微积分2导数与微分考例
微积分复习题集带参考答案(二)
微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
二元函数微积分偏导数和全微分(课堂PPT)
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y);
(z) y x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
)
2z yx
fyx(x,
y);
y(yz)y2z2fyy(x,y)
.
16
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
二元函数微积分
一元函数微分学 推广
二元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
.
1
二元函数的基本概念
一、区域 二、二元函数的概念
.
2
区域
平面点集： 平面上满足某个条件的一切点构 成的集合。
平面区域： 由平面上一条或几条曲线所围成 的部分平面点集称为平面区域，ຫໍສະໝຸດ y 通常记作D。边界·
01
闭开区域
x
.
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
.
13
例4. 已知理想气体的状态方程 pVRT(R 为常数) ,
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
.
8
定义： 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lx i0m f(x0x,y0 x)f(x 0 ,y0)
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
微积分中的导数与微分
微积分中的导数与微分微积分是数学的一个分支，主要研究变化率和累积效应问题。
导数和微分是微积分中最重要的两个概念，它们被广泛用于物理、工程、经济等领域，是现代科学中不可或缺的工具。
本文将会系统探讨导数和微分的定义、性质以及应用。
一、导数的定义和性质导数是一个函数在某一点的斜率，也称为函数的变化率。
它的定义如下：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，如果函数在该点的变化率有有限的极限，那么导数 $f'(x_0)$ 存在，且有：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$ 表示 $x$ 的增量，$\Delta x \rightarrow 0$ 表示$\Delta x$ 趋近于 0。
导数的性质包括：1. 如果函数在 $x_0$ 处可导，那么它在该点必定连续。
2. 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，那么 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的切线斜率为 $f'(x_0)$。
3. 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，那么 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内满足局部线性近似。
二、微分的定义和性质微分可以看作是导数的微小增量，是微积分中的另一个重要概念。
它的定义如下：设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，那么函数在该点的微分就是：$$dy=f'(x_0)dx$$其中，$dx$ 表示 $x$ 的微小增量，$dy$ 表示 $y$ 的微小增量。
微分的性质包括：1. 微分具有线性性。
2. 微分运算满足加法和乘法运算的运算律。
3. 微分可以用于计算函数的局部变化量。
三、导数和微分的应用导数和微分在科学和工程领域中有着广泛的应用，以下列举几个典型例子：1. 物理中的加速度和速度在物理学中，物体的加速度等于速度的导数，速度等于路程的导数，因此导数和微分可以用来计算物体的运动状态。
微积分基础练习--导数、微分及其应用
（二）导数、微分及其应用一．选择题1．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1cos )(2x x xx x f ，则f (x )在点x =0处的导数（ ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于-1 （D ）不存在 2．设)(x ϕ为连续函数，且0)(≠a ϕ，则)()()(x a x x f ϕ-=在点x =a 处（ ）（A ）连续，但不可导 (B)可导,且()()f a a ϕ'= （C)不连续，更不可导 （D ）可导，且()0f a '= 3．设f （x ）=(x -1）sin x ,则f （x ）在点x =1处的导数（ ）（A) 等于0 （B ）等于cos1 （C ）等于-cos1 （D)sin1 4．曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-，该点坐标是（ )（A) 1(2,ln )2 (B ） 1(,ln 2)2- （C ） 1(2,ln )2- (D) 1(,ln 2)25． 在抛物线21y x =+上过点(1,2)处的切线的斜率为（ )（A ）12 （B) 2 (C ） 2- （D) 12- 6．函数y 由方程y y x =+)(ϕ确定，)(y ϕ'若存在且不等于1,则dydx的值是( ）（A ）)(1y ϕ'+ （B ）)(11y ϕ'- （C ）)(11y ϕ'+ （D ）不存在7．若f (x ）为可导函数，且)(xe f y =，则y ′=（ ）(A ）)(xxe f e ' (B))()(x f e f x'' （C ）)(xe f ' （D))(xxe f e 8．f （x ）是x 的可导函数，则2()df x dx=（ ) (A ）)(323x f x ' （B ）22()xf x ' （C ）)(2x f ' （D))(2x f x '9．若f (x ）为可导函数，且)(x f ey =,则y ′=( )(A ）)()(x f ex f ' （B ）)(x f e （C ）)()(x x f e f e ' （D ）)(x f e x '10．导数等于1sin 22x 的函数是 （ ) （A)1cos 24x （B ）21sin 2x （C ） 21cos 2x （D ）11cos 22x -11．若f （u ）为可导,且)(xe f y =，则有d y =( ）（A ） dx e f e x x )(' （B ）dx e f x)(' （C) dx e e f x x x ])([' （D) xx x de e f ])(['12．函数（ )的微分等于它的增量。
《微积分》第2章 导数与微分 单元测试题
第二章 导数与微分 单元测试题考试时间：120分钟 满分：100分 一、选择题(每小题2分，共40分)1．两曲线21y y ax b x ==+，在点1(2)2，处相切，则（ ） A ．13164a b =-=， B ．11164a b ==，C ．912a b =-=，D ．712a b ==-，2．设(0)0f =，则()f x 在0x =可导的充要条件为（ ）A ．201lim(1cos )h f h h →-存在 B ．01lim (1)h h f e h→-存在 C ．201lim (sin )h f h h h →-存在 D ．[]01lim (2)()h f h f h h→-存在3．设函数()f x 在区间()δδ-，内有定义，若当()x δδ∈-，时恒有2()f x x ≤，则0x =必是()f x 的（ ）A ．间断点B ．连续而不可导的点C ．可导的点，且(0)0f '=D ．可导的点，且(0)0f '≠4．设函数()y f x =在0x 点处可导，x y ，分别为自变量和函数的增量，dy 为其微分且0()0f x '≠，则0limx dy yy→-=（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．∞5．设()f x 具有任意阶导数，且[]2()()f x f x '=，则()()n f x =（ ）A ．[]1()n n f x + B ．[]1!()n n f x + C ．[]1(1)()n n f x ++ D ．[]1(1)!()n n f x ++6．已知函数 0() 0x x f x a b x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩+cos 在0x =处可导，则（ ）A ．22a b =-=，B ．22a b ==-，C ．11a b =-=，D ．11a b ==-，7．设函数32()3f x x x x =+，则使()(0)n f不存在的最小正整数n 必为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．若()f x 是奇函数且(0)f '存在，则0x =是函数()()f x F x x=的（ ）A ．无穷型间断点B ．可去间断点C ．连续点D ．振荡间断点 9．设周期函数()f x 在()-∞+∞，内可导，周期为4，又0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点(5(5))f ，处的切线的斜率为（ ）A ．12B ．0C ．1-D ．2- 10．设()f x 处处可导，则（ ）A ．当lim ()x f x →-∞=-∞时，必有lim ()x f x →-∞'=-∞B ．当lim ()x f x →-∞'=-∞时，必有lim ()x f x →-∞=-∞C ．当lim ()x f x →+∞=+∞时，必有lim ()x f x →+∞'=+∞D ．当lim ()x f x →+∞'=+∞时，必有lim ()x f x →+∞=+∞11．若()sin f x x x =，则（ ）A ．(0)f ''存在B ．(0)0f ''=C ．(0)f ''=∞D ．(0)f π''=12．若2()max{2},(04)f x x x x =∈，，，且知()f a '不存在，(04)a ∈，，则必有（ ）A ．1a =B ．2a =C ．3a =D ．12a =13．若函数sin 2 0() 10xx x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，， 则使()f x '在点0x =处（ ）A ．存在但不连续B ．不存在C ．不仅存在而且连续D ．无穷大14．设n1cos 0() 0 0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则使()f x '在点0x =点处连续的最小自然数为（ ）A ．1n =B ．2n =C ．3n =D ．4n =15．若函数()f x 对任意实数x 1，x 2均满足关系式1212()()()f x x f x f x +=，且(0)2f '=，则必有（ ）A ．(0)0f =B ．(0)2f =C ．(0)1f =D ． (0)1f =- 16．若()f x 是在()-∞+∞，内可导的以l 为周期的周期函数，则()f ax b '+（0a a b≠，、为常数）的周期为（ ）A ．lB ．l b -C ．laD ． l a17．函数23()(2)f x x x x x =-- -不可导的点的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ． 018．设220()()0x x f x x g x x ⎧>= ≤⎩ 其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处（ ） A ．极限不存在 B ．极限存在但不连续 C ．连续但不可导 D ．可导 19．设()f x 在0x =的一个领域内有定义，且(0)0f =，若21cos 1lim()2(1)x x x f x x e →-=-，则()f x 在0x =处（ ）A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导且(0)0f '=D ．可导且(0)1f '=20．设()()()f x f x x =--∈-∞+∞，，，且在(0)+∞，内()0()0f x f x '''><，，则在(0)-∞，内（ ）A ．()0()0f x f x '''>>，B ．()0()0f x f x '''><，C ．()0()0f x f x '''<>，D ．()0()0f x f x '''<<，二、填空题（每小题3分，共60分）1．设 1() 1ax b x f x x x 2+≤⎧=⎨ >⎩ 在1x =处可导，则a ＝____________，b ＝____________。
微积分课件(导数与微分2)资料
设函数 f ( x)在点x0可导,即
lim y x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
第一节 导数的概念
例3 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 3
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x h) sin 2
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为
y 2 1 ( x 1), 42
即 2x 8 y 15 0.
第一节 导数的概念
四、函数可导性与连续性的关系
h0
2h
cos x
2
即 (sin x) cos x
(sin x) x cos x x
3
3
1 2
第一节 导数的概念
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
《微积分》(上下册) 教学课件 02.第2章 导数与微分 高等数学第一章第3-5节
1
记作
f
(
x),
y,
d2y dx2
或
d
2 f (x) dx2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f ( x),
y,
d3y dx3 .
三阶导数的导数称为四阶导数, 记作
f (4)(x),
y(4) ,
d4y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n)(x),
10
一、微分的概念
实例 半径为 x的0 金属圆板受热后面积的改变量.
设半径由x0变到x0 x,
圆板的面积 A x02,
A (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2.
(1)
(2)
(1) x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
11
再例如
设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数的 改变量 y.
§2.3 高阶导数
问题 变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)；
因为加速度a是速度v对时间t的变化率，所以
a(t) v(t) s(t).
定义 如果f (x)的导函数f (x)在点x处可导,即
( f (x)) lim f (x x) f (x)
x0
x
存在,则称( f (x))为f (x)在点x处的二阶导数.
dt dx
3a sin2 t cost 3a cos2 t(sint
)
tan t，
dt
d2y dx2
d (dy) dx dx
d ( tan t ) dx
微积分应用基础第二章导数与微分
v(t0 )
lim
t 0
s
t
lim
t 0
s(t0
t) s(t0 ) t
上面这种形式的极限，自然科学中还有很多，尽管它们
的具体含义不同，但其数学模型完全相同，均可归结为函数
的增量与自变量的增量之比当自变量的增量趋于零时的极限。
这种形式的极限就是我们要研究的导数，或者叫做瞬时变化
x x0
结论:函数f(x）在点x0处可导 f x 在点x0的左导数、右导
数都存在并且相等，即:
f (x0)存在 fx0 fx0
函数y=f(x）在点x0处的变化率即导数 是函数y在点x0处变化的快慢程度。
dy dx
，反映的
x x0
第二章 导数与微分
案例2【化学反应速度】
设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，
固定自变量y，即取y =y0，而x从x0变化到x0+△x时，若
极限 lim z lim f x0 x, y0 f x0 , y0
x0 x x0
x
存在，则称此极限值z=f(x,y)为函数在点(x0,y0)处关于x
x
y f (x1 ) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
x
x1 x0
x
这个商—定义函数y关于自变量的平均变化率。
上面引例１中的平均速度及实际问题中的一些平均值，如 平均成本、平均电流强度等就是通常意义下的平均变化率。
第二章 导数与微分
案例１【订货量的变化】
率。
１．一元函数的导数
定义２ 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域有定义，当自变量 x在点x0处有增量△x（△x ≠0， x0+ △x在定义域内）时， 相应地函数有增量△y=f(x0+△x) -f (x0) ，若极限
[微积分Ⅱ]8-2 偏导数与全微分
![[微积分Ⅱ]8-2 偏导数与全微分](https://img.taocdn.com/s3/m/7021fafe941ea76e58fa04db.png)
z x2 y 2 xye x
2 x2 y 2 z 2 z 3 x2 y (2 x 2 x y)e ( x e ) x xy yx
2 2 u u 例 设 u f ( x 2 y 2 z 2 ) , 其中 f C 2 , 求 , . 2 x xy
解三：按定义证明．
例
设 z x ( x 0, x 1) ，
y
x z 1 z 2z . 求证 y x ln x y
证
z y 1 yx , x
z x y ln x , y
x z 1 z x y 1 1 y yx x ln x y x ln x y y ln x
为函数在该点的关于变 量 y 的偏导数, 记为
z y
x x0 y y0
b,
f ( x0 , y0 ) b, y
z y
x x0 y y0
b,
f y( x0 , y0 ) b ,
f 2( x0 , y0 ) b .
若函数 f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处关于 变量 x 和 y 的偏导数均存在 , 则称函数
f x y ( x0 1x , y0 2 y ) (0 3 , 4 1)
f y x ( x0 3 x , y0 4 y )
y0 )连续, 因 f x（ , f y（ 在点 ( x0 ， y x , y） x x , y）
故令x 0, y 0
x 1 y2
z 3x 2 y . y
2 1 3 2 8 ,
z y
x 1 y 2
3 1 2 2 7 .
d d 2 ( x 6 x 9) x 1 2 x 6 x 1 8 解二： f ( x ,2) x 1 dx dx d d f (1, y ) y 2 (1 3 y y 2 ) y 2 3 2 y y 2 7 dy dy
微积分第3章导数与微分
2021/4/21
9
三、左、右导数
定义 设函数 y = f(x) 在某U+(x0) (或 U-(x0))内有定义. 若
(或
)
存在，则称该极限值为 f 在点 x0 处的右 (左) 导数.
记作 f( x0 ) (或 f( x0 )) .
注：1. f 在x0可导 f 在 x0 的左, 右导数存在且相等.
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0 与 f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导.
0, x 0
2021/4/21
11
例5. 求下列函数的导函数：
(1) c ( 常函数 ) ;
答案：0
记结论
(2) xn , ( n∈N+ ) ; (3) sin x ,
cos x ; (4) log ax ( a > 0, a≠1, x > 0 ) .
方法一：F(x, y) = 0 显化 y = f(x) 已有方法 求 y.
√ 方法二：F(x, y) = 0 两边同时求导 [F(x, y)] 0 求 y.
例6. 已知 y x ln y 确定了函数 y = f(x)，求 y.
（答案：
y
y ln y y x
）
2021/4/21
第三章 导数与微分
22
要牢记！
(1) (c) 0 (c为常数);
(2) ( x ) x1 (为任意实数 );
(3) (a x ) a x ln a, (ex ) ex ;
(4)
(log a
x)
1, x ln a
(ln
x)
1; x
(5) (sin x) cos x,(cos x) sin x ;
微积分第二章习题参考答案
f ( 0 )
lim
x 0
(2e x
1) x
1
2,
f ( 0 )
lim
x 0
(x2
bx x
1)
1
b ,
b
2.
当 a 1,b 2时 , f ( x )在 x 0处 可 导 .
5.设 t时 刻 水 面 的 高 度 为 h , 液 面 半 径 为 r ,则 r R h , H
2.当 0时 ,函 数 在 x 0处 连 续 ,
当 0时 ,函 数 在 x 0处 不 连 续 ;
当 1时 ,函 数 在 x 0处 可 导 ,
当 1时 ,函 数 在 x 0处 不 可 导 .
五 .证 明.
设 切 点 为( x0, y0 ),
y( x0 )
a2
x
2 0
y0 x0
y
x
y y( y x ln y) . x( x y ln x)
3.解 : y ln(1 t) ln(1 t),
y(n)
(1)n1 [(1 t)n
1 (1 t)n
](n 1)!.
4.解 : f (0 0 ) lim (2e x a ) 2 a , x 0 f (0 0) lim ( x 2 bx 1) 1, x 0
,
切线方程为
:
y
y0
y0 x0
(x
x0 ),其 截 距 式 为
xy 1,
2 x0 2 y0
切线与两坐标轴构成的三角形面积
S
1 2
| 2x0
|
| 2 y0
|
2a 2为 常 数 ,与 切 点 无 关 .
§2.2求导法则(21-22)
微积分初步单元辅导二导数微分及其应用
《微积分初步》单元辅导二(导数微分及其应用)微积分初步学习辅导——导数与微分部分学习重难点解析(一)关于导数的概念函数的导数是一个增量之比的极限，即我们把卫称为函数的平均变化率，把lim y称为变化率，若lim y存在则可导，否则不可二x=x导•导数是由极限定义的，故有左导数和右导数• f(x)在点X。
处可导必有函数f (x)在点X。
处左右导数都存在且相等.(二)导数、微分和连续的关系由微分的定义dy二f (x)dx可知(1)函数的可导与可微是等价的，即函数可导一定可微；反之可微一定可导.⑵计算函数f(x)的微分dy，只要计算出函数的导数f(x)再乘上自变量的微分dx即可; 因此，我们可以将微分的计算与导数的计算归为同一类运算.(3)由定理可知，连续是可导的必要条件，那么，函数可微也一定连续.反之不然，即连续函数不一定是可导或可微函数.(三)导数的几何意义由切线问题分析可知，函数y=f(x)在点x。
处的导数就是曲线y = f(x)在点(x。
，f(x。
))处切线的斜率。
于是，y二f(x)在点(x。
，y0)处的切线方程为(四)关于导数的计算掌握导数的计算首先要熟记导数基本公式和求导法则.在我们这门课程中所学习的求导法则和方法有：(1)导数的四则运算法则；(2)复合函数求导法则；(3)隐函数求导方法.对于上述法则和方法在实用中要注意其成立的条件.在导数的四则运算法则中，应该注意乘法法则和除法法则，注意它们的构成形式并注意1— x解题的技巧.例如，y二，求了心.这是一个分式求二阶导数的问题，形式上应该用导1 1数的除法法则求解，但是，如果将函数变形为y -x：再求导数就应该用导数的加法法则了 .假如我们掌握了一些解题的技巧，会使我们的运算变得简单还会减少错误.复合函数求导数是学习的重点也是难点，它的困难之处在于对函数的复合过程的分解 由复合函数求导法则知，复合函数y = f(u),u 二(x)的导数为在求导时将y = f ( “X))分解为y = f(u),u =护(x)(其中u 为中间变量)，然后分别对中间 变量和自变量求导再相乘.那么如何进行分解就是解题的关键，一般的说，所设的中间变量 应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算，这样就会对于y = f (u),u = "X)分别都要有导数公式或法则可求导.如果分解后找不到求导公式，则说明分解有误.例如函数=sin 2，其分解为 y = u 2, u = sin v,v = x .于是分别求导为，y^2u,u^cosv ， 1 — — 1 - .相乘得至U y x = 2 s i n ・.x c o s x - 2 . x 2 , x 2、x 二si n u,u =x ，这样在求导时会发现没有导数公式可以来求y u .隐函数的特点是变量y 与x 的函数关系隐藏在方程中，例如 y=1・xsiny ，其中的sin y 不但是y 的函数，还是x 的复合函数.所以对于sin y 求导数时应该用复合函数求导法则，先 对y 的函数sin y 求导得cosy ，再乘以y 对x 的导数y 〔由于y 对x 的函数关系不能直接写出 来，故而只能把y 对x 的导数写为y .一般地说，隐函数求导数分为下列两步：① 方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，求导后得到一个关于 y 的一次方程; ② 解方程，求出y 对x 的导数y .总之，导数公式和求导法则是要靠练习来熟悉和理解的，我们应该通过练习掌握方法并 从中获得技巧.微积分初步学习辅导导数与微分部分典型例题例1求下列函数的导数或微分： (1) 设 y = x 3 3x log 3x-33，求 y . (2) 设 y = ^2，求 dyX xsi nx⑶设y ，求y (二).1 +cosx 3分析 这三个函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的初等函数， 求导或求微分时,1 1 lsir2. x .有一种错误的分解是V x需要用到导数基本公式和导数的四则运算法则•对于(1)先用导数的加法法则，再用导数基本 公式；对于⑵，可以先用导数除法法则，再用基本公式；但注意到 ⑵ 中函数的特点，先将1 2函数进行整理，y J 二2 =x 3 -2x^'，贝U 可用导数的加法法则求导，得到函数的导数后再乘 Vx 2 以dx ，得到函数的微分；对于(3)用导数除法法则，再用基本公式•解(1) y =(x 33xlog 3x-3 3)(x 3) (3x ) (gx) 一(33)21 — 4dy =ydx =(—X 3 x 3)dx.3 3(sin x) (1 cosx) -sin x(1 cosx)2(1 cosx)cosx(1 cosx) -sin x(-sinx) cosx cos 2 x sin 2x(1 + cosx)2(1 + cosx)2= 11 cosx在运用导数的四则运算法则应注意：①在求导或求微分运算中，一般是先用法则，再用基本公式;③ 解题时应先观察函数，看看能否对函数进行变形或化简，在运算中尽可能的避免使 用导数的除法法则.如例1中的⑵ 小题，将y 二x 二j 变形为y 『x-2二X? \x 2 v x 2 数，这种解法比直接用除法法则求解要简便且不易出错 •④ 导数的乘法和除法法则与极限相应的法则不同， 运算也相对复杂得多，计算时要细心. 例2求下列函数的导数或微分：sinl(1) 设 y = e x ，求 dy .3x 23 3x 2 3x —2(2)因为y=—1=x 3 1In 3xl n3In 3 — xln 3 -2x 1所以 y =(x 3) _2(x 3) s x3x3，于是所以y(3)=1 cosx②把根式qx p写成幕次px q的形式，这样便于使用公式且减少出错; 2-2x _3后再求导兀1 22(2)设 y =1 n(x—、1 x2)，求 y(、3).(3)设 y =(邛)10，求 y .x +1分析采用复合函数求导法则，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.求导时，依照函数的复合层次由最外层起，向内一层层地对中间变量求导，直至对自变量求导为止.1解(1)设y =e u,u =sinv,v二一，利用复合函数求导法则，有x代回还原得在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法：(2)设y = In u,u = x - v,v = x2 T，利用复合函数求导法则，有代回还原得或着(3)设y = u10 ,u = △ ,v = x2 1，利用复合函数求导法则和导数的四则运算法则有，v代回还原得或着例3求下列方程所确定的隐函数的导数 y或微分dy :(1)x2 y2 xy 二 0，求 dy ；(2)e xy yl n x = cos2x，求 y .分析隐函数的特点是：因变量y与自变量x的对应关系是隐藏在方程中的.因此，在求导数时，不要忘记y是x的函数，在对y的函数求导后切记再乘以y对x的导数yl 依隐函数求导数的步骤求导.解(1)［方法1］由导数得到微分.方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，有即(x 2y)y - -(y 2x)整理方程，解出y，得dy = ydx「y 2x dxx +2y［方法2］方程两边对变量求微分，这时变量y和x的地位是相同的，即不再将y看作x的函数.dy_x+2y(2)方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，有于是 (xe^ In x)y - -2sin2x-'-ye xyx整理方程解出y •，得分析 如果函数y 二f （x ）可导，函数曲线在点X 。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ))()(x g x f +；(Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ)α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分x02-3微分法 二阶导数和二阶微分
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
1 1 sin2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) 1 .
1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
;
(
arccot
(1 x 2 )2
2
cs
c
x
cot
x(1 x 2 ) (1 x 2 )2
2
x
反函数的导数
定理
如果函数
x ( y)在某区间
I
内单调、可导
y
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f (x)在对应区间
I
内也可导
x
,
且有
f (x) 1 .
( y)
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )
2)
x
1
x 2 1 3( x 2)
例3 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 . (a 0)
2
2
a
解
y ( x
a2
x2
)
a2 (
解
y ln u, u sin x.
dy dy du 1 cos x cos x
dx du dx u
sin x
cot x
例2
求函数
y ln
x2 1 3 x 2 (x
2)的导数.
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
微积分练习题
微积分练习题一、极限与连续(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(3) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x(1) f(x) = |x| 1，在x = 0处(2) f(x) = (x^2 1) / (x 1)，在x = 1处(3) f(x) = sqrt(x + 2) 2，在x = 1处二、导数与微分(1) f(x) = x^3 3x + 2(2) f(x) = e^x sin x(3) f(x) = ln(sqrt(1 + x^2))(1) f(x) = x^2 + 3x 5(2) f(x) = cos(2x)(3) f(x) = 1 / (1 x)三、高阶导数与微分方程(1) f(x) = x^4 2x^2 + 1(2) f(x) = e^x cos x(3) f(x) = ln(x^2 + 1)(1) y' = 2x + y(2) y'' 2y' + y = e^x(3) (1 + x^2) y'' + 2x y' = 0四、不定积分与定积分(1) ∫(x^2 + 1) dx(2) ∫(e^x x) dx(3) ∫(1 / (x^2 + 1)) dx(1) ∫_{0}^{1} (3x^2 2x + 1) dx(2) ∫_{π}^{π} (sin x) dx(3) ∫_{1}^{e} (1 / x) dx五、多元函数微分学(1) f(x, y) = x^2 + y^2(2) f(x, y) = e^(x + y) sin(x y)(3) f(x, y) = ln(x^2 + y^2)(1) f(x, y) = x^3 + y^3(2) f(x, y) = sin(x + y)(3) f(x, y) = sqrt(x^2 + y^2)六、重积分(1) ∬_D (x^2 + y^2) dxdy，其中D为圆心在原点，半径为1的圆(2) ∬_D (x y) dxdy，其中D为矩形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2(3) ∬_D (e^(x + y)) dxdy，其中D为三角形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ x(1) ∭_E (x^2 + y^2 + z^2) dxdydz，其中E为立方体区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1，0 ≤ z ≤ 1(2) ∭_E (xyz) dxdydz，其中E为长方体区域0 ≤ x ≤ 2，0 ≤ y ≤ 3，0 ≤ z ≤ 4七、级数(1) Σ (1/n^2)，n从1到∞(2) Σ (n/(n+1)^2)，n从1到∞(3) Σ ( (1)^n / n )，n从1到∞(1) Σ (x^n / n)，n从1到∞(2) Σ (n! x^n)，n从0到∞(3) Σ ( (n^2 + 1)^n x^n )，n从0到∞八、微分方程的应用(1) 物体在空气中自由下落，其速度v与时间t的关系，已知阻力与速度成正比。
微积分教学课件第2章导数与微分
微积分
三、 导数的几何意义
y y f(x)
曲线 y f (x)在点 (x0 , y0)的切线斜率为
tan f(x0)
CM
T
若 f(x0)0,曲线过 (x0 , y0)上升;
o x0
nan1
说明：
微积分
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x)x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
微积分
例3. 求函数 f(x)sixn的导数.
解: 令hx,则
f (x) lim f(xh)f(x) lim sin x(h)sixn
u(xh)vu (x()x u)v(ux((x)vxv)2)( (vxxu ())x(x)vh)(x)
故结论成立.
推论h: v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
微积分
例2. 求证 (tax)n se2c x,(c x )s c cx s cc x o . t 证: (tanx)csoinsxx(six)ncocxos s2sxixn(cx o)s
h h
1, 1,
h0 h0
lim f(0h)f(0)不存在 ,即x在x0不可. 导
h 0
h
例6. 设
f
(x0)
存在,
求极限
lim f(x0h)f(x0h).
安徽农业大学汪宏喜高等数学微积分第二章--导数及微分第2节
sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
例3 求 y sin 2x ln x 的导数 .
解 y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x
2 sin x cos x 1 x
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
二、反函数的导数
定理2
如果函数
x
(
y)在某区间
I
内单调、可导
y
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f (x)在对应区间
I
内也可导
x
,
且有
f (x) 1 .
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x))
1 (sin y)
1 cos
y
1 1 sin2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) 1 .
1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
;
(
arccot
x)
1
1 x2
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
经济微积分学-导数与微分
第一节 导数的概念
三、导数的几何意义
由切线斜率问题的讨论及导数定义可知：函数y=f（x）在点x0处的导 数f′（x0）的几何意义是曲线y=f（x）在点M（x0，y0）处的切线斜率，即
f′（x0）=tanα. 其中，α是切线的倾斜角.根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可 得，曲线y=f（x）在给定点M（x0，y0）处的切线方程是 y-y0=f′（x0）（x-x0）. 过切点M（x0，y0）且与切线垂直的直线叫作曲线y=f（x）在点M（ x0，y0）的法线.若f′（x0）≠0，则法线方程为 y-y0=-1f′（x0）（x-x0）.
（1） 将方程F（x，y）=0的两端对x求导，在求导过程中把y看成x的函 数，y的函数看成是x的复合函数；
（2） 求导后，解出y′即可（式子中允许有y出现）.
第二节 函数的求导法则
四、反函数的求导法则
法则5:设函数x=φ（y）在区间D内单调，在y处可导，且φ′（y）≠0，则 其反函数y=f（x）在x=φ（y）处也可导，且
Dy/dx=1/dx/dy或f′（x）=1/φ′（y）.
第二节 函数的求导法则
五、参数方程所确定的函数的导数
在实际应用中，函数y与自变量x的关系常常通过某一参数变量t表示出 来，即
x=φ（t） y=ψ（t），t为参数 称为函数的参数方程. 由于y是参数t的函数，由x=φ（t）知t是x的函数，所以，y通过t确定为 x的复合函数.于是，由复合函数的求导法则及反函数的导数公式有 dydx=dydt·dtdx=dydtdxdt=ψ′（t）φ′（t）
第一节 导数的概念
二、导数的概念
定义1:设函数y=f（x）在点x0某邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量 Δx时，相应地函数y有增量
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导数与微分
1. 已知'(0)1f =，求 0(2)(3)lim sin5x f x f x x
→-. 解 由等价无穷小的代换 ， 原极限x
x f f f x f x x f x f x x )5()0()0()2(lim )5()2(lim 00-+-=-=→→ x
f x f x f x f x x )0()5(lim )0()2(lim 00---=→→ 3)0('5)0('20
5)0()5(lim 502)0()2(lim 200-=-=-----=→→f f x f x f x f x f x x
2. 设函数⎩⎨⎧≤>+++=0,
0,2)sin 1()(x ax x a x b x f 。
b a ,为何值时)(x f 在0=x 处可导？ 解 可导时)(x f 在0=x 处连续，则有0)0(2)0(==++=+f b a f 。
可导时，左右导数必相等。
⎩
⎨⎧<>=00cos )('x a x x b x f 因此a f b f ='=='-+)0()0(。
于是1-==b a 。
3. 求)0(,)(ln ln sin 2>+=x x
x y x 的导数。
解 ()()
)'ln (sin 1)ln(ln 21)ln(ln 2'ln sin ln sin x x e x
x e x x y x x x x ⋅+⋅='+⋅=⋅⋅ )ln cos sin (1)ln(ln 2sin x x x x x x x x ++⋅=
4. 设0334
3=-+xy x y 确定了隐函数)(x f y =，求'y 和"y 。
解 0'3312'332=--+xy y x y y ，3
2123')33(x y y x y -=-，x y x y y --=23
4'。
则 2
2322)()1'2)(4())(12'("x y yy x y x y x y y ------=。
2
22332223)()142)(4())(124(x y x y x y y x y x y x x y x y ----------=
2232233
223)()4)4(2()12124(x y x y x y x y y x y x x y -+----+--= ()
3
223232322)())(4()4(2))(812(x y x y x y x y y x y x y x y -------+-=
6. 设 x x y )2cos 1(+=，求π=x dy |。
()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++='+='=++x x x x x x x e e y x x x x x 2cos 12sin 2)2cos 1ln()2cos 1()2cos 1ln(')2cos 1ln()2cos 1ln(2ln 2|'ππ==x y ，dx dy x 2ln 2|ππ==。
7. 设函数⎩⎨⎧≤>++=0,0
,)1ln()(x a x b ex x f x ，)1,0(≠>a a
确定b a ,的值，使得)(x f 在0=x 处可导，并求)0('f 。
解 由可导必连续可知 1)0()(lim 0===+
→f b x f x 。
⎪⎩
⎪⎨⎧<>+=0,ln 0,1
)('x a a x ex e x f x ，)0(ln )0(-+'==='f a e f ，则e e a =。
e f =)0('。
8. 设 )()('x f x e
e f y =，其中)(x f 二阶可导，求'y 。
解 )(')(')(')()(x f e e f e e e f y x f x x f x x +''=。
9. 设)(x f y =是由方程0162=-++x xy e y 所确定的隐函数，求)0("y 。
解 在方程的两端求导数 02'66'=+++x xy y y e y 。
0=x 时，0=y 。
于是0)0('=y 。
再求导数 02'6"6'6"'2=+++++y xy y y e y e y y ，0=x 时，2)0("-=y 。
6. x x x y )]21[sin()21(sin 222+++=，求'y 。
解 ()()'++'+=x x x y )]21[sin()21(sin '222
())21(2sin 4)21(sin 222x x x +='+
()()()'+='='+++)21sin(ln )]
21[sin(2)21sin(ln )21sin(ln 222x x e e x x x x x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++++=)21sin()21cos(4)21sin(ln )]21[sin(22222x x x x x x 则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=)21sin()21cos(4)21sin(ln )]21[sin()21(2sin 4'222222x x x x x x x y x。
7. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,
0),cos 1(2)(2x a x x x x f ，当a 取何值时)(x f 在0=x 点可导？说明理由，
并求)0('f 。
解 因可导必连续，应有a f x
x x f x x ===-=→→)0(1)cos 1(2lim )(lim 200， 由导数的定义
320200)cos 1(2lim 1)cos 1(2lim 0)0()(lim )0('x
x x x x x x f x f f x x x --=--=--=→→→ 06sin 2lim 62cos 2lim 32sin 2lim 0020=-=-=-=→→→x x x x
x x x x x
8. 设)(x f y =是由方程1cos sin =+x y 所确定的函数，求'y 和"y 。
解 等式两端对x 求导可得 0sin 'cos =-⋅x y y ，则y
x y cos sin '=。
y y y x x y y 2cos 'sin sin cos cos "⋅+=y y x
y x x y 2cos cos sin sin sin cos cos ⋅+=
y
y x x y 322cos sin sin cos cos +=。
3. 已知x x x f sin )('=，求微分)(arcsin x df
解法一 此时 ⎰++-==C x x x xdx x x f sin cos sin )(
()dx C x x x x df '++⋅-=)cos(arcsin arcsin )(arcsin
dx x x x x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⋅⋅+⋅--=111)sin(arcsin arcsin )cos(arcsin 1122 dx x x x dx x x x x x 22221arcsin 11arcsin 111-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+-⋅--= 解法二 dx x x x dx x x f x df 221arcsin 11)(arcsin ')(arcsin -=-⋅
=
4. 在曲线233x x y -=上找出所有这样的点：曲线在该点处的切线与直线x y 9=平行。
解 此时在点x 处切线的斜率为 963'2=-=x x y ，解得1,3-=x 。
因此切线上的点为)0,3(和)4,1(--。