机械系统运动稳定性分析的Routh-Hurwitz法

第
卷 第 期 年 月
河 南 科 技 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版 ） （
）
文章编号：
（
）
机械系统运动稳定性分析的
张淑芬， 张彦斌， 王彦生
（河南科技大学 建筑工程学院， 河南 洛阳 ）
法
摘要： 对机械运动中多自由度线性自治系统的运动稳定性分析有多种方法， 但是这些方法不是受到使用条件 的限制就是数学分析繁杂。本文利用劳斯 关键词： 运动稳定性； 线性系统； 劳斯 中图分类号： 赫尔维茨判据 （ ） 对上述系统的运动稳定 性问题进行了研究探讨。给出的算例表明该方法较为简捷、 实用。 赫尔维茨判据； 机械振动 文献标识码：
若特征方程全部根都有负实部时， 零解是渐近稳定的； 若特征方程的根中有一个 （或一个以上） 具有 正实部时， 零解是不稳定的； 而若特征方程没有正实部的根而有实部为零的根， 当零实部的根是单根时
［ 零解是稳定的； 当零实部的根是重根时， 则需进一步研究 ，］
。 次代数方程的根。而为了判别 赫尔维茨给 （ ）
表示， 并排成
（ ） ， 上式可写作矩阵形式 K （ ）
（ C 干 G）
第 期
张淑芬等： 机械系统运动稳定性分析的
法
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阶方阵 ! 、 刚度阵、 阻尼阵和陀螺阵。 "、 #、 $ 分别称为系统的质量阵、 !、 "、 # 通常为对称矩阵， $ 为反对称矩阵。 当系统无陀螺力时， $ ， 线性微分方程组的矩阵形式为
基金项目： 河南省自然科学基金资助项目 （ 作者简介： 张淑芬 （ 收稿日期：
） ， 女， 河南新乡人， 副教授， 研究领域为力学， 主要方向为机械振动
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河 南 科 技 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版 ）
年
（） 任意第 （ ） 自
行内， 自对角线元素 !
向左的元素依次按 ，
! " （! ） ! （ ） ! ! ! 为拉格朗日函数； 为系统内除有势力和粘性阻尼力以外的其它广义力； " 为瑞利
） 耗散函数， 定义为 "
#
， 而粘性阻尼力
可用耗散函数表示， 即
! " !
导出系统线性化动力学微分方程的普遍形式 ［ # 令 ， 将 改用 （ ） 阶列阵 ＊ ］ （ ，， …， ） （ ）
使用上述特征根判据定理的主要困难在于需要求出特征方程即
系统的稳定性， 实际只需知道所有根的符号就够了。利用多项式的根与系数的关系， 劳斯 … 规定其中 （ ） 将 ， 将此方程的系数按以下规则构成 阶方阵 ! 。 ， ， …， 依次排列为对角线元素。
）
出了代数方程的根均为负实部的条件。设常系数线性微分方程组的特征方程展开后的一般形式为
源自文库
!
方法与应用
在一般机 械 系 统 的 线 性
劳斯 ， ， ， ， 或 ， ，
表! 赫尔维茨判据
劳斯 " 赫尔维茨判据
化动力学方程中通常包含保 守力、 阻尼力和陀螺力三种类 型的广义力， 对于只含保守力 的理想化系统， 可利用拉格朗
［ 日定理 ，］
， 或
， ， ，（ ）
判断其稳定性。 但
在分析工程实际问题时， 必须了解阻尼力、 陀螺力对系统平衡稳定性的影响。 下面给出利用劳斯 维茨判据分析机械运动中多自由度线性自治系统运动稳定性问题的方法步骤。 （ ） 利用拉格朗日方程推导系统的动力学微分方程。 设系统的动能 和势能 的一般形式为
赫尔
##
若系统内存在粘性阻尼力， 记作 动产生的科氏惯性力引起的陀螺力， 记作
，
##
（ ）
， 通常可表示为广义速度
的线性函数， 还存在通常由旋转运
， 为广义速度的一次式， 则阻尼力和陀螺力的一般形式为
#
，
#
（
，， …，）
（ ）
将式 （ ） （ ） 、 代入存在粘性阻尼力系统的拉格朗日方程
其中 （ ，
（ ） ! # " （ ） 写出方程 （ ） 的特征方程， 并由常微分方程理论， 常系数线性微分方程组有非零解的条件是其 特征方程行列式必须等于零， 即 ! 展开式 （ ） 后的代数方程即为式 （ ） 。 （ ） 分别求出系数 ， ， …， ， 根据劳斯 赫尔维茨判据 的滑块 可 ， 质 进行分析， 判断其系统的稳定性。 算例： 图 所示两自由度有阻尼系统， 质量为 沿光滑水平直线轨道运动， 滑块左端与刚度系数为 和阻尼系数为 的阻尼器相连， 并通过铰链 量为 的匀质细杆 析系统在平衡位置附近运动的稳定性。 解： （ ） 取 ， 写出系统的动能 ! 为广义坐标， 函数 " 。 ［ （ ， 势能 ， 耗散
， … … … … …
， …， 排列， 以后的元素为零。 !
向右的元素依次按
， …， 排列， 以后的元素为零。
D
（ ）
!
!
!
!
!
D 矩阵的
个主子行列式"（ "
，， …， ） 称为代数方程的赫尔维茨行列式 ， " ， " ， … （ ）
的所有根均有负实部的充分与必要条件为所有的赫尔维茨行列式均大于零， 即 定理： 代数方程 （ ） （ ，， …， ） " 对于几种低阶情形， 上述条件可予以简化， 在表 中列出。 （ ）
理论
对于多自由度线性定常 （自治） 系统 （受扰运动微分方程中不显含 是常系数线性微分方程组， 由其解可以判断零解的稳定性
［ ，］
的系统） ， 其受扰运动微分方程 个线性无关
。由常微分方程理论可知， 常系数线性微
分方程组有非零解的条件是其特征方程行列式必须等于零。而微分方程组的通解是其 解的组合， 方程组零解稳定性可根据特征方程的根来判定。
前言
在力学、 自动控制、 宇宙航行、 电子技术、 生物化学等许多领域中， 都存在运动 （包括静止） 的稳定性 问题。在工程实际问题中常需要判断系统的某种运动是否稳定， 即判断当状态变量受到微小扰动后， 其 受扰运动规律是否仍接近未扰运动的规律。在振动力学中稳定性的研究甚为重要。 对运动稳定性分析， 在相关文献中介绍了很多方法， 如李雅普诺夫 （ 直接法）
［ ］
，
） 法 （含一次近似理论和
［］ ） 定理 、 劳 ［ ） 定理 ］
、 相平面法
［ ，］
、 邦加莱 （
，） 法则
［ ，］
、 拉格朗日 狄里克雷 （
斯 赫尔维茨 （
［ ，］ ） 判据 、 开尔文 泰勒 切塔耶夫 （
等等。
对于机械系统中多自由度线性自治系统的稳定性分析， 劳斯一赫尔维茨方法不失为一种较为方便、 简捷的实用方法。因为线性系统是一种特殊的动力学系统， 由于线性常系数微分方程组的数学理论已 发展得十分完善， 可以提供更简单的稳定性判断方法， 因此在工程设计中， 经常将原系统的非线性项略 去， 近似化作线性系统， 即一次近似系统。本文利用劳斯 系统的运动稳定性分析问题进行初步研究。 赫尔维茨法对机械运动中多自由度线性自治