第8章 形状表示与描述
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L是曲线长度。
• 傅立叶描述子Tn: • 描述子受曲线形状和初始点的影响。
如果坐标系选择恰当，傅立叶描述子在平移和旋转时是不变的。用于手 写字母数字字符的描述中，字符边界由4连通下的坐标对(xm,ym)来表 示，令(x1,y1)=(xL,yL),
an,bn不是不变量，但经过变换， rn四平移和旋转不变量。为了达到缩放不变性，使用描述子wn： 对于文字描述，10-15个描述子wn就足够了。
8.2.2 简单几何边界表示
• 边界长度：垂直的和水平的步幅为单位长度，在8连通下的对角步幅 长度为 2 ，在4连通下，对角步幅包含两个直角步，总长为2。 • 曲率：在连续情况下，曲率表示斜率的变化率。在离散空间中，曲率 的描述必须稍作修改以克服因曲线不具有平滑性所造成的困难。 • 曲率标量描述子是边界像素的总数目（长度）和边界方向有显著变化 的边界像素的数目的比率。方向改变的数目越少，边界越平直。 • 估算算法：从待估计的边界像素出发到在两个方向上个b个边界像素 位置处的两条线段间的角度的方法。这个角度不必以数字形式表示； 线段的相对位置可以用作属性。参数b决定了对边界方向局部变化的 敏感度。
图像分割后顺序标识：
标号冲突：图像形状例如U形物体、E的镜像形物体。 等价表是一个出现在图像中的所有标号对的列表：在第二步中，所有的等价标号 用一个唯一的标号代替。 算法在4连通和8连通下基本相同，不同点是在邻域掩膜的形状上。
• 8连通下的物体标识a,b,c,是算法步骤，经过步骤b后的等价 表：2-5，5-6，2-4
形状表示与描述
• 定义物体的形状其实是非常困难的。形状通常以言辞来表 述或以图形来描绘，而且人们常使用一些术语，例如细长 、圆形、有明显边缘的等等。但是计算机时代，有必要对 非常复杂的形状进行精确的描述。虽然有很多实际的形状 描述方法，但并没有被认可的统一的形状描述方法学。 • 形状描述方法的共同特点：定位和描绘物体边界一阶导数 的显著变化常常会产生适当的信息。
• xi(i=1,2,...,n)为B样条插值曲线的点，插值曲线为x(s).参数s在点xi间线性 变化-xi=x(i).三次B样条曲线的每一个部分都是三次多项式，这意味着 它以及一阶和二阶导数都是连续的。B样条为： • vi为表示样条曲线的系数，Bi(s)是基函数，其形状由样条的阶次给出 。系数vi信息对偶于样条曲线点的信息--vi的值可从xi中得出。系数vi代 表了控制多边形的顶点，如果有n个点x，则必须有n+2个点vi。两个端 点v0,vn+1由边界条件确定。如果B样条的曲率在曲线的开始和结束点 为0，则 • 如果曲线是封闭的，则v0=vn、vn+1=v1
8.2.5 B样条表示
• 在图像学中，平滑曲线表示方法：使用分段式多项式插值 • B样条：是分段多项式曲线。形状与控制多边形紧密相关 ，曲线的多边形表示有一个顶点的链给出。三次B样条是 最常见的，因为这是包含曲率变化的最低阶次。 • 样条特性
形状改变要小于控制多边形 不会想很多其他表示那样在采样点振荡 n次B样条曲线总位于n+1个顶点的多边形内。 插值在特性上是局部的如果一个控制多边形的顶点改变了它的位置，所 造成的样条曲线的变化仅仅在那个顶点的一个小的邻域内。 样条表示的区域边界与图像数据相匹配的方法是局域对原始图像数据的 直接搜素。样条的方向可以直接凑个参数中得出。
• 弯曲能量：可以理解为一个杆弯曲成所要求的形状所需的 能量：c(k)是边界曲率，L是边界长度。
• 运用parseval定理，可以用傅立叶描述子计算弯曲能量。
• 签名：区域的签名可以由法线轮廓距离的序列得到。对每 一个边界元素，法线轮廓距离为路径长度的函数。对每一 个边界点A，到对面边界点B的最近距离的道路为垂直于点 A边界切线的方向。签名对噪声敏感，因而使用平滑后的 签名或平滑后的轮廓签名来降低对噪声的敏感性。
• 基函数是非负的、仅具有局部重要性。每一个基函数Bi(s) 仅在s⋲(i-2,i+2)以及Bi+1(s)。如果xi点间的距离是常数，则 所有的基函数具有相同的形式，Cj(t)（j=0,...,3）为：
• 对于s∉(i-2,i+2)的等于0的基函数，对任意的s，x(s)为：
• Cij(s)指基函数Bi的第j个部分。注意：
边界表示：把边界分割成常数曲率的片段。边界也可以被分 割成能用多项式来表示的片段，通常是二阶的，例如：圆 形、椭圆、抛物线形的线段。对于句法形状识别过程，片 段被作为基元看待，例如，染色体的句法描述和识别，其 中边界片段被分类为较大曲率的图片段、较大曲率的凹片 段、直线片段等等。
• 形状描述：受分辨率影响。曲线的一些分割点受分辨率的影响。 • 尺度空间方法：新的分割点只能在更高分辨率下出现，已经存在的分 割点不会消失。在更高的分辨率下可以检测到更细微的细节，而如果 分辨率增大显著的细节不应该消失 • 这个方法是基于单独的高斯平滑核在一定的尺度范围内应用与一维信 号，并将其结果微分2次。通过检测二阶导数的过零点来确定曲率的 峰值；过零点的位置是曲线分割点的位置。 • 不同分辨率下得到分割点位置不同。 • 高斯核性质：分割点的位置随着分辨率的变化而连续变化。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
•
• •
曲线的细微细节在高斯平滑核尺寸的增大下成对的消失，并且总是2个分割点 合并起来形成一个封闭的轮廓，说明在粗分辨率下存在的任意分割点，一定 也在细分辨率下存在。 分割点的位置在最精细的分辨率下是最精细的，可以使用尺度空间图像，对 位置从粗分辨率到细分辨率进行跟踪。 多尺度曲线描述：区间树表示。每一对过零点表示一个矩形，位置对应于分 割点在曲线上的位置，高度表示分割点可以检测的最低分辨率。
• 在区间[i,i+1]内，插值曲线x(s)为： • 例如s=5，s位于区间[i,i+1]的开始处，i=5， • 如果s=7.7，则i=7，
x（7.7）
• 弦的分布 • 轮廓上所有弦的长度和角度分布可以用于形状描述。
轮廓上的点：b(x,y)=1,其他点：b(x,y)=0 则弦分布为： 对数字图像：
• 为了得到独立于旋转的径向分布hr(r)，对所有角度的计算积分： 其中 r x 2 y 2 , sin 1 (y / r ) 分布的变换线性于尺度。角度的分布ha(θ)独立于尺度，旋转导致比例偏移。
8.2.1 链码
• 链码通过给定方向的单位长度的线段序列来描述物体。为了可以重建 区域，该序列的第一个元素必须带有其位置信息。 链码的导数：模4 或模8的差分码，标识区域边界元素的相对方向，以逆时针计数的90º 或45º的倍数来度量。链码对噪声十分敏感，而且要用于识别，尺度 和旋转的任意变化都可能会引起问题。链码的平滑形式（沿着指定的 路径长度对方向进行平均）对噪声相对不太敏感。
• 尺度（分辨率）问题在数字图像中很常见。如果导出形状描述，那么 对尺度的敏感性就更严重了，因为形状可能会随着图像分辨率的变化 而发生很大的变化。在高分辨率下轮廓的检测可能会收到噪声的影响 ，而在低分辨率下小的细节有可能会丢失。
• 我们处理的是二维形状及其描述，但我们的世界是三维的，物体也是 ，如果从不同角度（或空间中改变位置或方向）观看，会形成非常不 同的二维透视投影。 • 理想情况：设计一个具有透视投影不变性的描述子，来克服这些变化 的通用形状描述能力。例如：椭圆 --圆。对于一些三维形状，它们的 二维透视投影可能具有识别所需的充分信息。例如：飞机轮廓，即使 改变飞机在空间中的位置和方向，从透视投影成功的识别出飞机。在 很多情况下，为了得到充足的描述信息，必须在特殊方向上观察物体 。例如：人脸。
• 一个封闭边界可表示为切线间的角度相对于其在边界上的 点之间的距离函数。令为第k个边界点测量的角度，令lk为 起始边界点和第k个边界点的距离。 • 定义一个周期函数： • 描述子集合为：
• 傅立叶描述子的共同优点：仅用少数低阶系数就可得到高质量的边界形状表
示。 • 比较使用描述子Sn和Tn的结果：切线角度的变化相对比较显著，描述子有更 多的高频成分出现在边界函数中，所以不如描述子Tn衰减的快；由于导致不 封闭的边界，Sn描述子不适合边界重建。 描述子Tn的值对于更高的频率会很 快衰减，重建时常常产生封闭的边界。Sn描述子不能用于正方形和正三角形 等情况。 • 傅立叶描述子也可以用于计算区域面积、质心的定位、二次矩。傅立叶描述 子是一个通用方法，但是在描述局部信息时存在问题。修正方法：使用了频 率-位置的结合空间，对局部曲线属性处理得较好；其他修正，在旋转、平移 、尺度变换、镜像变换以及起始点的变化下具有不变性。
• 2 设置最大允许差别e的容忍区间方法。假定点x1是前一个 片段的终止点，由定义也是新片段的第一个点。定义点x2 、x3位于点x1的直线距离e处，三点共线，如下图所示。 下一步定位片段，位于由点x2、x3引出的平行线间。这个 结果片段是次优的。
•
•
以上介绍的一些方法是使用片段增长的方法，是一直边界分割的一遍扫描算 法。不会产生最好的边界分割，因为定位的顶点常常表面真正的顶点位置应 该往后几步。有效方法：把边界分割成跟小片段的分裂方法，可以将这两种 方法结婚起来得到最好的结果。分裂方法：片段通常分为2段更小的新片段知 道新的片段达到最后要求。 分裂的过程：从一条曲线的终点x1和x2开始，两终点被一个线段连接起来； 在所有的曲线点中找到距离线段最远的曲线点x3。如果确定的点在预设的线 段距离范围内，片段x1-x2就是最后的片段，找到所有的曲线顶点，顶点x1和 x2就是曲线的多边形表示。否则x3作为新顶点，并且将结果片段x1-x3、x3-x2 上递归调用。
• 如果分割后的图像是用四叉树数据结构表示的，则算法如 下：
• 区域计数任务和区域标识问题紧密相关。物体计数可以从 区域标识结果中立即得到，如果只需区域计数，而无需标 识它们，那么一个一边扫描的算法就足够了。
8.2 基于轮廓的形状标识与描述
• • • • 区域边界必须以某种数学形式来表示。 表示像素xn：直角坐标 ，是路径长度n的函数； 极坐标：边界元素以角度Ф和距离r的数对来表示。 切线坐标：作为路径长度n的函数，对曲线上点的切线方向θ(xn)进行 编码。
8.2.4 使用片段序列的边界描述
• 边界描述：使用具有特定属性的片段来表示边界。如果对于所有的片 段其类型都是已知的，则边界可以描述为片段类型的一个链，码字由 代码类型的字母组成。 • 多边形表示通过一个多边形来近似区域，区域由顶点来表示。边界可 以用各种精度来近似，如果需要更精确的描述，就需要更多的线段。 • 任意2个边界点x1、x2定义一条线段，点x1、x2、x3的序列表示了一个 线段链--从点x1到x2点，从x2到x3，如果x1=x3，则为一个封闭的边界 。但是如何确定边界顶点位置？ • 方法：1 分裂归并算法。归并步骤：检查边界点的集合，只要满足一 个片段的平直性标准，就把它加到这个片段中，如果失去了片段的平 直性，最后连接的点就标记为顶点，并开始构建一个行的片段。通过 使用曲率标准，当边界点在边界方向上有显著变化时，就可以检测到 顶点。当边界是直边界片段时，这个方法很有效。
8.1 区域标识
• 区域标识方法：
1 给每个区域或每个边界标识一个唯一的数字（整数），这种标识 称为标注或着色。最大的整数标号通常也就是给出了图像中区域 的数目； 2 使用较少数目的标号，理论上4个就足够了，保证不存在两个相 邻区域有相同标号。
• 假设分割后的图像R由m个不相交的区域Ri组成。图像R有 若干物体Ri和一个背景Rb组成。
•
8.2.3 边界的傅立叶变换
• 假设C是复平面上的封闭曲线（边界）。以逆时针方向沿 着这个曲线保持恒定速度移动，得到一个复函数z(t),速度 选择为绕边界一周的时间为2π，沿曲线做多次遍历得到 周期为2π的周期函数。z(t)用傅立叶表示： • Tn为曲线C的傅立叶描述子。 • 曲线距离s与时间t关系：
• 傅立叶描述子Tn: • 描述子受曲线形状和初始点的影响。
如果坐标系选择恰当，傅立叶描述子在平移和旋转时是不变的。用于手 写字母数字字符的描述中，字符边界由4连通下的坐标对(xm,ym)来表 示，令(x1,y1)=(xL,yL),
an,bn不是不变量，但经过变换， rn四平移和旋转不变量。为了达到缩放不变性，使用描述子wn： 对于文字描述，10-15个描述子wn就足够了。
8.2.2 简单几何边界表示
• 边界长度：垂直的和水平的步幅为单位长度，在8连通下的对角步幅 长度为 2 ，在4连通下，对角步幅包含两个直角步，总长为2。 • 曲率：在连续情况下，曲率表示斜率的变化率。在离散空间中，曲率 的描述必须稍作修改以克服因曲线不具有平滑性所造成的困难。 • 曲率标量描述子是边界像素的总数目（长度）和边界方向有显著变化 的边界像素的数目的比率。方向改变的数目越少，边界越平直。 • 估算算法：从待估计的边界像素出发到在两个方向上个b个边界像素 位置处的两条线段间的角度的方法。这个角度不必以数字形式表示； 线段的相对位置可以用作属性。参数b决定了对边界方向局部变化的 敏感度。
图像分割后顺序标识：
标号冲突：图像形状例如U形物体、E的镜像形物体。 等价表是一个出现在图像中的所有标号对的列表：在第二步中，所有的等价标号 用一个唯一的标号代替。 算法在4连通和8连通下基本相同，不同点是在邻域掩膜的形状上。
• 8连通下的物体标识a,b,c,是算法步骤，经过步骤b后的等价 表：2-5，5-6，2-4
形状表示与描述
• 定义物体的形状其实是非常困难的。形状通常以言辞来表 述或以图形来描绘，而且人们常使用一些术语，例如细长 、圆形、有明显边缘的等等。但是计算机时代，有必要对 非常复杂的形状进行精确的描述。虽然有很多实际的形状 描述方法，但并没有被认可的统一的形状描述方法学。 • 形状描述方法的共同特点：定位和描绘物体边界一阶导数 的显著变化常常会产生适当的信息。
• xi(i=1,2,...,n)为B样条插值曲线的点，插值曲线为x(s).参数s在点xi间线性 变化-xi=x(i).三次B样条曲线的每一个部分都是三次多项式，这意味着 它以及一阶和二阶导数都是连续的。B样条为： • vi为表示样条曲线的系数，Bi(s)是基函数，其形状由样条的阶次给出 。系数vi信息对偶于样条曲线点的信息--vi的值可从xi中得出。系数vi代 表了控制多边形的顶点，如果有n个点x，则必须有n+2个点vi。两个端 点v0,vn+1由边界条件确定。如果B样条的曲率在曲线的开始和结束点 为0，则 • 如果曲线是封闭的，则v0=vn、vn+1=v1
8.2.5 B样条表示
• 在图像学中，平滑曲线表示方法：使用分段式多项式插值 • B样条：是分段多项式曲线。形状与控制多边形紧密相关 ，曲线的多边形表示有一个顶点的链给出。三次B样条是 最常见的，因为这是包含曲率变化的最低阶次。 • 样条特性
形状改变要小于控制多边形 不会想很多其他表示那样在采样点振荡 n次B样条曲线总位于n+1个顶点的多边形内。 插值在特性上是局部的如果一个控制多边形的顶点改变了它的位置，所 造成的样条曲线的变化仅仅在那个顶点的一个小的邻域内。 样条表示的区域边界与图像数据相匹配的方法是局域对原始图像数据的 直接搜素。样条的方向可以直接凑个参数中得出。
• 弯曲能量：可以理解为一个杆弯曲成所要求的形状所需的 能量：c(k)是边界曲率，L是边界长度。
• 运用parseval定理，可以用傅立叶描述子计算弯曲能量。
• 签名：区域的签名可以由法线轮廓距离的序列得到。对每 一个边界元素，法线轮廓距离为路径长度的函数。对每一 个边界点A，到对面边界点B的最近距离的道路为垂直于点 A边界切线的方向。签名对噪声敏感，因而使用平滑后的 签名或平滑后的轮廓签名来降低对噪声的敏感性。
• 基函数是非负的、仅具有局部重要性。每一个基函数Bi(s) 仅在s⋲(i-2,i+2)以及Bi+1(s)。如果xi点间的距离是常数，则 所有的基函数具有相同的形式，Cj(t)（j=0,...,3）为：
• 对于s∉(i-2,i+2)的等于0的基函数，对任意的s，x(s)为：
• Cij(s)指基函数Bi的第j个部分。注意：
边界表示：把边界分割成常数曲率的片段。边界也可以被分 割成能用多项式来表示的片段，通常是二阶的，例如：圆 形、椭圆、抛物线形的线段。对于句法形状识别过程，片 段被作为基元看待，例如，染色体的句法描述和识别，其 中边界片段被分类为较大曲率的图片段、较大曲率的凹片 段、直线片段等等。
• 形状描述：受分辨率影响。曲线的一些分割点受分辨率的影响。 • 尺度空间方法：新的分割点只能在更高分辨率下出现，已经存在的分 割点不会消失。在更高的分辨率下可以检测到更细微的细节，而如果 分辨率增大显著的细节不应该消失 • 这个方法是基于单独的高斯平滑核在一定的尺度范围内应用与一维信 号，并将其结果微分2次。通过检测二阶导数的过零点来确定曲率的 峰值；过零点的位置是曲线分割点的位置。 • 不同分辨率下得到分割点位置不同。 • 高斯核性质：分割点的位置随着分辨率的变化而连续变化。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
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曲线的细微细节在高斯平滑核尺寸的增大下成对的消失，并且总是2个分割点 合并起来形成一个封闭的轮廓，说明在粗分辨率下存在的任意分割点，一定 也在细分辨率下存在。 分割点的位置在最精细的分辨率下是最精细的，可以使用尺度空间图像，对 位置从粗分辨率到细分辨率进行跟踪。 多尺度曲线描述：区间树表示。每一对过零点表示一个矩形，位置对应于分 割点在曲线上的位置，高度表示分割点可以检测的最低分辨率。
• 在区间[i,i+1]内，插值曲线x(s)为： • 例如s=5，s位于区间[i,i+1]的开始处，i=5， • 如果s=7.7，则i=7，
x（7.7）
• 弦的分布 • 轮廓上所有弦的长度和角度分布可以用于形状描述。
轮廓上的点：b(x,y)=1,其他点：b(x,y)=0 则弦分布为： 对数字图像：
• 为了得到独立于旋转的径向分布hr(r)，对所有角度的计算积分： 其中 r x 2 y 2 , sin 1 (y / r ) 分布的变换线性于尺度。角度的分布ha(θ)独立于尺度，旋转导致比例偏移。
8.2.1 链码
• 链码通过给定方向的单位长度的线段序列来描述物体。为了可以重建 区域，该序列的第一个元素必须带有其位置信息。 链码的导数：模4 或模8的差分码，标识区域边界元素的相对方向，以逆时针计数的90º 或45º的倍数来度量。链码对噪声十分敏感，而且要用于识别，尺度 和旋转的任意变化都可能会引起问题。链码的平滑形式（沿着指定的 路径长度对方向进行平均）对噪声相对不太敏感。
• 尺度（分辨率）问题在数字图像中很常见。如果导出形状描述，那么 对尺度的敏感性就更严重了，因为形状可能会随着图像分辨率的变化 而发生很大的变化。在高分辨率下轮廓的检测可能会收到噪声的影响 ，而在低分辨率下小的细节有可能会丢失。
• 我们处理的是二维形状及其描述，但我们的世界是三维的，物体也是 ，如果从不同角度（或空间中改变位置或方向）观看，会形成非常不 同的二维透视投影。 • 理想情况：设计一个具有透视投影不变性的描述子，来克服这些变化 的通用形状描述能力。例如：椭圆 --圆。对于一些三维形状，它们的 二维透视投影可能具有识别所需的充分信息。例如：飞机轮廓，即使 改变飞机在空间中的位置和方向，从透视投影成功的识别出飞机。在 很多情况下，为了得到充足的描述信息，必须在特殊方向上观察物体 。例如：人脸。
• 一个封闭边界可表示为切线间的角度相对于其在边界上的 点之间的距离函数。令为第k个边界点测量的角度，令lk为 起始边界点和第k个边界点的距离。 • 定义一个周期函数： • 描述子集合为：
• 傅立叶描述子的共同优点：仅用少数低阶系数就可得到高质量的边界形状表
示。 • 比较使用描述子Sn和Tn的结果：切线角度的变化相对比较显著，描述子有更 多的高频成分出现在边界函数中，所以不如描述子Tn衰减的快；由于导致不 封闭的边界，Sn描述子不适合边界重建。 描述子Tn的值对于更高的频率会很 快衰减，重建时常常产生封闭的边界。Sn描述子不能用于正方形和正三角形 等情况。 • 傅立叶描述子也可以用于计算区域面积、质心的定位、二次矩。傅立叶描述 子是一个通用方法，但是在描述局部信息时存在问题。修正方法：使用了频 率-位置的结合空间，对局部曲线属性处理得较好；其他修正，在旋转、平移 、尺度变换、镜像变换以及起始点的变化下具有不变性。
• 2 设置最大允许差别e的容忍区间方法。假定点x1是前一个 片段的终止点，由定义也是新片段的第一个点。定义点x2 、x3位于点x1的直线距离e处，三点共线，如下图所示。 下一步定位片段，位于由点x2、x3引出的平行线间。这个 结果片段是次优的。
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以上介绍的一些方法是使用片段增长的方法，是一直边界分割的一遍扫描算 法。不会产生最好的边界分割，因为定位的顶点常常表面真正的顶点位置应 该往后几步。有效方法：把边界分割成跟小片段的分裂方法，可以将这两种 方法结婚起来得到最好的结果。分裂方法：片段通常分为2段更小的新片段知 道新的片段达到最后要求。 分裂的过程：从一条曲线的终点x1和x2开始，两终点被一个线段连接起来； 在所有的曲线点中找到距离线段最远的曲线点x3。如果确定的点在预设的线 段距离范围内，片段x1-x2就是最后的片段，找到所有的曲线顶点，顶点x1和 x2就是曲线的多边形表示。否则x3作为新顶点，并且将结果片段x1-x3、x3-x2 上递归调用。
• 如果分割后的图像是用四叉树数据结构表示的，则算法如 下：
• 区域计数任务和区域标识问题紧密相关。物体计数可以从 区域标识结果中立即得到，如果只需区域计数，而无需标 识它们，那么一个一边扫描的算法就足够了。
8.2 基于轮廓的形状标识与描述
• • • • 区域边界必须以某种数学形式来表示。 表示像素xn：直角坐标 ，是路径长度n的函数； 极坐标：边界元素以角度Ф和距离r的数对来表示。 切线坐标：作为路径长度n的函数，对曲线上点的切线方向θ(xn)进行 编码。
8.2.4 使用片段序列的边界描述
• 边界描述：使用具有特定属性的片段来表示边界。如果对于所有的片 段其类型都是已知的，则边界可以描述为片段类型的一个链，码字由 代码类型的字母组成。 • 多边形表示通过一个多边形来近似区域，区域由顶点来表示。边界可 以用各种精度来近似，如果需要更精确的描述，就需要更多的线段。 • 任意2个边界点x1、x2定义一条线段，点x1、x2、x3的序列表示了一个 线段链--从点x1到x2点，从x2到x3，如果x1=x3，则为一个封闭的边界 。但是如何确定边界顶点位置？ • 方法：1 分裂归并算法。归并步骤：检查边界点的集合，只要满足一 个片段的平直性标准，就把它加到这个片段中，如果失去了片段的平 直性，最后连接的点就标记为顶点，并开始构建一个行的片段。通过 使用曲率标准，当边界点在边界方向上有显著变化时，就可以检测到 顶点。当边界是直边界片段时，这个方法很有效。
8.1 区域标识
• 区域标识方法：
1 给每个区域或每个边界标识一个唯一的数字（整数），这种标识 称为标注或着色。最大的整数标号通常也就是给出了图像中区域 的数目； 2 使用较少数目的标号，理论上4个就足够了，保证不存在两个相 邻区域有相同标号。
• 假设分割后的图像R由m个不相交的区域Ri组成。图像R有 若干物体Ri和一个背景Rb组成。
•
8.2.3 边界的傅立叶变换
• 假设C是复平面上的封闭曲线（边界）。以逆时针方向沿 着这个曲线保持恒定速度移动，得到一个复函数z(t),速度 选择为绕边界一周的时间为2π，沿曲线做多次遍历得到 周期为2π的周期函数。z(t)用傅立叶表示： • Tn为曲线C的傅立叶描述子。 • 曲线距离s与时间t关系：