浅析常数变易法PPT课件

dy 2 y x
dx
2
dx x 2
除此之外，上述方法还具有更强的简易性与广泛性。当方程右端为多个
式子组成的更复杂的函数时，我们仍然可以使用此方法得到通解。
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例题2： dy(x1)2(4y1)28xy1
暨南
dx
第开
四大 届学 大第 学八
dy ( x 1)2 dx
y
1(x 3
1)3
c1
生届 “大 数学 学生 之文
dy (4 y 1)2 dx
11
y
16(xc2) 4
美化 ”素 论质
dy 8xy dx
y e4x2 c3
坛教 育 节
dy 1 dx
y x c4
四式代数和即为原方程通解！此方法大 大简化了运算过程，从而降低了运算量 ！
……
……
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暨南 第开 四大 届学 大第 学八 生届 “大 数学 学生 之文 美化 ”素 论质 坛教
x1 t
x2 t
d d nn xta 1d d n n 1 1 x t a n 1d d x ta nxfm (t)
xn t
各方程特解与齐次方程通解的代数和即为原n阶非齐次方程的通解
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育 节
由此，对于最初所研究的一阶线性常微分方程，又增 加了一种十分重要的解法。虽然结果形式上不同，但本质 相同。
拓宽思维的深度与广度
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n阶常系 数非齐次 线性方程
解法： d dtnn xa1d dtn n1 x 1… an 1d dx tanx0
d d t n n x a 1d d t n n 1 x 1 ... a n 1d d x t a n xf1t
d d t n n x a 1d d t n n 1 x 1 … a n 1d d x t a n xf2 (t)
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育 节
浅析常数变易法
南开大学 经济学院 06级金融学系
张婷
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暨南
第开
四大 届学
常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程的重要方法，即将常数
大第 学八
变易为待定函数，通过求解待定函数的表达式进而求出原方程通解
育 节
d d t n n x a 1 d d t n n 1 x 1 … a n 1 d d x t a n x f1 ( t) f2 ( t) … fm ( t)
d d n n xta 1d d n n 1 1 x t a n 1d d x ta nxf1(t) d d n n xt a 1d d n n 1 1 x t a n 1d d x ta nxf2(t)
育 节
经过推导，验证了我们的猜想。具体过程如下：
dy p x y
dx
dy q x
dx
y1 x cepxdx + y2xqxdx
ycepxdx qxdx
yepxd x(cqxe pxd xd x) 变形： y c e p x d x e p x d x qxe p x d x d x
论质
坛教
育
节
常数变易与变量代换是相互渗透相互联系的 齐次的或可化为齐次的方程中所代换的是一个变量
而一阶线性非齐次常微分方程中，由于方程的复杂性， 因此被代换的是一个表达式
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育 节
常数变易法与迭加原理
d d tn n x a 1d d tn n 1 x 1 … a n 1d d x t a n xf1 (t) f2 (t)
形式不同的结果之间只相差一个常数。
• 着力去挖掘隐藏在结论背后的理论与方法
间 本质的联系 • 数学的魅力在于探求结果过程中 逻辑思
维 的运用，联想能力 的拓展与 锲而不舍 的钻研精神 三者的融会贯通
• 学会的不仅是一种方法，而是一种 思想
• 数学之中体现 哲学真理
• 不断 尝试，不断 求索，就会加深理解，
步骤一： 设 y ux
之文 美化 ”素 论质
步骤二：
dy u x du
dx
dx
此时，u已被视为x的函数
坛教 育 节
dy
将 d x 代回原式，就得到关于u与x的方程，从而求解
u
y
x
c
ye pxdx
y ce pxdx
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暨南 第开
d yd cxep xd x cxpxep xd x
d x d x
暨南
第开 四大 届学 大第
例题1： dy 2 y x dx x 2
学八 生届 “大 数学
dy 2 y dx x
y ec1 x 2 (c1为任意常数）
学生
+
之文 美化 ”素 论质
dy x dx 2
y
1 4
x2
c2
(Βιβλιοθήκη Baidu2为任意常数)
坛教 育
将上述结果进行求导：
节
dy 2ec1 x x
e c1 y x2
生届
“大
数学 学生 之文
例如：
dy pxyqx
美化
dx
”素
论质 坛教
育 节
解法： dy p x y
dx
y ce pxdx
y cxepxdx
cx
yepxdx(cqxepxdxdx)
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暨南 第开
常数变易法的本质
四大
届学 大第 学八 生届
解法：
齐次方程：
dy dx
g
y x
“大
数学 学生
dy u x du
dx
dx
四大
届学
大第
学八 生届
此时，二者的本质相同，只是常数变易法中的变量代换更为复杂，不易辨别。
“大
常数变易法的目的是将原方程变换为只含c x 与 x 的方程。从而求出 c x
数学
学生
之文 美化 ”素
y cxepxdx
yep xd x(cqxe p xd xd x)
x (t)
+
x 1 t 通解
+
x2 t
这种形式的方程与我们所研究的一阶线性非齐次常微分方程
dy pxyqx
dx
有某种程度的相似性
我们是否可以按上 述方法将其分解为 两个方程分别求解 ，最终得到通解呢
？
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暨南 第开 四大 届学 大第 学八 生届 “大 数学 学生 之文 美化 ”素 论质 坛教
yc ep xd x1
px
qxe p xd xd ep xd x
ycepxdxp1x qxd lnepxdx
ycepxdxp1xqxdpxdx
ycepxdx qxdx
可见，通过此方法求得的结果与常数变易法结果实质上是一致
• •
的。我们也可以通过实际例题来加以验证，结论亦成立。