微积分2导数与微分考例

导数与微分

1. 已知'(0)1f =，求 0(2)(3)lim sin5x f x f x x

→-. 解 由等价无穷小的代换 ， 原极限x

x f f f x f x x f x f x x )5()0()0()2(lim )5()2(lim 00-+-=-=→→ x

f x f x f x f x x )0()5(lim )0()2(lim 00---=→→ 3)0('5)0('20

5)0()5(lim 502)0()2(lim 200-=-=-----=→→f f x f x f x f x f x x

2. 设函数⎩⎨⎧≤>+++=0,

0,2)sin 1()(x ax x a x b x f 。 b a ,为何值时)(x f 在0=x 处可导？ 解 可导时)(x f 在0=x 处连续，则有0)0(2)0(==++=+f b a f 。

可导时，左右导数必相等。⎩

⎨⎧<>=00cos )('x a x x b x f 因此a f b f ='=='-+)0()0(。于是1-==b a 。

3. 求)0(,)(ln ln sin 2>+=x x

x y x 的导数。 解 ()()

)'ln (sin 1)ln(ln 21)ln(ln 2'ln sin ln sin x x e x

x e x x y x x x x ⋅+⋅='+⋅=⋅⋅ )ln cos sin (1)ln(ln 2sin x x x x x x x x ++⋅=

4. 设0334

3=-+xy x y 确定了隐函数)(x f y =，求'y 和"y 。 解 0'3312'332=--+xy y x y y ，3

2123')33(x y y x y -=-，x y x y y --=23

4'。 则 2

2322)()1'2)(4())(12'("x y yy x y x y x y y ------=。 2

22332223)()142)(4())(124(x y x y x y y x y x y x x y x y ----------=

2232233

223)()4)4(2()12124(x y x y x y x y y x y x x y -+----+--= ()

3

223232322)())(4()4(2))(812(x y x y x y x y y x y x y x y -------+-=

6. 设 x x y )2cos 1(+=，求π=x dy |。 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++='+='=++x x x x x x x e e y x x x x x 2cos 12sin 2)2cos 1ln()2cos 1()2cos 1ln(')2cos 1ln()2cos 1ln(2ln 2|'ππ==x y ，dx dy x 2ln 2|ππ==。

7. 设函数⎩⎨⎧≤>++=0,0

,)1ln()(x a x b ex x f x ，)1,0(≠>a a

确定b a ,的值，使得)(x f 在0=x 处可导，并求)0('f 。

解 由可导必连续可知 1)0()(lim 0===+

→f b x f x 。 ⎪⎩

⎪⎨⎧<>+=0,ln 0,1

)('x a a x ex e x f x ，)0(ln )0(-+'==='f a e f ，则e e a =。 e f =)0('。

8. 设 )()('x f x e

e f y =，其中)(x f 二阶可导，求'y 。 解 )(')(')(')()(x f e e f e e e f y x f x x f x x +''=。

9. 设)(x f y =是由方程0162=-++x xy e y 所确定的隐函数，求)0("y 。

解 在方程的两端求导数 02'66'=+++x xy y y e y 。0=x 时，0=y 。于是0)0('=y 。 再求导数 02'6"6'6"'2=+++++y xy y y e y e y y ，0=x 时，2)0("-=y 。

6. x x x y )]21[sin()21(sin 222+++=，求'y 。

解 ()()'++'+=x x x y )]21[sin()21(sin '222

())21(2sin 4)21(sin 222x x x +='+

()()()'+='='+++)21sin(ln )]

21[sin(2)21sin(ln )21sin(ln 222x x e e x x x x x x ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++++=)21sin()21cos(4)21sin(ln )]21[sin(22222x x x x x x 则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=)21sin()21cos(4)21sin(ln )]21[sin()21(2sin 4'222222x x x x x x x y x

。

7. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,

0),cos 1(2)(2x a x x x x f ，当a 取何值时)(x f 在0=x 点可导？说明理由，

并求)0('f 。

解 因可导必连续，应有a f x

x x f x x ===-=→→)0(1)cos 1(2lim )(lim 200， 由导数的定义

320200)cos 1(2lim 1)cos 1(2lim 0)0()(lim )0('x

x x x x x x f x f f x x x --=--=--=→→→ 06sin 2lim 62cos 2lim 32sin 2lim 0020=-=-=-=→→→x x x x

x x x x x

8. 设)(x f y =是由方程1cos sin =+x y 所确定的函数，求'y 和"y 。

解 等式两端对x 求导可得 0sin 'cos =-⋅x y y ，则y

x y cos sin '=。 y y y x x y y 2cos 'sin sin cos cos "⋅+=y y x

y x x y 2cos cos sin sin sin cos cos ⋅+=

y

y x x y 322cos sin sin cos cos +=。

3. 已知x x x f sin )('=，求微分)(arcsin x df

解法一 此时 ⎰++-==C x x x xdx x x f sin cos sin )(