第二章 晶体的结合知识分享

第二章 晶体的结合

1.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。

解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与7r 成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O ，F ，N 等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol 。 2.有人说“晶体的内能就是晶体的结合能”，对吗？

解：这句话不对，晶体的结合能是指当晶体处于稳定状态时的总能量（动能和势能）与组成这晶体的N 个原子在自由时的总能量之差，即0E E E N b -=。（其中b E 为结合能，N E 为组成这晶体的N 个原子在自由时的总能量，0E 为晶体的总能量）。而晶体的内能是指晶体处于某一状态时（不一定是稳定平衡状态）的，其所有组成粒子的动能和势能的总和。 3.当2个原子由相距很远而逐渐接近时，二原子间的力与势能是如何逐渐变化的？

解：当2个原子由相距很远而逐渐接近时，2个原子间引力和斥力都开始增大，但首先引力大于斥力，总的作用为引力，0)(r f ，而相互作用势能)(r u 也开始急剧增大。 4.为什么金属比离子晶体、共价晶体易于进行机械加工并且导电、导热性良好？

解：由于金属晶体中的价电子不像离子晶体、共价晶体那样定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”，因而金属晶体的延展性、导电性和导热性都较好。

5.有一晶体，在平衡时的体积为0V ，原子之间总的相互作用能为0U ，如果原子间相互作用能由下式给出：

n

m

r r r u β

α

+

-

=)(，

试证明弹性模量可由[])9/(00V mn U 给出。

解：根据弹性模量的定义可知

022V V dV U d V dV dP V K ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫

⎝⎛-= …………………（1） 上式中利用了dV

dU

P -

=的关系式。

设系统包含N 个原子，则系统的内能可以写成

)(2)(2n m r

r N r u N U β

α+-==

(2)

又因为可把N 个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距r 的函数，即

3r N Nv V β== (3)

上式中β为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构，2/2=β）。

又因为

211231

2)(31)(

r N r n r m N dr dU Nr dV dU n m R ββαβ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++ ………………（4）0

011222(231)(r r n m V r n r m N r N dr d dV dr dV

U d =++⎭⎬⎫⎩⎨

⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=βα

β ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+-+-⋅=n m n m r n r m r n r m N V 0002022

033291βαβα……………（5） 考虑平衡条件0)(

0=r dV

dU

，得n m r n r m 00βα=，那么（5）式可化为

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+-⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅=n m n m V r n n r m m N V r n r m N V dV U d 00200202222291291)(00βαβα )(92929102

000200020U V mn

r r N V mn r m n r n m N V n m m n -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅=

βααβ ……（6） 将（6）式代入（1）式得：

[])9/(90002

00V mn U U V mn

V K =-⋅

= 6.上题表示的相互作用能公式中，若2=m ，10=n ，且两原子构成稳定分子时间距为

10103-⨯m ，离解能为4eV ，试计算α和β之值。

解：在平衡位置时有

K E r r r u -=+

-

=10

02

0)(β

α

(1)

0102)(110

30=-=r r dr r du β

α …………（2） 将离解能4=k E eV 和10

010

3-⨯=r m 0

3A

=代入（1）和（2）式可得：

19105.4-⨯=αeV ·m 2，96109.5-⨯=βeV ·m 10。

7. 设某晶体每对原子的势能具

r

B

r A -9的形式，平衡时m r 100108.2-⨯=，结合能为J U 19108-⨯=，试计算A 和B 以及晶体的有效弹性模量。

解：由题意有以下方程成立：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=-0

9)(201000

900

r B

r A dr

du U r B

r A r 把0r ，U 的具体数值代入上述方程组，即得：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=⨯+⨯-⨯-=⨯-⨯-----0)108.2()108.2(9108108.2)108.2(210101019

10

910B

A B A 由此可得：9105

10

0578.1m J A ⋅⨯=-，m J B ⋅⨯=-281052.2

该晶体的有效弹性模量为：

0)(220V dV

u

d V K =

又∵ 3

r N Nv V β==

（上式中N 表示晶体中所含的原子个数，β表示与晶体结构有关的因子） 故

0)(91220r dr

u

d Nr K β=＝

)290(91301100r B r A Nr -β＝11102797.391⨯⨯N β 8.KCl 晶体的体弹性模量为1.74×1010Pa ，若要使晶体中相邻离子间距缩小0.5%，问需要施

加多大的力。

解：设KCl 晶体内包含N 个原胞，综合考虑到库仑吸引能和重叠排斥能，则系统的内能可以写成

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+-=n r B r A N U (1)

此外，由于KCl 每个原胞体积为3

2r ，则晶体的总体积为

3

2Nr V = (2)

其中（1）和（2）式中的r 都指KCl 晶体中相邻K ＋

和Cl －

之间的距离。

根据体弹性模量的定义有：