。

含参函数导函数正负的确定最大的困难在于参数的影响，如何对参数进行分类讨论是问题的关键。

在此，我们将提出三种方法。

一．分离参数、数形结合函数求导后，导函数中的参数可以分离，形如：m x g x f -=)()('的形式，若)(x g 有最小值，则分min )(x g m ≤，min )(x g m >两种情况进行分类讨论。

（1）当min )(x g m ≤时，0)()('≥-=m x g x f ；（2）当min )(x g m >时，若0)()('=-=m x g x f 有一个解，且)(x g 单调，设解为0x ，则0x 将定义域分为两个区间，讨论函数的单调性。

若)(x g 有最大值，则分max )(x g m ≥，max )(x g m <两种情况进行分类讨论。

1.（2012年全国卷文科21题）设函数2)(--=ax e x f x . （1）求)(x f 的单调区间；解：函数)(x f 的定义域为()+∞∞-,，a e x f x -=)('，①若0≤a ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞∞-,单调递增； ②若0>a ，则由0)('=x f 得a x ln =，当()a x ln ,∞-∈时，0)('<x f ，当()+∞∈,ln a x 时，0)('>x f ；所以)(x f 的单调减区间是()a ln ,∞-，单调增区间是()+∞,ln a ； 2.（2016年山东文科20题）设x a ax x x x f )12(ln )(2-+-=，R a ∈. （1）令)()('x f x g =，求)(x g 的单调区间. 解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，1221ln )()('-+-+==a ax x x f x g ，a xx g 21)('-=（1）若0≤a ，则0)('>x g ，)(x g 在()+∞,0单调递增；（2）若0>a ，则由0)('=x g 得ax 21=，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 21,0时，0)('>x g ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21a x 时，0)('<x g ，所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 单调递减.3.（2015年北京卷文科19题）设函数x k x x f ln 2)(2-=.（1）求)(x f 的单调区间和极值；解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，xkx x k x x f -=-=2')(，①若0≤k ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增； ②若0>k ，则由0)('=x f 得k x =，当()k x ,0∈时，0)('<x f ，当()+∞∈,k x 时，0)('>x f所以)(x f 的单调减区间是()k ,0，单调增区间是()+∞,k .4.（2015年全国二卷文科21题）已知函数)1(ln )(x a x x f -+=. （1）讨论)(x f 的单调性；解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，xaxa x x f -=-=11)('， ①若0≤a ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增；②若0>a ，则由0)('=x f 得ax 1=，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,0时，0)('>x f ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈0,1a x 时，0)('<x f ；所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛0,1a单调递减； 5.（2016年四川卷文科21题）设函数x a ax x f ln )(2--=. （1）讨论)(x f 的单调性；解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=22'121212)(x a x x ax x ax x f ，①若0≤a ，则0)('<x f ，)(x f 在()+∞,0单调递减；②若0>a ，则由0)('=x f 得ax 21=，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 21,0时，0)('<x f ，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21a x 时，0)('>x f ；所以)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 单调递增；若0)()('=-=m x g x f 有两个解，则可以将定义域分为三个区域进行讨论。

导数之含参函数的单调性的分类讨论

高考数学微专题第 1 页导函数三种含参的单调性讨论类型一：导函数为含参一次型的函数单调性针对通分后分子是一次型的，我们考虑能否参数取得某一个范围使得导数是大于0或者小于0恒成立，如果可以，再去讨论另外的范围。

这样做的好处是思路清晰，不会导致漏了讨论的范围。

例题1：已知函数)1(ln )(x a x x f -+=，讨论f(x)的单调性变式1：函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=，求函数的单调区间变式2：已知函数x e x f ax 3)(+=，求f(x)的单调区间变式训练3：已知函数2ln )(-+=x xa x f ，是否存在实数a,使得函数f(x)在],0(2e 上有最小值？若存在，求a 的值，若不存在，说明理由类型二：导函数为含参二次型可因式分解的函数单调性针对求导后为含参二次型可因式分解的函数单调性，如果参数处在二次项系数，先讨论能否为0；再通过因式分解为两个因式的积。

接着首先讨论两根相等时，因为我们寻找了一种临界情况。

接下来就好确定分类标准了，这一点不可不知。

也会省去求不等式解集的麻烦。

例2：求函数2ln )1()(2ax x x a x f +--=的单调区间变式1：已知函)(11ln )(R a xa ax x x f ∈--+-=，讨论f(x)的单调性变式2：已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 。

讨论f(x)的单调性变式3：已知函数x x x f cos 2)(2+=，函数)22sin (cos )(-+-=x x x e x g x（1）求曲线y=f(x)在点))(,(ππf 处的切线方程（2）令))(()()(R a x af x g x h ∈-=，讨论会h(x)的单调性，并判断有无极值，有极值时求出极值类型三：导函数为含参二次型不可因式分解的函数单调性导数含参二次型不可因式分解是我们遇到的第三种情况，我们依然遵循求导通分定义域的步骤书写大题过程。

利用导数研究含参函数的单调性ppt课件

探究： 1、在求导计算前应注意什么问题？ 2、导函数中影响符号变化的部分是什么函数？ 3、在利用导函数判别单调性时，应如何讨论？
无法确定导函数中二次结构的判别式符号，故应对判别式进行分类讨论。
归纳总结：对于二次函数取值正负 ,当根的情况
不能确定时，要整理对版课判件别式进行讨论。
2、在写单调区间时可以结合图象，应用数形结合的思想
整理版课件
8
当堂诊学
变式三：函数变为 f( x ) = 1 a x 2 （ 2 a + 1 )x + 2 ln x ,讨论函数 f( x ) 的单调性 2
写出完整的解题过程
整理版课件
9
设函 f(x)数 1a2x (2a1)x2ln x.试讨 f(x)的论单调 2
整理版课件
7
目标升华
本节课你学到了什么？
对于一个含参数的函数 f(x)，求出导函数 f′(x)后，判断发现 f′(x)符号的确定归结为一个可能的二次函数结构，则按照如下原则进行讨论：
1.二次项系数与0的关系从而确定开口
2.判别式与0的关系从而确定根的个数
3.根的大小比较以及根是否在定义域内
注意:1、如果有多个分类标准，我们要逐级分类
整理版课件
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在2（，）递减。
(3 )当 a 0 时f， '(x ) 0 ,得令 x 1 1 a 0 .x 2 2
1)当12即 a1时， f(x)在0（，）上为增
a
2
2)当 12即 0a1时f(， x)在 0， 2 （）和 1,) 上（为; 增
a
2

导数单调性含参讨论问题

导数单调性含参讨论问题
讨论导数单调性含参问题，需要找到临界点。

临界点的确定可以从以下四个方面入手：极值点、二次项系数、定义域和绝对值。

一、极值点大小比较的分类讨论是最主流的，如江苏高考和四川高考的例题。

在这种情况下，需要比较极值点的大小，然后讨论单调性。

二、二次项系数含有参数时也需要分类讨论，如北京高考的例题。

这时需要根据参数的取值讨论二次项系数的正负和单调性。

三、定义域的限制也会产生分类讨论，如山东高考的例题。

在这种情况下，需要考虑定义域的限制对单调性的影响。

四、绝对值也会产生分类讨论，如浙江高考的例题。

在这种情况下，需要分别讨论绝对值内外的函数单调性，然后综合得出结论。

回家作业：练以上四种分类讨论的方法，掌握如何确定临界点，进一步提高导数单调性问题的解题能力。