数学分析课程教学大纲word

数学分析课程教学大纲

课程编号：061009、061010、061011课程性质：必修总学时：288 总学分：14

开课学期：1、2、3 适用专业：数学系本科各专业先修课程：中学数学

一、课程简介

数学分析（Mathematical Analysis）是大学数数学专业的一门重要基础课。计划开设三个学期（分别在第一、二、三学期，课时分别为72、108、108，学分分别为4分、6分、6分），共288学时。其主要内容为：变量与函数;极限论;一元函数微积分学基本理论; 多元函数微积分学基本理论;数项级数及函数项级数;幂级数;富里叶级数;广义积分和含参变量的积分等。二、课程的目的和任务

本课程是大学数数学专业的一门重要基础课。它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识；本课程是进一步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、实变函数、泛函分析等后续课程的阶梯。

通过本课程的讲授与作业练习应使学生：

（1）对极限的思想和方法有较深的理解和认识，学习科学的思想方法，以利于辩证唯物主义世界观的培养与形成；

（2）正确理解数学分析的基本概念，基本掌握数学分析的论证方法，获得较熟练的演算技能和应用数学知识的能力。

三、本课程的基本要求及内容

第一章变量与函数 (8学时)

（一）基本要求

1、正确理解和掌握函数概念、函数的运算及函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性等性质;

2、掌握基本初等函数的定义、性质及初等函数的定义。

（二）课程内容

1、函数概念及函数的几何特性；

2、复合函数与反函数；

3、基本初等函数与初等函数;

4、几个常用的非初等函数（符号函数、狄里赫雷数、整数部分函数等）。

第二章极限与连续 (34学时)

（一）基本要求

1、理解和掌握数列极限与数极限及它们的性质；

2、理解和掌握无穷小与无穷大的概念及它们的性质；

3、掌握求极限的基本方法（四则运算、两边夹法则、单调有界原理、重要极限等）;

4、理和掌握连续函数、一致连续函数的概念与性质，弄清函数间断点的分类;

5、掌握闭区间上连续函数的性质。

（二）课程内容

1、 数列极限的定义及几何意义；

2、 数列极限的局部性质及运算；

3、 单调有界数列极限存在定理，一个重要极限（e n

n

n =+

∞

→)11(lim ）

。 1、 函数极限的定义（包括单侧极限）及性质和运算； 2、 两个重要极限：e x

x x x x x =+=∞→→)1

1(lim ,1sin lim

3、 无穷小与无穷大（定义、关系、性质、无穷小的比较和阶）；

4、 函数连续的概念（一点处连续、单侧连续、区间上连续及间断点分类）;

5、 函数在一点处连续的性质;

6、 闭区间上连续函数的性质（有界性、介值性、最值性及一致连续性）； 10、初等函数的连续性。

第三章 关于实数的基本定理 (10学时)

（一）基本要求

1、了解实数集关于极限运算的封闭性;

2、掌握实数连续性的几个基本定理的内容，了解定理的证法；

3、了解闭区间上连续函数性质的证法； （二）课程内容

1、几个基本定理（确界公理、闭区间定理、致密性定理、柯西收敛原理与有限覆盖定理;

2、闭区间上连续函数性质的证明。

第四章 导数与微分 (20学时)

（一）基本要求

1、掌握导数与微分的概念与几何意义，了解它们的应用；

2、能熟念应用导数的定义与求导法则求函数的导数。 （二）课程内容

1、导数概念（概念引入、导数定义、几何意义、可导与连续的关系）；

2、求导法则（四则运算法则、反函数与复合函数求导法则、基本公式表）；

3、隐函数与参数方程表示的函数的求导法;

4、微分概念（定义、几何意义、微分与导数的关系，一阶微分形式不变性）；

5、微分在近似计算中的运用；

6、高阶导数与高阶微分。

第五章 微分学的基本定量及应用 (20学时)

（一）基本要求

1、掌握中值定理的内容，证法；

2、理解中值定理是沟通函数导数与函数关系的意义。 （二）课程内容 1、中值定理；

2、泰勒公式；

3、利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值、凸凹性、曲线曲率、函数作图）；

4、洛必达法则;

5、方程的近似解。

第六章 不定积分 (16学时)

（一）基本要求

1、掌握原函数与不定积分的概念；

2、熟念掌握换元积分法与分部积分法，了解有理函数积分法； （二）课程内容

1、不定积分概念（原函数存在性与结构，不定积分概念、性质、运算性质及基本积分表）；

2、换元积分法（凑微分法、换元法），分部积分法；

3、有理函数积分法（掌握

⎰+n x a dx

)(22的递推公式）

； 4、三角函数有理式积分及特殊类型的积分，（dx c bx ax x R dx d

cx b

ax x R n ),(,),(2⎰⎰

++++等）。

第七章 定积分 (18学时)

（一）基本要求

1、正确理解和掌握定积分的概念，了解可积准则，掌握可积函数类；

2、掌握定积分性质，熟练应用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，掌握定积分的换元积分法和分部积分法;

3、掌握原函数存在的充分条件及原函数存在与可积概念的区别； （二）课程内容

1、定积分的概念（引入实例，定义）；

2、可积条件（达布大和与小和，可积的必要条件与充要条件）；

3、三类可积函数;

4、定积分的性质（线性性、区间可加性、单调性、绝对可积性及第一中值定理）；

5、定积分的计算（变上限定积分、基本公式法，换元积分法与分部积分法）

第八章 定积分的应用和近似计算 (12学时)

（一）基本要求

1、掌握定积分在几何上的应用并了解定积分在物理上的应用； （二）课程内容

1、定积分在几何上的应用（微分法、平面区域的面积、已知截面面积的立体体积、平面曲线的弧长；旋转体的侧面积）;

2、定积分在物理上的应用（液体压力、功、重心，平均值）；