泛函和泛函的极值
泛函和泛函的极值
泛函和泛函的极值泛函和泛函的极值泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
作为变分法的简单例题。
考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y(x)中最短曲线。
设P(x，y)和P(x，y)为平面上给定的两点，y(x)为连接两点的任意曲111222 线。
于是，这一曲线的长度为连接P，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。
满1 足边界条件的(xy)称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式，L [y]依赖于y(x)，而y(x)是x的函数，因此称y(x)为自变函数;L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。
求解最短程线问题，即在满足边界条件在x=x时， y(x)=y y'(x)= y' 1111在x=x时， y(x)=y y'(x)= y' 2211的函数y(x)中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。
因此 y(x)称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件 y(x)=y, y(x)=y2的极小值问题。
112假设函数y(x)是使得泛函L [y]为最小的特定函数(真实的)。
变分法有兴趣研究的是邻近于y(x)的任意容许函数引起泛函L []的改变。
设其中, 为小参数，而, (x)为边界值为零的任意函数。
当x固定时，容许函数与y(x)的差 , y 称为泛函自变函数的变分，即类似地，容许函数的斜率与y(x)斜率的差, y', 称为泛函自变函数斜率的变分，即应该注意 , y 与函数y(x)的微分dy之间的差别，dy是自变量x的改变量dx 引起的y(x)的无穷小增量。
而变分, y 是 y(x)的任意一个微小的改变量。
设泛函增量按泰勒级数展开，则设泛函的增量由泛函的变分表示，有分别定义为泛函的一阶，二阶或k阶变分，分别为, 的一次，二次或者k次齐次式。
泛函数求极值
泛函数求极值泛函数求极值是数学中比较重要的概念，在很多领域都有着广泛的应用。
值得一提的是，对于理解泛函数极值的概念，以及如何利用泛函数求极值，研究分析极值点，有助于更好地把握其他学科知识。
一、什么是泛函数求极值泛函数极值是通过求解泛函数派生出的极值问题，即从泛函数求解数量或测量值的最大值或最小值。
求极值的概念是为了求解实际问题而引入的，例如求最大值或最小值，解决有限资源的分配问题，在应用层面上也被广泛使用。
二、泛函数求极值的过程（1）求解泛函数极值的方法是用微分求解泛函数极值，求解过程如下：首先，我们必须找出一个泛函数表达式，并且可以用此表达式来求解极值问题。
其次，在泛函数的基础上，用微分的方法，求解泛函数的倒数函数，并用极限法求解泛函数的最小值或最大值。
（2）求解拉格朗日极值法的方法拉格朗日极值法是在求解极值问题时，给定一个函数和一些约束条件，寻找满足约束条件的极值所在的一种方法。
首先，根据给定的约束条件，构建相应的拉格朗日函数，后对拉格朗日函数求导，求出拉格朗日函数的极值点，最后，在满足拉格朗日函数的约束条件的情况下，求出极值点的值。
三、应用（1）投资分配泛函数求极值在投资分配问题中也得到了广泛应用，具体地说，就是用泛函数求极值的方法，求解投资分配者和投资人之间在投资分配中达到最大利润的结果。
（2）有限资源分配有限资源分配问题也是泛函数求极值解决方案的重要应用，它通过泛函数求极值方法，求解在有限资源下的最大效益，使资源的分配最大化。
四、结论泛函数求极值是一个比较重要的概念，其在投资分配、有限资源分配等应用中得到了广泛的使用，是解决实际问题的重要方法。
在理解泛函数极值的概念，以及如何利用泛函数求极值，研究分析极值问题，对于更好地把握其他学科知识也有着重要意义。
泛函极值问题的求解
泛函极值问题的求解泛函极值问题的求解使用变分法。
泛函极值问题是指在给定约束条件下，求一个泛函的极值。
泛函是一个函数的函数，即输入是函数，输出是一个实数。
假设有一个泛函J[f]，其中f是一个函数，我们要求使得J[f]取得极小值或极大值。
解决这个问题的方法是通过变分法，变分法的基本思想是将函数f沿着任意变化，并计算J[f]的变化。
如果变化很小，那么我们可以认为J[f]的变化主要来自于f的变化。
为了使用变分法求解泛函极值问题，需要定义一个变分算子δ，表示函数f的变分。
变分算子的定义如下：δ[f(x)] = εh(x)其中，ε是一个很小的实数，h(x)是一个任意函数。
使用变分算子之后，泛函的变化可以表示为：δJ[f] = J[f + εh(x)] - J[f]对δJ[f]进行展开，再取ε趋近于0的极限，得到以下关系：δJ[f] = 0这个关系成为欧拉方程，它是求解泛函极值问题的基本方程。
根据具体的泛函形式和约束条件，可以使用欧拉方程得到具体的解。
需要注意的是，在变分法中，要求函数f满足一定的边界条件。
边界条件是泛函极值问题中的附加条件，通过这些条件可以得到具有特定特征的解。
总结起来，求解泛函极值问题的步骤如下：1. 定义泛函J[f]以及函数f满足的边界条件；2. 引入变分算子δ并计算δJ[f]；3. 使用欧拉方程δJ[f] = 0 求解得到f的表达式；4. 检验解是否满足边界条件，如果不满足，则舍去；5. 找到所有满足边界条件的解，分别计算J[f]，选择其中极小值或极大值作为泛函的极值。
需要注意的是，求解泛函极值问题需要具备一定的数学知识和技巧，对欧拉方程的求解以及边界条件的选择都有一定的要求。
因此，在具体求解时可能需要借助一些数学工具和方法。
泛函极值的必要条件
泛函极值的必要条件泛函极值啊，就像是在一个超级大的数学迷宫里找宝藏。
这个宝藏可不是一般的金银财宝，而是泛函的极值，那可是数学世界里超级神秘又超级有魅力的存在。
想象一下，泛函就像一个超级大的魔法函数家族，每个成员都有着独特的魔法能力。
而我们要找的极值呢，就像是这个家族里最闪亮的魔法之星。
这时候，必要条件就像是一把神秘的钥匙，没有这把钥匙，你就只能在这个魔法家族的外面干瞪眼，怎么也找不到那颗最闪亮的星星。
泛函极值的必要条件，就像是在黑暗森林里的指南针。
你要是在泛函的森林里乱转，没有这个指南针，那可就惨咯。
你可能会像一只无头苍蝇一样，到处乱撞，永远也找不到通往极值的道路。
它又像是一场冒险中的魔法咒语。
如果不掌握这个咒语，那些隐藏着极值的神秘大门就不会为你打开。
你就只能对着那些紧闭的大门，干着急，就像一个小馋猫看着橱柜里的美食，却怎么也打不开橱柜一样。
这个必要条件还是通向泛函极值城堡的秘密通道。
要是找不到这个通道，你只能在城堡外面绕圈子，看着城堡里那散发着迷人光芒的极值宝藏，却没办法进去拿。
这就好比你知道宝藏就在眼前的小岛上，但是你没有船，只能在岸边干跺脚。
泛函极值的必要条件有时候又像一个超级挑剔的守门员。
只有满足了它的要求，你才能进入泛函的核心区域去寻找极值这个超级大明星。
如果不满足，就会被这个守门员一脚踢回原点，让你所有的努力都白费，就像你辛辛苦苦堆的沙堡，被一个调皮的小孩一脚给踩平了。
它也像一个神秘的密码锁。
只有输入正确的密码，也就是满足必要条件，才能打开泛函极值这个装满宝藏的宝箱。
要是密码输错了，宝箱就会一直紧闭着，你就只能对着宝箱做白日梦，想象着里面的宝贝了。
泛函极值的必要条件还像是数学世界里的魔法桥梁。
没有这座桥，你就无法跨越泛函的河流，到达极值所在的对岸。
你只能在河这边望洋兴叹，看着对岸的极值美景，却无法身临其境。
在这个奇妙的泛函世界里，必要条件就是那盏照亮通往极值之路的明灯。
没有它，你就会在这个黑暗又神秘的世界里迷失方向，永远也找不到那珍贵的泛函极值宝藏。
11.1泛函和泛函的极值-武汉大学数学物理方法
考虑：δ ∫ [ F ( x, y, y′) + λG ( x, y, y′)]dx = 0
a
b
则→
∂F ∂y
+λLeabharlann ∂G ∂y−d dx
[(
∂F ∂y ′
)+λ
d
dx ∂y ′
(
∂G
)] = 0
积分常数 C1 , C 2和λ可由附加条件定出
§11.1 泛函和泛函的极值
四.泛函的条件极值
1 ⎧ 2 ⎪ J [ y ( x )] = ∫ y ′ dx 0 ⎪ 1 ⎪ 2 例 2 .⎨ y dx = 1 ∫ ⎪ 0 ⎪ y ( 0 ) = 0， y (1 ) = 1 ⎪ ⎩
考虑
δ ∫ ( y′2 + λy 2 )dx = 0
0
1
不显含x, 也可推出一阶Euler方程, 此处直接用二阶Euler d 也不困难 : 2λy − (2 y′) = 0 dx
§11.1 泛函和泛函的极值
四.泛函的条件极值
即 : y′′ − λy = 0 y = C1e
λx
+ C2 e −
λx
§11.1 泛函和泛函的极值
二、泛函的极值
2.变分
(1) : 函数的变分 : 若 y ( x ) 微变 y ( x ) + t η ( x ), t为小参数 , 则记
δ ( y ) = tη ( x ) ( 2 ) — 称 tη ( x )为 y ( x )的变分 . 注意 : δ y 不同于 dy , dy 有一取极值过程 , δ y 不取
δ ( y ) → y ′( x )的变分
即： δ ( y ′) ≡
d dx
δ ( y)
§6.3 泛函的条件极值
§6.3 泛函的条件极值一、泛函条件极值问题的提出（等周问题）求在连接A 、B 长度为L 的所有曲线中与直线AB所围成面积最大的曲线？AB 弧长：dx y L ba ∫+=2'1 （1） 曲线AB 与直线AB 所围成面积：()∫=ba dx x y S （2） 边界条件：()()0,0==b y a y （3）在满足约束条件（1）和边界条件（3）的情况下，寻找满足由方程（2）的构成泛函问题的极小曲线函数。
二、一般泛函条件极值的E-L 方程泛函[]()∫=ba dx y y x F y J ',,，约束条件()L dx y y x G ba =∫',,， 其中[][]()(){}2120,,,y b y y a y b a C y y y D ==∈=。
设()x y 是所求泛函的极值函数，取任意光滑函数()[]b a C x ,20∈η ()()()x x y x y εη+=1，()()0,0==b a ηη从而构成一元函数()[]()∫++=+=ba dx y y x F y J '',,εηεηεηεϕ ()L dx y y x G ba =++∫'',,εηεη 利用拉格朗日乘子法，定义新的泛函()()()[]∫+++++=Φba dx y y x G y y x F '',,'',,,εηεηλεηεηλε （4） 其中，λ为常数。
泛函()λε,Φ取极值，即需()0,0=Φ=εελεd d()()0'''',''''''''''0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=⋅−++⋅−+=+++=+++=Φ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫=b a y y y y b a y b a y b ay ba yb a y b a y b a y b a y b a y b a y bay y y y dx G dx d G F dx d F dx G dx d G dx G dx F dx d F dx F dx G dx G dx F dx F dx G G F F d d ηλληληληληηηηληληηηληληηελεε由变分引理得（5） E-L 方程。
§6.4 自然边界条件泛函的极值
ϕ (ε ) = J [u + εη ] = ∫∫ (u x + εη x )2 + (u y + εη y )2 − 2(u + εη ) f dxdy + ∫ σu 2 dl
D
∂D
[
]
泛函取极值，需要
dϕ (ε ) ε =0 = 0 dε dϕ (ε ) ε = 0 = ∫∫D (2u xη x + 2u yη y − 2ηf )dxdy + ∫∂D σ 2uηdl dε v ˆx + u y e ˆy 令 A = uxe
二、端点可变条件下一维函数的变分问题 1、一个端点固定、一个端点变动的泛函的极值
J [y] =
⎧ y (a ) = y1 ( ) F x , y , y ' dx ，边界条件 ⎨ ∫a ⎩ y (b )未知
b
设 y ( x ) 是所求泛函问题的极值函数，取足够光滑的函数η ( x ) ，且满足η (a ) = 0,η (b )未知 。 构成函数
（5）
∫∫ (u
D
2
x
+ u y − 2uf dxdy + ∫ σu 2 dl 在定义域
2 ∂D
)
D[J ] = u (x, y ) u ∈ C 2 (D ) 满足条件的极值函数。
解：设 u ( x, y ) 是泛函的极值函数，取任意足够光滑的曲面η ( x, y ) ，构造新的函数
{
}
u1 ( x, y ) = u ( x, y ) + εη ( x, y )
= p( x )2 y 'η b a −∫
b
由变分引理得
⎧ d ⎪− [ p( x ) y '] + q( x ) y + λρ ( x ) y = f 施图姆-刘维尔型方程 ⎨ dx ⎪ ⎩ y ' (b ) = 0, y (a ) = y1
有限元基础(泛函、变分与变分法)
因此
aT K a ＝ aT K a
＝ aT( Ka - P ) ＝ 0 由 a 的任意性，就得到(1.3.6)式：
Ka — P ＝ 0
1.3.2 变分原理的建立
1.线性、自伴随微分算子
线性算子
具有以下性质的算子 L 称为线性算子
其中和是两个常数
内积
算子L(u)与任意函数v的 内积 定义为
则被积函数 (x) 在区间 a ≤x≤b 上必处处为零，即
1.3 变分原理和里兹方法
1.3.1 变分原理
变分原理定义
部分物理问题存在一个泛函： 而问题的解 u 使泛函取驻值，即 利用此式求解的方法称为变分法或变分原理
里兹（Ritz）法
选择试探函数：
其中N为已知函数，a为待定参数
代入泛函积分式，泛函变为普通实函数 令泛函变分为零
5. 变分法
求泛函极值的数学方法称为变分法。 泛函极值的必要条件： J = 0
充分条件：J = 0 且：2J >0 极小值 2J < 0 极大值
变分法基本预备定理：
设 (x) 是闭区间 a ≤x≤b 上的连续函数，y 是该区间上自变函数 y(x) 的变分，如果 y 在满足 约束条件的前提下任意变化时，下式始终成立
与以上微分提法相等效的伽辽金提法为
(1.3.21)
若算子L是线性、自伴随的，则有如下关系：
将其代入(1.3.21)式得
若令 则上式可表示为变分原理：
(1.3.23) 此处Π就是原问题的泛函，因为此泛函中u的最高 次为二次，所以是二次泛函。
3. 泛函的极值性
条件：
1.算子L是偶数（2m）阶的；
由于 y 与 y, y, , y(n) 无关，所以
（二）泛函的极值
（⼆）泛函的极值极值的概念函数f(x) 在x0处取得极⼩值，是指当x在x0点及其附近 |x−x0|<ε时，恒有f(x)≥f(x0)若有f(x)≤f(x0)则称函数f(x) 在x0点取极⼤值。
函数f(x) 在点x0处取得极值的必要条件是在该点处的导数为 0，即f′(x)=0泛函的极值必要条件仿照函数极值必要条件的到处⽅法，得到泛函取得极值的必要条件。
⾸先，设所考虑的变量函数均通过固定的两个端点：y(x0)=a,y(x1)=0即δy(x0)=0,δy(x1)=0考虑泛函的差值J[y+δy]−J[y]=∫x1x[F(x,y+δy,y′+(δy)′)−F(x,y,y′)]dx当函数的变分δy⾜够⼩时，可将上式进⾏泰勒展开，有J[y+δy]−J[y]=∫x1x0[δy∂∂y+(δy)′∂∂y′]F+12![δy∂∂y+(δy)′∂∂y"]2F+⋯dx=δJ[y]+12!δ2J[y]+⋯其中，δJ[y]≡∫x1x0[∂F∂yδy+∂F∂y′(δy)′]dx是泛函J[y] 的⼀级变分。
泛函J[y] 取极⼩值的必要条件是泛函的⼀级变分为 0，即：δJ[y]≡∫x1x0[∂F∂yδy+∂F∂y′(δy)′]dx=0将上式积分中的第⼆项分部积分，同时代⼊边界条件，有δJ[y]=∂F∂y′δy|x1x0+∫x1x[∂F∂yδy−ddx∂F∂y′δy]dx=∫x1x0[∂F∂y−d∂x∂F∂y′]δydx=0由于δy的任意性，可以得到{}∂F ∂y−d∂x∂F∂y′=0这个⽅程为 Euler-Lagrange ⽅程，它是泛函J[y] 取得极⼩值的必要条件的微分形式。
数学知识补充泰勒展开。
泛函数求极值
泛函数求极值
泛函数求极值是数学中一个重要的概念，它涉及到函数的极值的求解问题，是一个有趣的研究课题。
本文旨在为读者介绍泛函数求极值的基本知识，包括极值的概念、极值的计算方法以及极值在应用中的重要作用。
1.值概念
极值是指函数值在满足某些条件时能够等于或超过特定值或者
极限值的情况总称。
极值又分为最大值和最小值，又可分为本质极值和无穷极值。
本质极值是指函数在某点上达到最高点。
无穷极是指函数在某一区间上收敛于某一值，接近极限。
2.值的计算
计算泛函数极值，可以利用微积分的基本知识，如泰勒公式、全微分等，计算出函数的极点。
例如，求解函数f(x) = x3+x2-6x+8在实数域上的最大值，可以采用微积分中的全微分法，根据全微分法的原理，可以求出f`(x) = 3x2+2x-6=0，得到全微分的根，即x=-2，从而求出函数的最大值f(-2) = 4。
3.值的应用
极值的解决方法在工程、管理以及控制等领域中都有着重要的应用。
在工程中，极值的求解常常用来求解最优解，即满足目标的最佳解；在管理方面，极值求解可以帮助企业计算出最优的运营方案；此外，极值也可以用来控制机器人的运动，应用于自然语言处理等方面。
4.论
极值是函数性质的重要属性，研究极值的求解算法和方法，对于求解函数的最优解，推进工程、管理、控制等各方面的研究，都有着重要的意义。
本文主要介绍了泛函数求极值的基本知识，同时也简单介绍了极值在实际应用中的重要作用。
第二章 泛函极值及变分法(补充内容)
第二章 泛函极值及变分法（补充内容）2.1 变分的基本概念2.1.1 泛函和变分泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。
例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到：dx dx dy J BAx x ⎰+=2)/(1 （2.1.1）显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。
图2.1.1 两点间任一曲线的长度例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。
设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。
图2.1.2 最速降线问题选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为：dsv dt ==其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是：dt =设重力加速度为g ，则gy v 2=。
因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为：1[()]x x J y x =⎰211/2211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ⎧⎫'+=⎨⎬-⎩⎭⎰（2.1.2）则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。
回顾函数的微分：对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量：),()()()(x x x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆ρ （2.1.3） 其中A （x ）与∆x 无关，且有∆x →0时ρ（x ,∆x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=∆=∆，函数的微分就是函数增量的主部。
泛函极值问题
最大收益：手把手教你解决泛函极值问题泛函极值问题是数学领域的一个热门话题，近年来受到越来越多的关注。
其实，泛函极值问题也是一道数学问题，主要是针对对应一些映射关系的函数中，找到最大（最小）值点的问题。
本文将介绍泛函极值问题的相关知识点和解决方法。
首先，我们需要了解的是泛函的概念。
泛函是一类将元素集合映射成某个数域上的元素的映射函数，其中元素集合可以是一个函数空间或若干个函数空间的笛卡尔积。
泛函可以看作是一种从函数空间到数域上的函数映射，常用于函数空间中的极值问题。
接下来，我们来讲解一下泛函求最值的方法。
通常情况下，我们使用变分法进行求解。
变分法，又叫变分原理，是一种数学、力学、物理用于求解函数极值问题的方法，是一种求变分的极值，即求泛函的最小值的方法，是泛函分析的基本工具。
使用变分法求解泛函极值问题，通常需要先写出泛函和变分定义式，再对变分定义式进行接下来的运算，求解出泛函极值。
具体步骤为：
1.将泛函用变分定义式进行表达
2.对变分定义式进行展开和简化
3.利用变分定义式求一阶变分
4.把一阶变分代入变分定义式
5.消去高阶无穷小
6.得到泛函极值条件
通过以上步骤，我们可以使用变分法轻松解决泛函极值问题。
总的来说，泛函极值问题是一道比较困难的数学问题，需要我们结合数学知识和实际应用场景进行解决。
通过本文的介绍，相信读者们能够深入了解泛函极值问题的相关概念和解决方法，进而提升自己的求解能力。
泛函求极值
§ 7.2 泛函极值与变分法变分法是解决泛函极值的基本方法。
1. 泛函例 指标 0[(),(),]d [()]Tt J F x t u t t t S x T =+⎰的值依()x t 、0(),[,]u t t t T ∈是函数的函数 泛函 ()x t 和()u t 作为泛函的“自变量”，称为泛函的宗量例7.1 最短弧长问题：设()y y x =过11(,())A x y x 和22(,())B x y x若()y x 连续可微，则 2121d x x J yx =+⎰，(7.5) 是()y x 的泛函. 2. 泛函极值 设 (())J J y x =，(){}y x Y ∈=函数集若有y Y *∈，使()min ()y YJ y J y ∈*=或()max ()y YJ y J y ∈*=，则称泛函J 有极小值或极大值。
xo y))(,(22x y x B ))(,(11x y x A ∙∙)(x y 7.1图3. 变分 ≈函数的微分 宗量变分：在()y x 处的增量()()()y x yx y x δ=- Ox()y x ()y x ()yx ()()()y x yx y x δ =-O x泛函增量：[()][()]J J yx J y x ∆=- [()()][()]J y x y x J y x δ=+-泛函变分： 若[(),()][(),()],J L y x y x r y x y x ∆δδ=+式中：[(),()]L y x y x δ是()y x δ的线性连续泛函，即[(),()][(),()]L y x k y x k L y x y x δδ⋅=⋅ [(),()]r y x y x δ是()y x δ的高阶无穷小项，则称泛函J 是可微的，而称[(),()]L y x y x δ为泛函的变分，记为[(),()]J L y x y x δδ=。
引理7.1 若泛函可微，则变分[]()()a J J y x a y x aδδ=∂=+∂.证[]0()()a J y x a y x aδ=∂+∂0lima Ja∆→=00[(),()][(),()]lim lim a a L y x a y x r y x a y x a aδδ→→=+00[(),()][(),()]lim lim ()()[(),()]a a aL y x y x r y x a y x y x a a y x L y x y x J δδδδδδ。
泛函数求极值
泛函数求极值
泛函数求极值是数学中一个重要的概念，也被称作多元函数优化问题，其实质是求解一般的函数的极值，以最大或最小的值实现优化。
它有着在高等教育数学领域长期不变的广泛应用，被广泛应用于各类数学模型中，很大程度上可以提高模型的可行性。
首先，通过泛函数求极值，可以确定函数的最优值，以期达到相关数学模型的期望效果。
其次，当处理优化问题时，采用泛函数求极值可以解决有约束关系时的多元函数优化问题，可以有效地分解复杂的求解过程，从而提高运算质量，准确描述模型。
此外，泛函数求极值也可以探求非线性系统的最优解、分析最佳结构和方式、优化工程设计，用于有效的解决几何问题、统计问题、经济学问题等等。
总而言之，泛函数求极值是一项实用现代数学工具，在高等教育领域广泛开展的优化问题中，涉及到一般的函数的极值解求，能够很好地解决复杂的优化问题。
它具有求解最优值简洁性、分解复杂性、计算有效性等特点，为高等教育数学研究提供了进一步洞察和指导意义。
变分法及其应用
变分法及其应用1．变分问题2．泛函与泛函的极值3．变分基本定理4．无约束泛函的极值问题5．带约束泛函的极值问题6．变分法在最优控制中的应用1. 变分问题变分法是17世纪末开始发展起来的一个数学分支。
微积分研究了函数的极值。
变分法是为了研究泛函的极值问题而产生的。
而泛函的极值问题在力学、最优控制等领域经常遇到。
为了解变分法所研究问题的特点，先介绍几个例子。
例 1.1（最速降线问题）。
设一质量为m 的质点，在重力作用下，从定点A 沿曲线下滑到定点B ，试确定一条曲线，使质点下滑的时间最短。
假定（1）A ，B 两点不在同一铅直线上，（2）质点在A 点处的初速为0v ，（3）不计曲线上的摩擦力和周围介质的阻力。
取坐标系xOy ，A 点的坐标为00(,)x y ， B 点的坐标为11(,)x y ，过A ，B 两点任取一条 光滑曲线l ，设其方程为01:(),l y y x x x x =≤≤。
若质点从点A 沿曲线l 下滑到任意一点(,)P x y 处的速率为v ，由能量守恒定律可得22001()()2m v v mg y y -=-， 其中g 为重力加速度。
记 图1.1 最速降线2002v y gα=-， 则v =若s 表示弧 AP 的长度，由微分学知识，dsv dt=，并且ds =，则ds dt v ==。
沿曲线l 从A 点下滑到B 点所需时间为1xTldsT dtv===⎰⎰⎰。
（1.1）对于过A，B两点的每一条光滑曲线l，由积分（1.1）都有唯一确定的T值与之对应，即T是依赖于曲线()y y x=的，不妨记[]T T y=。
如果记集合1010011{()|()[,],(),()}D y x y x C x x y x y y x y=∈==，则最速降线问题归结为在集合D上求泛函[]T T y=的极小值问题，即求()y x D∈，使得1minxx=⎰。
这个问题由约翰.贝努利（Johann Bernoulli）1696年提出并研究。
第2章泛函变分的基础概念(16K)
第2章 泛函极值问题的一些基本概念§2.1 泛函的极大值和极小值问题如果函数)(x y 在0x x =附近的任意点上的值都不大（小）于)(0x y ，也即)0(0)()(d 0≥≤-=x y x y y 时，则称函数)(x y 在0x x =上达到极大（极小），而且在0x x =上，有0d =y （2-1）对于泛函)]([x y ∏,也有类似的定义。
如果泛函)]([x y ∏在任何一条与)(0x y y =接近的曲线上的值不大（或不小）于)]([0x y ∏，也就是，如果0)]([)]([δ0≤∏-∏=∏x y x y （或0≥）时，则称泛函)]([x y ∏在曲线)(0x y y =上达到极大值（或极小值），而且在)(0x y y =上，有0δ=∏ （2-2）在这里，对于泛函的极值概念有进一步说明的必要，凡说到泛函的极大（或极小）值，主要是说泛函的相对的极大（或极小）值，也就是说，从互相接近的许多曲线来研究一个最大（或最小）的泛函值，但是曲线的接近有不同的接近度。
因此，在泛函的极大极小的定义里，还应说明这些曲线有几阶的接近度。
如同一般函数极大（极小）讨论一样，如果泛函在)(0x y y =曲线上有强极大（极小）值，不仅对于那些既是函数接近而且导数也接近的)(x y 而言是极大（极小）值，而且对于那些只是函数接近但导数不接近的)(x y 而言，也是极大（极小）值，所以泛函在)(0x y y =曲线上是强极大（极小）值时，也必在)(0x y y =上是弱极大（极小）值。
反之，则不然，即泛函在)(0x y y =曲线上有弱极大（极小）值时，不一定是强极大（极小）值，因为有可能对于那些只是函数接近但导数不接近的)(x y 而言，有一个比函数与导数都接近的)(x y 所求的极大（极小）更大（小）的极大（极小）值存在。
所以弱极大（极小），不能满足强极大（极小）的要求。
这一概念可以推广到包含多个函数的泛函中去。
泛函求极值的必要条件
泛函求极值的必要条件泛函求极值可是个很有趣的事儿呢。
咱就像探索一个神秘的宝藏一样去研究它的必要条件。
你想啊，泛函就像是一个超级复杂的魔法函数，它可不是普通函数那么简单。
极值呢，就像是这个魔法世界里的特殊点，特别又神秘。
那求这个极值的必要条件，就好比是在寻找宝藏入口的钥匙。
这个条件啊，是我们了解泛函在什么时候会达到那种特殊的极值状态的关键。
就像我们在生活里找东西，要知道一些特定的线索才能找到我们想要的宝贝一样。
泛函的极值必要条件可不是随便就能琢磨透的。
它涉及到很多数学概念的纠缠和拉扯。
比如说，它可能会跟变分法有着千丝万缕的联系。
这就像是一个复杂的人际关系网，每一个概念都是网里的一个小节点，牵一发而动全身。
从某种角度看，泛函求极值的必要条件就像是一个严格的规矩。
泛函要想达到极值，就得按照这个规矩来。
就像我们玩游戏，也得遵守游戏规则才能获胜一样。
如果不遵守这个必要条件，泛函就别想达到极值啦。
在探索这个必要条件的道路上，我们可能会遇到好多挫折呢。
有时候你觉得自己已经很接近答案了，可突然又发现走进了死胡同。
不过这也是乐趣所在呀。
就像我们走迷宫，虽然可能会碰壁，但每次碰壁后重新找路的过程都是充满期待的。
我们在研究这个的时候，不能只是死板地按照公式来。
要带着一种好奇和探索的精神。
把那些数学符号都当成是有生命的小精灵，它们组合在一起就是在讲述一个关于极值的故事。
每一个等式，每一个推导，都是这个故事里的精彩情节。
泛函求极值的必要条件虽然难，但是当我们真正理解它的时候，就像是打开了一扇通往新世界的大门。
我们能看到数学的这个小角落里藏着的美妙风景，那种成就感是无法言喻的。
就像是你在沙漠里走了好久，突然看到了一片绿洲一样兴奋。
这也是数学的魅力所在呀，总是能在看似枯燥的背后给我们带来意想不到的惊喜。
第2章_泛函的极值
第2章 泛函的极值在讨论泛函的极值以前, 我们先来回顾一下函数的极值问题。
2.1函数的极值性质2.1.1 函数的连续性任意一个多元函数12(),(,,...,)T n n f x x x R =∈x x , 0>∀ε, 如果0)(>=∃εδδ, 当0δ-<x x (或者说0(,)O δ∈x x )时, 有0()()f f ε-<x x那么, 我们称()f x 在0x 处是连续的, 记为0()lim ()of f →=x x x x 。
2.1.2 函数的可微性更进一步, 如果存在1(,,)T nnA A R ∃=∈A , 使得01000(,,,,)()lim,1i n i i if x x x f A i n x x →-=∀≤≤-x x x那么我们称()f x 在0x 处是可微的, 或者说存在(一阶)导数, (一阶)导数记为'()f x'()f =x A或者记为12'(),,...,Tn f f f f f x x x ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭x ∇其中∇为梯度算子(或者Hamilton 算子, 见附1)。
同理, 可以定义该函数的两阶导数"()f x2222112122222122222222"()n n n n n ff f x x x x x f f f f f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥==∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦D x及更高阶导数。
这里f D 也称为Jacobi 矩阵。
如果函数()f x 在某点0x 足够光滑, 那么我们就可以在该点附近把函数作以下的展开22000201(d )()d d (d )2!d d ()d d ()d T T f f f f o f f f f +=+++==x x x x x x x D x x∇其中()o ⋅为高阶小量, d f ,d f 分别为函数()f x 的一阶微分和两阶微分。
泛函数求极值
泛函数求极值泛函数求极值是一个经典的数学理论。
它涉及数学中的函数解析、微积分、解析几何等多种学科，无论是在研究运动中的动能定理、利用有限差分法进行数值计算，还是研究机器学习算法，都用到了泛函数求极值理论。
什么是泛函数求极值？泛函数求极值，就是求解泛函数在某一区域上取极值的问题。
一般来说，泛函数求极值的求解方法可以分为定义域上的求极值和定义域外的求极值。
在定义域内求极值指的是在定义域内，函数值一定是取极值点，这个点就是极值点。
而定义域外求极值，指的是求解极限函数在某一点上取极值的问题。
为了求解泛函数极值，数学家们引入了多种方法，其中最常用的方法包括等高线图法、图形插值法和极限法等。
首先介绍等高线图法，它是一种求解泛函数极值的最简单有效的方法。
等高线图法通过绘制函数的函数图像，即等高线图，来确定泛函数的极值点，从而求解极值问题。
具体的做法是：（1）画出函数的等高线图；（2）从等高线图中找出等高线的交点；（3）检查这些交点是否是极值点；（4）由于泛函数可能存在多个极值，所以需要进一步讨论函数在它们附近的行为，以确定多个极值点中的最大值或最小值；（5）在某一极值点处，找出此点的函数值以及此点的梯度，从而得出极值点的函数值及其斜率，确定极值点的性质。
其次介绍图形插值法，这种方法常用于求解定义域外的极值问题。
图形插值法通过插值函数将函数的凸区域划分为若干个子区域，利用中点判别法或极限判别法求解每个子区域中极大值点或极小值点，从而获得泛函数在定义域外的极值。
最后介绍极限法，这种方法可以在定义域内求函数的极值点和定义域外的极值点，是一种最常用的泛函数求极值的方法。
它的基本原理是，如果函数在某点取得最大值（最小值），则这个点的极限趋于无穷，而极限的值就是函数的极值。
以上就是泛函数求极值的基本内容，它充分反映了数学理论在求解实际问题中的重要作用。
它不仅仅是一种概念，更是一项科学技术，可以帮助我们解决许多有用的实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
泛函和泛函的极值
泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
作为变分法的简单例题。
考察x,y 平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y(x)中最短曲线。
设P 1（x 1，y 1）和P 2（x 2，y 2）为平面上给定的两点，y （x ）为连接两点的任意曲线。
于是，这一曲线的长度为
连接P 1，P 2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L 值与其对应。
满足边界条件的y （x ）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L 最小的一条。
根据上式，L [y ]依赖于y （x ），而y （x ）是x 的函数，因此称y （x ）为自变函数；L [y ]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。
求解最短程线问题，即在满足边界条件
在x =x 1时， y （x ）=y 1 y'（x 1）= y'1 在x =x 2时， y （x ）=y 2 y'（x 1）= y'1
的函数y （x ）中，求使得泛函L [y ]为极值的特定函数。
因此 y （x ）称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函
在边界条件 y （x 1）=y 1, y （x 2）=y 2的极小值问题。
假设函数y（x）是使得泛函L[y]为最小的特定函数（真实的）。
变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数引起泛函L []的改变。
设
其中ε 为小参数，而η (x)为边界值为零的任意函数。
当x固定时，容许函数
与y（x）的差 δ y称为泛函自变函数的变分，即
类似地，容许函数的斜率与y（x）斜率的差δ y', 称为泛函自变函数斜率的变分，即
应该注意δ y与函数y（x）的微分d y之间的差别，d y是自变量x的改变量d x 引起的y（x）的无穷小增量。
而变分δ y是y（x）的任意一个微小的改变量。
设泛函增量
按泰勒级数展开，则
设泛函的增量由泛函的变分表示，有
分别定义为泛函的一阶，二阶或k阶变分，分别为ε 的一次，二次或者k次齐次式。
根据假设，y（x）是使得泛函J[y]为最小的特定函数。
从而泛函增量∆ J 大
于零。
注意到当参数ε 减小时，函数趋近于y（x），泛函增量∆ J趋近于零。
首先讨论泛函J[y]为极值的条件，考虑泛函增量各项相对量阶的大小。
由于一阶变分δ y与小参数ε成正比，而二阶变分δ 2y与小参数ε2成正比，一般的讲，而k阶变分δ k y与小参数εk成正比。
因此，当ε充分小时，二阶以上各项变分与一阶变分δ J比较，可以忽略不计。
所以，泛函增量∆ J趋近于零的条件为
∆ J=0
在泛函极值条件确定后，如果分析泛函的极值是最小值还是最大值，需要考虑泛函的二阶变分δ 2J。
在泛函极值条件确定后，如果分析泛函的极值是最小值还是最大值，需要考虑泛函的二阶变分。
因为满足极值条件时
由于二阶变分δ 2J与小参数ε成正比，而k阶变分δ k J与小参数ε k成正比。
因此，当ε充分小时，三阶以上变分与二阶变分δ 2J比较，可以忽略不计。
因此，如果δ 2J≥0，则∆ J＞0，泛函J[y]为极小值的；反之，如果δ 2J≤0，则∆ J＜0，泛函J[y]为极大值的。
因此可以得出结论，泛函J具有极值的条件是其一阶变分δ J=0，如果二阶变分δ 2J是正定的，则此极值是最小值；如果二阶变分δ 2J是负定的，则此极值是最大值。
上述条件为泛函极值的充分条件。
以下讨论泛函J [y]极值的必要条件。
对于泛函J[y]的一阶变分
由于变分δ y和δ y'不是独立无关的，因此上式第二项积分可以写作
回代则
回代，则
由于函数y（x）在P1，P2两点的值为已知，δ y=在这两点不可能有变化，即在x=x1和x=x2时，δ y=0，所以
由于δ y在区间（x1,x2）是x的任意函数,所以上式成立的必要条件为积分函数在区间（x1,x2）内为零。
即y（x）能使得泛函为最大或者最小的必要条件是
上式称为欧拉(Euler)方程。
求解此方程并且利用相应的边界条件, 就可以确定y（x）。
欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件，并不是充分条件。
如果要确定泛函J为极大值或者极小值，还需要判断其二阶变分δ 2 J大于还是小于零。
例题III-1 已知泛函
满足边界条件，试求泛函在什么曲线上取极值。
解：欧拉方程为
通解
根据边界条件，可得：C=0，D=1
所以
即泛函在正弦函数曲线上达到极值。