第六章真空中静电场

解：细圆环所带电量为
dq 2rdr
q
R2
由上题结论知：
dE 1
xdq
4 0 (r 2 x 2 )3 2
4
x 2rdr 0 (r 2 x2 )3
2
E dE
R 0
x rdr 20 (r 2 x2 )3
2
dr
Rr
(1
20
r2 x2 dE
xP
x )
R2 x2
讨论
E (1 x )
E
4 0 ( r
l 2
)2
i
q
E
4 0 ( r
l )2 2
i
E
y
EB • B
E
q
4 0 ( r
l 2
)2
i
E
r
l
l
E
EA
•
E
Ax
EA
1
4 0
(r
q l
)2
(r
q l
)2
i
2
2
2qrl
i
4 0r 4 (1
l 2r
)2 (1
l 2r
)2
r
1 2ql
EA 4 0
i r3
在电场中画一组曲线， 电场线数目dN与dS⊥ 的比 曲线上每一点的切线方向 值称为电场线密度。我们
与该点的电场方向一致， 规定电场中某点的场强的 这一组曲线称为电场线。 大小等于该点的电场线密
度
E
dS⊥
E
总结：
E
方向：切线方向
大小： E dN =电场线密度
dS
Eb
Ec
b
Ea
c
E
a
电力线性质：
2 0
R2 x2
1. 当R >> x
E
（无限大均匀带电平面的场强）
2 0
0
0
x
E (1
)
2 0
R2 x2
2. 当R<<x
x R2 x2
(1
R2 x2
)
1 2
1 1 ( R)2 2x
E (1
20
x R2
x2
)
2
0
(1
1
1 2
(
R x
)2
q 4 0 x2
例5． 两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度
1905年爱因斯坦建立 狭义相对论
静电场----相对于观察者静止的电荷产生的电场
本章主要内容： 两个物理量： 场强、电势； 一个实验规律：库仑定律； 两个定理： 高斯定理、环流定理
第1节 电荷和库仑定律 一、电荷
电荷的种类：正电荷、负电荷 电荷的性质：同号相斥、异号相吸 电量：电荷的多少 单位：库仑 符号：C
dEx O
a 2 a 2ctg2 a 2 csc2
ar
1
dE x
1
4 0
dl
r2
cos
q
l
x
2
dl
4 0
a csc2 d a2 csc2
cos
4 0a
cos d
1 dl
dE y 4 0
r2
sin
sin d
4 0a
Ex
dE x
2
1 4 0a
4 0a
(sin
2
sin
1)
cosd
q1 q2
q3
q4
b . 对连续带电体，高斯定理为
c. qi 0 e 0
1
E dS 0 dq
表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面, 所以正电荷是静电场的源头。
qi 0 e 0
q( 0)
r0
q( 0)
r0
P E
E
P
三、场强叠加原理（计算场强的方法之一）
（1）点电荷系的电场
设真空中有n个点电荷q1,q2,…qn，则P点场强
E Ei
i
1
i 40
qi ri2
r0i
电场中任一场点处的场强等于各个点电荷单独存在时在
该点各自产生的场强的矢量和，这就是场强叠加原理。
场强在坐标轴上的投影：
当 0, E 的方向垂直带电导体向里
以上的电场具有轴对称性：在到轴线距离相等的圆柱 面上，场强大小处处相等，场强方向沿径向。
课堂练习
求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知 q ,L,a
O
dE
4 0 (
dq La
x
)2
x dx
L
P
a
dE X
L
dx
E
0
4
0(
L
a
x
)2
(1 1 ) 4 0 a L a
线电荷 d q d l
面电荷 dq dS 体电荷 dq dV
四、电场强度的计算
E
y
例1．电偶极子
如图已知：q、-q、
电偶极矩
p
r>>l， ql
EB • B
E
r
l
l
E
EA
•
E
Ax
求：A点及B点的场强
r
解：A点 设+q和-q 的场强 分别为 E和 E
q
E
4 0 ( r
l 2
)2
i
q
Ex Eix, Ey Eiy,
i
i
E Exi Ey j Ezk
Ez Eiz i
（2）电荷连续分布的带电体的电场
dE =
dq 4πε0r 2
r0
E
dE
1
4 0
dq r 2 r0
Ex dEx Ey dEy Ez dEz
E Exi Ey j Ezk
电荷元随不同的电荷分布应表达为
为，计算场强分布。
解：由场强叠加原理
两板之间：E
E
E
2
2 0
0
两板之外： E=0
E E
E E
E
E
五．带电体在外电场中所受的力
F qE
F Edq
课堂讨论：如图已知q、d、S
求两板间的所用力
q2
f q
2 0 2 0 S
d q q
f
q2
4 0d 2
第3节 真空中静电场的高斯定理及其应用
一、电场线（电力线） 通过无限小面元dS⊥的
第2节 电 场
一、电场强度（简称场强）
在任何电荷周围都存在着电场（一种特殊形态的物 质），电荷间的相互作用是通过电场来传递的。
电荷
电场
电荷
定义：
F E
q0
单位：N/C，与q0无关。
q0
F
q 试验
场源 电荷
电荷
二、点电荷的电场
1 q
E 40 r 2 r0
点电荷的电场具有球对称性：在到 q 距离相等的 球面上，场强大小处处相等，场强方向沿径向。
e
E dS
S
S
q
40r 2
er
dS
q
q
4 0r 2
Baidu NhomakorabeadS
S
+ r
q
4 0r 2
4r 2
q
0
与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面，
不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
q
事实上，包含点电荷q的任意曲面的电通量等于 0
(2) 场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。
+q
因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线 从面内出来。
)2
i
xq
E
4 0(
x2
a2
3
)2
i
讨论（1）当 q 0，E的方向沿x轴正向
当 q 0，E的方向沿x轴负向
（2）当x=0,即在圆环中心处，E 0
当 x
E
0
dE 0时 x a
dx
2
aq
E
Emax
2
4
0 (
a2
a2 2
3
)2
E
4 0(
xq x2
a2
3
)2
i
（3）当 x a时，x2 a2 x2
通量（或 E 通量）。用e表示。
均匀电场 S与电场强度方向垂直
均匀电场，S 法线方向与
电场强度方向成角
S
E
S n
E
e ES
e ES cos E S
电场不均匀，S为任意曲面
de E dS EdS cos
e de E dS
S
S
S为任意闭合曲面
e
E cosdS
S
E dS
张甫宽
理学院物理系
第二篇 电 磁 学
电能是应用最广泛的能源； 电磁波的传播实现了信息传递； 电磁学与工程技术各个领域有十分密切的联系； 电磁学的研究在理论方面也很重要。
公元前600年
1820年
1831年
古希腊泰勒斯 第一次记载电现象
奥斯特发现 电流对磁针的作用
法拉第发现 电磁感应
1865年麦克斯韦提出 电磁场理论
F
1
4 0
q1q2 r2
r0
q1
r0
r
q2
r0 ——单位矢量，由施力物体指向受力物体。
0 ——真空电容率或真空介电常数。
0 8.85 1012 C 2 N 1m 2
k 1 9 109 Nm2C 2
4 0
例：在氢原子中，电子与质子的距离为5.310-11米，试求 静电力及万有引力，并比较这两个力的数量关系。
d o
R
dE
X
2.求均匀带电一细圆弧圆心处的场强，已知 ,,R
取电荷元dq则
dE
dl 4 0 R2
Y
dl
由对称性 dEx 0
E
dE y
dl 4 0R2
cos
d
R
dE
O
X
2
2
0
R cos 4 0 R2
d
sin
2 0 R
2
方向：沿Y轴负向
例4 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
已知：q、 R、 x 求：Ep
y
dq
.
a
x
z
dE
由对称性 E y Ez 0
E d E//
d E cos
cos x r
r (a2 x2 )1 2
dq
y
r
a
p d E//
x
x
z d E dE
E
1
4 0
2 a
q
2a
dl r2
cos
1
4 0
q r2
cos
1
qx
4 0 (a2 x2 )3 2
xq
E
4 0(
x2
a2
3
qL
q
4 0aL(L a) 4 0a(L a)
例3 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。
已知： q 、a 、 x。
dq dl
q dl
2a
dE
dq
4 0r 2
dq
y
r
a
p d E//
x
x
z d E dE
dE// dEi
dE dEy j dEzk
当dq位置发生变化时，它所激发的电场 矢量构成了一个圆锥面。
E
1
4 0
q x2
这时可以把带电圆环看作一个点电荷 这正反映了点电荷概念的相对性
课堂练习：
1.求均匀带电半圆环圆心处的 E，已知 R、
dq
电荷元dq产生的场 dE 4 0 R2
根据对称性 dEy 0
E
dEx
dE
sin
0
Rd 4 0 R2
sin
4 0R2
( cos )
0
2 0 R
Y
dq
解：由于电子与质子之间距离约为它们自身直径的105倍， 因而可将电子、质子看成点电荷。
电子与质子之间静电力（库仑力）为吸引力
FE e2 4 0 R2 8.2 108 (牛）
电子与质子之间的万有引力为
忽略！
FG GmM R2 3.61047 N
所以库仑力与万有引力数值之比为 FE FG 2.3 1039
dE dE x
O
y
dE y
E
y
dE y
4 0a
12
4 0a
sin
(cos1 cos2 )
d
1
q
a
r
l
E
E
2 x
E
2 y
x
2
dl
Ex
4 0a
(sin
2
sin
1)
Ey
4 0a
(cos1
cos2 )
讨论
当直线长度
L
或
a
0
12
0,
无限长均匀带 电直线的场强
E
2 0a
当 0, E的方向垂直带电导体向外
S
规定：法线的正方向为指向 闭合曲面的外侧。
三、高斯定理
在真空中的任意静电场中，通过任一闭合曲
面S的电通量e ,等于该闭合曲面所包围的电荷电 量的代数和除以0 而与闭合曲面外的电荷无关。
1
e s E dS 0 qi
1、高斯定理的证明： (1)场源电荷为点电荷且在闭合曲面内
E
dS
电荷守恒定律： 在一个孤立系统内发生的过程中， 正负电荷的代数和保持不变。
电荷的量子化效应：Q = ne
n是整数，基本电荷 e = 1.6×10-19C
二、库仑定律
真空中两个静止的点电荷之间的作用力（静电力）， 与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平 方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线。
1 2p
4 0 r 3
对B点：E
E
1
4 0
(r 2
q l2
4)
Ex Ex Ex 2Ex
E
y
cos l 2
r2 l2 4
2E cos
EB • B
Ey Ey Ey 0
EB 2E cos
1 ql
4 0 (r 2 l 2 )32 1 p 4
4 0 r 3
E
r
l
l
r
1p
EB
4 0
1、不闭合，不中断，起于正电荷、止于负电荷； 2、任何两条电力线不相交。
点电荷的电力线
负电荷
正电荷
+
一对等量异号电荷的电力线
+
一对等量正点电荷的电力线
+
+
一对异号不等量点电荷的电力线
2+q
q
带电平行板电容器的电场
++ ++ + + + + +
二、电通量
通过电场中某一面的电力线数称为通过该面的电场强度
r3
E
EA
•
E
Ax
EA
1
4 0
2 p r3
1 p
EB 4 0 r 3
结论
E p
E
1 r3
E
y
EB • B
E
r
l
l
r
E
EA
•
E
Ax
例2 求一均匀带电直线在O点的电场。
已知： q 、 a 、1、2、。
解题步骤
dE
y
dE y
1. 选电荷元 d q d l
2.确定dE的方向 3.确定 dE的大小
dEx O
ar
1 dl
1
dE 4 0
r2
q
l
4. 建立坐标，将dE投影到坐标轴上
x
2
dl
dEx dE cos dEy dE sin
5. 选择积分变量
r、、l 是变量，而线积分只要一个变量
选θ作为积分变量
l actg( ) actg
d l a csc2 d
dE
y
dE y
r2 a2 l2
i 1
e
E dS
1
S
0
q i
2、高斯定理的理解
e
s
E dS
1
0
qi
a. E是闭合面各面元处的电场强度，是由全部电
荷（面内外电荷）共同产生的矢量和，而过曲面的
通量由曲面内的电荷决定。
因为曲面外的电荷（如 q4 ）
对闭合曲面提供的通量有正有
负才导致 q4 对整个闭合曲面贡
献的通量为0。
e 0 E dS 0
s
(3) 场源电荷为点电荷系(或电荷连续分布的带电体)，
高斯面为任意闭合曲面
E E1 E2 En En1 Enk
e
E dS
S
E1 dS E2 dS En dS S En1 S Enk
s
S
s
n
e1 e2 en ei