因式分解-十字相乘法

因式分解-十字相乘法

一、十字相乘法分解因式

十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。

简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：

1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即

()()()x a x b x a b x a b ++=+++2

将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++

得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上

式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2

++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；

a b p ab q +==⎧⎨

⎩

如把762

-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2

x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，

写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。交叉相乘的和为

x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。

2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解

二次三项式ax bx c 2

++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳

为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762

x x -+，首先要把二次项系数

2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。

右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系

x -=-+762x )

1)(7(-+x x x

x

⇓

⨯

⇓

7

1

x

x x 67=+-

数，从而得()()2762232

x x x x -+=--。

3、含有两个字母的二次三项式的因式分解

如果是形如27622

a b ab -+的形式，则把ab 看作一个整体，相当于x ，如果是形如

27622x xy y -+，则先写成27622x y x y -+·，把y 看作已知数，写成十字相乘的形式

是

所以

()()27622322x xy y x y x y -+=--，即右边十字上都要带上字母y ，分解的结果也是含有两个字母的两个因式的积。

十字相乘法分解因式步骤：①竖分二次项与常数项

②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式

顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。 小结：用十字相乘法把形如 二次三项式分解因式使 注意：

当常数项是正数时，分解的两个数必同号，即都为正或都为负，交叉相乘之和得一次项系数。当常数项是负数时，分解的两个数必为异号，交叉相乘之和仍得一次项系数。因此因式分解时，不但要注意首尾分解，而且需十分注意一次项的系数，才能保证因式分解的正确性。

十字相乘法的要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察试验”。 解题经验 十字相乘法课本里介绍的很少，判断能不能运用十字相乘法分解因式，首先判断其是否二次三项式，其次观察 常数项，一次项系数，二次项系数之间的关系。注意有些二次三项式一次项系数为0，即不存在。 二、 分组分解法分解因式： 我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。 如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。 分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。 分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。

【典型例题】

q px x ++

2b a p ab q +==,

例1. 分解因式：-++134

37

2x x

分析：当系数有分数或小数时，应先化为整数系数，便于下一步十字相乘。

解：-++134

37

2x x ()

=-

--134212

x x

()()=--+1

373x x

例2. 分解因式：x xy y 2229100++

分析：含两个字母的二次三项式，把其中一个字母如y 看成是常数。 解：x xy y 2

2

29100++ =++x y x y 2

2

29100·

()()=++x y x y 425

例3. 分解因式：311102

x x -+

分析：首项系数为3应分解为1×3，常数项为10是正数，分解成的两个因式同号且应与一次项系数-11的符号相同，用十字相乘法尝试如下：

1

1

310

31

11013--⨯-+⨯-=-()()

110

31

1131031

--⨯-+⨯-=-()()

1235

153211

--⨯-+⨯-=-()()

1532

123517

--⨯-+⨯-=-()()