傅里叶级数课程及习题讲解

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第15章 傅里叶级数

§１５.1 傅里叶级数

一 基本内容

一、傅里叶级数 在幂级数讨论中

1

()n

n n f x a x ∞

==∑,可视为()f x 经函数系

21, , ,

, ,

n x x x

线性表出而得.不妨称2

{1,,,

,,}n x x x 为基,则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系

作为基,就得到傅里叶级数．

１ 三角函数系

函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin ,

x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下

面两个重要性质.

(1） 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数;

(2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．

对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积

为

(),()()()d b

n m n m a

u x u x u x u x x

=⋅⎰,

如果

0 (),() 0 n m l m n

u x u x m n ≠=⎧=⎨

≠⎩，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系．

由于

1, sin 1sin d 1cos d 0

nx nx x nx x ππ

π

π

--=⋅=⋅=⎰⎰；

sin , sin sin sin d 0 m n

mx nx mx nx x m n π

π

π-=⎧=⋅=⎨≠⎩⎰

；

cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π

π

π-=⎧=⋅=⎨≠⎩⎰；

sin , cos sin cos d 0

mx nx mx nx x π

π

-=⋅=⎰

；

2 1, 11d 2x ππ

π

-==⎰,

所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系．

利用三角函数系构成的级数

()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞

=++∑ 称为三角级数，其中011,,,

,,,n n a a b a b 为常数

2 以2π为周期的傅里叶级数

定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积，

1

1

(),cos ()cos d k a f x kx f x kx x

π

π

π

π

-=

=

⎰

0,1,2,k =；

1

1

(),sin ()sin d k b f x kx f x kx x

π

π

π

π

-=

=

⎰

1,2,

k =，

称为函数()f x 的傅里叶系数,而三角级数

()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞

=++∑

称为()f x 的傅里叶级数，记作

()f x ~()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞

=++∑．

这里之所以不用等号,是因为函数()f x 按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其

是否收敛于()f x ．

二、傅里叶级数收敛定理

定理１ 若以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑,则

()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-++=∑， 其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．

定义2 如果()[, ]f x C a b '∈,则称()f x 在[,]a b 上光滑．若

[,),(0),(0)x a b f x f x '∀∈++存在；

(,],(0)x a b f x ∀∈-，(0)f x '-存在,

且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称()f x 在[,]a b 上按段光滑．

几何解释如图.

按段光滑函数图象是由有限条 光滑曲线段组成，它至多有有限个

第一类间断点与角点．

推论 如果()f x 是以2π

为周期的连续函数,且在[,]ππ-上按 段光滑,则x R ∀∈，

有 ()

01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞

==++∑.

定义3 设()f x 在(,]ππ-上有定义,函数

() (,]

ˆ()(2) (2,2],1,2,

f x x f x f x k x k k k πππππππ∈-⎧=⎨

-∈-+=±±⎩

称()f x 为的周期延拓.

二 习题解答

1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数

（1） (),(i) , (ii) 02f x x x x πππ=-<<<<; 解：(i)、()f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．

x y

O

角点

x

3ππ

π-3π

-y

O