人教版七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷及答案

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一、压轴题
1．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC．
①求t的值；
②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）．
2．数轴上A、B两点对应的数分别是﹣4、12，线段CE在数轴上运动，点C在点E的左边，且CE＝8，点F是AE的中点．
（1）如图1，当线段CE运动到点C、E均在A、B之间时，若CF＝1，则AB＝，AC ＝，BE＝；
（2）当线段CE运动到点A在C、E之间时,
①设AF长为x，用含x的代数式表示BE＝（结果需化简
．．．．．）；
②求BE与CF的数量关系；
（3）当点C运动到数轴上表示数﹣14的位置时，动点P从点E出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，抵达B后，立即以原来一半速度返回，同时点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设它们运动的时间为t秒（t≤8），求t为何值时，P、Q 两点间的距离为1个单位长度．
3．已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，AB=14，点A对应的数为a，点B对应的数为b.
(1) 若b＝－4，则a的值为__________.
(2) 若OA＝3OB，求a的值.
(3) 点C为数轴上一点，对应的数为c．若O为AC的中点，OB＝3BC，直接写出所有满足条件的c的值.
4．综合与探究问题背景数学活动课上，老师将一副三角尺按图（1）所示位置摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM、ON，然后提出如下问题：求出∠MON的度数．
特例探究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的角平分线．其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON、OD、OB在同一直线上．按图3方式摆放时，∠AOC和
∠BOD相等．
（1）请你帮助“兴趣小组”进行计算：图2中∠MON的度数为°．图3中
∠MON的度数为°．
发现感悟
解决完图2，图3所示问题后，“兴趣小组”又对图1所示问题进行了讨论：
小明：由于图1中∠AOC和∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC和∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数．
小华：设∠BOD为x°，我们就能用含x的式子分别表示出∠NOD和∠MOC度数，这样也能求出∠MON的度数．
（2）请你根据他们的谈话内容，求出图1中∠MON的度数．
类比拓展
受到“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出
∠AOC、∠BOD的平分线OM、ON，他们认为也能求出∠MON的度数．
（3）你同意“智慧小组”的看法吗？若同意，求出∠MON的度数；若不同意，请说明理由．
5．问题：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则
该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
探究：要研究上面的问题，我们不妨先从最简单的情形入手，进而找到一般性规律.
探究一：将边长为2的正三角形的三条边分别二等分，连接各边中点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
如图①，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下看：
边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，共有个；
边长为2的正三角形一共有1个.
探究二：将边长为3的正三角形的三条边分别三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
如图②，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，共有个；边长为
2的正三角形共有个.
探究三：将边长为4的正三角形的三条边分别四等分（图③），连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
（仿照上述方法，写出探究过程）
结论：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
（仿照上述方法，写出探究过程）
应用：将一个边长为25的正三角形的三条边分别25等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形有______个和边长为2的正三角形有______个. 6．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？
在①135︒，②120︒，③75︒，④25︒中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是_________；（填序号）
（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（AOB ∠）的顶点与60角（COD ∠）的顶点互相重合，且边OA 、OC 都在直线EF 上.固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB 与射线OF 第一次重合时停止.
①当OB 平分EOD ∠时，求旋转角度α；
②是否存在2BOC AOD ∠=∠？若存在，求旋转角度α；若不存在，请说明理由. 7．如图，已知数轴上点A 表示的数为10，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且AB=30，动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒.
(1)数轴上点B 表示的数是________，点P 表示的数是________(用含的代数式表示)； (2)若M 为线段AP 的中点，N 为线段BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度会发生变化吗?如果不变，请求出这个长度；如果会变化,请用含的代数式表示这个长度； (3)动点Q 从点B 处出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问点P 运动多少秒时与点Q 相距4个单位长度?
8．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，∠AOC =30°，将一直角三角尺（∠M =30°）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．
(1)若将图1中的三角尺绕点O 以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t 秒，当OM 恰好平分∠BOC 时，如图2． ①求t 值；
②试说明此时ON 平分∠AOC ；
(2)将图1中的三角尺绕点O 顺时针旋转，设∠AON =α，∠COM =β，当ON 在∠AOC 内部时，试求α与β的数量关系；
(3)若将图1中的三角尺绕点O 以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC 也绕
点O 以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC 第一次平分∠MON ?请说明理由．
9．从特殊到一般，类比等数学思想方法，在数学探究性学习中经常用到，如下是一个具体案例，请完善整个探究过程。

已知：点C 在直线AB 上，AC a =，BC b =，且a b ，点M 是AB 的中点，请按照
下面步骤探究线段MC 的长度。

（1）特值尝试
若10a =，6b =，且点C 在线段AB 上，求线段MC 的长度. （2）周密思考：
若10a =，6b =，则线段MC 的长度只能是（1）中的结果吗？请说明理由. （3）问题解决
类比（1）、（2）的解答思路，试探究线段MC 的长度（用含a 、b 的代数式表示）. 10．已知：A 、O 、B 三点在同一条直线上，过O 点作射线OC ，使∠AOC ：∠BOC ＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON 落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为 度；
（2）继续将图2中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON 在∠AOC 的内部．试探究∠AOM 与∠NOC 之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O 按5°每秒的速度沿逆时针方向旋转一周的过程中，当直角三角板的直角边OM 所在直线恰好平分∠BOC 时，时间t 的值为 （直接写结果）． 11．如图，12cm AB =，点C 是线段AB 上的一点，2BC AC =.动点P 从点A 出发，以
3cm /s 的速度向右运动，到达点B 后立即返回，以3cm /s 的速度向左运动；动点Q 从
点C 出发，以1cm/s 的速度向右运动. 设它们同时出发，运动时间为s t . 当点P 与点Q 第二次重合时，P Q 、两点停止运动. （1）求AC ，BC ；
（2）当t 为何值时，AP PQ =；
（3）当t 为何值时，P 与Q 第一次相遇； （4）当t 为何值时，1cm PQ =.
12．点A 在数轴上对应的数为﹣3，点B 对应的数为2． (1)如图1点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程2x +1＝1
2
x ﹣5的解，在数轴上是否存在点P 使PA +PB ＝
1
2
BC +AB ？若存在，求出点P 对应的数；若不存在，说明理由； (2)如图2，若P 点是B 点右侧一点，PA 的中点为M ，N 为PB 的三等分点且靠近于P 点，
当P 在B 的右侧运动时，有两个结论：①PM ﹣
34
BN 的值不变；②13
PM 24+ BN 的值不
变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值
13．如图，数轴上有A 、B 、C 三个点，它们表示的数分别是25-、10-、10．
（1）填空：AB ＝ ，BC ＝ ；
（2）现有动点M 、N 都从A 点出发，点M 以每秒2个单位长度的速度向右移动，当点M 移动到B 点时，点N 才从A 点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，求点N 移动多少时间，点N 追上点M ？
（3）若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．试探索：BC －AB 的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由．
14．已知：如图，点M 是线段AB 上一定点，12AB cm =，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1/cm s 、2/cm s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段
AM 上，D 在线段BM 上）
()1若4AM cm =，当点C 、D 运动了2s ，此时AC =________，DM =________；
（直接填空）
()2当点C 、D 运动了2s ，求AC MD +的值．
()3若点C 、D 运动时，总有2MD AC =，则AM =________（填空） ()4在()3的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN BN MN -=，求MN AB
的值．
15．如图，已知线段AB=12cm ，点C 为AB 上的一个动点，点D 、E 分别是AC 和BC 的中
点．
（1）若AC=4cm，求DE的长；
（2）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变；（3）知识迁移：如图②，已知∠AOB=α，过点O画射线OC，使∠AOB:∠BOC=3:1若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试探究∠DOE与∠AOB的数量关系．
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一、压轴题
1．（1）①5；②OQ平分∠AOC，理由详见解析；（2）5秒或65秒时OC平分∠POQ；
（3）t＝70
3
秒．
【解析】
【分析】
（1）①由∠AOC＝30°得到∠BOC＝150°，借助角平分线定义求出∠POC度数，根据角的和差关系求出∠COQ度数，再算出旋转角∠AOQ度数，最后除以旋转速度3即可求出t 值；②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可；
（2）根据旋转的速度和起始位置，可知∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，根据角平分线定义可知∠COQ＝45°，利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t；（3）先证明∠AOQ与∠POB互余，从而用t表示出∠POB＝90°﹣3t，根据角平分线定义再用t表示∠BOC度数；同时旋转后∠AOC＝30°+6t，则根据互补关系表示出∠BOC度数，同理再把∠BOC度数用新的式子表达出来．先后两个关于∠BOC的式子相等，构造方程求解．
【详解】
（1）①∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°,
∵OP平分∠BOC，
∴∠COP ＝
1
2
∠BOC ＝75°, ∴∠COQ ＝90°﹣75°＝15°,
∴∠AOQ ＝∠AOC ﹣∠COQ ＝30°﹣15°＝15°, t ＝15÷3＝5； ②是，理由如下：
∵∠COQ ＝15°，∠AOQ ＝15°， ∴OQ 平分∠AOC ； （2）∵OC 平分∠POQ ， ∴∠COQ ＝
1
2
∠POQ ＝45°． 设∠AOQ ＝3t ，∠AOC ＝30°+6t ，
由∠AOC ﹣∠AOQ ＝45°，可得30+6t ﹣3t ＝45， 解得：t ＝5，
当30+6t ﹣3t ＝225，也符合条件， 解得：t ＝65，
∴5秒或65秒时，OC 平分∠POQ ； （3）设经过t 秒后OC 平分∠POB ， ∵OC 平分∠POB ， ∴∠BOC ＝
1
2
∠BOP ， ∵∠AOQ +∠BOP ＝90°， ∴∠BOP ＝90°﹣3t ，
又∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣30°﹣6t ， ∴180﹣30﹣6t ＝
1
2
（90﹣3t ）， 解得t ＝
703
． 【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，根据角度的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键. 2．（1）16,6,2；（2）①162x -②2BE CF =；（3）t=1或3或487
或527 【解析】 【分析】
(1)由数轴上A 、B 两点对应的数分別是-4、12，可得AB 的长;由CE ＝8，CF ＝1，可得EF 的长，由点F 是AE 的中点，可得AF 的长，用AB 的长减去2倍的EF 的长即为BE 的长；
(2)设AF ＝FE ＝x ，则CF ＝8-x ，用含x 的式子表示出BE ，即可得出答案 (3)分①当0＜t ≤6时； ②当6＜t ≤8时，两种情况讨论计算即可得解
【详解】
（1）数轴上A 、B 两点对应的数分别是-4、12， ∴AB=16，
∵CE=8，CF=1，∴EF=7， ∵点F 是AE 的中点，∴AF=EF=7，
,∴AC=AF ﹣CF=6，BE=AB ﹣AE=16﹣7×2=2， 故答案为16，6，2；
(2)∵点F 是AE 的中点，∴AF=EF ， 设AF=EF=x,∴CF=8﹣x ， ∴BE=16﹣2x=2（8﹣x ）， ∴BE=2CF.
故答案为①162x -②2BE CF =；
(3) ①当0＜t ≤6时，P 对应数：-6+3t ，Q 对应数-4+2t ，
=4t t =2t =1PQ ﹣＋2﹣（﹣6＋3）﹣，
解得：t=1或3；
②当6＜t ≤8时，P 对应数()33
126t 22
t -
--＝21 ， Q 对应数-4+2t ， 37
=4t =t 2=12
t PQ -﹣＋2﹣（）25﹣21，
解得：48t=
7或52
7
； 故答案为t=1或3或487
或52
7. 【点睛】
本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，根据题意正确列式，是解题的关健
3．(1)10；(2)212±；(3)288. 5
±±，
【解析】 【分析】
(1)根据题意画出数轴，由已知条件得出AB=14,OB=4,则OA=10,得出a 的值为10. (2)分两种情况,点A 在原点的右侧时,设OB=m,列一元一次方程求解,进一步得出OA 的长度,从而得出a 的值.同理可求出当点A 在原点的左侧时,a 的值. (3)画数轴,结合数轴分四种情况讨论计算即可. 【详解】
(1)解：若b ＝－4，则a 的值为 10 (2)解：当A 在原点O 的右侧时（如图）：
设OB=m,列方程得：m+3m=14，
解这个方程得，
7
m
2 ，
所以，OA=21
2
，点A在原点O的右侧，a的值为
21
2
.
当A在原点的左侧时（如图)，
a=－21 2
综上，a的值为±21
2
.
(3)解：当点A在原点的右侧，点B在点C的左侧时（如图), c=－28 5
.
当点A在原点的右侧，点B在点C的右侧时（如图), c=－8.
当点A在原点的左侧，点B在点C的右侧时，图略，c=28 5
.
当点A在原点的左侧，点B在点C的左侧时,图略，c=8.
综上，点c的值为：±8，±28 5
.
【点睛】
本题考查的知识点是通过画数轴,找出数轴上各线段间的数量关系并用一元一次方程来求解,需要注意的是分情况讨论时要考虑全面,此题充分锻炼了学生动手操作能力以及利用数行结合解决问题的能力.
4．（1）135，135；（2）∠MON＝135°；（3）同意，∠MON＝（90°﹣1
2
x°）+x°+
（45°﹣1
2
x°）＝135°.
【解析】【分析】
（1）由题意可得，∠MON＝1
2
×90°+90°，∠MON＝
1
2
∠AOC+
1
2
∠BOD+∠COD，即可
得出答案；
（2）根据“OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线”可求出∠MOC+∠NOD，又∠MON ＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD，即可得出答案；
（3）设∠BOC＝x°，则∠AOC＝180°﹣x°，∠BOD＝90°﹣x°，进而求出∠MOC和∠BON，又∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON，即可得出答案.
【详解】
解：（1）图2中∠MON＝1
2
×90°+90°＝135°；图3中∠MON＝
1 2∠AOC+
1
2
∠BOD+∠COD＝
1
2
（∠AOC+∠BOD）+90°＝
1
2
90°+90°＝135°；
故答案为：135，135；
（2）∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，
∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线，
∴∠MOC+∠NOD＝1
2
∠AOC+
1
2
∠BOD＝
1
2
（∠AOC+∠BOD）＝45°，
∴∠MON＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD＝45°+90°＝135°；（3）同意，
设∠BOC＝x°，则∠AOC＝180°﹣x°，∠BOD＝90°﹣x°，∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线，
∴∠MOC＝1
2
∠AOC＝
1
2
（180°﹣x°）＝90°﹣
1
2
x°，
∠BON＝1
2
∠BOD＝
1
2
（90°﹣x°）＝45°﹣
1
2
x°，
∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON＝（90°﹣1
2
x°）+x°+（45°﹣
1
2
x°）＝135°．
【点睛】
本题考查的是对角度关系及运算的灵活运用和掌握，此类问题的练习有利于学生更好的对角进行理解.
5．探究三：16,6；结论：n²,;应用：625，300.
【解析】
【分析】
探究三：模仿探究一、二即可解决问题；
结论：由探究一、二、三可得：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，边长为1的正三角形共有个；边长为2的正三角形共有个；
应用：根据结论即可解决问题.
【详解】
解：探究三：
如图3，连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下看：边长为1的正三
角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，共有
个；
边长为2的正三角形有个.
结论：
连接边长为的正三角形三条边的对应等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，……，第层有
个，共有
个；
边长为2的正三角形，共有个.
应用：
边长为1的正三角形有=625（个），
边长为2的正三角形有
（个）. 故答案为探究三：16,6；结论：n², ;应用：625，300.
【点睛】
本题考查规律型问题，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
6．（1）④；（2）①15α=︒；②当105α=，125α=时，存在2BOC AOD ∠=∠. 【解析】 【分析】
（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来；
（2）①根据已知条件得到∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°，根据角平分线的定义得到∠EOB=
12∠EOD=1
2
×120°=60°，于是得到结论； ②当OA 在OD 的左侧时，当OA 在OD 的右侧时，根据角的和差列方程即可得到结论． 【详解】
解：（1）∵135°=90°+45°，120°=90°+30°，75°=30°+45°， ∴只有25°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故画不出； 故选④；
（2）①因为COD 60∠=，
所以EOD 180COD 18060120∠∠=-=-=. 因为OB 平分EOD ∠， 所以11
EOB EOD 1206022
∠∠=
=⨯=. 因为AOB 45∠=，
所以αEOB AOB 604515∠∠=-=-=.
②当OA 在OD 左侧时，则AOD 120α∠=-，BOC 135α∠=-.
因为BOC 2AOD ∠∠=， 所以()
135α2120α-=-. 解得α105=.
当OA 在OD 右侧时，则AOD α120∠=-，BOC 135α∠=-. 因为BOC 2AOD ∠∠=， 所以()135α2α120-=-.
解得α125=.
综合知，当α105=，α125=时，存在BOC 2AOD ∠∠=. 【点睛】
本题考查角的计算，角平分线的定义，正确的理解题意并分类讨论是解题关键． 7．（1）-20，10-5t ；（2）线段MN 的长度不发生变化，都等于15．（3）13秒或17秒 【解析】 【分析】
(1)根据已知可得B 点表示的数为10-30；点P 表示的数为10-5t ；
(2)分类讨论：①当点P 在点A 、B 两点之间运动时，②当点P 运动到点B 的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN ．
(3) 分①点P 、Q 相遇之前，②点P 、Q 相遇之后，根据P 、Q 之间的距离恰好等于2列出方程求解即可； 【详解】
解：（1））∵点A 表示的数为10，B 在A 点左边，AB=30， ∴数轴上点B 表示的数为10-30=-20；
∵动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒，
∴点P 表示的数为10-5t ； 故答案为-20，10-5t ；
（2）线段MN 的长度不发生变化，都等于15．理由如下： ①当点P 在点A 、B 两点之间运动时，
∵M 为线段AP 的中点，N 为线段BP 的中点， ∴MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP ）=AB=15； ②当点P 运动到点B 的左侧时：
∵M 为线段AP 的中点，N 为线段BP 的中点， ∴MN=MP-NP=AP-BP=（AP-BP ）=AB=15，
∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为15．
（3）若点P、Q同时出发，设点P运动t秒时与点Q距离为4个单位长度．
①点P、Q相遇之前，
由题意得4+5t=30+3t，解得t=13；
②点P、Q相遇之后，
由题意得5t-4=30+3t，解得t=17．
答：若点P、Q同时出发，13或17秒时P、Q之间的距离恰好等于4；
【点睛】
本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
8．（1）①t=3；②见解析；（2）β=α+60°；（3）t=5时，射线OC第一次平分∠MON.【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质以及余角补角的性质即可得出结论；
（2）根据∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC即可得到结论；
（3）分别根据转动速度关系和OC平分∠MON列方程求解即可．
【详解】
（1）①∵∠AOC=30°，OM平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°，
∴∠COM=∠BOM=75°．
∵∠MON=90°，∴∠CON=15°，∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，∴∠AON=∠CON，∴t=15°÷3°=5秒；
②∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC．
（2）∵∠AOC=30°，∴∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC，∴30°－α=90°－β，∴β=α+60°；
（3）设旋转时间为t秒，∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，∠CON=45°，
∴30°+8t=5t+45°，∴t=5．
即t=5时，射线OC第一次平分∠MON．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．
9．（1）2（2）8或2；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据线段之间的和差关系求解即可；
（2）由于B点的位置不能确定，故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况进行分类讨论；
（3）由（1）（2）可知MC=1
2
(a+b)或
1
2
(a-b）.
【详解】
解：解：（1）∵AC=10，BC=6，∴AB=AC+BC=16，
∵点M是AB的中点，
∴AM=1
2
AB
∴MC=AC-AM=10-8=2．
（2）线段MC的长度不只是（1）中的结果，
由于点B的位置不能确定，故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况：
①当B点在线段AC上时，
∵AC=10，BC=6，
∴AB=AC-BC=4，
∵点M是AB的中点，
∴AM=1
2
AB=2，
∴MC=AC-AM=10-2=8．
②当B点在线段AC的延长线上，
此时MC=AC-AM=10-8=2．
（3）由（1）（2）可知MC=AC-AM=AC-1
2
AB 因为当B点在线段AC的上，AB=AC-BC，
故MC=AC-1
2
(AC-BC)=
1
2
AC+
1
2
BC=
1
2
(a+b)
当B点在线段AC的延长线上，AB=AC+BC，
故MC=AC-1
2
（AC+BC）=1
2
AC-
1
2
BC=
1
2
(a-b）
【点睛】
主要考察两点之间的距离，但是要注意题目中的点不确定性，需要分情况讨论. 10．（1）90°；（2）30°；（3）12秒或48秒．
【解析】
【分析】
（1）依据图形可知旋转角=∠NOB，从而可得到问题的答案；
（2）先求得∠AOC的度数，然后依据角的和差关系可得到∠NOC=60°-
∠AON，∠AOM=90°-∠AON，然后求得∠AOM与∠NOC的差即可；
（3）可分为当OM为∠BOC的平分线和当OM的反向延长为∠BOC的平分线两种情况，然后再求得旋转的角度，最后，依据旋转的时间=旋转的角度÷旋转的速度求解即可．
【详解】
（1）由旋转的定义可知：旋转角＝∠NOB＝90°．
故答案为：90°
（2）∠AOM﹣∠NOC＝30°．
理由：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝60°．
∴∠NOC＝60°﹣∠AON．
∵∠NOM＝90°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
（3）如图1所示：当OM为∠BOC的平分线时，
∵OM为∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝∠BOC＝60°，
∴t＝60°÷5°＝12秒．
如图2所示：当OM的反向延长为∠BOC的平分线时，
∵ON为为∠BOC的平分线，
∴∠BON＝60°．
∴旋转的角度＝60°+180°＝240°．
∴t＝240°÷5°＝48秒．
故答案为：12秒或48秒．
【点睛】
本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的定义、直角三角形的定义以及角的和差计算，求得三角板旋转的角度是解题的关键．
11．（1）AC=4cm, BC=8cm；(2)当
4
5
t=时，AP PQ
=；(3)当2
t=时，P与Q第一次相
遇；(4)3519
1cm.224
t PQ =当为，，时， 【解析】 【分析】
（1）由于AB=12cm ，点C 是线段AB 上的一点，BC=2AC ，则AC+BC=3AC=AB=12cm ，依此即可求解；
（2）分别表示出AP 、PQ ，然后根据等量关系AP=PQ 列出方程求解即可； （3）当P 与Q 第一次相遇时由AP AC CQ =+得到关于t 的方程，求解即可； （4）分相遇前、相遇后以及到达B 点返回后相距1cm 四种情况列出方程求解即可． 【详解】
（1）AC=4cm, BC=8cm.
(2) 当AP PQ =时，AP 3t,PQ AC AP CQ 43t t ==-+=-+, 即3t 43t t =-+,解得4t 5
=. 所以当4
t 5
=
时，AP PQ =. (3) 当P 与Q 第一次相遇时，AP AC CQ =+,即3t 4t =+,解得t 2=.
所以当t 2=时，P 与Q 第一次相遇.
(4)()()P,Q 1cm,4t 3t 13t 4t 1+-=-+=因为点相距的路程为所以或，
35
t t 22
解得或==，
P B P,Q 1cm 当到达点后时立即返回，点相距的路程为，
19
3t 4t 1122,t 4
+++=⨯=
则解得， 3519
t PQ 1cm.224
所以当为，，时，=
【点睛】
此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系以及分类讨论思想是解决问题的关键．
12．(1)存在满足条件的点P ，对应的数为﹣92和72；(2)正确的结论是：PM ﹣3
4
BN 的值不变，且值为2.5． 【解析】 【分析】
（1）先利用数轴上两点间的距离公式确定出AB 的长，然后求得方程的解，得到C 表示的点，由此求得
1
2
BC +AB ＝8设点P 在数轴上对应的数是a ，分①当点P 在点a 的左侧时（a ＜﹣3）、②当点P 在线段AB 上时（﹣3≤a ≤2）和③当点P 在点B 的右侧时（a ＞2）三种
情况求点P所表示的数即可；（2）设P点所表示的数为n，就有PA＝n+3，PB＝n﹣2，根
据已知条件表示出PM、BN的长，再分别代入①PM﹣3
4
BN和②
1
2
PM+
3
4
BN求出其值即
可解答．
【详解】
(1)∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，∴AB＝5．
解方程2x+1＝1
2
x﹣5得x＝﹣4．
所以BC＝2﹣（﹣4）＝6．
所以．
设存在点P满足条件，且点P在数轴上对应的数为a，
①当点P在点a的左侧时，a＜﹣3，
PA＝﹣3﹣a，PB＝2﹣a，所以AP+PB＝﹣2a﹣1＝8，
解得a＝﹣，﹣＜﹣3满足条件；
②当点P在线段AB上时，﹣3≤a≤2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝2﹣a，所以PA+PB＝a+3+2﹣a＝5≠8，不满足条件；
③当点P在点B的右侧时，a＞2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝a﹣2．，所以PA+PB＝a+3+a﹣2＝2a+1＝8，解得：a＝，＞2，
所以，存在满足条件的点P，对应的数为﹣和．
(2)设P点所表示的数为n，
∴PA＝n+3，PB＝n﹣2．
∵PA的中点为M，
∴PM＝1
2
PA＝．
N为PB的三等分点且靠近于P点，
∴BN＝PB＝×（n﹣2）．
∴PM﹣3
4
BN＝﹣
3
4
××（n﹣2），
＝（不变）．
②1
2
PM+
3
4
BN＝+
3
4
××（n﹣2）＝
3
4
n﹣（随P点的变化而变化）．
∴正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝
对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键．
13．(1) AB ＝15，BC ＝20;(2) 点N 移动15秒时，点N 追上点M;(3) BC －AB 的值不会随着时间的变化而改变,理由见解析 【解析】 【分析】
（1）根据数轴上点的位置求出AB 与BC 的长即可,
（2）不变,理由为：经过t 秒后,A 、B 、C 三点所对应的数分别是-24-t ,-10+3t ,10+7t ,表示出BC ,AB ,求出BC-AB 即可做出判断,
（3）经过t 秒后,表示P 、Q 两点所对应的数,根据题意列出关于t 的方程,求出方程的解得到t 的值,分三种情况考虑,分别求出满足题意t 的值即可． 【详解】
解：（1）AB ＝15,BC ＝20,
（2）设点N 移动x 秒时,点N 追上点M ,由题意得：
15322x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭,
解得15x =,
答：点N 移动15秒时,点N 追上点M .
（3）设运动时间是y 秒,那么运动后A 、B 、C 三点表示的数分别是
25y --、103y -+、107y +,
∴BC ()()107103204y y y =+--+=+,AB ()()10325154y y y =-+---=+, ∴BC －AB ()()2041545y y =+-+=, ∴BC －AB 的值不会随着时间的变化而改变. 【点睛】
本题主要考查了整式的加减,数轴,以及两点间的距离,解决本题的关键是要熟练掌握行程问题中等量关系和数轴上点,
14．（1）2AC cm =，4DM cm =；（2）6AC MD cm +=；（3）4AM =；（4）
1
3MN AB =或1． 【解析】 【详解】
（1）根据题意知，CM=2cm ，BD=4cm ．
∵AB=12cm ，AM=4cm ，∴BM=8cm ，∴AC=AM ﹣CM=2cm ，DM=BM ﹣BD=4cm ． 故答案为2，4；
（2）当点C 、D 运动了2 s 时，CM=2 cm ，BD=4 cm ．
∵AB=12 cm ，CM=2 cm ，BD=4 cm ，∴AC+MD=AM ﹣CM+BM ﹣BD=AB ﹣CM ﹣BD=12﹣2﹣
4=6 cm ；
（3）根据C 、D 的运动速度知：BD=2MC ． ∵MD=2AC ，∴BD+MD=2（MC+AC ），即MB=2AM ． ∵AM+BM=AB ，∴AM+2AM=AB ，∴AM=1
3
AB=4． 故答案为4；
（4）①当点N 在线段AB 上时，如图1．
∵AN ﹣BN=MN ．
又∵AN ﹣AM=MN ，∴BN=AM=4，∴MN=AB ﹣AM ﹣BN=12﹣4﹣4=4， ∴
MN AB =412=1
3
； ②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图2．
∵AN ﹣BN=MN ．
又∵AN ﹣BN=AB ，∴MN=AB=12， ∴
MN AB =12
12
=1． 综上所述：MN AB =1
3
或1． 【点睛】
本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 15．(1)DE=6;(2) DE=2a ,理由见解析；（3）∠DOE=1
2
∠AOB ，理由见解析 【解析】
试题分析：（1）由AC=4cm ，AB=12cm ，即可推出BC=8cm ，然后根据点D 、E 分别是AC 和BC 的中点，即可推出AD=DC=2cm ，BE=EC=4cm ，即可推出DE 的长度， （2）设AC=acm ，然后通过点D 、E 分别是AC 和BC 的中点，即可推出DE=1
2
（AC+BC ）=
12AB=2
a
cm ，即可推出结论， （3）分两种情况，OC 在∠AOB 内部和外部结果都是∠DOE=1
2
∠AOB 试题解析： （1））∵AB=12cm ，
∴AC=4cm，
∴
BC=8cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴CD=2cm，CE=4cm，
∴DE=6cm;
(2) 设AC=acm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴DE=CD+CE=
1
2
（AC+BC）=
1
2
AB=6cm，
∴不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变;
(3)①当OC在∠AOB内部时，如图所示：
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠NOC=
1
2
∠BOC，∠COM=
1
2
∠COA．
∵∠CON+∠COM=∠MON，
∴∠MON=
1
2
（∠BOC+∠AOC）=
1
2
α；
②当OC在∠AOB外部时，如图所示：
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=
1
2
（∠AOB+∠BOC），∠CON=
1
2
∠BOC．
∵∠MON+∠CON=∠MOC，
∴∠MON=∠MOC-∠CON=
1
2
（AOB+∠BOC）-
1
2
∠BOC=
1
2
∠AOB=
1
2
α．
【点睛】本题主要考察角平分线和线段的中点的性质，关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的性质定理．。