几何经典模型：四点共圆模型

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已知如图：①∠2=1

2

∠AOB ；②OA =OB . O

A

B

E

F

123

连接FB ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置，连接F ′E ，FE ，

可得△OEF ≌△OEF ′ 43

21F'F

E

B

A

O

模型分析

∵△OBF ≌△OAF ′，

∴∠3=∠4，OF =OF ′.

∴∠2=12∠AOB ，

∴∠1+∠3=∠2

∴∠1+∠4=∠2

又∵OE 是公共边，

∴△OEF ≌△OEF ′.

（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；

（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；

（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.

模型实例

例1 已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB 、DC 于点M 、N ．

（1）求证：BM+DN=MN ．

（2）作AH ⊥MN 于点H ，求证：AH=AB ．

证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ，

∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ．

在△ADE 和△ABM 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=BM DE B ADE AB AD

∴△ADE ≌△ABM ．

∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM

∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°．

∴ ∠MAN=∠EAN=45°．

在△AMN 和△AEN 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN MAN EA MA

∴△AMN ≌△AEN ．

∴MN=EN ．

∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ．

即EN AD 2

1MN AH 21⋅=⋅． 又∵MN=EN ，

∴AH=AD ．

即AH=AB ．

例2 在等边△ABC 的两边AB 、AC 上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且

∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC ．探究：当M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系．

（1）如图①，当DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是_______________；

（2）如图②，当DM≠DN 时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．

图① 图② 解答

（1）BM 、NC 、MN 之间的数量关系是BM+NC=MN ．

（2）猜想：BM+NC=MN ．

证明：如图③，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．

∵BD=CD ，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°．

又∵△ABC 是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∴∠MBD=∠NCD=90°．

在△MBD 与△ECD 中，

∵DB=DC ，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE ，

∴△MBD ≌△ECD （SAS ）．

∴DM=DE ，∠BDM=∠CDE ．

∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．

在△MDN 和△EDN 中，

∵MD=ED ，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN ，

图③ 例3 如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD ，E 、F 分别是BC 、CD 延

长线上的点，且∠EAF=2

1∠BAD ．求证：EF=BE-FD ．

证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF ，连接AG ．

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，

∴∠B=∠ADF ．

在△ABG 和△ADF 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=DF BG ADF B AD AB

∴△ABG ≌△ADF （SAS ）．

∴∠BAG=∠DAF ，AG=AF ．

∴∠GAF=∠BAD ．

∴∠EAF=21∠BAD=2

1∠GAF ． ∴∠GAE=∠EAF ．

在△AEG 和△AEF 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE GAE AF AG

∴△AEG ≌△AEF （SAS ）．

∴EG=EF ．

∵EG=BE-BG ，

练习：

1．已知，正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，∠MAN=45°．

求证：MN=DN-BM ．

【答案】

证明：如图，在DN 上截取DE=MB ，连接AE ，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°．

在△ABM 和△ADE 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=DE BM ABM D AB AD

∴△ABM ≌△ADE ．

∴AM=AE ， ∠MAB=∠EAD ．

∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN ，

∴∠DAE+∠BAN=45°．

∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN ．

在△AMN 和△AEN 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN MAN AE AM

∴△ABM ≌△ADE ．

∴MN=EN ．

∵DN-DE=EN ．