一元二次方程——动点问题教学内容
一元二次方程(数字动点问题)
问2：P、Q两点从出发开始到几秒时， A 点P、Q间的距离是10cm？
D
怎么分析？
P Q B C
例2.如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm， AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的 速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动。
问3：P、Q两点从出发开始到几秒时， A 点P、Q间的距离最大？
D
怎么分析？
P Q B C
3.在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A 开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做 DE平行于BC,DF平行于AC,点E.F分别在AC,BC上, 问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm² ？
动点问题的关键
分析问题
怎样分析？
图形的形状 找出与其相关的量 设出未知数表示相关量
问1：P、Q两点从出发开始到几秒时， A 2 四边形PBCQ的面积为33cm
D
怎么分析？
P Q B C
例2.如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm， AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的 速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动。
解方程、验根
一元二次方程的应用--------动点问题
C
分析： Q
你能设出未知数，然后表示这些线段吗？ 1秒后
A
P
B
（2）几秒后，PQ的长度等于5cm?
PQ在那个图形中，这个图形是个什么形状
C
PQ它又与那些量有关？
你能设出未知数，表示它们之间的关系吗？
Q
2秒
A
PBLeabharlann CQAP
(完整版)一元二次方程动点问题讲解
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
∴当L位于CD的右侧时,与
BC交于点Q
L
AP=X,PB=3-X
C
Q
CD=2,PQ=?
p
由小学学习的比例计算PQ 即：CD:DB=PQ:BQ
∴450=½×(2X-50)×3X
Q
X²-25X-30=0
C
解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30
解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
例2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始 以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
C
通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离
（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
·ALeabharlann RP∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
行程(或动点)问题及平均变化率问题
探究归纳
填空： 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产 技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元， 则下降率是 7% .如果保持这个下降率，则现在生 产1吨甲种药品的成本是 4324.5 元.
下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产 技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的 成本是 5000(1-x) 元，如果保持这个下降率，则现在 生产1吨甲种药品的成本是 5000(1-x)2 元.
的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投
资上的平均增长率是x,则可列方程
为 2（1+x)+2(1+x)2=8
.
3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克， 今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量 的年平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x, 根据题意，得 7200（1+x)2=8712 系数化为1得， （1+x)2=1.21 直接开平方得， 1+x=1.1, 1+x=-1.1 则 x1=0.1, x2=-1.1, 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
(12-x)2＋(x＋5)2＝132
5m x
解： 设梯子底端滑动x m， 那么滑动后梯子底端距墙（x+5）m；
根据题意，可得方程：
(12-x)2＋(x＋5)2＝132
解得： x1=0, x2=7. ∵x＞0， ∴x=7.
答：梯子顶端下滑7米时，梯子底端滑动的 距离和它相等.
归纳总结
（1）分析题意，找出等量关系，用字母 表示问题里的未知数.
问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的 大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率 大呢?
实际问题与一元二次方程(利润问题、表格问题和动点问题)2022-2023学年九年级数学上册(人教版)
4）解：解方程；
5）验：根据实际验结果；
6) 答：写出答案。
九年级学生小明在暑假期间进行勤工俭学.
问题一：他每天在村上以每斤2.5元买进黄瓜，到市场以每斤4元卖掉黄瓜，那么
他卖1斤黄瓜的利润是
1.5 元；
问题二：如果他每天买进并卖完300斤黄瓜，则他每天销售利润是
售价-进价=单件利润
解得，x1=40，x2=70
当x=40时， [800-10（x-30）]=800-10 （40-30）=700 >500
当x=70时， [800-10（x-30）]=800-10 （70-30）=400 <500（不符合题意，舍去）
结合题目内容，你觉得这两个结果都符合题意吗？
（利用一元二次方程解决表格问题）
如果设提价x元，你能根据提示信息列出方程吗？
（10+x）（800-20x）=12000
利用一元二次方程解决利润问题
某工厂生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一
天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将
减少4件．设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，请解答下列问题．
当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？
x=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，
∴四边形ABCD是矩形，
3x
∴QE＝AD＝6，
∴PE＝AB﹣BE﹣AP＝16﹣6﹣4＝6，
根据勾股定理得PQ=
+
= ,
∴当x＝2 s时，P，Q两点的距离为6 cm；
16-5x
Q两点之间的距离是10cm？
一元二次方程——动点问题
Day5：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.常见题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例1如图，点O 在线段AB 上，AO=1，OB=2，OC 为射线，且∠BOC=120°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．t=1或8﹣C．t=8D．t=1或8例2如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q不与A、B重合.（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由.例3如图，在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0,2）、C（6,0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？参考答案1.【答案】B【考点】本题考查了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【解析】如图1，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60°，∴∠APO=30°，∴OP=2OA=2，∵OP=2t，∴t=1；如图2，当∠APB=90°，过P 作PD⊥AB，∵∠OPD=120°﹣90°=30°，∴OD=12∴AD=AO﹣OD=1﹣t，在Rt△ABP 中，根据勾股定理得：AP 2+BP 2=AB 2，即（2+t）222+（1﹣t）2=32，解得：t=8﹣（负值舍去）；当∠ABP=90°时，此情况不存在；综上，当t=1或t=8﹣时，△ABP 是直角三角形．2.【答案】（1）1秒（2）2秒（3）不能【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【解析】（1）设x 秒后，△PBQ 的面积等于4cm².此时，AP=x cm，PB=（5-x）cm，BQ=2x cm，由S △PBQ =4BQ PB 21=∙得()42-521=∙x x ，整理得0452=+-x x ，解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8>7，不合要求.所以1秒后，△PBQ 的面积等于4cm².（2）设x 秒后，PQ 的长度等于5cm.由PB 2+BQ 2=5²得（5-x）²+（2x）²=5²整理得x²-2x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=2.经检验，x=2符合要求，所以2秒后，PQ 的长度等于5cm.（3）不能.理由：设x 秒后，△PBQ 的面积等于7cm²，由题意得()72-521=∙x x ，整理得x²-5x+7=0，03-28-25<==∆，此方程无解，所以△PBQ 的面积不可能等于7cm².3.【答案】t=2或55+=t 或5-5=t 【考点】该题考查的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【解析】过点P 作PG⊥OC，垂足为G.在Rt△POG 中，∵∠POG=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=t 2，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6,2），根据勾股定理可得PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t².在P、Q 移动过程中，PQ 始终与OD 垂直，容易得知∠BPQ 不可能等于90°.①若∠PQB=90°，则有PQ²+QB²=PB²，即2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，整理得4t²-8t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴t=2.②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，整理得t²-10t+20=0，解得t=5±5.∴当t=2或55+=t 或5-5=t 时，△PQB 为直角三角形.。
九年级数学上册复习专题05一元二次方程围栏问题与动点问题(1)
专题05围栏问题与动点问题【1】围栏问题解题技巧：围墙问题与面积问题相比，因存在围墙的原因，多一个判断未知数取值范围的过程，具体步骤为：①根据题意，列等量关系式；②设未知数；（一般设垂直于墙的边为x，另一半为总长减去垂直于墙的边数乘以x）③列方程；④求解方程；⑤依据围墙的限制，求未知数的取值范围；（0＜水平墙的长度≤墙长）⑥根据未知数的取值范围，确定答案。
【2】动点问题解题技巧：解决动点问题的一般方法为：设运动的时间或路程为x，再用含x的代数式表示相关的线段或几何关系，从而建立方程或函数关系。
方法：①首先找出动点的路程所表示线段；②设时间为x（或t）；③表示出动点的路程（路程=动点速度×时间x）；④表示出剩下的线段长；⑤由题目中的等量关系列方程（面积或者勾股定理列方程）；1．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形ABCD场地？能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．【答案】详解见解析；不能，理由见解析【解析】【分析】设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．【详解】解：设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，由题意得x（20﹣2x）＝50，解得：x1＝x2＝5，（20﹣2×5）＝10（m）．围成一面靠墙，其它三边分别为5m，10m，5m的矩形．答：不能围成面积52m2的矩形ABCD场地．理由：若能围成，则可列方程x（20﹣2x）＝52，此方程无实数解．所以不能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地．【点睛】本题主要考查了一元二次方程及其实际应用，其中根据题目信息列出相应的方程式是解题的关键．2．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．【答案】30m，20m【解析】【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．3．如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？【答案】10米【解析】【分析】设垂直于墙的一边长为x 米，结合题意可得到平行于墙的一边长为3223x -+米，再通过面积150平方米列出等式，从而计算得到答案．【详解】设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为()3223x -+米，由题意得()3223150x x ⨯-+=∴22351500x x -+= ∴1152x =，210x = 当10x =时，32231518x -+=＜ 当152x =时，32232018x -+=＞（152x =不符合题意，舍去） ∴这个仓库与墙垂直的一边应长10米．【点睛】本题考察了二元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答案．4．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m 的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计)．()1每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；()2每个生态园的面积_ (填“能”或“不能”）达到108平方米．(直接填答案）【答案】（1）每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米；理由见详解（2）不能，理由见详解．【解析】【分析】（1）设每个生态园垂直于墙的边长为x 米，根据题意可知围栏总长33m ，所围成的图形是矩形，可得平行于墙的边长为()33+1.523x ⨯- 米，由此可得方程为()33+1.523482x x ⨯-=⨯，解方程即可．（2）由（1）可知生态园的面积为：()33+1.523S x x =⨯-，把每个生态园的面积为108平方米代入解析式，然后根据根的判别式来得出答案．【详解】（1）解：设每个生态园垂直于墙的边长为x 米， 根据题意得：()33+1.523482x x ⨯-=⨯整理，得：212320x x +=﹣，解得：1=4x 、2=8x （不合题意，舍去），∴ 当=4x 时，33+1.523363424x ⨯-=-⨯=，∴242=12÷．答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米．（2）由（1）及题意可知：()33+1.5231082x x ⨯-=⨯整理得：212720x x +=﹣()22=41241721440b ac ∆-=--⨯⨯=-＜ ∴原方程无实数根∴每个生态园的面积不能达到108平方米．故答案为：不能．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是通过题意设出未知数得到平行于墙的边长，要注意每个生态园开有1.5m 的门，然后根据题意列出一元二次方程即可；在解第二问时要注意利用一元二次方程根的判别式来分析． 5．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的长方形花圃．（1）设花圃的一边AB 为xm ，则BC 的长可用含x 的代数式表示为______m ；（2）当AB 的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？【答案】（1）30－3x ；（2）7【解析】【分析】（1）由AB 的长为xm ，结合长为30m 的篱笆即可表示出BC 的长为：（30﹣3x ）m ；（2）根据AB 及BC 的长可表示出花圃的面积，令该面积等于63，求出符合题意的x 的值，即是所求AB 的长．【详解】解：（1）由题意得：BC ＝30﹣3x ，故答案为：30﹣3x ；（2）由题意得：﹣3x 2+30x ＝63．解此方程得x 1＝7，x 2＝3．当x ＝7时，30﹣3x ＝9＜10，符合题意；当x ＝3时，30﹣3x ＝21＞10，不符合题意，舍去；故当AB 的长为7m 时，花圃的面积为63m 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．6．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD ），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD ）的宽为a 米（1）饲养场的长为________米（用含a 的代数式表示）（2）若饲养场的面积为2882m ，求a 的值【答案】（1）603a -；（2）12【解析】【分析】（1）用总长减去3a 后加上三个1米宽的门即为所求；（2）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可，注意a 的范围讨论．【详解】（1）∵如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，∴饲养场的长为57133603a a +⨯-=-，故答案为：603a -；（2）根据（1）的结论，饲养场面积为()603288a a -=，解得12a =或8a =；当8a =时，60360243627a -=-=>，故8a =不全题意，舍去，当12a =时，6032427a -=<，则12a =；答：a 的值为12．【点睛】本题考查了列代数式、一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7．如图,现有长度100米的围栏，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，BC 的长度不大于墙长。
第二十一章 一元二次方程 复习课 教学设计2024-2025学年人教版数学九年级上册
大单元设计格式要求单元分析依据新课标的理念，教科书在编排上注意螺旋上升地呈现重要的概念和思想，不断地深化对核心概念的理解。
如在方程的教学中，教科书改变了以往代数教材“先集中出方程，后集中出函数”的做法，而是按照“一次”和“二次”的数量关系，是方程和函数交替出现，即按一次方程（组）、一次函数、二次方程、二次函数的顺序螺旋上升。
从教学内容来看，一方面一元二次方程可以看成是前面所学过的有关知识的综合运用，如有理数、实数的概念和整式、分式、开平方等的运算，一元一次方程、一元一次方程组解法等知识，在本章都有应用。
从数学角度看，这一章的学习有一定难度，如果前面某个环节薄弱或知识点有问题，就会给本章的学习带来困难，因此，这一章的教学是对以前所学的有关知识的检验，又是一次复习与巩固。
当然，一元二次方程知识也是前面所学知识的继续和发展，尤其是方程方面知识的深入和发展。
一元二次方程又是以后学习的知识基础，这一章可以说是起到了承上启下的作用。
初中代数中的不少主要技能、解题方法以及一些常用的数学思想方法，在本章都有所体现例如，换元法、因式分解法、配方法等。
另外，从具体到抽象的概括能力、逻辑推理能力等等在本章也有体现可以说，无论从基础知识还是基本技能看，这一章都占有重要的地位。
单元主题第21章一元二次方程学习目标低阶目标：1)了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转换、降次等数学思想；2)通过根的判别式判断一元二次方程的情况，了解根与系数的关系；高阶目标：3)能够利用一元二次方程解决有关实际问题，利用一元二次方程解决实际问题难点在于找等量关系，正确列出方程并求解，从而解决实际问题。
，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。
单元评价即单元学业质量标准1.1能理解与掌握一元二次方程及其有关的概念。
1.2能用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
1.3能完成一元二次方程求根公式的推导。
九年级数学上册(人教版)21.3实际问题与一元二次方程(利润问题、表格问题和动点问题)优秀教学案例
5.结合评价结果，调整教学策略，为下一步教学提供参考。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用现实生活中的案例，如购物时的折扣问题，引导学生思考图片、动画等形式，直观地呈现动点问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
（五）作业小结
1.布置具有实际意义的作业，让学生运用所学知识解决生活中的问题。
2.要求学生撰写解题思路和心得体会，培养学生的数学写作能力。
3.鼓励学生进行自我检查和小组互评，提高学生的自我认知和反思能力。
4.教师对学生的作业进行批改和评价，及时了解学生的学习情况，为下一步教学提供参考。
五、案例亮点
1.情境创设贴近生活：本案例背景以现实生活中的实际问题为导入，创设了与学生生活密切相关的教学情境，如购物折扣、企业经营等，使学生在解决问题的过程中，能够更好地理解和运用一元二次方程的知识。这种情境创设的方式，不仅激发了学生的学习兴趣，还增强了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2.培养学生勇于挑战、克服困难的意志，增强学生自信心。
3.培养学生严谨治学的态度，提高学生对数学知识的敬畏之心。
4.培养学生关爱他人、合作共赢的精神，学会与人沟通交流。
5.培养学生关注生活、学以致用的意识，认识到数学在生活中的重要性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.掌握一元二次方程的基本概念，了解一元二次方程的解法及其应用。
2.能够运用一元二次方程解决实际问题，如利润问题、表格问题和动点问题。
3.理解实际问题与一元二次方程之间的联系，培养将实际问题转化为数学模型的能力。
数学人教九年级上册(2014年新编)21-3 实际问题与一元二次方程(利润问题、表格问题和动点问题)
[列方程解决实际问题的基本步骤]并求解。
[多媒体展示]根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定参加这次旅游的人数吗？师：下面我们尝试求解表格信息问题，首先解决此类问题的关键在于理解题干内容，从题干中获取信息。
生：师：结合题目内容，你觉得这两个结果都符合题意吗？生：结合题目信息，人均消费不低于500元，则x=70时人均消费400元不符合题意，故删去，所以参加本次旅游人数为40人。
[多媒体展示]典例2 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？某风景区的旅游信息如下：师：尝试求解本题？生：设参加这次旅游的员工有x人，∵30×80=2400<2800，∴x>30．根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．当x=40时，80-（x-30）=70>55，当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．答：A公司参加这次旅游的员工有40人．教师通过多媒体展示表格类问题的求解过程，加深同学理解，难点为理解题干内容，从题干中获取信息列方程并求解，结合实际生活选择合适的解。
通过配套例题，举一反三，进而消化本节课所学内容【师生互动】教师通过多媒体，展示表格问题的求解过程，加深理解。
[多媒体展示]如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm²？师：设x s后△DPQ的面积等于28cm²，则AP、PB、BQ、QC的长度分别可用含x的代数式表示，从而Rt△DAP、 Rt△PBQ、 Rt△QCD的面积也都可以用含x的代数式表示，于是可以列出方程。
生：师：动点类问题的解题思路为在动点中观察图形的变化情况，需理解动点在图形不同位置情况，才能做好计算推理过程。
秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的应用 第2课时 图形面积和动点几何问题
第2课时 图形面积和动点几何问题知|识|目|标1．通过讨论、探究，会用一元二次方程解决图形面积问题．2．在理解直角三角形面积计算的基础上，能够建立一元二次方程解决与动点有关的几何问题．目标一 能利用一元二次方程解决图形面积问题例1 教材例3针对训练如图2－5－2，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一块长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米．(1)用含a 的式子表示花圃的面积；(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽． 图2－5－2【归纳总结】利用图形的面积建立一元二次方程模型的步骤(1)设元；(2)用未知数表示各边的长度；(3)利用面积公式列一元二次方程；(4)解一元二次方程；(5)针对实际情况舍去负根和超X围的根，从而得出结果．目标二利用一元二次方程解决动点几何问题例2 教材补充例题在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t s(t>0)．(1)填空：BQ＝________ cm，PB＝________ cm(用含t的代数式表示)．(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【归纳总结】利用一元二次方程解决动点问题的方法(1)构造直角三角形法，利用勾股定理建立一元二次方程．(2)等线段法，利用三角形全等构造两线段相等，建立一元二次方程；(3)等面积法，利用三角形面积(或三角形高)的变化建立面积等式．实现将几何问题转化为代数问题，从而加以解决．知识点利用一元二次方程解几何图形问题常用的等量关系有：(1)勾股定理；(2)面积的等量关系．[点拨] 在建立一元二次方程模型解几何图形实际问题的过程中，必须检验方程的根的实际意义，所求得的根应该保证几何图形的存在．如图2－5－3，某农场有一块长40 m ，宽32 m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m 2，求小路的宽．图2－5－3解：解法1：设小路的宽为x m ，则东西方向小路的面积为40x m 2，南北方向小路的面积为32x m 2. 则40×32－40x －32x ＝1140，解得x ＝3518. 所以小路的宽为3518m. 解法2：设小路的宽为x m ，将4块种植地平移为一个矩形，其长为(40－x )m ，宽为(32－x )m.根据矩形面积公式，得(40－x )(32－x )＝1140，整理得x 2－72x ＋140＝0.解得x 1＝2，x 2＝70.答：小路的宽应是2 m 或70 m.以上两种解法正确吗？若不正确，出现错误的原因是什么？请给出正确的答案．详解详析【目标突破】例1 解：(1)由图可知，花圃的面积为(40－2a)(60－2a)平方米．(2)由已知可列方程：60×40－(40－2a)(60－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)．答：此时通道的宽为5米．例2 解：(1)2t (5－t)(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t 1＝0(不合题意，舍去)，t 2＝2.∴当t ＝2时，PQ 的长度等于5 cm .(3)存在．∵矩形ABCD 的面积是5×6＝30(cm 2)，五边形APQCD 的面积等于26 cm 2，∴△PBQ 的面积为30－26＝4(cm 2)，∴(5－t)×2t×12＝4， 解得t 1＝4(不合题意，舍去)，t 2＝1.即当t ＝1时，五边形APQCD 的面积等于26 cm 2.备选题型 用一元二次方程解决存在性问题例 用一根长22 cm 的铁丝，能不能恰好折成一个面积为32 cm 2的矩形？试分析你的结论．解：设折成的矩形的长为x cm ，则宽为(11－x)cm ，矩形的面积为x(11－x)cm 2，依题意，得x(11－x)＝32，化简为x 2－11x ＋32＝0， Δ＝b 2－4ac ＝(－11)2－4×1×32＝121－128＝－7＜0，因此方程无实数根，则用长为22 cm 的铁丝不能折成一个面积为32 cm 2的矩形．【总结反思】[反思] 解：两种解法都不正确，解法1多减去了两条小路交叉重叠的小正方形的面积，因此正确的方程是40×32－40x －32x ＋x 2＝1140；解法2没有考虑方程的根是否符合实际意义，因为x＜32，显然x＝70不符合题意．正确的答案为x＝2，即小路的宽为2 m.。
北师大版初三数学上册利用一元二次方程解决动点问题
第二章一元二次方程专题复习：应用一元二次方程解决动点问题沈阳市第一○○中学安炜一、学生知识状况分析学生已经学习了一元二次方程及其解法，体会了一元二次方程在解决实际问题中的具体应用，初步具备了利用数学知识解决实际问题的能力；在相关知识的学习过程中，学生已经经历了由具体问题抽象出数学模型的过程，初步积累了一定的数学建模方法；同时在以往的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的机会，具有一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析本节课是一元二次方程的复习课.动点问题，是近几年中考的热点内容之一.也是数学建模思想的具体体现.利用一元二次方程已经能解决一些简单的动点问题，但是学生往往感到还是有一定的难度.本节课以此专题为重点，从简单的动点问题入手，引领学生总结解决此类问题的关键是认真审题，建立数学模型，灵活运用一元二次方程的解法等.为此，设置本节课的教学目标如下：知识目标：1.能根据问题中数量关系列一元二次方程，体会数学建模的优越性.2.使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题，体会几何问题代数化.能力目标：1．经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；2．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；情感态度价值观：在自主探究与合作交流的过程中，激发学生的求知欲，进一步发展学生合作交流的意识和能力.三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：共同探究，总结方法；第二环节：合作交流，掌握方法；第三环节：活学巧练，强化能力；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业.第一环节：共同探究，总结方法活动内容：动点问题已经成为近几年中考的热点内容之一.利用一元二次方程已经能解决一些简单的动点问题.解决此类问题的基本思想是“动中求静”.投影展示例题，共同探究.例：在矩形ABCD中AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A开始以1 cm/s 的速度沿AB边向点B移动.点Q从点B开始以2 cm/s 的速度沿BC边向点C移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，变式训练：⑴几秒后△PBQ的面积等于8 cm2?⑵几秒后，P，Q之间的距离是cm?在讲解过程中可逐步分解难点：①审清题意；②找准各条有关线段的长度关系；③建立方程模型，之后求解.解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系.在和学生共同探究过程中，为了帮助学生更好地理解题意，设计以下几个问题：①有几个动点？② 动点的起点、终点、运动方向、速度分别是什么？③ 图中有哪些线段可以用t 表示？指导学生将已知条件在图形上表示，并利用几何画板直观展示图形的变化过程，有助学生分析理解. 引导学生找出题目中的等量关系，即：速度等量：P Q V V 2=时间等量：P Q t t =面积：BQ PB S PBQ ∙∙=∆21 三边关系：222PQ BQ PB =+学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段：PB 、BQ 的长，根据面积公式和勾股定理列方程求解，并判断解的合理性. 结合此题，引导学生总结利用一元二次方程解决动点问题的关键、方法及常用的数量关系.解决有关动点问题的方法•关键——动中取静把握运动规律，寻求运动中的特殊位置•方法——时间变路程求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也是求线段的长度•常依据的数量关系——面积，勾股定理由此，学会把动点的问题转化为静点的问题，是解决这类问题的关键。
一元二次方程与动点问题
一元二次方程与动点问题某些动点问题,常可以建立以时间为未知数的一元二次方程模型.通过求解模型,往往会得到两个实数解,这时要根据实际问题作出取舍.既然是动点问题,结果就有多种可能,因此,有时方程模型的两个实数解都是符合题意的,这一点要注意.解决动点问题,我们必须先弄清楚动点是谁?是单动点还是双动点?运动的路径怎样?方向和速度怎样?运动停止的时间怎样?设运动时间为t ,会用t 表示出各个相关的量,找到等量关系并列出关于t 的方程模型.一般情况下,运动路径由几段构成,就需要分几种情况进行讨论,最后做出总结.例1. 如图,在Rt △ABC 中,︒=∠90ACB ,10=AB cm,8=BC cm,点P 从点A 开始沿射线AC 向点C 以2 cm/s 的速度移动,点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以1 cm/s 的速度移动.如果点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发,运动的时间为t s,当点Q 运动到点B 时,两点停止运动.（1）当点P 在线段AC 上运动时,P 、C 两点之间的距离为_________cm;（用含t 的代数式表示）（2）在运动的过程中,是否存在某一时刻,使得△PQC 的面积是△ABC 的面积的61若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.分析:（1）由题意可知,t AP 2=cm ,t CQ =cm .由勾股定理求出6=AC cm .所以()t PC 26-=cm ,即P 、C 两点之间的距离为()t 26-cm ;（2）用含t 的代数式表示△PQC 的面积,由ABC PQC S S ∆∆=61建立关于t 的一元二次方程,由方程是否有实数根说明t 的存在性.由于点P 沿射线AC 运动,且运动停止时间为8s,所以需要分两种情况进行讨论:点P 在线段AC 上运动（t <0≤3）和点P 在线段AC 的延长线上运动（t <3≤8）.解:（1）()t 26-;（2）由题意可知:t CQ =cm.当t <0≤3时,()t PC 26-=cm.∴()t t t t PC CQ S PQC 32621212+-=-=⋅=∆（cm 2） 由486216161=⨯⨯⨯==∆∆ABC PQC S S 可得: 432=+-t t 即0432=+-t t∵()074432<-=⨯--=∆ ∴该方程无实数根;当t <3≤8时,()t PC 26-=cm.∴()46221=-t t ,即0432=--t t 解之得:1,421-==t t （不符合题意,舍去）综上所述,当4=t 时,△PQC 的面积是△ABC 的面积的61. 例2. 如图,在矩形ABCD 中,5=AB cm,6=BC cm,点P 从点A 开始沿AB 向终点B 以1 cm/s 的速度移动,与此同时,点Q 从点B 开始沿BC 向终点C 以2 cm/s 的速度移动,如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发,当点Q 运动到点C 时,两点停止运动.设运动的时间为t s.（1）填空:=BQ _________,=PB _________;（用含t 的代数式表示）（2）当t 为何值时,PQ 的长度等于102cm? （3）是否存在t 的值,使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 2若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由.解:（1）t 2cm,()t -5cm;（2）在Rt △BPQ 中,由勾股定理得:222PQ PB BQ =+∴()()()22210252=-+t t 解之得:3=t∴当3=t 时,102=PQ cm;（3）3065=⨯=⋅=BC AB S ABCD 矩形 cm 2若五边形APQCD 的面积等于26 cm 2,则4=∆BPQ S cm 2 ∴()45221=-⨯t t ∴4,121==t t （不符合题意,舍去）∴存在1=t ,使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 2.例3. 如图,在△ABC 中,︒=∠90B ,6=AB cm,12=BC cm,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动.（1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,几秒钟后△PBQ 的面积等于8 cm 2（2）在（1）中,△PBQ 的面积能否等于10 cm 2说明理由. CA BQP解:（1）设x 秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2.由题意可知:x AP =cm,x BQ 2=cm∴()x BP -=6cm∵()86221=-⨯=∆x x S PBQ ∴0862=+-x x解之得:4,221==x x∴2s 或4s 后△PBQ 的面积等于8 cm 2;（2）由题意可得:()106221=-⨯x x ∴01062=+-x x∵()0410462<-=⨯--=∆∴该方程无实数根∴△PBQ 的面积不能等于10 cm 2.。
实际问题与一元二次方程(第三课时)销售、图表、动点问题(课件)-九年级数学上册(人教版)
元
分层作业
【能力提升作业】
1．
（2023 春·山东淄博·八年级统考期末）如图，在边长为 12cm 的等边三角形 ABC 中，点 P 从点 A 开始沿 AB
边向点 B 以每秒 1cm 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动．若 P ， Q 分别从
A、 B 同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求经过几秒△ 的面积等于 10 3cm2 ？
．
故这种水果今年每千克的平均批发价是 4 元．
故答案为：4．
随堂练习
2．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30
件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：
每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降
价
元．
随堂练习
【详解】解：设每件降价 x 元，则每件的销售利润为 (65 x 45) 元，每天可售出 (30 5x) 件，
C． 20 x 200 40x 8450
D． 20 x 200 8x 8450
）
当堂测试
2．
（2022·四川资阳·统考二模）如图所示，A，B，C，D 为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点
P，Q 分别从点 A，C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向 B 移动，一直到达 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速度
2023-2024学年度上学期人教版精品课件
新课标 人教版 九年级上册
第二十一章一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
（第三课时）销售、图表和动点问题
学习目标
1.能分析实际问题中的数量关系；
一元二次方程教案 一元二次方程数学教学教案8篇
一元二次方程教案一元二次方程数学教学教案8篇元二次方程教案篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？九年级数学《一元二次方程》教案篇二教学目标知识与技能目标1、构建本章的部分知识框图。
动点问题
精锐教育学科教师辅导教案学员编号：xxx007 年级：初三课时数：2学员姓名：辅导科目：数学学科教师：饶丽课程主题：动点问题授课时段：教学内容【同步讲解】例1 如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.1．当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）.（1）求S关于t的函数关系式；（2）求S的最大值.例2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).1.求A、B两点的坐标；2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？变式练习1 如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D 的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．⑴求P点从A点运动到D点所需的时间；⑵设P点运动时间为t（秒）.当t＝5时，求出点P的坐标；若⊿OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．变式练习2 如图，边长为4的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上．动点D 在线段BC 上移动（不与B ，C 重合），连接OD ，过点D 作DE ⊥OD ，交边AB 于点E ，连接OE ．（1）当CD=1时，求点E 的坐标；（2）如果设CD=t ，梯形COEB 的面积为S ，那么是否存在S 的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由．变式练习3：如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？AQCDBP变式练习4：直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．变式练习5：如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，x A O Q P B yk）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？变式练习6：如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段P A与PB的数量关系：P A=PB．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的P A与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n 之间的距离为2k．求证：P A•PB=k•A B．课后基础练习：一、选择题1．实数5的相反数是（ ） A.15 B. 15- C. -5 D . 5 2.据从化市政府网的数据显示，2013年春节黄金周期间，我市商贸经济交易活跃，实现消费额约59 600 000元，用科学记数法表示这个消费额为（ ）A. 5.96710⨯ B. 59.6610⨯ C. 0.596710⨯ D . 5.96810⨯3. 下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（ ）A. B. C. D.4.下列计算正确的是（ ）A. 549a a a += B. 54a a a -= C. 5420⋅=a a a D.54a a a ÷=5.如果两圆的半径长分别为5和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D . 内含6. 某校九年级（3）班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4,6,8,16,16.这组数据的中位数、众数分别为( )A. 16,16 B . 10,16 C. 8,8 D. 8,167.关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 1k < B. 1k > C. 1k <- D .1k >-8.直线2y x =-不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9. 若一圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是( ) A. 40° B. 80° C. 120° D.150°10.如图，直线l 和双曲线ky x=（0k >）交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 的面积为1S 、△BOD 的面积为2S 、△POE 的面积为3S ，则有（ ）A ．123S S S <<B ．S 1= S 2= S 3C ．123S S S =>D ．123S S S =<二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，请把正确答案填在试卷的空格上） 11. 若函数23y x =-有意义，则x 的取值范围为 . 12. .31962++-x x = .13. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数是 .14. 分解因式222a b ab -= .15. 某品牌手机经过三、四月份连续两次降价，每部售价由3 200元降到2 500元.设平均每月降价的百分率为x ,根据题意列出的方程是 .16.如图，在直角坐标系中，已知点A(-4，0)，B(0，3)，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，那么第（7）个三角形的直角顶点的坐标是 ，第（2013）的直角顶点的坐标是______..能力训练：如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M 点在线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1米/秒；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2米/秒．运动时间为t 秒． （1）求线段AB 的长.（2）当t 为何值时，∠AMN=∠ANM ？（3）当t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值．A PB xyO x y 3=已知抛物线 23632=++y x bx 经过A （2，0）． 顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求b 的值和点P 、B 的坐标；（2）如图，在直线3=y x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP ≌△AMB ？如果存在, 试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．3、在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =AB =4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．11（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 2 ，线段CE 1的长等于 2；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1=CE 1，且BD 1⊥CE 1；（3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）。
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A
D
P
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，
点P和点Q的距离是10cm？
Q
B
C
4.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm， BC=6cm.点P沿AB边从点A开始向点B以 2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始 向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时 出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）. 那么当t为何值时，ΔQAP的面积等于8cm2？
有关“动点”的运动问题
1)关键—— 以静代动
把动的点进行转换,变为线段的长度,
2)方法—— 时间变路程
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度;
3）常找的数量关系——
面积，勾股定理等； 由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,
是解这类问题的关键.
想一想
n 1. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每
（3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在， 求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．
3、如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶
点,AB=16㎝,AD=6㎝,动点P、Q分别从点A、C同时 出发,点P以3㎝/s的速度向点B移动,一直到点B为止,
点Q以2㎝/s的速度向点D移动.
（1）P、Q两点从出发开始几秒时, 四边形PBCQ的面积是33c㎡
2
整理，得 x26x80
解这个方程，得 x1 2,x2 4
Q
Q0x6所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面
积等于8cm2
A
B
P
例2：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A 点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC 的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘 米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?
解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x
根据题意得：x8-x 16
整理得：x2 8x 16 0 解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
CQ
A
R
P
B
练习1： 在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s 的速度移动, 同时另一点Q由C点以3cm/s的速度 沿着CB边移动,几秒钟后, PCQ的面积等于
40 x1 40 10 50;40 x2 40 40 80.
600 10 x1 600 100 500;600 10 x2 600 400 200.
答 : 每个台灯的定价应为50元或80元,
进货量相应为5000个或 200个.
（2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？
450cm2?
B
Q
C
P
A
练习2:在直角三角形ABC
中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以 Ｄ 2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D
做DE平行于BC,DF平行于AC,点E.F分别
在AC,BC上,问：点D出发几Ｆ秒后四边形
DFCE的面积为20cm2？
调研表明:当销售价为每上涨1
元时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均
每月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时
应进台灯多少个?
解
:
设每个 (40 x
台灯涨价 30)(600
x元, 10
根 x据) 题1意00,0得0.
整理得
:
x2
50
x
400
1
0.
解这个方程,得 x1 10, x2 40.
（3）请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大， 最大面积是多少？
2．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制 作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小 正方形，设小正方形的边长为xcm． （1）底面的长AB=_______cm，宽BC=__________cm （用含x的代数式表示） （2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容 积．
C
Q
AP
B
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从 点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q 从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如 果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿ PBQ的 面积等于8cm2 ？
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
1
D
C
根据题意，得 2x(6x) 8
D
C
Q
A
P
B
5．如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=5，点 Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从 点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后， △PBQ的面积等于4cm2？ （2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明 理由．