高中全国卷一北师大版高中数学必修一专题复习
高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结
高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{|x x x ∈A A =∅=∅ B A ⊆AB B ⊆B{|x x x ∈A A =A ∅=B A ⊇B B ⊇（ ）⑼ 集合的运算律：交换律：结合律:分配律: 0-1律：等幂律：求补律：A ∩ A ∪ =U 反演律： (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的.;A B B A A B B A ==)()();()(C B A C B A C B A C B A ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===.,A A A A A A ==叫做象， 叫做原象。
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北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解第一章集合与函数概念知识架构第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互界性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图;3.集合中元素与集合的关系：二：集合间的基本关系三：集合的基本运算①两个集合的交集:Ap|B= {x\xe A^xe B];②两个集合的并集：AUB = {x|xe Mxe B）；③设全集是U,集合A^U f^\C u A={x\xe t/且兀电A]方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。
重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特別注意集合屮元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2.集合的表示法(1)列举法要注意元素的三个特性；(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{x|y = /(%)}> {y］y ={(x,y)|y = /(x)}等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合看+召= l},N = {y|扌+* = 1},则McN二( )A.①；B. {(3,0), (0,2)}；C. ［-3,3］；D. {3,2}2 2［错解］误以为集合M表示椭圆—+ ^- = 1,集合W表示直线-4-^ = 1,由于这直9 4 3 2线过椭圆的两个顶点，于是错选B［正解］C；显然M = {x|-3<x<3}, N = R,故MC\N =［-3,3］(3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。
3.集合间的关系的几个重要结论(1)空集是任何集合的子集，即(2)任何集合都是它本身的子集，即Ac A(3)子集、真子集都有传递性，即若Acfi, BuC ,则AcC4.集合的运算性质(1)交集：①= ② API A = A；③ 4介0 = 0；④ AQ B c A , ApBc B⑤AC\B = A^ A Q B；(2)并集：① AUB=BUA;② A\JA = A；③ A\J(/)= A；④ A\JB^A, A\J B B ⑤ A\JB = A^ B Q A；(3)交、并、补集的关系①AP\C U A=(P；②C U(AP\B) = © A) U © B) ；C〃(A U B) = (C u A) A © B)★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征［例1］（2008年江西理）定义集合运算：A*3 = {z| z = E，兀w 3}・设A = {l,2},B = {0,2},则集合A*B的所有元素之和为（）A. 0；B. 2；C. 3；D. 6［解题思路］根据A^B的定义，让兀在A屮逐一取值，让y在B屮逐一取值，兀y在值就是A * B 的元素［解析］:正确解答本题，必需清楚集合A^B中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知={0,2,4},故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点, 这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。
北师版高中数学(必修1)专题一
高中数学北师大版（必修1）专题一集合的含义与基本关系一、重难点知识归纳1、集合与元素的含义集合：指定的某些对象的全体．元素：集合中的每个对象．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作．2、集合元素的特性（1）确定性：设A是给定的一个集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（2）互异性：对于给定的集合中任意两个元素都是不同的，即元素不能重复．（3）无序性：在给定的集合中元素之间无顺序关系，即集合中的两元素交换次序后所得的集合与原来的集合是同一个集合．3、列举法与描述法列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.描述法: 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.在学习过程中，要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用描述法表示．4、集合的分类按集合的元素个数的多少，可分为有限集、无限集．空集就是不含任何元素的集合，空集可用“”表示．5、子集、真子集子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作（或）．真子集：对于两个集合A与B，如果，并且A≠B，就说集合A是集合B的真子集，记作（或）．Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．6、集合符号的区分（1）∈与的区别：前者表示元素与集合之间的关系，如0∈N，而后者则表示集合与集合之间的关系，如．（2）a与{a}的区别：a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素的集合．（3）{0}与的区别：{0}是含有一个元素的集合，是不含任何元素的集合．7、子集的理解（1）空集是任何集合的子集．（2）空集是任何非空集合的真子集．（3）任何集合是它本身的子集．（4）子集、真子集都具有传递性．二、典型例题剖析例1、具有下列性质的对象能否构成集合，若能构成集合，用适当的方法表示出来．（1）10以内的质数；（2）x轴附近的点；（3）不等式3x＋2<4x－1的解；（4）比3大于1的负数；（5）方程2x＋y=8与方程x－y=1的公共解．例2、写出{a，b，c，d}的所有子集，并指出哪些是真子集．例3、用列举法表示下列集合：（1）；（2）．例4、以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．（1）0与{0}；（2）0与；（3）与{0}；（4）{0，1}与{（0，1）}；（5）{( b,a)}与{(a，b)}．例5、若集合A={x|x2＋x－6=0}，B={x|mx＋1=0}，，求m的值．例6、设集合，且若a∈A，则8－a∈A，试问这样的A共有多少个？例1、分析：首先分析集合中元素的特征: 确定性，互异性，无序性. 则只有（2）不能构成集合，其次要了解列举法与描述法的区别，有限集用列举法，无限集用描述法．解：（1）能．用列举法表示为：{2，3，5，7}．（2）不能．无法确定哪些点是x轴附近的点．（3）能．用描述法表示为：{x|3x＋2<4x－1}.（4）能．这个集合中没有元素，为空集，用φ表示．（5）能．可表示为：．例2、分析：本题着重考察了子集与真子集的区别，对于非空集合而言，子集比真子集要多一个，而那一个恰好就是集合本身．解：子集为：、{a}、{b}、{c}、{d}、{a,b}、{a,c}、{a,d}、{b,c}、{b,d}、{c,d}、{a,b,c}、{a,b,d}、{a,c,d}、{b,c,d}、{a,b,c,d}，共16个，其中前15个是{a,b,c,d}的真子集．点拨：一般的集合{a1，a2，a3，…，a n}共有2n个子集，有2n－1个真子集．例3、分析：集合P、Q中元素的形式不一致，要正确认识．解：（1）∵x∈N，且，∴1＋x=1，2，3，6，∴x=0，1，2，5．∴P={0，1，2，5}．（2）结合（1）知，，∴Q={6，3，2，1}．点拨：要注意P与Q的区别，集合P中的元素是自然数x，满足条件的是整数；集合Q中的元素是整数，满足条件的x是自然数．例4、解析：首先要分清是“元素与集合”的关系，还是“集合与集合”的关系．如果是“集合与集合”间的关系时，还要分清是子集，还是真子集．故有：（1）0∈{0}；（2）；（3）；（4）{0，1}≠{(0，1)}；（5）当a=b时，{(a，b)}={(b，a)}；当a≠b时，{(a，b)}≠{(b，a)}．例5、分析：要解答本题，首先要搞清楚集合A的元素是什么，然后根据，求m 的值．解：A={x|x2＋x－6=0}={－3，2}，∵，∴mx＋1=0的解为－3或2或无解．当mx＋1=0的解为－3时，由m·(－3)＋1=0，得；当mx＋1=0的解为2时，由m·2＋1=0，得；当mx＋1=0无解时，m=0．综上所述，或或m=0．点拨：在这里易出现未考虑“，即方程mx＋1=0无解”这一情形的错误．例6、解析：由“若a∈A，则8－a∈A”可知，1与7、2与6、3与5成对地出现在A 中，各取一个数作“代表”，于是问题转化为求集合{1，2，3，4}的子集的个数．故这样的集合A共有24=16个．集合的含义与基本关系检测一、选择题1、方程组的解集为（）A．（1，2）B．C．D．2、集合是（）A．第二象限内的点集B．第四象限内的点集C．第二、四象限内的点集D．非第一、三象限内的点集3、集合P={x|x=(2n＋1)π,n∈Z}，Q={x|x=(4m±1)π，m∈Z}，则P与Q之间的关系是（）A．P Q B．Q P C．P=Q D．P≠Q4、已知方程组的解集是{（a，b）}，若{a＋b}是方程x2＋(a＋b)x＋c=0的解集的一个真子集，则这一方程的解集的又一个真子集是（）A．{3}B．{6} C．{－6}D．{0}5、在以下六个写法中：①{0}∈{0，1}；②{0}；③{0，－1，1}{－1，0，1}；④0∈；⑤Z={全体整数}；⑥{(0，0)}={0}.其中错误写法的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个6、已知集合M={a，b，c}中的三个元素是一个三角形的三边长，那么此三角形一定不是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7、满足条件{1，2}{1，2，3，4，5}的集合M的个数是（）A．3个B．6个C．7个D．8个8、已知a，b，c为非零实数，代数式的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（）A．0M B．－4M C．2∈M D．4∈M9、下列四个命题，其中正确命题的个数为（）①与1非常接近的全体实数能构成集合②{－1，(－1)2}表示一个集合③空集是任何一个集合的真子集④任何两个非空集合必有两个以上的子集A．0B．1 C．2D．310、设集合M={x|x=3m＋1，m∈Z}，N={y|y=3n＋2，n∈Z}，若x0∈M，y0∈N，则x0y0与集合M、N的关系是（）A．x0y0∈M B．x0y0M C．x0y0∈N D．x0y0N二、填空题11、设集合，若，则实数m的取值范围是_________．12、集合的元素个数是_________．三、解答题13、设可表示为两整数的平方差的整数的集合为M.(1)证明所有奇数都属于M.(2)为使偶数2t∈M，t应满足什么条件?(3)证明属于M的两个整数之积属于M.14、已知：A={x|x2＋4x=0}，B={x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1=0}，且B A，求实数a的值．15、已知三元素集合A={x，xy，x－y}，B={0，|x|，y}，且A=B，求x与y的值.16、已知数集A满足条件a≠1，若a∈A ，则.（1）已知2∈A，求证：在A中必定还有两个元素；（2）请你自己设计一个数属于A，再求出A中其他的所有元素；（3）从上面两小题的解答过程中，你能否悟出什么“道理”？并证明你发现的这个“道理”.答案及分析：1-10 BDCBB DCDCC1、解方程组可得x=1，y=2，所以解集为{(1,2)}．2、注意x和y可以等于0，即坐标轴上点也满足题意．3、当n为偶数时，可设n=2k，k∈Z，则x=(2·2k＋1)π=(4k＋1)π，当n为奇数时，可设n=2k－1，k∈Z，则x=[2(2k－1)＋1]π=(4k－1)π．所以P={x|x=(4k±1)π，k∈Z }，∴P=Q．4、由题知a=－3，b=0，故－3是方程x2－3x＋c=0的一个根，由－3＋x2=3，得x2=6．故方程的解集的另一真子集为{6}.5、仅②③正确．6、由集合中元素的互异性可知．7、M包含元素1，2，所以求{3，4，5}的非空子集的个数．8、分a，b，c同正、同负、二正一负、一正二负4种情况讨论．9、命题②④正确.10、由（3m＋1）（3n＋2）=9mn＋6m＋3n＋2=3（3mn＋2m＋n）＋2，∵m、n∈Z，∴3mn＋2m＋n∈Z，∴（3m＋1）（3n＋2）∈N.11、提示：注意A集合可以为空集．12、8 提示：由x∈Z，y∈Z知x可取－11，－7，－5，－4，－2，－1，1，5，y可取－1，－2，－4，－8，8，4，2，1，∴M={－1，－2，－4，－8，8，4，2，1}．13、(1)证明：设n∈Z，∵2n－1=，∴2n－1∈M.(2)解：若2t∈M，即设2t=，∵x＋y与x－y的奇偶相同，即同是奇数或同是偶数，而2t是偶数，∴x＋y与x－y都是偶数，则(x＋y)(x－y)＝4k(k∈Z)，∴t应是偶数.(3)证明：设p∈M，q∈M，即p＝，q＝(x,y,u,v是适当的整数)，则p·q＝()()＝=∈M．14、解：化简集合A={0，－4}，由B A，得B=，或B={0}，或B={－4}，或B={0,－4}．当B=时，△=[2(a＋1)]2－4(a2－1)=8(a＋1)<0，∴a<－1．同理：B={0}时，a=－1．B={－4}时，无解，即此种情况不可能．B={0,－4} a=1．综上所述：当a≤－1或a=1时，B A．15、解：∵0∈B，A=B，∴0∈A．∵集合A为三元素集，∴x≠xy，∴x≠0，y≠1．又∵0∈B，y∈B，∴y≠0．从而，x－y=0，x=y．这时，A={x，x2，0}，B={0，|x|，x}．∴x2=|x|，x=0(舍去)或x=1(舍去)，或x=－1．经验证x=－1，y=－1是本题的解.16、解：（1），而，故若2∈A，A中必定还有且仅有另外两个元素－1和．（2）不妨设3∈A，则，而，故若3∈A，则A中同样还有且仅有两个元素．（3）由（1）（2）可猜想A中只有3个元素，即．下面证明这三个数存在且不相等：先证存在性：∵a≠1，∴存在且不为0，必有意义．再证互不相等：若，∴a2－a＋1=0，∴△<0，故不可能．，同理可证成立．。
(北师大版)高中数学必修第一册 第一章综合测试试卷02及答案
第一章综合测试一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合{}{}31A x x x Z B x x x Z =Î=Î＜，，＞，，则A B =I （ ）A .ÆB .){3223--，，，C .{}202-，，D .{}22-，2.命题“()01x x e x "Î+¥+，，≥”的否定是（ ）A .()01x x e x $Î+¥+，，≥B .()01x x e x "Î+¥+，，＜C .()01x x e x $Î+¥+，，＜D .()01x x e x "Î-¥+，，≥3.若集合{}0A x x =＜，且B A Í，则集合B 可能是（ ）A .{}1x x -＞B .RC .{}23--，D .{}3101--，，，4.若a b c R Î，，且a b ＞，则下列不等式成立的是（ ）A .22a b ＞B .11a b＜C .a c b c＞D .2211a b c c ++＞5.已知a b R Î，，则“20a b +=”是“2ab=-”成立的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.某市原来居民用电价为0.52元/kW h g ，换装分时电表后，峰时段（早上八点到晚上九点）的电价为0.55元/kW h g ，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为0.35元/kW h g .对于一个平均每月用电量为200kW h g 的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为（ ）A .110kW hg B .114kW hg C .118kW hg D .120kW hg 7.已知210a +＜，则关于x 的不等式22450x ax a --＞的解集是（ ）A .{5x x a ＜或}x a -＞B .{5x x a ＞或}x a -＜C .{}5x a x a -＜＜D .{}5x a x a -＜＜8.若102x ＜＜，则函数y = ）A .1B .12C .14D .18二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.已知集合[)()25A B a ==+¥，，，.若A B Í，则实数a 的值可能是（ ）A .3-B .1C .2D .510.下列不等式不一定正确的是（ ）A .12x x +≥B .222x y xy +≥C .222x y xy+＞11.已知2323x y ＜＜，＜＜，则（ ）A .2x y +的取值范围为()69，B .2x y -的取值范围为()23，C .x y -的取值范围为()11-，D .xy 的取值范围为()49，12.23520x x +-＞的充分不必要条件是（ ）A .132x -＜＜B .12x -＜＜C .12x ＜＜D .16x -＜＜三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知集合{}2114M m m =++，，，如果5M Î，那么m =________.14.二次函数()2y ax bx c x R =++Î的部分对应值如表:x3-2-1-01234y64-6-6-4-06则a =________；不等式20ax bx c ++＞的解集为________.15.已知{}{}2212210A x x B x x ax a ==-+-＜＜，＜，若A B Í，则a 的取值范围是________.16.若正数a b ，满足1a b +=，则113232a b +++的最小值为________.四、解答题（共70分）17.（10分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；（3）()210x R x "Î+，≥；（4）22x R x $Î，＜.18.（12分）已知集合{3512A x x B x x ìü=-=íýîþ＜≤，＜或}2x U R =＞，.（1）求()U A B A B U I ，ð；（2）若{}2131C x m x m =-+＜≤，且B C U =U ，求m 的取值范围.19.（12分）（1）已知集合{}{2124A a B ==，，，，，且A B B =I ，求实数a 的取值范围；（2）已知:20:40P x q ax --＞，＞，其中a R Î，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.20.（12分）“绿水青山就是金山银山”.随着经济的发展，我国更加重视对生态环境的保护，起，政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大（不同周价格不同）.假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为x 元、y 元（单位：kg ）；甲、乙两人的购买方式不同:甲每周购买3kg 鸡蛋，乙每周购买10元钱鸡蛋.（1）若810x y ==，，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格.（2）判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠（平均价格低视为实惠），并说明理由.21.（12分）解关于x 的不等式()22340x ax a a R +-Î＜.22.（12分）为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，猪肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（km /h ）值的2倍.（说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费）（1）若汽车的速度为每小时50千米，试求运输的总费用.（2）为使运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度的范围.（3）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？第一章综合测试答案解析一、1.【答案】D【解析】选D .因为{}{}321012A x x x Z =Î=--＜，，，，，，{}{11B x x x Z x x =Î=＞，＞或}1x x Z -Î＜，，所以{}22A B =-I ，.2.【答案】C【解析】选C .命题为全称量词命题，则命题“()01x x e x "Î+¥+，，≥”的否定是“()01x x e x $Î+¥+，，＜”.3.【答案】C【解析】选C .因为23A A -Î-Î，，所以{}23A --Í，.4.【答案】D【解析】选D .选项A ：01a b ==-，，符合a b ＞，但不等式22a b ＞不成立，故本选项是错误的；选项B ：当01a b ==-，符合已知条件，但零没有倒数，故11a b＜不成立，故本选项是错误的；选项C ：当0c =时，a c b c ＞不成立，故本选项是错误的；选项D ：因为210c +＞，所以根据不等式的性质，由a b ＞能推出2211a bc c ++＞.5.【答案】B【解析】选B .220aa b b=-Þ+=，反之不成立.所以“20a b +=”是“2ab=-”成立的必要不充分条件.6.【答案】C【解析】选C .设每月峰时段的平均用电量为kW h x g ，则谷时段的用电量为()200kW h x -g ；根据题意，得：()()()0.520.550.520.352002000.5210%x x -+--´´≥，解得118x ≤.所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118kW h g .7.【答案】A【解析】选A .方程22450x ax a --=的两根为5a a -，.因为210a +＜，所以12a -＜，所以5a a -＞.结合二次函数2245y x ax a =--的图象，得原不等式的解集为{5x x a ＜或}x a -＞，故选A .8.【答案】C【解析】选C .因为102x ＜＜，所以2140x -＞，所以2211414122224x x +-=´´=，当且仅当2x =x =时等号成立.二、9.【答案】AB【解析】选AB .因为A B Í，所以2a ＜，结合选项可知，实数a 的值可能是3-和1.10.【答案】BCD【解析】选BCD .因为x 与1x同号，所以112x x x x+=+≥，A 正确；当x y ，异号时，B 不正确；当x y =时，222x y xy +=，C 不正确；当11x y ==-，时，D 不正确.11.【答案】ACD【解析】选ACD .因为2323x y ＜＜，＜＜，所以49426xy x ＜＜，＜＜，所以629x y +＜＜，而32y ---＜＜，所以12411x y x y ---＜＜，＜＜.12.【答案】BC【解析】选BC .由不等式23520x x +-＞，可得22530x x --＜，解得132x -＜＜，由此可得：选项A ，132x -＜＜是不等式23520x x +-＞成立的充要条件；选项B ，102x -＜是不等式23520x x +-＞成立的充分不必要条件；选项C ，12x ＜＜是不等式23520x x +-＞成立的充分不必要条件；选项D ，16x -＜＜是不等式23520x x +-＞成立的必要不充分条件.三、13.【答案】4或1或1-【解析】①当15m +=时，4m =，此时集合{}1520M =，，，符合题意，②当245m +=时，1m =或1-，若1m =，集合{}125M =，，，符合题意，若1m =-，集合{}105M =，，，符合题意，综上所求，m 的值为4或1或1-.14.【答案】1{2x x -＜或}3x ＞【解析】由表知2x =-时03y x ==，时，0y =，所以二次函数2y ax bx c =++可化为()()23y a x x =+-.又因为1x =时，6y =-，所以1a =，图象开口向上，结合二次函数的图象可得不等式20ax bx c ++＞的解集为{2x x -＜或}3x ＞.15.【答案】12a ≤≤【解析】方程22210x ax a -+-=的两根为11a a +-，，且11a a +-＞，所以{}11B x a x a =-+＜＜.因为A B Í，所以1112a a -ìí+î≤≥，解得12a ≤≤.16.【答案】47【解析】由1a b +=，知()()113232732323232910b a a b a b ab ++++==+++++，又2124a b ab +öæ=ç÷èø≤（当且仅当12a b ==时等号成立），所以499104ab +≤，所以749107ab +≥.四、17.【答案】（1）命题中含有全称量词“任何一个”，故是全称量词命题.（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题.（3）命题中含有全称量词“"”，是全称量词命题.（4）命题中含有存在量词“$”，是存在量词命题.18.【答案】（1）因为集合{3512A x x B x x ìü=-=íýîþ＜≤，＜或}2x ＞，所以32A B x x ìü=íýîþU ≤或}2x ＞，因为{1U R B x x ==，＜或}2x ＞，所以{}U 12B x x =≤≤ð.所以()U 312A B x x ìü=íýîþI ≤≤ð.（2）依题意得：2131211312m m m m -+ìï-íï+î＜，＜，≥，即2113m m m ìï-ïíïïî＞，＜，≥所以113m ＜.19.【答案】（1）由题知B A Í.2=时，4a =，检验当4a =时，{}{}1241612A B ==，，，，，符合题意.4=时，16a =，检验当16a =时，{}{}12425614A B ==，，，，，符合题意.2a =时，0a =或1，检验当0a =时，{}{}124010A B ==，，，，，符合题意.当1a =时，{}1241A =，，，，由于元素的互异性，所以舍去.综上：4a =或16a =或0a =.（2）设{}{}240A x x B x ax ==-＞，＞，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A Þ.①当0a ＞时，42a＞，所以02a ＜＜.②当0a ＜时，不满足题意.③当0a =时，:40q -＞，即B ¹Æ，符合题意.综上：02a ≤＜.20.【答案】（1）因为810x y ==，，所以甲两周购买鸡蛋的平均价格为()3831096´+´=元，乙两周购买鸡蛋的平均价格为()208010109810=+元.（2）甲两周购买鸡蛋的平均价格为3362x y x y++=，乙两周购买鸡蛋的平均价格为2021010xyx y x y=++，由（1）知，当810x y ==，时，乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，猜测乙的购买方式更实惠.证法一（比较法）：依题意0x y ，＞，且x y ¹，因为()()()()22420222x y xy x y x y xy x y x y x y +--+-==+++＞，所以22x y xyx y++＞，所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更实惠.证法二（分析法）：依题意0x y ，＞，且x y ¹，要证：22x y xyx y++＞，只需证：()24x y xy +＞只需证：222x y xy +＞，只需证：x y ¹（已知）.所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更实惠.21.【答案】由于()22340x ax a a R +-Î＜可化为()()40x a x a -+g ＜，且方程()()40x a x a -+=的两个根分别是a 和4a -.当4a a =-，即0a =时，不等式的解集为Æ；当4a a -＞，即0a ＞时，解不等式得4a x a -＜＜；当4a a -＜，即0a ＜时，解不等式得4a x a -＜＜.综上所述，当0a =时，不等式的解集为Æ；当0a ＞时，不等式的解集为{}4x a x a -＜＜；当0a ＜时，不等式的解集为{}4x a x a -＜＜.22.【答案】（1）当汽车的速度为每小时50千米时，运输的总费用为：()120601000250124450´++´=元.（2）设汽车行驶的速度为km /h x ，由题意可得：12060100021260x x´++≤，化简得213036000x x -+≤，解得4090x ≤≤，故为使运输的总费用不超过1260元，汽车行驶速度不低于40km /h 时，不高于90km /h .（3）设汽车行驶的速度为km /h x ，则运输的总费用为12072006010002100010001240x x x ´++++=≥，当72002x x=，即60x =时取得等号，故若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶.。
高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结
高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则或真子集 AB （或BA），且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集）(2)若且，则集合相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA （7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3）⑷ Α⊆B⟺A∩B=A 并集或（1）（2）（3）⑷A⊆B⟺A∪B=B 补集∁uA ⑴ （∁uA）∩A=∅, ⑵∁uA∪A=U, ⑶ ∁u∁uA=A, ⑷ ∁uA∩B=∁uA∪∁uB, ⑸ ∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB) ⑼ 集合的运算律：交换律：结合律: 分配律: 0-1律：等幂律：求补律：A∩∁uA=∅A∪CuA=U ∁uU=∅∁u∅=U 反演律：∁u(A∩B)=(∁uA)∪(∁uB) ∁u(A∪B)=(∁u A)∩(∁uB) 第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射 1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 . 2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。
高中数学必修一北师大版第一、二章主要知识点及同步练习题
第一章：集合主要知识点：1.集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。
2.集合的表示方法：列举法、描述法。
3.集合间的基本关系：相等、子集、真子集、空集。
4.集合的运算：交集、并集、补集。
5.有限集子集个数的确定：若一集合中的元素个数为n 个，则其子集的个数为n2 非空子集的个数为12-n真子集的个数为12-n 非空真子集的个数为22-n1.1 集合的含义与表示1．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素可构成△ABC 的三条边长，那么△ABC 一定不是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．集合A ＝{1，－3,5，－7,9，－11，…}，用描述法表示正确的是( )． (1){x |x ＝2n ±1，n ∈N }(2){x |x ＝(－1)n (2n －1)，n ∈N } (3){x |x ＝(－1)n (2n ＋1)，n ∈N }(4){x |x ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N }[来源:Z*xx*]A ．只有(4)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(3)(4)3．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )． A ．2 B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可4．下列表示同一个集合的是( )． A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)，(2,3)} B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2} C ．M ＝{3,4}，N ＝{(3,4)}D ．M ＝{y |y ＝x 2＋1}，N ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1} 5．若集合A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，若点P (2,3)∈A ，且P (2,3)∉B ，则( )．A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞56．设集合A ＝1|,3n x x n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N ，若x 1∈A ，x 2∈A ，则必有( )． A ．x 1＋x 2∈A B ．x 1x 2∈AC ．x 1－x 2∈AD ．12x A x ∈ 7．定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,4,8}，则A －B 等于( )．A ．{4,8}B ．{1,2,6,10}C ．{1}D ．{2,6,10}8．已知集合A 中的元素满足性质：若a ∈A ，且a ≠1，则11A a∈-. (1)若a ＝2，试探求集合A 中一定含有的另外元素；(2)说明集合A不是单元素集．解：由a∈A，a≠1，则11a-∈A可知(1)若2∈A，则112-＝－1∈A，于是111(1)2A=∈--，1112-＝2∈A，112-＝－1∈A，……故集合A中一定含有－1，12两个元素．(2)若集合A是单元素集，则a＝11a-，即a2－a＋1＝0，此方程无实数解，这与已知矛盾．∴a与11a-都为集合A的元素，故A不是单元素集．9．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A是单元素集，求a的值及集合A；[m](2)求集合P＝{a∈R|a使得A至少含有一个元素}．解：(1)当a＝0时，由条件可知，1+2，符合题意；当a≠0时，要使方程有两个相等的实根，则Δ＝9－8a＝0，即98a=，此时，43A⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.综上所述：当a＝0时，23A⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a=时，43A⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.(2)由(1)知，当a＝0时，23A⎧⎫=⎨⎬⎩⎭含有一个元素，符合题意．当a≠0时，若a使得A至少含有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0有实数根，∴Δ＝9－8a≥0，即98 a≤.综上所述，P＝{a∈R|a使得A至少含有一个元素}＝98a a⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.答案：1.D 2.D 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D1.2集合的基本关系1．下列命题：①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④如果凡不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.其中，正确的是()．A．①②B．②③C．②④D．③④2．下列各式中，正确的个数是()．①∅＝{0}；②∅⊆{0}；③∅∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1,2,3}；⑦{1,2}⊆{1,2,3}；⑧{a，b}⊆{b，a}A．1 B．2C ．3D ．4[来源学科网]3．若集合A ＝{1，3，x }，B ＝{x 2 ，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．集合A ＝{1,2,3}的真子集的个数为( )． A ．6 B ．7 C ．8 D ．95．已知集合M ＝{x |5＜x ＜10}，集合P ＝{x |x ＜m ＋1}，且M ⊆P ，则实数m 的取值范围是( )．A ．m ≥9B ．m ＞9C ．m ≥4D ．m ＞46．设A 是非空集合，对于k ∈A ，如果1A k∈，那么称集合A 为“和谐集”，在集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为( )．A ．3B ．7C ．15D ．317．已知三元素集合A ＝{x ，xy ，x －y }，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，求x 与y 的值．答案：x ＝－1，y ＝－1.8．已知A ＝{x ||2x －3|＜a }，B ＝{x ||x |≤10}，且A B ，求实数a 的取值范围．答案：实数a 的取值范围是a ≤17.9.已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ，x ∈R }至多有一个真子集，求a 的取值范围．答案：a 的取值范围是a ≥1或a ＝0.答案：1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C1.3集合的基本运算1．已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{x |x ≤－3}，则M ∪N 等于( )． A ．∅ B ．{x |x ≥－3} C ．{x |x ≥1} D ．{x |x ＜1}2．设集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则(A ∪B )＝( )． A ．{2} B ．{3} C ．{1,2,4} D ．{1,4}3．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．44．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,3,5}，N ＝{2,5}，则Venn 图中阴影部分表示的集合是( )．A ．{5}B ．{1,3}C ．{2,4}D ．{2,3,4}5．已知集合A ＝{3，a 2}，集合B ＝{0，b,1－a }，且A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( )． A ．{0,1,3} B ．{1,2,4} C ．{0,1,2,3} D ．{0,1,2,3,4}6．设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“⊕”，满足X ⊕Y ＝(X )∪Y ，则对于任意集合X ，Y ，Z ，则X ⊕(Y ⊕Z )＝( )．A ．(X ∪Y )∪(Z ) B ．(X ∩Y )∪(Z )C．[(X)∪(Y)]∩Z D．(X)∪(Y)∪Z7．如图，I是全集，M，P，S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()．[来源:学.科.网]A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(I S) D．(M∩P)∪(I S)8．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，()∩B＝{3,7}，()∩A＝{2,8}，()∩()＝{1,5,6}，则集合A＝__________，B＝________.答案：A＝{2,4,8,9}，B＝{3,4,7,9}9．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}．(1)若A∪B＝B，求实数m的取值范围；(2)若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．答案：(1)∵A∪B＝B，∴A⊆B.由数轴可得，2,93, mm≤-⎧⎨+≥⎩解得－6≤m≤－2.(2)若A∩B＝∅，利用数轴可得m＋9≤－2，或m≥3.∴m≤－11，或m≥3.∴满足A∩B≠∅的实数m的取值范围为{m|－11＜m＜3}．10．某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求出全班人数．答案：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A，B，C，由题意可知A，B，C三集合中元素个数分别为27,25,27，A∩B，B∩C，A∩C，A∩B∩C的元素个数分别为10,7,11,4.画出Venn图，如图所示．可知全班人数为10＋13＋12＋6＋4＋7＋3＝55(人)．答案：1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.C第二章：函数主要知识点：1.函数的三个要素：定义域、对应法则、值域2.判断两个函数是否相等，求函数的定义域、值域3.分段函数4.求函数的解析式5.函数图像的变换 （1）平移变换bx f y x f y bx f y x f y a x f y x f y a x f y x f y b b a a -=−−−−−−→−=+=−−−−−−→−=+=−−−−−−→−=-=−−−−−−→−=)()()()()()()()(个单位长度向下平移个单位长度向上平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移（2）对称变换)()()()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y y y y x x y x =→==→=-=−−−−→−=-=−−−−→−=轴右边的图像并把保留轴右边轴右边图像对称到轴上方图像再把保留轴下方图像对称到上方轴对称关于轴对称关于6.函数的单调性与最值（复合函数的单调性，同增异减）7.二次函数的性质8.求二次函数的解析式、最值等 9.常见幂函数的图像与性质，如12132,,,,-=====x y x y x y x y x y10.函数的奇偶性：（1）两个奇函数之和仍为奇函数 （2）两个奇函数之积是偶函数 （3）两个偶函数之和仍是偶函数 （4）两个偶函数之积仍是偶函数（5）一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数2.1 函数概念1．设x 取实数，则f (x )与g (x )表示同一个函数的是( )． A ．f (x )＝x ，g (x )＝2xB ．f (x )＝2()x x ，g (x )＝2()xx C ．f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0D ．f (x )＝293x x -+，g (x )＝x －32．函数f (x )＝2||xx x+-的定义域是( )．A ．[－1,2]B ．[－1,0)∪(0,2]C ．[－2,0)D ．(0,2][来源学科网ZXX3．已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，此函数的定义域为( )．A ．RB ．{x |x ＞0}C ．{x |0＜x ＜5}D ．552x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4．函数213x y x +=-的值域是( )． A ．(－∞，3)∪(3，＋∞) B ．(－∞，2)∪(2，＋∞) C ．RD ．(－∞，2)∪(3，＋∞)5．下列各图中，可表示函数y ＝f (x )图像的只可能是( )．6．已知函数y ＝f (x 2－4)的定义域是[－1,5]，则函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为__________．答案：5,102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．已知f (x )的定义域是[0,1]，且f (x ＋m )＋f (x －m )的定义域是∅，则正数m 的取值范围是________．答案：12m >8．已知函数f (x )＝641x x -+-， (1)求函数f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (12)的值； (3)若f (4－a )－f (a －4)＋8a a --＝0，求a 的值．答案：(1)要使函数f (x )＝641x x -+-有意义，需满足10,40,x x -≠⎧⎨+≥⎩即1,4,x x ≠⎧⎨≥-⎩∴x ≥－4，且x ≠1.∴函数f (x )的定义域为{x |x ≥－4，且x ≠1}．(2)f (－1)＝6143311--+=----， f (12)＝63812412111-+=--. (3)∵f (4－a )＝66448413a a a a--+=-----，f (a －4)＝6644415a a a a --+=----，[来源学科网]∴由f (4－a )－f (a －4)＋8a a --＝0得，6688035a a a a a a ---++--=--，即66035a a -=--. ∴6(28)0(3)(5)a a a -=--，∴a ＝4.9．已知函数f (x )＝11x+. (1)求f (2)与12f ⎛⎫⎪⎝⎭，f (3)与13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系？并证明你的发现． (3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋12013f ⎛⎫⎪⎝⎭.答案：(1)∵f (x )＝11x +，∴f (2)＝11123=+，11212312f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，11(3)134f ==+，11313413f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+. (2)由(1)中求得结果可发现f (x )＋1f x ⎛⎫⎪⎝⎭＝1，证明如下：11111()1111111x x f x f x x x x x x+⎛⎫+=+=+== ⎪++++⎝⎭+.(3)f (1)＝11112=+，由(2)知，f (2)＋12f ⎛⎫⎪⎝⎭＝1， f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，…，f (2 013)＋12013f ⎛⎫⎪⎝⎭＝1，∴原式＝201211112++++个＝14025+2 012=22.答案：1.B 2.C 3.D 4.B 5.D2.2 函数的表示法1．函数f (x )＝21,1,2,1,x x x x⎧+≤⎪⎨>⎪⎩则f (f (3))＝( )．A ．15B ．3C ．23D ．1392．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( )．A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)3．已知f(x)＝kx＋b(k＜0)，且f[f(x)]＝4x＋1，则f(x)＝()．A．－2x－1 B．－2x＋1C．－x＋1 D．1 22x--4．已知函数f(x)＝2,0,1,0.x xx x>⎧⎨+<⎩若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()．A．－3 B．－1 C．1 D．35．设函数f(x)＝2,0,2,0,x bx c xx⎧++≤⎨>⎩若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．答案：36．若定义运算a b＝,,,,b a ba a b≥⎧⎨<⎩则函数f(x)＝x(2－x)的值域是______．答案：(－∞，1]7．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(x)＝________.答案：2 33 x+8．设f(x)＝11,0,21,0x xxx⎧-≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩若f(x)＞－1，则实数x的取值范围为________．答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)9．当m为怎样的实数时，方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根？答案：1＜m＜510．已知函数f(x)对任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋2y(x＋y)，且f(1)＝1，求f(x)的解析式．答案：f(x)＝2x2－1答案：1.D 2.B 3.A 4.A2.3函数的单调性1．已知函数y＝ax和byx=-在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()．A．减函数且f(0)＞0 B．增函数且f(0)＞0 C．减函数且f(0)＜0 D．增函数且f(0)＜02．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有()()f a f b b a--＞0成立，则必有( )．A ．函数f (x )是先增后减[]B ．函数f (x )是先减后增C ．f (x )在R 上是增函数D ．f (x )在R 上是减函数3．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，又若a ∈R ，则( )． A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋a )＜f (a ) D ．f (a 2＋1)＜f (a )4．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b ＞0，则有( )． A ．f (a )＋f (b )＞－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )＜－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝1ax +在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )． A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1) D ．(0,1] 6．若函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 在区间[2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________．答案：a ≥－37．函数f (x )＝x |x －1|的单调增区间为__________．答案：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[1，＋∞)8．已知函数f (x )＝22x -(x ∈[3,6])， (1)讨论函数f (x )在[3,6]上的单调性，并证明你的结论；[来源学科网ZXXK](2)求函数f (x )的最大值与最小值；(3)若函数g (x )＝m 的图像恒在f (x )的图像的上方，求m 的取值范围．答案：(1)函数f (x )在[3,6]上是减函数，下面进行证明： 任取x 1，x 2∈[3,6]，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＝2112122()2222(2)(2)x x x x x x --=----＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝22x -在[3,6]上是减函数． (2)由(1)知，f (x )max ＝f (3)＝2， f (x )min ＝f (6)＝12. (3)若函数g (x )＝m 的图像恒在f (x )的图像的上方，则m 应不小于函数f (x )的最大值2，∴m 的取值范围是m ≥2.答案：1.C 2.D 3.D 4.C 5.D2.4二次函数性质的再研究1．函数y ＝x 2的图像向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为( )．A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝x 2＋1D ．y ＝x 2－1 2．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )，且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )． A ．0 B ．3[来源学科网ZXXK][来源学_科_网Z_X_X_K]C ．6D ．不能确定3．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a ＝( )． A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－24．二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )在[0,2]上是增函数，且f (a )≥f (0)，那么实数a 的取值范围是( )．A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)5.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试确定此二次函数的表达式答案：所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.6．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是________．答案：[25，＋∞)7．已知函数f (x )＝212x x -+在区间[m ，n ]上的值域是[3m,3n ]，则m ＝______，n ＝______. 答案：4,0.m n =-⎧⎨=⎩答案：1.C 2.C 3.B 4.C2.5简单的幂函数1．下列函数是幂函数的是( )．①y ＝x 3 ②y ＝x 0 ③y ＝－2x 2 ④y ＝3x ⑤y ＝x －2＋1 A ．①② B ．①③C ．①③④D ．①②③④2．若幂函数f (x )＝x m －1在(0，＋∞)上是减函数，则( )． A ．m ＞1 B ．不能确定 C ．m ＝1 D ．m ＜1 3．函数f (x )＝1x x-的奇偶性为( )． A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 4．f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )是增函数，则f (－π)，f (3)，f (－5)的大小关系是( )． A ．f (3)＜f (－π)＜f (－5) B ．f (－π)＜f (－5)＜f (3) C ．f (3)＜f (－5)＜f (－π) D ．f (－5)＜f (－π)＜f (3)5．如果幂函数y ＝(m 2－9m ＋19)x 2m －7的图像不过原点，则( )． A ．72m <B ．m ＝3C ．m ＝3或6D ．m 不存在[来源学科网]6．下列说法中，不正确的是( )．A ．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B ．奇函数的图像一定经过原点C ．偶函数的图像若不经过原点，则它与x 轴交点个数一定是偶数D．图像关于y轴对称的函数一定是偶函数7．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a＋1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为()．A．13-B．13C．12-D．128．定义在R的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，则n∈N＋时，有()．A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)9.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，又知当0＜x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)的值为________．答案：f(7.5)＝－f(0.5)＝－0.5.10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，已知当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)的图像，并写出函数f(x)的单调递增区间．答案：(1)∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)成立，∴当x＞0时，－x＜0，即f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＋3＝x2－4x＋3，∴f(x)＝2243,0,43,0. x x xx x x⎧-+>⎨++≤⎩(2)图像如图所示，函数f(x)的单调递增区间为[－2,0]和[2，＋∞)．(写成开区间也可以)11．已知函数f(x)对一切a，b都有f(ab)＝bf(a)＋af(b)．(1)求f(0)；(2)求证：f(x)是奇函数；(3)若F(x)＝af(x)＋bx5＋cx3＋2x2＋dx＋3，已知F(－5)＝7，求F(5)．答案：(1)∵函数f(x)对一切a，b都有f(ab)＝bf(a)＋af(b)，∴令a＝b＝0得f(0×0)＝0×f(0)＋0×f(0)，即f(0)＝0.(2)证明：令a＝b＝1得，f(1×1)＝1×f(1)＋1×f(1)，即f(1)＝0.[来源:Z|xx|]令a＝b＝－1得，f[(－1)×(－1)]＝(－1)×f(－1)＋(－1)×f(－1)，即f(－1)＝0.令a＝－1，b＝x得，f[(－1)×x]＝xf(－1)＋(－1)f(x)，即f(－x)＝xf(－1)－f(x)，∵f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－5)＝－f(5)．∵F(x)＝af(x)＋bx5＋cx3＋2x2＋dx＋3，且F(－5)＝7，∴af(－5)＋b×(－5)5＋c×(－5)3＋2×(－5)2＋d×(－5)＋3＝7，即af(5)＋b×55＋c×53＋d×5＝46.∴F (5)＝af (5)＋b ×55＋c ×53＋2×52＋d ×5＋3＝46＋50＋3＝99.12．函数f (x )＝21ax b x ++是定义在(－1,1)上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求函数f (x )的解析式；(2)证明函数f (x )在(－1,1)上是单调增函数；(3)解不等式f (m －1)＋f (m )＜0.答案：(1)∵f (x )＝21ax b x++是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (x )在x ＝0处有意义，且f (0)＝0. ∴20010a b ⨯+=+，即b ＝0. 又∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴210225112a +=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴a ＝1.故f (x )＝21x x +.[来源:](2)任取x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，x 1x 2＜1. ∴f (x 1)－f (x 2)＝12121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x x x x x ---=+++⋅+＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )在(－1,1)上是单调增函数．(3)由f (m －1)＋f (m )＜0得，f (m －1)＜－f (m )．∵函数f (x )是奇函数，∴f (－m )＝－f (m )，∴f (m －1)＜f (－m )．∵f (x )是(－1,1)上的单调增函数，∴1<1<1111m m m m --⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，，，解得0＜m ＜12. 答案：1.A 2.D 3.A 4.A 5.B 6.B 7.A 8.C。
(常考题)北师大版高中数学必修一第一单元《集合》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是( )A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞3．下图中的阴影部分，可用集合符号表示为（ ）A ．()()U U A B ⋂ B ．()()U UA BC ．()UA BD ．()UA B ⋂4．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x xx b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集5．已知集合P 的元素个数为()*3n n N ∈个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合,,A B C ，即P A B C =⋃⋃，A B =∅，A C ⋂=∅，BC =∅，其中{}12,,,n A a a a =，{}12,,,n B b b b =，{}12,,,n C c c c =，若集合,,A B C 中的元素满足12n c c c <<<，k k k a b c +=，1,2,,k n =,则称集合P 为“完美集合”例如:“完美集合”{}11,2,3P =,此时{}{}{}1,2,3A B C ===．若集合{}21,,3,4,5,6P x =，为“完美集合”,则x 的所有可能取值之和为（ ） A ．9B ．16C ．18D ．276．非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（ ）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法； （2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法； （4）{}|2G x x a b a b Q ==+∈，，，⊕：实数的乘法． A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21xB x =>，则()R C A B =（ ）A ．{}|10x x -≤<B ．{}|06x x <≤C ．{}|20x x -≤<D ．{}|03x x <≤8．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是和美集合，集合111,0,,,1,323M ⎧⎫⎨=⎩-⎬⎭的所有非空子集中是和美集合的个数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．79．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22B x m x m =-≤≤+．若R A C B A =，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5m >B ．3m <-C ．5m >或3m <-D ．35m -<<10．已知全集U =R ，集合(){}{}20,1A x x x B x x =+<=≤，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,111．已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉x M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是（ ）A ．11B ．12C ．15D ．1612．已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ）A ．{|3}x x >-B ．{3}x x |<-C ．{|3}x x ≤-D ．{|23}x x ≤<二、填空题13．已知集合{}1,2,5,7,13,15,16,19A =，设,i j x x A ∈，若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，则实数k 的所有可能取值是________14．已知{|}A x x =>，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则A B =________15．对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．16．已知集合{|68}A x x =-≤≤，{|}B x x m =≤，若A B B ≠且A B ⋂≠∅，则m的取值范围是________17．设集合{}24,,3A m m m =+中实数m 的取值集合为M ，则R C M =_____.18．已知有限集{}123,,,,(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”； ④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号） 19．设集合22{2,3,1},{,2,1}M a N a a a =+=++-且{}2M N =,则a 值是_________.20．已知集合{|||1,}A x x a x R =-<∈，2{|1,}1x aB x x R x -=<∈+，且A B =∅，则实数a 的取值范围是________.三、解答题21．已知集合2212x A x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}254B x x x =>-，{}1,C x x m m =-<∈R ，（1）求AB ；（2）若()A B C ⋂⊆，求m 的取值范围.22．已知集合{|14}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<- （1）当1m =-时，求A B ，()R A B ⋂；（2）若AB =∅，求实数m 的取值范围．23．已知集合2A {x |x x 20}=--≥，集合()22{|1210,}B x m x mx m R =-+-<∈()1当m 2=时，求集合RA 和集合B ；()2若集合B Z ⋂为单元素集，求实数m 的取值集合；()3若集合()A B Z ⋂⋂的元素个数为()*n n N ∈个，求实数m 的取值集合24．已知集合{|02}A x x =≤≤，{|32}B x a x a =≤≤-. （1）若()UA B R ⋃=，求a 的取值范围；（2）若AB B ≠，求a 的取值范围.25．已知函数2()lg(231)f x x x =-+的定义域为集合A ，函数()2(],,2x g x x =∈-∞的值域为集合B ，集合22{|430}(0)C x x mx m m =-+≤>. （1）求A ∪B ； （2）若()C AB ⊆,求实数m 的取值范围.26．已知集合{1,2,3}A =，2{|(1)0,}B x x a x a x R =-++=∈，若A B A ⋃=，求实数a ；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．2．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.3．C解析：C 【分析】图中阴影部分是集合A 与集合B 的补集的交集. 【详解】图中阴影部分是集合A 与集合B 的补集的交集，所以图中阴影部分，可以用()UA B 表示. 【点睛】本题考查了用韦恩图表示集合间的关系，考查了学生概念理解，数形结合的能力，属于基础题.4．B解析：B 【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集.对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选B. 【点睛】本小题主要考查子集的判断，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于基础题.5．D解析：D 【分析】讨论集合A 与集合B ，根据完美集合的概念知集合C ，根据k k k a b c +=建立等式求x 的值． 【详解】首先当2x =时，{}21,2,3,4,5,6P =不可能是完美集合， 证明：假设{}21,2,3,4,5,6P =是完美集合， 若C 中元素最小为3，则11123a b +=+=，222456a b c +=+==不可能成立； 若C 中元素最小为4，则11134a b +=+=，222256a b c +=+==不可能成立； 若C 中元素最小为5，则11145a b +=+=，222236a b c +=+==不可能成立；故假设{}21,2,3,4,5,6P =是完美集合不成立，则{}21,2,3,4,5,6P =不可能是完美集合． 所以2x ≠；若集合{1,5},{3,6}A B ==，根据完美集合的概念知集合{}4,,5611C x x =∴=+=；若集合{1,3},{4,6}A B ==，根据完美集合的概念知集合{}5,,369C x x =∴=+=； 若集合{1,4},{3,5}A B ==，根据完美集合的概念知集合{}6,,347C x x =∴=+=； 则x 的所有可能取值之和为791127++=， 故选：D ． 【点睛】本题是新概念题，考查学生分析问题，理解问题的能力，是中档题．6．B解析：B 【分析】根据新定义运算⊕判断． 【详解】（1）任意两个非负整数的和仍然是非负整数，对任意a G ∈，0G ∈，00a a a +=+=，（1）正确；（2）任意两个偶数的积仍然是偶数，但不存在e G ∈，对任意a G ∈，使ae ea a ==，（2）错误；（3）21x x -+和21x x +-是两个二次三项式，它们的积2242(1)(1)21x x x x x x x -++-=-+-不是二次三项式，（3）错误；（4）设x a y c =+=+,,,a b c d Q ∈，则2(xy ac bd ad bc G =+++，而且1G ∈，11x x x ⋅=⋅=，（4）正确．∴正确的有2个． 故选：B. 【点睛】本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解与应用．7．B解析：B 【解析】 【分析】求得集合{|1A x x =<-或6}x >，{}|0B x x =>，根据集合运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{}2|560{|1A x x x x x =-->=<-或6}x >，{}{}|21|0x B x x x =>=>，则{}|16R C A x x =-≤≤，所以(){}|06R C A B x x =<≤.故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．D解析：D 【分析】写出集合111,0,,,1,323M ⎧⎫⎨=⎩-⎬⎭的非空子集，根据和美集合的定义验证即可. 【详解】先考虑含一个元素的子集，并且其倒数是其本身，有{}{}1,1,- 再考虑 含有两个元素的和美集合，有{}11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭， 含有三个元素的子集且为和美集合的是111,,3,1,,3,33⎧⎫⎧⎫-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ 含有四个元素的子集且为和美集合的是11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查了集合的子集，考查了创设新情景下解决问题的能力，属于中档题.9．C解析：C 【分析】首先根据题意，求得{|2R C B x x m =>+或}2x m <-，由R A C B A =可以得到R A C B ⊆，根据子集的定义求得参数所满足的条件，得到结果.【详解】{}{}2230=|13A x x x x x =--≤-≤≤，∵{}22B x m x m =-≤≤+． ∴{2R C B x x m =>+或2}x m <-，∵R A C B A =即R A C B ⊆，∴23m ->或21m +<-． 即5m >或3m <-，即实数m 的取值范围是5m >或3m <-． 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的补集，根据子集求参数的取值范围，属于简单题目.10．C解析：C 【分析】由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出()U C A B 、()A B ⋃，然后求交集即可.【详解】(){}20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，{|21}A B x x ⋃=-<≤，∴(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或01}x ≤≤，故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.11．A解析：A 【分析】可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，且2,4不同时出现，即可得到结论. 【详解】由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个， 且2,4不能同时出现，同时出现共有4个， 所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A. 【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的子集个数的判定及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12．C解析：C 【分析】化简集合，根据集合的并集补集运算即可. 【详解】因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-， 所以AB {|3}x x =>-，()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题.二、填空题13．【分析】先将的可能结果列出然后根据相同结果出现的次数确定出的取值集合【详解】将表示为可得如下结果：其中为都出现了次所以若方程至少有三组不同的解则的取值集合为故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关 解析：{}3,6,14【分析】先将i j x x -的可能结果列出，然后根据i j x x -相同结果出现的次数确定出k 的取值集合. 【详解】将i j x x k -=表示为(),,i j x x k ，可得如下结果：()()()()()()()19,1,18,16,1,15,15,1,14,13,1,12,7,1,6,5,1,4,2,1,1， ()()()()()()19,2,17,16,2,14,15,2,13,13,2,11,7,2,5,5,2,3， ()()()()()()19,5,14,16,5,11,15,5,10,13,5,8,7,5,2,19,7,12， ()()()()()()16,7,9,15,7,8,13,7,6,19,13,6,16,13,3,15,13,2， ()()()19,15,4,16,15,1,19,16,3，其中k 为3，6，14都出现了3次，所以若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解， 则k 的取值集合为{}3,6,14， 故答案为：{}3,6,14 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解的含义，即i j x x -的差值出现的次数不小于三次，由此可进行问题的求解.14．【分析】先分别求解集合中元素的所满足的不等式再由交集的定义求解即可【详解】由题因为解得则因为解得或则或所以故答案为:【点睛】本题考查集合的交集运算考查含根式的不等式的运算考查解高次不等式 解析：{|30}-<<x x【分析】先分别求解集合中元素的所满足的不等式,再由交集的定义求解即可 【详解】由题,因为20xx >-≥⎪⎩,解得1x <,则{}|1A x x =<,因为()()330x x x -+>,解得30x -<<或3x >,则{|30B x x =-<<或}3x >, 所以{}|30A B x x ⋂=-<<, 故答案为:{|30}-<<x x 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查含根式的不等式的运算,考查解高次不等式15．【分析】先求出和再计算【详解】由已知则∴故答案为：【点睛】本题考查集合的新定义解题关键是理解新定义运算把新运算转化为集合的运算 解析：[3,1)(3,)--+∞【分析】先求出A B -和B A -，再计算A B ∆ 【详解】由已知{|1}A y y =≥-，则{|3}(3,)A B y y -=>=+∞，{|31}[3,1)B A y y -=-≤<-=--，∴()()[3,1)(3,)A B A B B A ∆=--=--+∞， 故答案为：[3,1)(3,)--+∞【点睛】本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义运算，把新运算转化为集合的运算．16．【分析】根据集合的并集和集合的交集得到关于的不等式组解出即可【详解】解：若且则解得即故答案为：【点睛】本题考查了集合的交集并集的定义属于基础题 解析：[6,8)-【分析】根据集合的并集和集合的交集得到关于m 的不等式组，解出即可． 【详解】解：{|68}A x x =-，{|}B x x m =， 若AB B ≠且A B ⋂≠∅，则68m m -⎧⎨<⎩，解得68m -≤<，即[)6,8m ∈- 故答案为：[)6,8-． 【点睛】本题考查了集合的交集、并集的定义，属于基础题．17．【分析】根据集合中的元素的互异性列出不等式组求解【详解】由题：集合则化简得：解得：即所以故答案为：【点睛】此题考查根据集合中元素的互异性求参数的取值范围需要注意不重不漏 解析：{}4,2,0,1,4--【分析】根据集合中的元素的互异性，列出不等式组求解. 【详解】由题：集合{}24,,3A m m m =+，则224343m m m m m m ≠⎧⎪+≠⎨⎪+≠⎩，化简得：()()()441020m m m m m ⎧≠⎪+-≠⎨⎪+≠⎩，解得：()()()()()(),44,22,00,11,44,m ∈-∞----+∞，即()()()()()(),44,22,00,11,44,M =-∞----+∞，所以{}4,2,0,1,4R C M =--.故答案为：{}4,2,0,1,4--【点睛】此题考查根据集合中元素的互异性求参数的取值范围，需要注意不重不漏.18．①③④【分析】根据已知中复活集的定义结合韦达定理以及反证法依次判断四个结论的正误进而可得答案【详解】对于①故①正确；对于②不妨设则由韦达定理知是一元二次方程的两个根由可得或故②错；对于③不妨设中由得解析：①③④【分析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理以及反证法，依次判断四个结论的正误，进而可得答案.【详解】对于①，111112222-----=+=-，故①正确； 对于②，不妨设1212a a a a t +==，则由韦达定理知12,a a 是一元二次方程20x tx t -+=的两个根，由>0∆，可得0t <或4t >，故②错；对于③，不妨设A 中123n a a a a <<<<， 由1212n n n a a a a a a na =+++<得121n a a a n -<， 当2n =时，即有12a <，∴11a =，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，故③正确； 对于④，当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“复活集” A 只有一个，为{}1,2,3，当4n ≥时，由()1211231n a a a n -≥⨯⨯⨯⨯-，即有()1!n n >-，也就是说“复活集”A 存在的必要条件是()1!n n >-，事实上()()()()221!1232222n n n n n n n -≥--=-+=--+>，矛盾， ∴当4n ≥时不存在“复活集”A ，故④正确.故答案为：①③④【点睛】本题主要考查了集合新定义，需理解“复活集”的定义，考查了学生的知识迁移能力以及分析问题的能力，属于中档题.19．-2或0【分析】由可得即可得到或分别求解可求出答案【详解】由题意①若解得或当时集合中不符合集合的互异性舍去;当时符合题意②若解得符合题意综上的值是-2或0故答案为:-2或0【点睛】本题考查了交集的性解析：-2或0【分析】由{}2M N =,可得{}2N ⊆,即可得到22a a +=或22a +=,分别求解可求出答案.【详解】由题意,{}2N ⊆,①若22a a +=,解得1a =或2a =-,当1a =时,集合M 中,212a +=,不符合集合的互异性,舍去;当2a =-时,{2,3,5},{2,0,1}M N ==-,符合题意.②若22a +=,解得0a =,{2,3,1},{0,2,1}M N ==-,符合题意.综上,a 的值是-2或0.故答案为:-2或0.【点睛】本题考查了交集的性质,考查了集合概念的理解,属于基础题.20．【分析】解绝对值不等式得集合对分三种情况:;;讨论解分式不等式可得集合然后根据列式可得【详解】因为所以所以因为所以即所以所以当即时得此时满足;当即时满足;当即时时不符合题意综上所述:实数的取值范围是解析：2a ≤-【分析】解绝对值不等式得集合A ,对a 分三种情况: 11a +<-;11a +=-;11a +>-讨论,解分式不等式可得集合B ,然后根据AB =∅列式可得. 【详解】因为||1x a -<,所以11a x a -<<+,所以{|11}A x a x a =-<<+, 因为211x a x -<+,所以2101x a x x ---<+ ,即101x a x --<+,所以(1)(1)0x a x --+<, 所以当11a +<-,即2a <-时,得11a x +<<-,此时{|11}B x a x =+<<-,满足A B φ⋂=;当11a +=-,即2a =-时,B φ=,满足A B φ⋂=;当11a +>-,即2a >-时,{|11}B x x a =-<<+时,A B φ⋂≠,不符合题意.综上所述: 实数a 的取值范围是:2a ≤-.故答案为: 2a ≤-.【点睛】本题考查了分类讨论思想,集合的交集运算,分式不等式的解法,绝对值不等式的解法,属于中档题.三、解答题21．（1）{}12x x <<；（2）12m ≤≤【分析】（1）解不等式，可求出集合,A B ，进而求出二者的交集即可；（2）结合（1），由()A B C ⋂⊆，可得{}12x x <<⊆{}11x m x m -<<+，进而可列出不等关系，求解即可.【详解】（1）由2212x x +<-，得402x x +<-，等价于()()420x x +-<，解得42x -<<， 所以集合{}42A x x =-<<，由254x x >-，解得1x >或5x <-，所以{1B x x =>或}5x <-， 所以A B ={}42x x -<<{1x x >或}5x <-{}12x x =<<.（2）因为()A B C ⋂⊆，所以{}12x x <<⊆{}1,x x m m -<∈R ， 即{}12x x <<⊆{}11x m x m -<<+， 所以1112m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得12m ≤≤. 综上所述，实数m 的取值范围是12m ≤≤.【点睛】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，考查集合的交集，考查根据集合的包含关系求参数，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.22．（1）{|24}A B x x ⋃=-<<，()=R A B {|21}x x -<≤；（2）0m ≥. 【分析】（1）当1m =-时，求集合B ，再求集合的交并补集；（2）讨论B =∅ 和B ≠∅两种情况讨论当AB =∅时，求参数的取值范围. 【详解】（1）1m =-时，{|22}Bx x ，{|24}A B x x ⋃=-<<, {1R A x x =≤或4}x ≥，{|21}R A B x x ⋂=-<≤（）（2）由A B =∅，当B =∅时，21m m ，解得：13m ≥ 当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩，解得：103m ≤< 或2124m m m <-⎧⎨≥⎩，无解 综上可得：0m ≥【点睛】易错点睛：根据集合的运算结果求参数或是根据集合的包含关系求参数时，容易忽略空集的情况，这一点需注意.23．（1）R A {x |1x 2}=-<<，1{|3B x x =<或1}x >；（2）{}0；（3）211 1.32m m -<<-<<或 【分析】（1）m ＝2时，化简集合A ，B ，即可得集合∁R A 和集合B ；（2）集合B ∩Z 为单元素集，所以集合B 中有且只有一个整数，而0∈B ，所以抛物线y ＝（1﹣m 2）x 2+2mx ﹣1的开口向上，且与x 轴的两个交点都在[﹣1，1]内，据此列式可得m ＝0；（3）因为A ＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），（A ∩B ）∩Z 中由n 个元素，所以1﹣m 2＞0，即﹣1＜m ＜1；A ∩B 中至少有3或﹣2中的一个，由此列式可得．【详解】集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2≥0}＝{x |x ≥2或x ≤﹣1}，集合{x |（1﹣m 2）x 2+2mx ﹣1＜0，m ∈R}＝{x |[（1+m ）x ﹣1][（1﹣m ）x +1]＜0}（1）当m ＝2时，集合∁R A ＝{x |﹣1＜x ＜2}；集合1{|3B x x =<或1}x > ； （2）因为集合B ∩Z 为单元素集，且0∈B ，所以，解得m ＝0，当m ＝0时，经验证，满足题意．故实数m 的取值集合为{0}（3）集合（A ∩B ）∩Z 的元素个数为n （n ∈N *）个，A ∩B 中至少有3或﹣2中的一个， 所以令f （x ）＝（1﹣m 2）x 2+2mx ﹣1，依题意有或， 解得﹣1＜m ＜﹣或＜m ＜1∴【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算.属难题．24．（1）1 , 2⎛⎤-∞⎥⎝⎦；（2）1,2a⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭.【分析】（1）先计算UA，再利用数轴即可列出不等式组，解不等式组即可.（2）先求出A B B=时a的取值范围，再求其补集即可.【详解】（1）∵{}|02A x x=≤≤，∴{|0UA x x=<或}2x>，若()UA B R⋃=，则32322a aaa-≥⎧⎪⎨⎪-≥⎩，即12a≤∴实数a的取值范围是1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦.（2）若A B B=，则B A⊆.当B =∅时，则32-<a a得1,a>当B≠∅时，若B A⊆则322aa≥⎧⎨-≤⎩，得1,12a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，综上故a的取值范围为1,2a⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭，故A B B≠时的范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的补集，即1,.2⎛⎫-∞⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，属于中档题.25．（1）R（2）16m<≤或413m≤≤【分析】（1）求出集合A，B，根据集合的并集运算即可；（2）{|3},C x m x m=<<1{|02A B x x⋂=<<或14}x<≤，利用()C A B⊆，列出不等式组，求出实数m的取值范围.【详解】由2()lg(231)f x x x=-+可得：22310x x-+>，所以1{|2A x x =<或1}x >, 因为()2(],,2x g x x =∈-∞，所以{|04}B x x =<，所以A B R =.（2）{|3}C x m x m =<<，1{|02A B x x ⋂=<<或14}x <≤， 因为()C A B ⊆， 所以0132m m <⎧⎪⎨≤⎪⎩或134m m ≤⎧⎨≤⎩， 解得106m <≤或413m ≤≤， 故实数m 的取值范围106m <≤或413m ≤≤. 【点睛】 本题考查并集、交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题. 26．1a =或2或3【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆,分别讨论B =∅与B ≠∅的情况,进而求解即可【详解】由A B A ⋃=可得B A ⊆,若B =∅,则()2140a a ∆=+-<,解得a ∈∅；若B ≠∅,则()()10x a x --=,解得1x a =,21x =,①当1a =,则{}1B =,符合题意；②当2a =,则{}1,2B =,符合题意；③当3a =,则{}1,3B =,符合题意；综上,1a =或2或3【点睛】本题考查已知集合的包含关系求参数,考查分类讨论思想。
高中数学 第一章 集合测试题 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题
第一章测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·新课标Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B ＝( )A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}[答案] A[解析]由已知得B＝{x|－2<x<1}，故A∩B＝{－1,0}，故选A.2．下列集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}[答案] B[解析]A选项中，元素为点，且不是同一点，C，D选项中的元素，一个为点，一个为数，都不可能为同一集合，故B正确．3．有下列结论：①由1,2,3,4,5构成的集合含有6个元素；②大于5的自然数构成的集合是无限集；③边长等于1的菱形构成的集合是有限集合；④某校高一入学成绩最好的学生构成的集合是有限集．其中正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析]②正确，①中集合的元素有5个，③中边长等于1的菱形，夹角不定，④不对，故①③④不正确．4．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则( )A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B[答案] B[解析]本题考查集合的关系与运算．A＝{x|x2－2x>0}＝{x|x<0或x>2}∴A ∪B ＝R ，故选B.5．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }，若P ∪M ＝P ，则a 的X 围是( ) A ．a ≤－1 B ．a ≥1C ．－1≤a ≤1D ．a ≥1或a ≤－1[答案] C[解析]∵P ＝{x |－1≤x ≤1}，P ∪M ＝P ，∴a ∈P . 即：－1≤a ≤1.6．设集合A ＝{x |x ≤13}，a ＝11，那么( ) A ．a A B ．a ∉A C ．{a }∉A D ．{a }A[答案] D[解析]A 是集合，a 是元素，两者的关系应是属于与不属于的关系．{a }与A 是包含与否的关系，据此，A 、C 显然不对．而11<13，所以a 是A 的一个元素，{a }是A 的一个子集．故选D.7．(2014·某某高考)设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2,5}[答案] B[解析] 本题考查集合的运算．A ＝{x ∈N |x 2≥5}＝{x ∈N |x ≥5}，故∁U A ＝{x ∈N |2≤x <5}＝{2}．选B.8．用列举法表示集合{x |x 2－3x ＋2＝0}为( ) A ．{(1,2)} B ．{(2,1)} C ．{1,2} D ．{x 2－3x ＋2＝0}[答案] C[解析] 该集合为数集，所以A 、B 都不对，D 是用列举法表示，但元素为方程x 2－3x ＋2＝0.9．设S ＝R ，M ＝{x |－1<x <13}，N ＝{x |x ≤－1}，P ＝{x |x ≥13}，则P 等于( )A ．M ∩NB ．M ∪NC ．∁S (M ∪N )D ．∁S (M ∩N )[答案] C[解析]∵M ∪N ＝{x |－1<x <13}∪{x |x ≤－1}＝{x |x <13}，∴∁S (M ∪N )＝{x |x ≥13}＝P .10．设U 是全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪(∁U S )C ．(M ∩P )∪SD ．(M ∩P )∩(∁U S )[答案] D[解析] 阴影部分不属于S ，属于P ，属于M ，故选D.11．下列四个命题：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}有两个元素；④集合{x ∈Q |6x∈N }是有限集．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0[答案] D[解析]①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，∴①不正确． ②当a ＝0时，0∈N ，∴②不正确． ③∵x 2－2x ＋1＝0，x 1＝x 2＝1， ∴{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}， ∴③不正确．④当x 为正整数的倒数时6x∈N ，∴{x ∈Q |6x∈N }是无限集，∴④不正确．12．设集合M ＝{x |x ≤23}，a ＝11＋b ，其中b ∈(0,1)，则下列关系中正确的是( ) A ．a M B ．a ∉M C ．{a }∈M D ．{a }M[答案] D[解析] 由集合与集合及元素与集合之间的关系知，显然A 、C 不正确．又因为23＝12，所以当b ＝0时，a ＝11，可知11<12，而当b ＝1时，a ＝12，可知D 正确．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝________. [答案] {6,8}[解析]本题考查的是集合的运算．由条件知∁U A＝{6,8}，B＝{2,6,8}，∴(∁U A)∩B＝{6,8}．14．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁R M)∩N＝________.[答案]{x|x<－2}[解析]∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁R M＝{x|x<－2或x>2}．又N＝{x|x<1}，∴(∁R M)∩N＝{x|x<－2}．15．设全集U＝R，A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影表示的集合为________．[答案]{－3}[解析]如图阴影部分为(∁U A)∩B.∵A＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4，…，9,10}，B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，∴(∁U A)∩B＝{－3}．16．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3l＋1，l∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．[答案]S P＝M[解析]M、P是被3除余1的数构成的集合，则P＝M，S是被6除余1的数，则S P.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，某某数a的值．[解析]∵M∩N＝{3}，∴3∈M；∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾；当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．∴a＝4.18．(本小题满分12分)已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|mx－2＝0}且A∪B＝A，某某数m组成的集合C.[解析]由A∪B＝A得B⊆A，因此B有可能等于空集．①当B ＝∅时，此时方程mx －2＝0无解， 即m ＝0符合题意．②当B ≠∅时，即m ≠0，此时A ＝{1,2}，B ＝{2m}，∵B ⊆A .∴2m ＝1或2m＝2，∴m ＝2或m ＝1.因此，实数m 组成的集合C 为{0,1,2}．19．(本小题满分12分)设数集A ＝{a 2,2}，B ＝{1,2,3,2a －4}，C ＝{6a －a 2－6}，如果C ⊆A ，C ⊆B ，求a 的取值的集合．[解析]∵C ⊆A ，C ⊆B ，∴C ⊆(A ∩B )． 又C 中只有一个元素，∴6a －a 2－6＝2，解得a ＝2或a ＝4. 当a ＝2时，a 2＝4,2a －4＝0满足条件； 当a ＝4时，a 2＝16,2a －4＝4也满足条件． 故a 的取值集合为{2,4}．20．(本小题满分12分)已知M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，N ＝{x |ax ＝12}，若N ⊆M ，某某数a 所构成的集合A ，并写出A 的所有非空真子集.[解析]∵M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，解x 2－5x ＋6＝0得x ＝2或x ＝3，∴M ＝{2,3}． ∵N ⊆M ，∴N 为∅或{2}或{3}．当N ＝∅时，即ax ＝12无解，此时a ＝0； 当N ＝{2}时，则2a ＝12，a ＝6； 当N ＝{3}时，则3a ＝12，a ＝4.所以A ＝{0,4,6}，从而A 的所有非空真子集为{0}，{4}，{6}，{0,4}，{0,6}，{4,6}． 21．(本小题满分12分)已知A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}．(1)若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值；(2)若∅(A ∩B )，且A ∩C ＝∅，求a 的值； (3)若A ∩B ＝A ∩C ≠∅，求a 的值． [解析] (1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B ，即x 2－ax ＋a 2－19＝x 2－5x ＋6， ∴a ＝5.(2)由已知有B ＝{2,3}，C ＝{－4,2}． ∵∅(A ∩B )，A ∩C ＝∅，∴3∈A ，而－4,2∉A .由32－3a＋a2－19＝0，解得a＝－2或a＝5.当a＝－2时，A＝{3，－5}，符合题意，当a＝5时，A＝{3,2}，与A∩C＝∅矛盾，∴a＝－2.(3)若A∩B＝A∩C≠∅，则有2∈A.由22－2a＋a2－19＝0，得a＝5或a＝－3.当a＝5时，A＝{3,2}，不符合条件，当a＝－3时，A＝{－5,2}，符合条件．∴a＝－3.22．(本小题满分12分)设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.(1)请你写出符合条件，且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个．(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?[解析](1)由题意可知，若集合S中含有一个元素，则应满足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．若集合S中含有两个元素，设S＝{a，b}，则a，b∈N＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一个：{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，若集合S中含有3个元素，由集合S满足的性质可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个．(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示：S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4个．(3)答案不唯一，如：①S⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；②若5∈S，则S中元素个数为奇数个，若5∉S，则S中元素个数为偶数个．。
期末复习必备：北师大版高中数学必修一知识点归纳总结
期末复习必备：北师⼤版⾼中数学必修⼀知识点归纳总结第⼀章〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表⽰（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和⽆序性.（2）常⽤数集及其记法N表⽰⾃然数集，N*或N+表⽰正整数集，Z表⽰整数集，Q表⽰有理数集，R表⽰实数集.（3）集合与元素间的关系（4）集合的表⽰法①⾃然语⾔法：⽤⽂字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图⽰法：⽤数轴或韦恩图来表⽰集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有⽆限个元素的集合叫做⽆限集.③不含有任何元素的集合叫做空集.【1.1.2】集合间的基本关系（6）⼦集、真⼦集、集合相等【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集【补充知识】含绝对值的不等式与⼀元⼆次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）⼀元⼆次不等式的解法〖1.2〗函数及其表⽰【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个⾮空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何⼀个数x，在集合B中都有唯⼀确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的⼀个函数，记作f:A→B．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同⼀函数．（2）区间的概念及表⽰法（3）求函数的定义域时，⼀般遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的⼀切实数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开⽅式为⾮负值时的实数的集合④对数函数的真数⼤于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须⼤于零且不等于1．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算⽽合成的函数时，则其定义域⼀般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，⼀般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进⾏分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常⽤⽅法和求函数值域的⽅法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在⼀个最⼩（⼤）数，这个数就是函数的最⼩（⼤）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的⾓度不同．求函数值域与最值的常⽤⽅法：①观察法：对于⽐较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配⽅法：将函数解析式化成含有⾃变量的平⽅式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．④不等式法：利⽤基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的⽬的，三⾓代换可将代数函数的最值问题转化为三⾓函数的最值问题．⑥反函数法：利⽤函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利⽤函数图象或⼏何⽅法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表⽰法（5）函数的表⽰⽅法表⽰函数的⽅法，常⽤的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是⽤数学表达式表⽰两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表⽰两个变量之间的对应关系．图象法：就是⽤图象表⽰两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最⼤（⼩）值（1）函数的单调性①定义及判定⽅法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去⼀个减函数为增函数，减函数减去⼀个增函数为减函数．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定⽅法②若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，⼀个偶函数与⼀个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利⽤描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利⽤基本函数图象的变换作图：要准确记忆⼀次函数、⼆次函数、反⽐例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三⾓函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换②伸缩变换③对称变换（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等⽅⾯研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）⽤图函数图象形象地显⽰了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要⼯具．要重视数形结合解题的思想⽅法．第⼆章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义⼀般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x为⾃变量，a是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第⼀、⼆、三象限，第四象限⽆图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第⼀、⼆象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第⼀、三象限(图象关于原点对称)；是⾮奇⾮偶函数时，图象只分布在第⼀象②过定点：所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1)③单调性：如果a>0，则幂函数的图象过原点，并且在[0, +∞)上为增函数．如果a<0，则幂函数的图象在[0, +∞)上为减函数，在第⼀象限内，图象⽆限接近x轴与y轴．〖补充知识〗⼆次函数（1）⼆次函数解析式的三种形式（2）求⼆次函数解析式的⽅法①已知三个点坐标时，宜⽤⼀般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最⼤（⼩）值有关时，常使⽤顶点式．③若已知抛物线与X轴有两个交点，且横线坐标已知时，选⽤两根式求f(x)更⽅便．（3）⼆次函数图象的性质⼀元⼆次⽅程根的分布是⼆次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的⽅法偏重于⼆次⽅程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运⽤，下⾯结合⼆次函数图象的性质，系统地来分析⼀元⼆次⽅程实根的分布．⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 此结论可直接由⑤推出．第三章 函数的应⽤⼀、⽅程的根与函数的零点。
高中数学北师大版必修1第1章 阶段复习课
第一课集合[核心速填]1．集合的含义与表示(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于(∈)，不属于()．(3)自然数集：N；正整数集：N*；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R.(4)集合的表示方法：列举法、描述法和Venn图法．2．集合的基本关系A(1)集合A，B(2)子集的性质：①∅⊆A；②A⊆A；③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.(3)元素个数为n的集合有2n个子集，有2n－1个真子集．3．集合的运算(1)A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；(2)A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；(3)∁U A＝{x|x∈U，且x A}．[体系构建][题型探究]集合的基本概念【导学号：60712055】A．8B．16C．32D．64[思路探究]先确定集合B中元素个数，再利用子集个数的计算公式求解．[解]由上表知，B＝{－2，－1,0,1,2}，其子集个数为25＝32.[答案]C[规律方法](1)用列举法表示集合，其默认的条件是集合中的元素各不相同，也就是说集合中的元素一定要满足互异性.(2)判断集合中元素个数时，要注意相同的对象归入同一个集合时只能算作一个.(3)若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究.[跟踪训练]1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝()A ．4B ．2C ．0D ．0或4A [当a ＝0时，A ＝∅，不合题意；当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.]2．若2∈{2a －1,1－a 2}，则a ＝________.32[∵1－a 2≤1，∴2a －1＝2，解得a ＝32.]集合的基本关系已知集合A ＝{x |x >0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－x ＋p ＝0}，且B ⊆A ，求实数p 的范围.【导学号：60712056】[思路探究]分B ＝∅与B ≠∅两种情况讨论．[解](1)当B ＝∅时，B ⊆A ，由Δ＝(－1)2－4p <0，解得p >14.(2)当B ≠∅，且B ⊆A 时，方程x 2－x ＋p ＝0存在两个正实根．由x 1＋x 2＝1>0，Δ＝(－1)2－4p ≥0，且x 1x 2＝p >0，得0<p ≤14.由(1)(2)可得p 的取值范围为{p |p >0}．[规律方法](1)判断两集合关系的两种常用方法一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.(2)处理集合间关系问题的关键点已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析.[跟踪训练]3．已知集合A＝{x∈R|－2<x<4}，B＝{x|x＋3>0}，则A与B之间的关系为()A．A B B．A B C．A＝B D．A BA[B＝{x|x>－3}把集合A，B在数轴上表示出来由上图知，A B.]4．已知{x|x2－5x＋6＝0}⊆{a,2,2a－1}，求实数a的值．[解]由{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，得3∈{a,2,2a－1}，∴a＝3，或2a－1＝3，解得a＝2或3.当a＝2时，集合{a,2,2a－1}中的元素不满足互异性，舍去．当a＝3时，{a,2,2a－1}＝{3,2,5}满足题意．综上得，a＝3.集合的基本运算设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.【导学号：60712057】[思路探究]借助于数轴求解．[解]把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}，∵∁R A＝{x|x<3，或x≥7}，∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知A∪B＝A，求实数m的取值范围．[思路探究]由A∪B＝A知B⊆A，需按B＝∅与B≠∅两种情况讨论，当B≠∅时，利用数轴列出关于m 的不等式组求得m 的取值范围．[解]∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .当m －1>2m ＋1，即m <－2时，B ＝∅，符合题意．当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠∅.由B ⊆A ，借助数轴表示如图所示．－1≥－1，m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.综上所述，实数m 的取值范围是m <－2或0≤m ≤52.[规律方法]在集合运算过程中应力求做到“三化”：(1)意义化：首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形；是表示函数自变量的取值范围、因变量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集.(2)具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式.(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题.[跟踪训练]5．(1)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是()A ．－1≤a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤－1D ．a ≥1或a ≤－1(2)若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B ＝()【导学号：60712058】A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅(3)已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝()A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}(4)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1，a 2－1,4}，∁U A ＝{2，a ＋3}，则实数a ＝________.【导学号：60712059】(1)A(2)C(3){3,9}(4)2[(1)由P ∪M ＝P ，得M ⊆P ，所以a ∈P ，所以a 2≤1，解得－1≤a ≤1.(2)A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}，所以，A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．(3)用Venn 图求解．由上图知，A ＝{3,9}．(4)依题意得2－1＝3＋3＝52－1＝5＋3＝3解得a ＝2.]补集思想的应用若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至少有1个元素，求实数a 的取值范围．[思路探究]从已知的反面出发，求出a 的取值范围，再求其补集．[解]由A ＝∅≠0＝9－8a <0，解得a >98，所以，当A 至少有一个元素时，a ≤98.[规律方法]补集思想的解题方法当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为：(1)否定已知条件，考虑反面问题；(2)求解反面问题对应的参数范围；(3)取反面问题对应的参数范围的补集．[跟踪训练]6．已知集合A＝{y|y>a2＋1，或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围.【导学号：60712060】[解]若A∩B＝∅，则≤2，2＋1≥4，解得a≤－3，或－3≤a≤2所以，当A∩B≠∅时，－3<a< 3.。
北师大版高中数学必修一第1、2章综合测试题.docx
高中数学学习材料唐玲出品第一、二章综合测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x|－2<x<3}，则下列结论正确的是()A．2.5∈M B．0⊆MC．∅∈M D．集合M是有限集[答案] A[解析]因为－2<2.5<3，所以2.5是集合M中的元素，即2.5∈M.2．(2014·山东文，2)设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝()A．(0,2] B．(1,2)C．[1,2) D．(1,4)[答案] C[解析]A＝{x|x2－2x<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B＝{x|1≤x≤2}，故选C.3．下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定经过原点；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案] A[解析]偶函数的图像关于y轴对称，但不一定与y轴相交．反例：y＝x0，故①错误，③正确．奇函数的图像关于原点对称，但不一定经过原点． 反例：y ＝x －1，故②错误．若y ＝f (x )既是奇函数又是偶函数， 由定义可得f (x )＝0，但未必x ∈R .反例：f (x )＝1－x 2＋x 2－1，其定义域为{－1,1}，故④错误．∴选A. 4．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则( )A ．f (x )是奇函数且f (1x )＝－f (x )B ．f (x )是奇函数且f (1x )＝f (x )C ．f (x )是偶函数且f (1x )＝－f (x )D ．f (x )是偶函数且f (1x )＝f (x )[答案] C[解析] f (－x )＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f (x )，又f (1x )＝1＋(1x )21－(1x)2＝－(1＋x 21－x 2)＝－f (x )．故选C.5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，|x |≥1，1－x 2，|x |<1，f (33)的值为( ) A ．－23B ．13C.23 D ．43[答案] C [解析] ∵|33|<1，则应代入f (x )＝1－x 2， 即f (33)＝1－13＝23. 6．若f [g (x )]＝6x ＋3，且g (x )＝2x ＋1，则f (x )＝( ) A ．3 B ．3x C ．6x ＋3 D ．6x ＋1[答案] B[解析] 由f [g (x )]＝f (2x ＋1)＝6x ＋3＝3(2x ＋1)，知f (x )＝3x .7．(2013·浙江高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题考查集合的运算，由条件易知∁R S ＝{x |x ≤－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以∁R S ∪T ＝{x |x ≤1}．8．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)[答案] A[解析] 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2x ≠1∴0≤x <1，故函数定义域为[0,1)．9．已知定义在R 上的奇函数f (x )，在[0，＋∞)上单调递减，且f (2－a )＋f (1－a )<0，则实数a 的取值范围是( )A ．(32，2]B ．(32，＋∞)C ．[1，32)D ．(－∞，32)[答案] D[解析] ∵f (x )在[0，＋∞)单调递减且f (x )为奇函数，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，从而f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f (2－a )<f (a －1)， ∴2－a >a －1，∴a <32，故选D.10．如果奇函数y ＝f (x )(x ≠0)在x ∈(0，＋∞)上，满足f (x )＝x －1，那么使f (x －1)<0成立的x 的取值范围是( )A ．x <0B ．1<x <2C ．x <2且x ≠0D ．x <0或1<x <2[答案] D[解析] x <0时，－x >0.由题设f (－x )＝－x －1. 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x ＋1.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x <0)x －1 (x >0)，∴不等式f (x －1)<0化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x －2<0. ∴x <0或1<x <2.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．若⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y －3＝0⊆{(x ，y )|y ＝ax 2＋1}，则a ＝________.[答案] －12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1， 由题意知，－1＝4a ＋1， ∴a ＝－12.12．已知f (x )为偶函数，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 －1≤x ≤0，0≤x ≤1.[答案] 1－x[解析] 当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]， f (－x )＝－x ＋1，又f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (－x )＝1－x .13．若已知A ∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A 共有________个．[答案] 4[解析] ∵A ∩{－1,0,1}＝{0,1}， ∴0,1∈A 且－1∉A .又∵A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}， ∴1∈A 且至多－2,0,2∈A . 故0,1∈A 且至多－2,2∈A .∴满足条件的A 只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，{0,1，－2,2}，共有4个． 14．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③[解析] 当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b ∈B ，b 有两个原像时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整定义域上不一定单调，因而f (x )不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.15．函数f (x )对任意正整数a ，b 满足条件f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2016)f (2015)的值是________． [答案] 2016[解析] ∵函数f (x )对任意正整数a ，b 都满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )， ∴令a ＝n ，b ＝1(n ∈N ＋)，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)， 即f (n ＋1)f (n )＝f (1)．由n 的任意性得 f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝f (6)f (5)＝…＝f (2016)f (2015)＝f (1)． 故f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2016)f (2015)＝1008f (1)＝1008×2＝2016.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 取值构成的集合． [解析] (1)A ∩B ＝{x |3≤x <6}． ∵∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥9}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6，或x ≥9}． (2)∵C ⊆B ，如图所示：∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a ＋1≤9，解得2≤a ≤8，∴所求集合为{a |2≤a ≤8}．17．(本小题满分12分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c .从而，f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b ， 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1又f (0)＝c ＝1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由(1)及f (x )>2x ＋m ⇒m <x 2－3x ＋1，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]，则当x ∈[－1,1]时，g (x )＝x 2－3x ＋1为减函数， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1，从而要使不等式m <x 2－3x ＋1恒成立，则m <－1. 18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0}，若A ∩R ＋＝∅，求实数p 的取值范围．(其中R ＋＝{x ∈R |x >0})．[解析] ∵A ∩R ＋＝∅，R ＋＝{x ∈R |x >0}，A ＝{x ∈R |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0}， ∴方程x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0没有正实数根，∴Δ＝(p ＋2)2－4<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(p ＋2)2－4≥0－(p ＋2)<0， 即p (p ＋4)<0或⎩⎪⎨⎪⎧p (p ＋4)≥0，p >－2.解得－4<p <0或p ≥0， ∴实数p 的取值范围是p >－4.19．(本小题满分12分)设函数f (x )为奇函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析] 设－3≤x 1<x 2≤3，则x 2－x 1>0， ∵f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )<0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )在[－3,3]上是减函数．故f (x )max ＝f (－3)＝－f (3)＝－[f (1)＋f (2)]＝－[f (1)＋f (1)＋f (1)]＝6， f (x )min ＝f (3)＝－f (－3)＝－6.20．(本小题满分13分)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )； ②当x >1时，f (x )>0.求证： (1)f (1)＝0；(2)对任意的x ∈R ，都有f (1x )＝－f (x )；(3)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性． [解析] (1)证明：令x ＝y ＝1，则有 f (1)＝f (1)＋f (1)⇒f (1)＝0. (2)对任意x >0，用1x 代替y ，有f (x )＋f (1x )＝f (x ·1x )＝f (1)＝0，∴f (1x)＝－f (x )．(3)f (x )在(－∞，0)上是减函数． 取x 1<x 2<0，则x 1x 2>1，∴f (x 1x 2)>0，∵f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (1x 2)＝f (x 1x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－∞，0)上为减函数．21．(本小题满分14分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(a ，b ，c ∈R )，且同时满足下列条件：①f (－1)＝0；②对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0；③当x ∈(0,2)时，有f (x )≤(x ＋12)2.(1)求f (1)；(2)求a ，b ，c 的值；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (m ∈R )是单调函数，求m 的取值范围． [解析] (1)由f (－1)＝0，得a －b ＋c ＝0， ①令x ＝1，有f (1)－1≥0和f (1)≤(1＋12)2＝1，∴f (1)＝1.(2)由f (1)＝1得a ＋b ＋c ＝1② 联立①②可得b ＝a ＋c ＝12，由题意知，对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0，即ax 2＋(a ＋c )x ＋c －x ≥0， 即ax 2－12x ＋c ≥0对任意实数x 恒成立，于是⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，14－4ac ≤0.∵c ＝12－a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >014－2a ＋4a 2≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0(2a －12)2≤0⇒a ＝14， ∴a ＝c ＝14，b ＝12.(3)由(2)得：g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋12x ＋14－mx ＝14[x 2＋(2－4m )x ＋1]∵x ∈[－1,1]时，g (x )是单调的， ∴|－2－4m2|≥1，解得m ≤0或m ≥1. ∴m 的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．。
高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结
高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或A中的任一元素都属于B(1)AA(2)(3)若且，则(4)若且，则或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不属于A（1）（A为非空子集）(2)若且，则集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3）⑷Α?B?A∩B=A 并集或（1）（2）（3）⑷A?B?A∪B=B补集?uA⑴（?uA）∩A=?,⑵?uA∪A=U,⑶?u?uA=A,⑷?uA∩B=?uA∪?uB,⑸?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB)⑼集合的运算律：交换律：结合律:分配律:0-1律：等幂律：求补律：A∩?uA=?A∪CuA=U?uU=??u?=U反演律：?u(A∩B)=(?uA)∪(?uB)?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作.2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。
高考复习冲刺专题 复习专号--高中数学北师大版必修一
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北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解第一章 集合与函数概念 知识架构第一讲 集合 ★知识梳理 一：集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系： 文字语言符号语言 属于不属于4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集整数集 有理数集 实数集 复数集 符号*N 或+N 二： 集合间的基本关系表示关系文字语言 符号语言 相等 集合A 与集合B 中的所有元素都相同 B A ⊆且A ⊆B ⇔子集 A 中任意一元素均为B 中的元素 B A ⊆或A B ⊇真子集 A 中任意一元素均为B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A ⊆φ，φB （φ≠B ）三：集合的基本运算①两个集合的交集:AB = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或;③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且交并 补 集合 集 合 表 示 法 集 合 的 运 算 集 合 的 关 系 列 举 法 描 述 法 图 示 法 包 含 相 等 子集与真子集 交 集 并 集 补集 函数函数 及其表示 函数基本性质 单调性与最值 函数的概念 函数 的 奇偶性 函数的表示法 映射映射的概念 集合与函数概念方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。
重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误： 问题：已知集合221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=（ ） A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2[错解]误以为集合M 表示椭圆14922=+y x ，集合N 表示直线123=+y x ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B[正解] C ； 显然{}33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M (3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。
3．集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ（2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆4．集合的运算性质（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ⊆ ，B B A ⊆ ⑤B A A B A ⊆⇔= ；（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ；④A B A ⊇ ，B B A ⊇ ⑤A B A B A ⊆⇔= ；（3）交、并、补集的关系①φ=A C A U ；U A C A U =②)()()(B C A C B A C U U U =；)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，xy 在值就是A B *的元素[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A B *={}4,2,0，故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。
题型2：集合间的基本关系[例2]．数集{}Z n n X ∈+=,)12(π与{}Z k k Y ∈±=,)14(π之的关系是（ ）A ．X Y ；B ．Y X ；C ．Y X =；D ．Y X ≠[解题思路]可有两种思路：一是将X 和Y 的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。
[解析] 从题意看，数集X 与Y 之间必然有关系，如果A 成立，则D 就成立，这不可能； 同样，B 也不能成立；而如果D 成立，则A 、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。
[新题导练]1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）A ．B A ⊆ B.C B ⊆ C.C B A = D. A C B =[解析] D ；因为全集为A ，而C B =全集=A2．(2006•山东改编）定义集合运算:{}B y x xy y x B ∈∈+==⊗A,,z A 22,设集合{}1,0A =,{}3,2=B ,则集合B ⊗A 的所有元素之和为[解析]18，根据B ⊗A 的定义，得到{}12,6,0A =⊗B ，故B ⊗A 的所有元素之和为183．(2007·湖北改编）设P 和Q 是两个集合，定义集合=-Q P {}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 3<=x x P ，{}1<=x x Q ,那么Q P -等于[解析] {}31<<x x ；因为{})3,0(1log 3=<=x x P ，{})1,1(1-=<=x x Q ，所以4．研究集合{}42-==x y x A ，{}42-==x y y B ，{}4),(2-==x y y x C 之间的关系[解析] A 与C ，B 与C 都无包含关系，而B A ；因为{}42-==x y x A 表示 42-=x y 的定义域，故R A =；{}42-==x y y B 表示函数42-=x y 的值域，),4[+∞-=B ；{}4),(2-==x y y x C 表示曲线42-=x y 上的点集，可见，BA ，而A 与C ，B 与C 都无包含关系考点二：集合的基本运算[例3] 设集合{}0232=+-=x x x A ，{}0)5()1(222=-+++=a x a x x B（1） 若{}2=B A ，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围若{}2=B A ，[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。
[解析]因为{}{}2,10232==+-=x x x A ， （1）由{}2=B A 知，B ∈2，从而得0)5()1(4222=-+++a a ，即 0342=++a a ，解得1-=a 或3-=a当1-=a 时，{}⎣⎦2,2042-==-=x x B ，满足条件；当3-=a 时，{}{}20442==+-=x x x B ，满足条件 所以1-=a 或3-=a（2）对于集合B ，由)3(8)5(4)1(422+=--+=∆a a a因为A B A = ，所以A B ⊆①当0<∆，即3-<a 时，φ=B ，满足条件；②当0=∆，即3-=a 时，{}2=B ，满足条件； ③当0>∆，即3->a 时，{}2,1==A B 才能满足条件，由根与系数的关系得⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=⨯+-=+725521)1(22122a a a a ，矛盾 故实数a 的取值范围是3-≤a【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。
同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.[新题导练]6．若集合{}R x y y S x ∈==,3，{}R x x y y T ∈-==,12，则T S 是（ ）A. S ；B. T ；C.φ；D. 有限集[解析] A ；由题意知，集合{}R x y y S x ∈==,3表示函数R x y x ∈=,3的值域，故 集合),0(+∞=S ；{}R x x y y T ∈-==,12表示函数R x x y ∈-=,12的值域， ),1[+∞-=T ，故S T S =7．已知集合{}2),(=+=y x y x M ，{}4),(=-=y x y x N ，那么集合N M 为（ ）A.1,3-==y x ；B.)1,3(-；C.{}1,3-；D.{})1,3(-[解析]D ；N M 表示直线2=+y x 与直线4=-y x 的交点组成的集合，A 、B 、C 均不合题意。
8．集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B =,求实数a 的值. [解析] 10,1,2；先化简B 得, {}1,2B =.由于A B B =A B ⇔⊆,故1A ∈或2A ∈. 因此10a -=或210a -=,解得1a =或12a =. 容易漏掉的一种情况是: ∅=A 的情形,此时0a =.故所求实数a 的值为10,1,2. 备选例题1：已知{}1+==x y y M ，{}1),(22=+=y x y x N ，则N M 中的元素个数是（ ）A. 0；B. 1；C.2；D.无穷多个[解析]选A;集合M 表示函数1+=x y 的值域,是数集,并且R M =,而集合N 表示满足 122=+y x 的有序实数对的集合,即表示圆122=+y x 上的点,是点集。
所以，集合M 与集合N 中的元素均不相同，因而φ=N M ，故其中元素的个数为0[误区分析]在解答过程中易出现直线1+=x y 与圆122=+y x 有两个交点误选C ；或者误认为1+=x y 中R y ∈，而122=+y x 中11≤≤-y ，从而]1,1[-=N M 有无穷多个解而选D 。