2020年高考圆锥曲线专题复习

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2020高考—圆锥曲线(解答+答案)

2020年高考——圆锥曲线1.(20全国Ⅰ文21)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.2.(20全国Ⅰ理20)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.3.（20全国Ⅱ文19）(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．4.（20全国Ⅱ理19）（12分）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．5.（20全国Ⅲ文21）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．6.（20全国Ⅲ理20）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．7.（20新高考Ⅰ22）（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8.(20天津18)（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．9.(20浙江21)（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10.（20江苏18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．11.(20北京20)（本小题15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．参考答案：1．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<．由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=．解得3n =-（舍去），32n =．故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2．若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）．若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.3．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.4．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.5．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52.6．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ 的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52.7．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =．所以C 的方程为22163x y +=．（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=．于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q . 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.8．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=．（Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．9.（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32．（Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标22M mt y m =-+．将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=，因此22022(2)p m x m+=．由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m，t =时，p．10.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =.设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯，则34120x y -+=或3460x y --=. 由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.11.。

(完整版)2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练,推荐文档

2y0
2y0
令 x＝0，得 yM＝－x0－2，从而|BM|＝1－yM＝1＋x0－2.
y0－1 直线 PB 的方程为 y＝ x0 x＋1.
x0
x0
令 y＝0，得 xN＝－y0－1，从而|AN|＝2－xN＝2＋y0－1.
1 所以四边形 ABNM 的面积 S＝2|AN|·|BM|
1 ＝2
( )2y0 x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4 2x0y0－2x0－4y0＋4
2020 年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】
题型一求曲线的方程
例 1 已知 F1(2, 0) ， F2 (2, 0) ，点 P 满足| PF1 | | PF2 | 2 ，记点 P 的轨迹为 E ．求轨迹 E 的方程．【答案】 x2 y2 1
3
【解析】由| PF1 | | PF2 | 2 4 | F1F2 | 可知：点 P 的轨迹 E 是以 F1, F2 为焦点的双曲线的右支，
x2 y2 例 2 已知椭圆 C：a2＋b2＝1 过 A(2,0)，B(0,1)两点． (1)求椭圆 C 的方程及离心率；
1
(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值．
x2
3
【答案】(1) 4 ＋y2＝1，e＝ 2 (2)2.
1＋
＝2.
x0－2 ＝ 2x0y0－x0－2y0＋2 ＝ x0y0－x0－2y0＋2
2
从而四边形 ABNM 的面积为定值.
【易错点】(1)．想不到设出 P(x0，y0)后，利用点斜式写出直线 PA，PB 的方程．不会由直线 PA，PB 的方程求解|BM|，|AN|；

2020年高考文科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练

12020年高考文科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一求曲线的方程例1 已知定点()0,3-G ，S 是圆()723:22=+-y x C （C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M . 求M 的方程. 【答案】见解析【解析】由题意知ES EG =，所以26=+=+EC ES EC EG ,又因为266<=GC .所以点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为26的椭圆，动点E 的轨迹方程为191822=+y x . 例2 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.求点P 的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示，设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y . 由2NP NM =知，1y =，即1y . 又点M 在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.例3 如图，矩形ABCD 中， ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D -- 且,AM AD DN DC λλ==,[]0,1,AN λ∈交BM 于点Q .若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分，曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称,求曲线P 的轨迹方程.【答案】Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【解析】设(),Q x y ，由,AM AD DN DC λλ==,求得()()2,2,42,2M N λλ--,∵1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-,∴11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭, ∴1224y y x x ⋅=-+-，整理得()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤.可知点Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法：直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简; 定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法：找动点之间的转化关系（平移，伸缩，中点，垂直等），用要求的代替已知轨迹的，代入化简3.参数法：可用联立求得参数方程，消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法：联立求交点，变形的轨迹. 题型二最值（范围）问题例1 已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则DE AB +的最小值为（）A. 16B. 14C. 12D. 10 【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214 1y x y k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足：22342224k x x k ++=，由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出DE AB +,然后利用基本不等3式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点．（1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．【答案】见解析【解析】（1）2(c,0)F c c 设，由条件知，222=2, 1.2c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为（2）1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,2238=16(43)0,441k k k x k ±∆->>=+当即时，12241PQ x k =-=+从而O PQ d OPQ =∆又点到直线的距离所以的面积1=2OPQ S d PQ ∆⋅=244,0,.44OPQ t t t S t t t∆=>==++则44,20.2t t k t +≥==±∆>因为当且仅当，即OPQ ∆所以，当的面积最大时，l的方程为2222y x y x =-=--或．【思维点拨】圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； (2)利用基本不等式求出参数的取值范围；(3)利用函数的值域的求法（甚至求导），确定参数的取值范围．题型三定点定值与存在性问题例1 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上.（1）求C 的方程.（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【答案】见解析【解析】（1）由题意有2a =，22421a b+=，解得28a =，24b =. 所以C 的方程为22184x y +=. （2）设直线l ：()00y kx b kb =+≠≠，，()11A x y ，， ()22B x y ，，()M M M x y ，.将 y kx b =+代入22184x y +=得()22221+4280k x kbx b ++-=. 故1222221M x x kb x k +-==+，221M M by kx b k =+=+ . 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【思维点拨】解析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题，并会结合中点坐标，方程根与函数关系来求解.5例2 已知抛物线2:4C y x =，点()0,m M 在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1) 若1=m ，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； (2) 是否存在定点M ，使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动，2211AMBM+恒为定值？【答案】（1）()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0). 【解析】（1）当1=m 时，()0,1M ，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为1-=x y ，设()()1122,,A x y B x y ，，联立24{ 1y xy x ==-，消去y 得， 2610x x -+=，∴126x x +=， 121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3, 2). 又1228AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为()()223216x y -+-=. (2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立，消去x 得： 2440y ky m --=，则124y y m =-， 124y y k +=，()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值，于是2=m ，此时221114AMBM+=. ∴存在定点()0,2M ，满足题意. 【易错点】定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果（取特殊位置或特殊值），因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.【巩固训练】题型一求曲线的方程1.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()0,1B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程. 【答案】13422=+y x （0≠y ）【解析】因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠，所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为13422=+y x （0≠y ）.2.已知动圆G 过定点()4,0F ，且在y 轴上截得的弦长为8.求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程；【答案】28y x =【解析】设动圆圆心(),G x y ，设圆交y 轴于,M N 两点，连接,GF GM ，则GF GM =，过点G 作GH MN ⊥，则点H 是MN 的中点，显然()22224,4GM x GF x y =+=-+，于是()222244x y x -+=+，化简整理得28y x =，故的轨迹方程为28y x =.73.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（1）见解析；（2）12-=x y ．【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S -=-=--=△△. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .题型二最值（范围）问题1.已知动点E 到点A ()2,0与点B ()2,0-的直线斜率之积为14-，点E 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）过点D ()1,0作直线l 与曲线C 交于P ， Q 两点，求OP OQ ⋅的最大值．【答案】（1）()22124x y x +=≠±（2）14 【解析】（1）设(),E x y ，则2x ≠±．因为E 到点A ()2,0，与点B ()2,0-的斜率之积为14-，所以122y y x x ⋅=-+-，整理得C 的方程为()22124x y x +=≠±．（2）当l 垂直于轴时，l 的方程为1x =，代入2214x y +=得2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 1,2Q ⎛- ⎝⎭．11,1,224OP OQ ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当l 不垂直于x 轴时，依题意可设()()10y k x k =-≠，代入2214x y +=得 ()2222148440k xk x k +-+-=．因为()216130k ∆=+>，设()11,P x y ， ()22,Q x y ．则2122814k x x k +=+， 21224414k x x k-=+． ()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+-- ()()22212121k x x k x x k =+-++21174416k =-+ 14<综上OP OQ ⋅ 14≤，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP OQ ⋅的最大值是14．92.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点，且12PF F ∆的面积为2．（1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）[)2,m ∈+∞．【解析】（1）略（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由221{ 43x y y kx t+==+，得()2223484120k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434kt t x x x x k k-+=-=++， ()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--，由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--，∴()232m t m-=，又()0,t 在椭圆内部中，∴203t ≤<，∴2m ≥，即[)2,m ∈+∞．题型三定点定值与存在性问题1.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12， ,M N 分别是椭圆的上、下顶点， 22•2MF NF =-. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆E 交于相异两点,A B ，且满足直线,MA MB 的斜率之积为14，证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）直线AB恒过定点(0,.【解析】（1）由题知()0,2c F ，()b M ,0，()b N -,0，22222-=-=⋅∴b c NF MF ① 由21==a c e ，得c a 2= ② 又222cb a =- ③ 由①②③联立解得：42=a ，32=b ∴椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）证明：由椭圆E 的方程得，上顶点()3,0M ，设()11,y x A ，()22,y x B ，由题意知，01≠x ，02≠x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x mkx y 得：()()034843222=-+++m kmx x k∴221438kkmx x +-=+，()22214334k m x x +-=，又111133x m kx x y k MA -+=-=，222233x m kx x y k MB -+=-=，由41=⋅NB MA k k ，得()()2121334x x m kx m kx =-+-+， ()()()()()()0433483414342222=+-+--+--k m km m k k m ，化简得：06332=+-m m 解得：3=m 或32=m ，结合01≠x ，02≠x 知32=m ，11即直线AB 恒过定点()32,0.2.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．【答案】（1） 1422=+y x （2）见解析. 【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab ac 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN .综上，BM AN ⋅为定值.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1） 2213x y += （2）见解析【解析】（1）由2223c e c a a ==⇒=，所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b+=，所以222222(1)3y x a a y b =-=-||PQ ===所以，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为：2213x y += （2）存在点M 满足要求，使OAB ∆得面积最大．假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B , 则圆心O 到l 的距离1d =<，∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2213m n +=②，由①②得：203m <∵||AB ==所以1||2OABSAB d =⋅=2213m n =-代入上式13得213221213OABmS m m ∆==+⋅，当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈，∴2231,22m n ==，此时满足要求的点(22M ±±有四个．此时对应的OAB ∆的面积为12． 4.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F ，斜率为的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.【答案】（1）24y x = （2）直线PQ 恒过定点()3,0.【解析】（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得： 22204p x px -+=， ∴212122,4p x x p x x+==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭.. 由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()24{1y x y k x ==-，得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0；当1k=±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0.综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.。

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线常用解法、常规题型与性质

圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解）总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题（5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题（7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

2020新高考数学二轮冲刺圆锥曲线全归纳(压轴题全解析)

解析：因为点 B 与点 A1,1 关于原点 O 对称，所以点 B 的坐标为 1, 1 ，设点 P x, y ，由题意得 y 1 y 1 1 ，化简得 x2 3y2 4 x 1 ，故动点 P 的轨迹方程为 x2 3y2 4 x 1
MA MB

AB

0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
( x,4

2
y)

( x,2)

0
，即
y

1
x2

2
。
4
【例 3】已知抛物线 C ： y2 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A，B 两点，
交 C 的准线于 P，Q 两点．（I）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ；（II）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.
5 轨迹 C 的方程.
解析设 M 的坐标为 (x, y) ， P 的坐标为 (x0 , y0 ) ，因为 M 为 PD 上一点，且
|MD|=
4 5
|PD|，所以
x
y

x0
4 5
y0

x0 y0

x 5 4
y
，又
P (x0 ,
y0 )
若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线平行;若 C 为抛物线,则直线 l 与抛物线
A圆
B 椭圆
C 线段
D 一段抛物线
解析
设点
M
(x0
,
y0
),
P(x,

2020高考专题复习—圆锥曲线

一、2020年高考虽然推迟，但是一定要坚持多练习，加油！二、高考分析1、分值、题型、难度设置圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，分值约占14﹪，即20分左右，题型一般为二小一大，例如，2005年高考为一道选择题，一道填空题一道解答题。

小题基础灵活，解答题一般在中等以上，一般具有较高的区分度。

考试内容：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单的几何性质，椭圆的参数方程。

主要题型：（1）定义及简单几何性质的灵活运用；（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；（3）直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦及斜率、对称问题），确定参数的取值范围；（4）在导数、不等式、函数、向量等知识网络交汇点上的问题。

2、命题方向解析几何内容多，范围广，综合度高，其特点是：数形结合，形象思维，规律性强，运算量大，综合性好。

主要考察运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的综合能力。

涉及函数、方程、不等式、三角、向量和导数等方面的内容，以及数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法。

要注意一些立意新，角度好，有创意的题目，特别要关注在向量和解析几何交汇点上的命题趋势，两者通过坐标自然融合，既考查基（2D ． 3 +1础知识、基本方法，又平淡之中见功夫，强化区分功能，突出对能力的考查，从不同的思维层次上考察能力，有较好的思维价值。

三、专题复习2.1 考查直线和圆锥曲线方程等有关基础知识和基本方法，要特别重视圆锥曲线定义的灵活应用，反映思维品质。

例 1．1)如图，在正方体 A B C D - ABCD 的侧1 1 1DC面 AB 内有1AB动点 P 到直线 AB 与直线 B C 距离相等，则动点 1 1P 所在的曲线的形状为：）PD 1A 1B 1C 1AB ABAB AB PPPPA 1(A)B 1A 1(B)B 1A 1(C)B 1 A 1(D) B 1分析：本题主要考查抛物线定义，线面垂直关系及点到直线的距离等概念，情景新，角度好，有创意，考查基础知识和基本方法。

【高考冲刺】人教A版高中数学2020届高考复习专题--圆锥曲线(含解析)

圆锥曲线一、知识结构 1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0两条曲线的交点若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔ f 2(x 0,y 0)=0方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.2.圆圆的定义点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E，半径是24F -E D 22+.配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F-E D 22+当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); 当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +.(3)直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交⇔有两个公共点直线与圆相切⇔有一个公共点直线与圆相离⇔没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22C Bb Aa BA +++与半径r 的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线椭圆双曲线抛物线轨迹条件点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a ＝点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜. =±2a,｜F 2F 2｜＞2a}.点集{M ｜｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}.圆形标准方程 22a x +22by =1(a ＞b ＞0)22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0)y 2=2px(p ＞0)顶点A 1(-a,0),A 2(a,0);B 1(0,-b),B 2(0,b) A 1(0,-a),A 2(0,a) O(0,0)轴对称轴x=0,y=0 长轴长：2a 短轴长：2b 对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y= 焦点F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上 F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上 F(2P，0) 焦点对称轴上焦距｜F 1F 2｜=2c ， c=b2-a2｜F 1F 2｜=2c, c=b2a2+曲线性质准线x=±c a 2准线垂直于长轴，且在椭圆外. x=±ca 2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.离心率e=ac,0＜e ＜1 e=ac,e ＞1 e=14.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆当e=1时，轨迹为抛物线当e ＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是(x ′,y ′).设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则x=x ′+hx ′=x-h (1)或(2)y=y ′+ky ′=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(x a +22k)-(y b =1(±c+h,k) x=±c a 2+hx=h y=k 22h)-(x b +22k)-(y a =1 (h,±c+k) y=±c a 2+kx=h y=k 双曲线22h)-(x a -22k)-(y b =1 (±c+h,k) =±c a 2+kx=h y=k 22k)-(y a -22h)-(x b=1 (h,±c+h)y=±ca 2+kx=h y=k二、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简.特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：.椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：.(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；.(4)了解圆锥曲线的初步应用。

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题

解几综合题1.如图，()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+.（Ⅰ）求m n ⋅的值；（Ⅱ）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（Ⅲ）若直线l 过点E （2，0）交（Ⅱ）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程.2. 如图，在平面直角坐标系中，已知动点()y x P ,，y PM ⊥轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称， 4=⋅MN OP（1）求动点P 的轨迹W 的方程（2）若点Q 的坐标为()0,2，A 、B 为W 上的两个动点，且满足QB QA ⊥，点Q 到直线AB 的距离为d ，求d 的最大值3. 已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点. ① 设1()2OR OP OQ =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程；② 若直线l 的倾斜角为060，求1||PF4. 在双曲线1131222=-x y 的上半支有三点A ，B ，C ，其中B 是第一象限的点，F 为双曲的上焦点.若线段AC 的中点D 在直线y=6上，且|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列. （Ⅰ）求点B 的坐标；（Ⅱ）若直线l 经过点D ，且在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得 ||||(CP AP +=λ证明：直线l 必过定点，并求出该定点的坐标。

5. 如图，椭圆两焦点F 1、F 2与短轴两端B 1、B 2正好是正方形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点最近距离为.12-（I ）求椭圆的标准方程；（II ）过D(0，2)的直线与椭圆交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设λ=||DN DM ，求λ的取值范围.6. 已知F 1、F 2分别是椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，其左准线与x 轴相交于点N ，并且满足，.2||,221121==F F NF F F （1）求此椭圆的方程；（2）设A 、B 是这个椭圆上的两点，并且满足]31,51[,∈=λλ当NB NA 时，求直线AB 的斜率的取值范围.7. 已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．（Ⅰ）求点M 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）点0(,)2mP y 在轨迹W 上，直线PF 交轨迹W 于点Q ，且PF FQ λ=，若12λ≤≤，求实数m 的范围．8. 已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角；（II ）试探求点O 到直线PQ 的距离是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.9. 设不等式组⎩⎨⎧x ＋y >0，x －y >0表示的平面区域为D ．区域D 内的动点P 到直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点F (2，0)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求线段AB 的长．10. 如图，在△OSF 中，c OF a OS OSF ==︒=∠,,90（c a ,均为正常数），E 、P 是平面OSF内的动点，且满足0=⋅OF SE ，),(R ∈=λλ向量PE c PF a +与PE c PF a -垂直。

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线之轨迹方程的求法

圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。

【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。

即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。

例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。

点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于BQ R A P o yx P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。

记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。

(江苏专用)2020年高考数学二轮复习专题14圆锥曲线学案

专题14圆锥曲线回顾2020〜2020年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2020、2020、2020年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高.在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A 级要求相符合.预测在2020年的高考题中：(1) 填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及.(2) 在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解.答案：3或252. ____________________________________________________________________________________ 若抛物线y 2= 2x 上的一点M 到坐标原点 O 的距离为• .3,则M 到该抛物线焦点的距离为 _______________________1 3解析：设 M 的坐标为(x , 土 2x )( x >0)，则x 2 + 2x = 3,解得x = 1，所求距离为1 + ?=-. 3 答案：-3. ____________________________________________________________________________________ 双曲线2x 2-y 2 + 6 = 0上一个点P 到一个焦点的距离为 4,则它到另一个焦点的距离为 _________________________ .2 2解析：双曲线方程化为七-x 3 = 1.设P 到另一焦点的距离为 d,则由|4 - d | = 2 6得 d = 4 + 2.6,或d =4 - 2 .6（舍去）.■小题展础练请金取送讨融一分不能少2 2x y1. 若椭圆三+乞=1的离心率5 m .10 5，贝U m 的值是解析：当当n <5时, 10 5- m寸」.5，解得m= 3. n >5 时,答案：2 6 + 42 2X y4. (2020 •江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线--m ^4=1的离心率为• 5,贝U m 的值为解析：由题意得 m>0，二a = m b = m + 4,2 ,严, c J-Z0m+ m^ 4 L --c = ■ m + m^ 4，由 e = = 5得=5,arn解得m= 2. 答案：22 2x y5•已知椭圆r+ 2= 1(a >b >0)的左、右焦点分别为F l 、F 2,离心率为e ,若椭圆上存在点a be ,则该椭圆离心率 e 的取值范围是 __________ .解析：••• pg = e ,「. PF = ePF = e (2a -PF ),2ae 2ae 2e厂又 a -c w PF < a + c , a - c <i^-e < a + c, a (1 — e ) < I T -W a (1 + e) , 1 — e <i r ~仝 1 + e,解得 21 i e 1 i e 1 i e—1.又 0<e <1，二 2 — 1 w e < 1. 答案：［.2 — 1,1)p,使得pg =PF =2ae i T e .增分考点讲透■ ZENQFE h J K AOD>AF. JI AMQTOU［典例1］2 2X y(2020 •四川高考)(1)椭圆丁+%= 1的左焦点为F ,直线x = m 与椭圆相交于点 A B .当△ FAB 的周长4 3 最大时，△ FAB 的面积是 _________ •(2)(2020 •福建高考)设圆锥曲线r 的两个焦点分别为 F l , F 2.若曲线 r 上存在点 P 满足|PF | ：』F l F 2| : | PF 2| = 4： 3 : 2，则曲线 r 的离心率等于 _________ •［解析］ ⑴法一：依题意得知，点 F ( — 1,0)，不妨设点 A (2cos0 , .'3sin 0 )(sin 0 >0)，则有02cos 0,—念si n 0 ) , | FA | = | FB | =__2+ 3sin 2 0 = 2 + cos 0 , | AB = psi n 0 ,.— 冗 r n nI FA + I FB + |AB = 4 + 2cos 0 + ^/3sin 0 = 4 + 4sin 0 + w ，当 0 +〒=2k n + =, k € Z ,即卩 0 =* 6 6 2n312k n+ 3, k € Z , 2cos 0 = 1, '3sin 0 =，时，△ FAB 的周长最大，此时△ FAB 的面积等于 (1 + 1) X3=3.法二：椭圆右焦点为 F ' (1,0) •由椭圆定义 | AF + |AF | = | BF + |BF | = 2a . 则△ FAB 的周长 l = | AF + | BF + | AB =4a —(| F ' A | + | F ' B ) + | AB=4a —1| F ' A | + | F ' B — I AB I <4 a .所以△ FAB 周长最大时，直线 x = m 经过F ' (1,0)这时|AE | = 3, 1此时 S\ FAB = 22X 3= 3.⑵ 由题意可设：|PF | = 4m , I F 1F 2I = 3m , | PF a | = 2m ,当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为 2a = | PF | + | P 冋= 4讨 2m= 61m 焦距为 2c = | F 1F 2| = 3m当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为c 2c 3m 3 心率e =a = 2a = 2m 2.1 3 ［答案］(1)3(2) 或 2■ flfaCff “解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题，一般考虑用定义，在椭圆和双曲线的方程中要注意之间关系的区别.攻克更弗融分井都抓牢c 2c 所以离心率e =a = 2a 3m =16m =2a =ir | PF | — | PF | = 4m — 2m= 2m 焦距为 2c = | RF 2| = 3m,所以离a ,b , c1)与椭圆C 交于不同的两点 M N(1) 求椭圆C 的方程；(2) 当厶AMN 勺面积为~3^时，求k 的值. 3a = 2,［解］(1)由题意得C =,a 22. 22a =b +c ,2 2所以椭圆C 的方程为x + 2 = 1.解得b = ；2,y = k x — 1⑵由x 2x +2 2 2 2(1 + 2k )x — 4k x + 2k — 4= 0.设点M N 的坐标分别为(X 1, y 1) , (X 2, y 2)，则 y 1= k (x 1 — 1), 4k 2y 2= k (X 2— 1) , x 1+ X 2 = 1 + 2k 2, X 1X 2 = 2k 2— 4 21+ 2k ，[演练1]2 2⑴ 已知双曲线善■— y 2= 1的一个焦点坐标为(-、/3, 0)，则其渐近线方程为 ___________ ；(2)已知直线11： 4x — 3y + 6 = 0和直线I 2： x =- 1,抛物线y 2 = 4x 上一动点P 到直线I i 和直线l 2的距离之和的最小值是 _____________ .解析：(1)由a + 2 = 3，可得a = 1,2双曲线方程为x —2 = 1,距离.动点 P 到直线I 1和直线I 2的距离之和的最小值即为点 F (1,0)到直线11: 4x — 3y + 6 = 0的距离d =I 4 + 6|—22— 2・.'4 + 3答案：(1) y =± ;'2x (2)2［典例2］.••其渐近线方程为即 y =± '2x .⑵ 由y 2= 4x 可知12： x =— 1是抛物线的准线，所以P 到I 2的距离等于 P 到抛物线的焦点 ”1,0)的 (2020 •北京高考)已知椭圆2 2x yC ： a 2+ £ = 1( a >b >0)的一个顶点A (2,0)，离心率为舟.直线y = k (x —所以 MN= : X 2— x i 2+ y — y i =■' 1 + k 2 [ x i + X 22— 4x i X 2]2 弋 1 + k 2 4 + 6k 2=1 + 2k 2.又因为点A (2,0)到直线y = k (x — 1)的距离d = , k| 2,寸1 + k 所以△ AMN 勺面积为 1 | k | 4 + 6 k 2 S= 2处 d =1+ 2k 2 .由 1 k| 1+：+26k =¥，化简得 7k 4 — 2k 2— 5= 0,1 + 2k 3 解得k =± 1.• flfli 发牌""本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系•解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，一般是联立方程消元后转化为二次方程的问题.［演练2］已知过抛物线 y 2= 2px (p >0)的焦点，斜率为 2 : 2的直线交抛物线于 A (X 1, yj , B (X 2, y 2)( X 1<X 2)两点, 且AB= 9.求该抛物线的方程.解：直线AB 的方程是y = 2羽x — P ，与y 2= 2px 联立，从而有4x 2— 5px + p 2= 0，所以X 1 + X 2=扌. 由抛物线定乂得 AB= X 1 + X 2+ p = 9, 所以p = 4，从而抛物线方程是 y 2= 8x .［典例3］2(2020 •南师大信息卷)已知双曲线x 2— y 3 = 1，椭圆与该双曲线共焦过点(2,3).(1) 求椭圆方程；(2) 设椭圆的左、右顶点分别为A, B,右焦点为F ,直线I 为椭圆线，N 为I 上的一动点，且在 x 轴上方，直线 AN 与椭圆交于点 M①若AM= MN 求/ AMB 勺余弦值;②设过A, F , N 三点的圆与y 轴交于P, Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程. ［解］(1)双曲线焦点为(土 2,0)，2 2x y设椭圆方程为—+ 2 = 1(a >b >0).a b点，且经的右准2 2a —b = 4,则 49 解得 a 2= 16, b 2 = 12.2+ 2= 1.a b2 2x y故椭圆方程为16+12= i.⑵①由已知，A — 4,0) , B (4,0) , F (2,0)，直线 I 的方程为 x = 8.设 N(8 , t )(t >0).•/ AM= MN ••• M 2, 2 .令 x = 0，得 y 2— t + 72 y — 8= 0. 设 P (0 , y 1) , Q 0, y 2),72由线段PQ 的中点为(0,9)，得y 1 + y 2= t + - = 18. 此时，所求圆的方程为 x 2 + y 2 + 2x — 18y — 8= 0.本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题，主要考查待定系数法求曲线方程.[演练3]2 2x y如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C ： 2+ 2= 1(a >b >0)的离a b原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线x — y + 2= 0相切.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知点P (0,1) , Q0,2).设M N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线 PM 与 QN 相交于点由点 M 在椭圆上，得t = 6. M 的坐标为M 2,3).LUU LUITMA = ( — 6,— 3) , MB = (2 , — 3),UULT• MB =— 12 + 9 =— 3.UUU UULT r MA • MB — 3 J 65 / AMB=—uuur uuur ==— .| MA | •I MB | 736+ 9 ^/4+965故点所以 uur MA cos16— 4D + F = 0, 4+ 2D+ F = 0,64 +12+ 8D + Et + F = 0,D= 2, 72得 E =— t —-,圆的方程为 x 2+ y 2+ 2x —t + 72 y — 8= 0,T.求证：点T在椭圆C上.解：⑴由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即所以a = 2 .'2设T 点的坐标为(x , y ).x3y — 4联立①②解得x o =时,y o =时.因为x l +yf = 1，所以1亠2+1心因为 8 + 2 '所以 8 2y — 3 + 2 2y — 32 2一 e x3y — 4 2整理得 8 + 2 = (2y —3),2 2 2 2x 9yox y所以孑+十一12y + 8= 4y 2— 12y + 9,即石+?= 1.8 2 8 2 所以点T 的坐标满足椭圆 C 的方程，即点T 在椭圆C 上.［典例4］2 2秸+誇=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线D 的方程;①若直线I 的斜率为1,求MN 的长;②是否存在垂直于 x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由.［解］(1)由题意，可设抛物线方程为 y 2= 2px (p >0).由a 2— b 2= 16— 15= 1，得c = 1.•••抛物线的焦点为(1,0) ,••• p = 2.2•抛物线D 的方程为y = 4x . (2)设 Mx 1, y 1), N X 2, y 2).①直线I 的方程为：y = x — 4,联立［'y = 4x ,2整理得 x — 12x + 16= o. 则 X 1+ X 2= 12 , X 1X 2= 16,因为离心率e =|=今，所以a =1 —21=2.所以椭圆C 的方程为 2 2x y —I —=18 1 2 (2)证明：由题意可设M N 的坐标分别为 (x o , y o )，( — x o . y 。

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线整合

专题--圆锥曲线高考题研究2011-7．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（）AB C ．2D ．32011-14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 。

过F 1的直线交于C ,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为。

2011-20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，-1），B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．2010-（12）已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为（A ）22136x y -= （B ） 22145x y -= （C ） 22163x y -= （D ）22154x y -= 2010-(15)过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 . 2010-(20)（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相较于A,B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. （Ⅰ)求E 的离心率；（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程2009-（4）双曲线24x-212y=1的焦点到渐近线的距离为（）（A）（B）2 （C（D）12009-（13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。

若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.2009-（20）（本小题满分12分）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPOM=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

2020届高三一轮数学复习专题：圆锥曲线常见结论总结

圆锥曲线常见推论
1.距离和差，轨迹椭双
定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆
定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双曲线
定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线
2.距离定比，三线统一
动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆
动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线
动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1，则动点的轨迹是抛物线
3.切线焦半径，准线作法
椭圆上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之准线
双曲线上的一点出的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线
抛物线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线
4.焦点切线，射影是圆
焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆
焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆
焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆）
5.焦半径圆，切大于圆
以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆（此圆与椭圆内切简称为“大圆”）相切
以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆（此圆与双曲线外切简称为“小圆”）相切
以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线（此圆无穷大（实为顶点处的切线）与曲线外切）相切。

2020学年度普通高等学校招生全国统一考试知识汇编(圆锥曲线方程)新课标人教版

2020年普通高等学校招生全国统一考试知识汇编圆锥曲线方程一、选择题：1. (2020浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( B )(A)18 (B)41 (C) 21(D)1 2．（ 2020年浙江卷）若双曲线221x y m -=上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13，则m = ( C)(A)21 (B)23 (C)81 (D)893. （2020天津卷）设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ C ）A ．2±B ．34±C ．21±D ．43±4．（2020天津卷）从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x ,y)| |x |<11且|y|<9}内的椭圆个数为（B ）A ．43B ． 72C ． 86D ． 905．（2020年天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ C ）A ．36B ．4C ．2D ．16. （2020上海）过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 7．（2020年上海春卷）抛物线x y 42=的焦点坐标为( B )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.8．（2020年上海春卷）若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( A ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.9. （2020山东卷）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ B ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 10．(2020年山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 (B)(A)2 (B)22 (C) 21(D)42 11．(2020年山东卷）某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则z =10x +10y 的最大值是 (C) (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)9512 (2020全国卷Ⅰ)已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（A）（A ）23（B ）23 （C ）26 （D ）332A ．)22,22(-B ．)2,2(-C ．)42,42(D ．)81,81(-13．（2020年全国卷I ）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．1414．（2020年全国卷I ）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是A ．43B ．75C ．85D ．315．（2020年全国卷I ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A．2B．2C．2D ．220cm16.( 2020全国卷II) 双曲线22149x y -=的渐近线方程是( C)(A) 23y x =± (B) 49y x =± (C) 32y x =± (D) 94y x =±17. (2020全国卷II)已知双曲线22163x y-=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为(C )(A)(B) (C) 65 (D) 5618. (2020全国卷III)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D ）（A）2 （B）12（C）2 （D1- 19．（2020年全国卷II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 (C )（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）1220．（2020年全国卷II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为 (A )（A ）53 (B )43 (C )54 (D )3221. （2020辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是（ B ）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．2122．（2020年辽宁卷）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的 (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同【解析】由221(6)106x y m m m+=<--知该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，由221(59)59x y m m m+=<<--知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故只能选择答案A 。

专题20 圆锥曲线综合-2020年高考数学(理)母题题源解密(全国Ⅰ专版)(解析版)

专题20 圆锥曲线综合【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）. 则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）．若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.【母题来源二】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若，求|AB |．【答案】（1）3728y x =-；（2【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+．（1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-．（2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=．所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==． 323AP PB =故||3AB =．【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.【母题来源三】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】（1）y x =y x =-（2）见解析. 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为或(1,，所以AM 的方程为2y x =-+y x =．（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--．由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++，则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+．从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠．综上，OMA OMB ∠=∠．【命题意图】（1）了解椭圆或抛物线的实际背景，了解椭圆或抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆或抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）了解圆锥曲线的简单应用. （4）理解数形结合的思想. 【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. 【方法总结】（一）求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且. （二）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. （三）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（四）圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．（西藏日喀则市2020届高三上学期学业水评测试（模拟）数学试题）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>经过点⎫⎪⎪⎝⎭（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0M 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，若5FA FB ⋅=，求直线l 的方程.【答案】（1）22132x y +=；（2）20x y --=或20x y +-=.【解析】【分析】（1）由,b a ===，可得2221132c c⎝⎭+=，将点,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入，利用待定系数法即可求解.（2）设直线l 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线与椭圆方程联立，消x ，利用韦达定理可得122823m y y m -+=+，122223y y m =+，再利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，则3c a =，∴a =，b =，所以，椭圆C 的方程为2222132x y c c +=，将点,12⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭的坐标代入椭圆C的方程得2221132c c⎝⎭+=，解得1c =，则b ==a ==因此，椭圆C 的方程为22132x y +=.（2）若直线l 斜率为0，则,A B 为长轴的两交点，此时0FA FB ⋅<不合题意，设直线l 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程代入椭圆的方程，并化简得()2223820m y my +++=，()()22264422324210m m m ∆=-⨯⨯+=->，解得m <或m >，由韦达定理可得122823m y y m -+=+，122223y y m =+， ()()11111,3,FA x y my y =+=+，同理可得()223,FB m y y =+，所以()()()()21212121233139FA FB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++()22222124952323m m m m +=-+=++，即22429523m m -+=+，解得：1m =±，符合题意，因此，直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=. 【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算能力，属于中档题.2．（重庆市巴蜀中学2020届高三下学期适应性月考九数学试题）已知椭圆1C ：22163x y +=的长轴为AB ，动点P 是椭圆上不同于A ，B 的任一点，点Q 满足AP AQ ⊥，BP BQ ⊥. （1）求点Q 的轨迹2C 的方程；（2）过点()0,6R 的动直线l 交2C 于M ，N 两点，y 轴上是否存在定点S ，使得RSM RSN π∠+∠=总成立？若存在，求出定点S ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）221126y x +=（0y ≠）；（2）存在，()0,2S .【解析】【分析】（1）设()00,P x y （00y ≠），(),Q x y ， ()A ，)B，根据AP AQ ⊥，BP BQ ⊥，由0AP AQ ⋅=，0BP BQ ⋅=，利用代入求解.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，假设存在这样的点()0,S t ,当直线l 的斜率存在时，设方程为6y kx =+与椭圆方程联立，根据RSM RSN π∠+∠=，由0MS NS k k +=，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设()00,P x y （00y ≠），(),Q x y ，()A，)B，AP AQ ⊥，BP BQ ⊥，0AP AQ ∴⋅=，0BP BQ ⋅=，((000000x x y y x x y y ⎧+=⎪∴⎨-+=⎪⎩解得002x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩代入2200163x y +=，得点Q 的轨迹2C 的方程为221126y x +=（0y ≠）.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，假设存在这样的点()0,S t 满足RSM RSN π∠+∠=，当直线l 的斜率存在时，设为6y kx =+，代入椭圆221126y x+=中，得()22212240k x kx +++=，122122k x x k -∴+=+，122242x x k ⋅=+， ()()2221449624840k k k ∆=-+=->， RSM RSN π∠+∠=，0MS NS k k ∴+=，即12120y t y tx x --+=，即()()2112x y t x y t -+-,()()211266x kx t x kx t =+-++-,()()()()1212222241212262620222k kkx x t x x kt t k k k -=+-+=+-=-=+++， 0k ≠，2t ∴=，即()0,2S ；当斜率不存在时，直线l 也过()0,2.综上，y 轴上存在定点()0,2S ，使得RSM RSN π∠+∠=总成立. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及定点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．（四川省绵阳市江油中学2020-2021学年高三8月第二次考试文科数学试题）已知A （0，2），B （0，﹣2），动点P （x ，y ）满足PA ，PB 的斜率之积为12-．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知直线l ：y ＝kx +m ，C 的右焦点为F ，直线l 与C 交于M ，N 两点，若F 是△AMN 的垂心，求直线l 的方程．【答案】（1）2284x y +=1（x ≠0）；（2）y ＝x 83-．【解析】【分析】（1）根据动点P （x ，y ）满足PA ，PB 的斜率之积为12-，可得P 的坐标之间的关系，且横坐标不为0，求出P 的轨迹方程；（2）由（1）可得右焦点F 的坐标，联立直线与椭圆的方程可得两根之和及两根之积，由F 是△AMN 的垂心可得AF ⊥MN ，NF ⊥AM ，可得m 的值．【详解】（1）因为动点P （x ，y ）满足PA ，PB 的斜率之积为12-，所以2212y y x x -+⋅=-（x ≠0），整理可得2284x y +=1，所以动点P 的轨迹C 的方程：2284x y +=1（x ≠0）；（2）由（1）可得右焦点F （2，0），可得k AF 2002-==--1，因为F 为垂心，所以直线MN 的斜率为1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程：2228y x mx y =+⎧⎨+=⎩，整理得：3x 2+4mx +2m 2﹣8＝0， △＝16m 2﹣4×3×（2m 2﹣8）＞0，即m 2＜12，x 1+x 243m =-，x 1x 22283m -=，因为AM ⊥NF ，所以k AM ⋅k NF ＝﹣1，即121222y y x x -⋅=--1，整理可得y 2（y 1﹣2）+x 1（x 2﹣2）＝0，即y 1y 2+x 1x 2﹣2x 1﹣2y 2＝0，即y 1y 2+x 1x 2﹣2x 1﹣2（x 2+m ）＝0，整理可得y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣2m ＝0，而y 1y 2＝（x 1+m ）（x 2+m ）＝x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2283m -= 所以283m --243m -⋅-2m 2283m -+=0，解得m 83=-或m ＝2（舍），所以直线l 的方程为：y ＝x 83-．【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及垂心的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．（2020届河北省衡水中学高三卫冕联考数学试题）如图所示椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，右焦点为F ，13A F =，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,1)E 作斜率为的直线l 与椭圆C 交于点M ，N （点N 在第一象限），直线1MB 与直线2NB 交于点T ，求点T 的坐标.【答案】（1）22143x y +=；（2）10,3).【解析】【分析】（1）根据13A F =及12e =可求,a b 的值，从而可得椭圆的方程. （2）联立直线方程和椭圆方程可求,M N 的坐标，再求得直线12,MB NB 的方程后可得点T 的坐标. 【详解】解：（1）由13A F =及12e =，可知32112a c a c c a +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）依题可设过点(0,1)E 且斜率为52的直线5:12l y x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组2221437520512x y x x y x ⎧+=⎪⎪⇒+-=⎨⎪=+⎪⎩，解得11x =-，227x =，则132y =-，2127y =，所以31,2M ⎛⎫--⎪⎝⎭，212,77N ⎛⎫⎪⎝⎭，由（1）知，1B，2(0,B .所以直线13:2MB y x ⎫=+⎪⎭，①直线2:62NB y x ⎛=+- ⎝⎭，②由①②，解得103x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点T的坐标为10,3). 【点睛】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的相交时交点坐标的求法、直线与直线的交点的求法，后两者均需联立曲线的方程，消元后求解即可，本题属于中档题.5．（广西钦州市第一中学2021届高三8月月考数学试题）已知椭圆22:24C x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．【答案】（1）2c e a ==（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆C 的方程可以求椭圆C 的离心率（2）设椭圆C 的椭圆方程，结合OA OB ⊥，得出结果.（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=，所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=，因此2,a c ==C的离心率2c e a ==. （2）设点A ，B 的坐标分别为00(,2),(,)t x y ，其中00x ≠，因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得02y t x =-，又220024x y +=，所以22200||()(2)AB x t y =-+-=2200002()(2)y x y x ++-=2220002044y x y x +++ =2220002042(4)42x x x x --+++=22002084(04)2x x x ++<≤，因为22002084(04)2x x x +≥<≤，且当204x =时间等号成立，所以2||8AB ≥，故线段AB长度的最小值为考点：本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、两点距离公式、不等式等基础知识，试题注重了知识的结合，考查了平面向量与圆锥曲线的结合、不等式与函数的结合等，有一定的综合性，考查转化与化归等数学思想，考查正确的计算能力，考查同学们分析问题与解决问题的能力.6．（山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量数学试题）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是双曲线2C ：2221x y m -=的左、右焦点，且1C 与2C相交于点⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设直线l ：13y kx =-与椭圆1C 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）过定点，()0,1.【解析】【分析】（1）将两个曲线的交点当然双曲线的方程可得m 的值，进而求出双曲线的左右焦点，即椭圆的左右顶点，再将交点的坐标代入椭圆的方程可得b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由对称性可得圆的圆心在y 轴上，设M 的坐标，设A ，B 的坐标，将直线与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，求出数量积0MA MB ⋅=，求出M 的坐标．【详解】（1）将⎝⎭代入2221x y m -=，解得21m = ∴2212a m =+=将⎝⎭代入22212x y b += 解得21b =∴椭圆1C 的标准方程为2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2291812160k x kx +--=， ∴12212918k x x k +=+，12216918x x k-=+ ()22144649180k k ∆=++>.由对称性可知，以AB 为直径的圆若恒过定点，则定点必在y 轴上. 设定点为()00,M y ，则()110,MA x y y =-，()220,MB y y y =-()()121020MA MB x x y y y y ⋅=+--()212120120x x y y y y y y =+-++()()22121212012021339k x x k x x x x y k x x y ⎡⎤=+-+-+-++⎢⎥⎣⎦()()2212012001211339k x x k y x x y y ⎛⎫=+-+++++ ⎪⎝⎭()22200021819615918y k y y k-++-=+0=∴202001096150y y y ⎧-=⎨+-=⎩解得01y = ∴()0,1M∴以线段AB 为直径的圆恒过定点()0,1. 【点睛】本题考查求椭圆，双曲线的方程，及直线与圆锥曲线的综合，及以线段的端点为直径的圆的性质，属于难题.7．（四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试数学试题）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的离，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为k 的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线l 上，求证无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点()1,0T .【答案】（1）2212y x +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率，以及椭圆的定义及性质，列出方程组求解，即可得出a =1c =，1b =，进而可求出椭圆方程；（2）由题意可得，直线l 的方程为13y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()12,B x y ，将直线l 的方程代入椭圆方程，根据韦达定理，计算0TA TB ⋅=，即可证明结论成立.（1）因为椭圆的离心率为2，则2c e a ==；又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2a =，由22222c a a b a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得a =1c =，1b =，故所求椭圆方程为2212y x +=；（2）证：由题意可得，直线l 的方程为13y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()12,B x y ，则代入椭圆方程2212y x +=，整理得：()22222182039k k k x x -+++=.∵点S 在椭圆内，∴此方程必有二实根1x ，2x ，且()2122232k x x k +=-+，()21221892k x x k -⋅=+. 于是，()()11221,1,TA TB x y x y ⋅=--()()1212111133x x k x k x ⎛⎫⎛⎫=--++⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()22212121113939k x x k x x k =++-+++ ()()()()()()222222211182392092k k k k k k k ⎡⎤=+---+++=⎣⎦+可知TA TB ⊥，即以AB 直径的圆过点T .本题主要考查待定系数法求椭圆的方程，考查椭圆中存在定点满足某条件的问题，熟记椭圆的标准方程及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.8．（湖南省长沙市雅礼中学2020届高三高考数学模拟试题（一）（a 卷））在平面直角标系xOy 中，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>（1）求椭圆M 的标准方程；（2）过椭圆M 的右顶点A 作椭圆M 的两条弦AB 、AC ，记直线AB 、AC ，BC 的斜率分别为1k 、2k 、k ，其中1k 、2k 的值可以变化，当1k =，求1212k k k k --的所有可能的值.【答案】（1）2214x y +=；（2）14.【解析】【分析】（1）由题意可得221314a b+=，c e a ==，求出,a b ，即得椭圆M 的标准方程；（2）点()2,0A .设()11,B x y ，()22,C x y ，直线BC 的方程为()2y x m m =+≠-.把，直线BC 的方程代入椭圆M 的方程，结合韦达定理，即求答案. 【详解】（1）根据题意221314a b+=，离心率c e a ==2a =，1b =，所以椭圆M 的标准方程为：2214x y +=.（2）点()2,0A .设()11,B x y ，()22,C x y ，直线BC 的方程为()2y x m m =+≠-.由2214y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2258410x mx m ++-=. ① 1x ，2x 是方程①的两个根，()22264454116800,m m m m ∴∆=-⨯⨯-=-+><<2m ≠-.1285m x x ∴+=-，()212415m x x -=. ()()()()212121212121212211111112224m x m x m k k k k k k x x x x x x +⎛⎫⎛⎫++∴--=---=---=- ⎪⎪---++⎝⎭⎝⎭()()()()222222511114444116444555m m m mm m ++=-=-=-=-++++.故1212k k k k --的所有可能的值为14. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查与椭圆有关的定值问题，属于较难的题目.9．（四川省内江六中2020届高三高考数学强化训练试题（三））设椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的左右顶点为12A A ，，上下顶点为12B B ，，菱形1122A B A B 的内切圆C '，椭圆的离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设M N ，是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足PM PN =，试判断直线PM PN ，与圆C '的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）22163x y += （2）直线PM 、PN 与圆C '相切，证明见解析【解析】【分析】（1）由离心率得a =，用两种方法表示出菱形1122A B A B 的面积可求得,b a ，得椭圆方程；（2）设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，用韦达定理得1212,x x x x +，利用OP OM ⊥，即12120x x y y +=得,k m 的关系，求出圆心C '到直线PM 的距离可得直线与圆的位置关系．直线PM 的斜率不存在时，直接计算可得，由对称性PN 的结论也可得．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c .由椭圆的离心率为2知，b c a =，. 设圆C '的半径为r，则r ab =，2，解得b =a =∴椭圆C 的方程为22163x y += （2）∵M N ，关于原点对称，PM PN =，∴OP MN ⊥. 设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+.由直线和椭圆方程联立得()2226x kx m ++=，即()222124260k x kmx m +++-=，∴12221224212621km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. ∵()11OM x y =，，()22OP x y =，，∴()()12121212OM OP x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()222322021m k k --==+， ∴22220m k --=，2222m k =+， ∴圆C '的圆心O 到直线PMr ==，∴直线PM 与圆C '相切.当直线PM 的斜率不存在时，依题意得()11,N x y --，()11,P x y -. 由PM PN=得1122x y =，∴2211x y =，结合2211163x y +=得212x =， ∴直线PM 到原点O， ∴直线PM 与圆C '也相切. 同理可得，直线PN 与圆C '也相切.∴直线PM 、PN 与圆C '相切【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，考查直线与圆的位置关系．直线与椭圆相交，一般采取设而不求思想，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，设直线方程y kx m =+，由直线方程与椭圆方程联立，消元后用韦达定理得1212,x x x x +，把这个结论代入其他条件求解． 10．（甘肃省天水市一中2020届高三一轮复习第一次模拟考试数学试题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>（1）求C 的方程；（2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．【答案】(1) 2214x y +=.(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据题中条件，得到2c ac ⎧=⎪⎨⎪=⎩，再由222b a c =-，求解，即可得出结果；（2）先设直线l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ,联立直线与椭圆方程，结合判别式、韦达定理等，表示出1212OP OQ y y k k x x =，只需和2PQ k 相等，即可证明结论成立. 【详解】（1）由题意可得22c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2{a c ==，又2221b ac =-=，所以椭圆方程为2214x y +=.（2）证明：设直线l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y , 由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且1220x xm +=>，()212210x x m =->故()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()212122121212111424OP OQPQ x x m x x m y y k k k x x x x -++==== 即直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列. 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.11．（甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学第四次联考试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且椭圆C的右顶点到直线0x y -+=的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值(O 为坐标原点）．【答案】（1）22182x y +=；（2）2.【解析】【分析】（1）由离心率的值及右顶点到直线0x y -=的距离为3和a ，c ，b 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出面积的表达式，换元，由均值不等式的可得面积的最大值．【详解】（1）由椭圆的方程可得右顶点(,0)a，所以右顶点到直线0x y -+=的距离为3d ==，0a >可得：a =由离心率c e a ===，可得c =222862b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为：22182x y +=；（2）由题意显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：2x my =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线l 与椭圆的方程可得：222{182x my x y =++=，整理可得：22(4)440m y my ++-=，12244my y m -+=+，12244y y m-=+ 所以1211··22OABSOP y y =-===设2t ，取等号时，0m =，即斜率不存在，这时24AOBS==，当0m ≠，2t >，则2222t m =-，所以2442422AOBt St t t ==++- 令2()f t t t =+，2t >，则22222()10t f t t t -=-+=>'恒成立，所以()f t 在2t >单调递增，无最小值，也无最大值，所以2442422AOBt St t t ==++-无最大值，综上所述当且仅当2t =，即0m =时，所以OAB 面积的最大值为2．【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合及均值不等式的应用，考查了利用韦达定理搭桥建立各个变量之间的关系，从而求得圆锥曲线的最值问题，计算量相对较大，属于较难题.12．（新高考课改专家2021届高三数学命题卷试题）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，下顶点为1B ，上顶点为2B ，离心率为12，且122FB FB ⋅=-. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的右顶点为A ，椭圆C 上有一点P （不与A 重合），直线PF 与直线2x =相交于M .若AM =P 的横坐标.【答案】（1）22143x y +=；（2）0或85【解析】【分析】（1）由所以22122FB FB c b ⋅=-=-，又12c e a ==，得2a c =，又222a c b -=联立即可求解；（2）可求出M 坐标，可知直线PF 斜率存在且不为0,求出斜率，即可得出直线方程，联立直线与椭圆就能求得P 的横坐标. 【详解】（1）由题意：12(,0),(0,),(0,)F c B b B b =-=，所以22122FB FB c b ⋅=-=-，又12c e a ==，2a c ∴=，又222a c b -=，联立以上三式得：224,3a b ==，所以椭圆的标椎方程22143x y +=；（2）3AM ，可知2,3M ，()1,0F ，则直线斜率30321k ，所以直线PF 方程为)1y x =-，代入椭圆可得2580x x ，解得0x =或85x =，所以点P 的横坐标为0或85. 【点睛】本题考查了椭圆的标椎方程的求法和直线相交的求解，属于基础题.13．（安徽省合肥市2020届高三下学期第三次教学质量检测数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：24x +y 2＝1上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点．（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）若0OA OB OP ++=，证明：△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，椭圆的方程为2241x y +=.【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --，再将PA PB k k ⋅表示出来，根据,A B 在椭圆上化简，证得直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=，再得到AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --，又223314x y +=，则2233()4()122x y-+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，得证. 【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --，则PA PBk k ⋅2212122122121221y y y y y y x x x x x x ----=⋅=----，又222214x y +=，221114x y +=，相减得222221211()4y y x x -=--，得PA PB k k ⋅14=-，即直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值，定值为14-.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=， AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --，又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，即△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，这个椭圆的方程为2241x y +=.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及结构特征，考查了学生观察、分析能力，运算能力，属于中档题.14．（福建省三明第一中学2020届高三模拟（六）数学试题）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一焦点F 与抛物线22:4C y x =．（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线2C 交于A 、B 两点，与椭圆1C 交于C 、D 两点，求||||CD AB 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）4. 【解析】【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，可得c 的值，结合离心率以及222a b c =+，即可求出椭圆1C 的标准方程（2）分析直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时可直接求出AB 、CD 即可得比值，当斜率存在时，设出直线的方程和椭圆方程联立，运用弦长公式把||||CD AB 用斜率k 表示出来，然后用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为抛物线22:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，所以椭圆的一个焦点坐标为(1,0)F ，即1c = ，又椭圆离心率为2，所以2c a =，故可求得a = 所以2221b a c =-=，所以椭圆1C 的标准方程为2212x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =，此时易求得||4AB =，CD =，所以||||4CD AB =，当直线l 的斜率存在时，设直线:(1)l y k x =-，联立椭圆方程得：()2222124220kxk x k +-+-=设()11,C x y ，()22,D x y ，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+所以||CD ==所以)221||12k CD k +=+同理，将直线方程与曲线2C 联立得：()2222240k x k x k -++=设()33,A x y ，()44,B x y ，则234224k x x k++=，341x x = 所以()2234224124||22k k AB x x k k++=++=+=所以)()()22222221||121||44121222k CD k AB k k k k ++===<⎛⎫+++ ⎪⎝⎭所以||||4CD AB ≤||||CD AB的最大值为4．【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，考查了弦长公式以及基本不等式求最值，属于较难题.15．（湖北省武汉外国语学校2020届高三下学期高考冲刺押题联考（一）数学试题）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，长轴长为4，P 为椭圆E 上一点，F 为椭圆的右焦点，满足PF 与x 轴垂直，且32PF =．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知Q 为直线4x =上一点，直线QF 与椭圆E 依次交于A ，B 两点（按照Q 、A 、F 、B 的顺序），证明：QA FA QBFB=．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）2a =和P x c =可得椭圆的标准方程；（2）设直线方程和各点的坐标，则根据直线上的两点间距离公式、斜率公式、韦达定理代入QA FA QBFB=等式显然成立，可得证明. 【详解】（1）由题意可知24a =，可得2a =，P x c =代入椭圆的方程可得：232b PF a ==，可得23b =．从而椭圆的方程为：22143x y +=．（2）由题意可知直线AB 的斜率肯定存在，设():1AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()4,Q t ，根据已知有2112x x <<<，由根据直线上的两点间距离公式及斜率公式得QA 114t y k x -=-，则1QA x =-，同理，2QB x =-，12,FA x FB x =-=-所以1244QA x QB x -==-，1211FA x FBx -==-，根据题意，等价于证明：11224141x x x x --=--，分式化整式可得：()12122580x x x x -++=①，联立22143y kx k x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()22224384120k x k x k +-+-=，由韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，代入①得：222282440804343k k k k --+=++，化简得：()222824408430k k k --++=，显然成立．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和性质，直线和椭圆的位置关系，韦达定理．。

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案解几综合题答案1.解：（Ⅰ）由已知得()(,) 11 22OA OB m n mn ?=?=-=-分14m n ∴?= …………4分（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+- …………5分∴)x m ny m n =+=-?? 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn = 8分∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支…………9分（Ⅲ）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得 223(2)3ty y +-=即 22(31)1290t y ty -++=易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）又22214436(31)36(1)0t t t ?=--=+>设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==--∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧12122121222222(2)(2)2()491224313134031x x ty ty t y y t y y t t t t t t t =++=+++-=?+?+--+=->-∴ 2310t -<，即2103t <<又由 120x x +>同理可得 2103t << …………11分由3ME EN =得1122(2,)3(2,)x y x y --=- ∴121223(2)3x x y y -=-??-=?由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得 22631t y t =-由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得 222331y t =--消去2y 得2222363(31)31t t t =--- 解之得：2115t = ，满足2103t << …………13分故所求直线l 存在，其方程为：15250x y --=或15250x y +-= 2. （I ）由已知()y M ,0，()y x N -, 2分则()()422,,22=-=-?=?y x y x y x MN OP ，即12422=-y x 4分（II ）设()11,y x A ，()22,y x B ，如图，由QB QA ⊥可得()()()()022,2,221212211=+--=-?-=?y y x x y x y x QB QA 5分①若直线x AB ⊥轴，则21x x =，24||||2121-==x y y此时()()()02422221212121=---=+--x x y y x x ，则0128121=+-x x ，解之得，61=x 或21=x但是若21=x ，则直线AB 过Q 点，不可能有QB QA ⊥所以61=x ，此时Q 点到直线AB 的距离为4 7分②若直线AB 斜率存在，设直线AB 的方程为m kx y +=，则=-+=4222y x m kx y ()042412222=+++-m kmx x k 则()()>+--=?≠-0421241601222222m k m k k ，即>+-≠-024012222k m k又124221--=+k km x x ，12422221-+=k m x x 9分∴()()()22121m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=124122124124222222222222222--=--+---+=k m k k m m k k m k k k m k∴()()()()2121221122,2,2y y x x y x y x +--=-?-=?()=+++-=21212142y y x x x x 01241248128124222222222=--+--+-+-+k m k k k k km k m 则012822=++k km m ，可得k m 6-=或k m 2-=若k m 2-=，则直线AB 的方程为()2-=x k y ，此直线过点Q ，这与QB QA ⊥矛盾，舍若k m 6-=，则直线AB 的方程为k kx y 6-=，即06=--k y kx 12分此时若0=k ，则直线AB 的方程为0=y ，显然与QB QA ⊥矛盾，故0≠k ∴41141|4|22<+=+-=k k k d 13分由①②可得，4max =d 14分3. 解：① 设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y112211()(,)[(,)(,)]22OR OP OQ x y x y x y =+?=+121222x x x y y y +?=+?=??..........1’由222x x y y +=?+=，易得右焦点(1,0)F ......................2’ 当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程是：1x =，根据对称性可知(1,0)R ........3’ 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =-代入E 有2222(21)4220k x k x k +-+-=2880k ?=+>2122421k x x k +=+....................................................5’于是(,):R x y x =21222221x x k k +=+ (1)y k x =-消去参数k 得2220x y x +-=而(1,0)R 也适上式，故R 的轨迹方程是2220x y x +-=..................8’②设椭圆另一个焦点为'F ，在'PF F ?中0'120,|'|2,PFF F F ∠==设||PF m =，则|'|PF m = 由余弦定理得2220)222cos120m m m =+-??m ?=.............10’同理，在'QF F ?，设||QF n =，则|'|QF m = 也由余弦定理得2220)222cos60n n n =+-??n ?=’于是1111||||PF QF m n +=+=+=..........................14’ 4. 解：（I ）设B(x 0，y 0)，A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)∵双曲线1131222=-x y 的离心率为125，∴F 对应的准线方程为512=y ,由双曲线的定义得|,512|125||,125|512|||11-=∴=-y AF y AF …………（12分）又A 在双曲线的上半支，∴y 1≥12，)4().512(125||),512(125||)3().512(125||201分分 -=-=-=∴y CF y BF y AF∵|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，∴26113126)(21022210==-=+=x x y y y y 得代入，∴点B 的坐标为)6,26(.…………………………（6分）（II ）∵在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得(+=λ，∴在∠APC 的角平分线上，………………………………（7分）∵线段AC 的中点为D 点，∴△APC 是等腰三角形，PD 是线段AC 的垂直平分线，………………（8分）∴设直线l 的方程为),2(6212121x x x y y x x y +----=-),(13,11312,11312,)(2621222122221212122212121y y x x x y x y y y x x x y y x x y -=-∴=-=---+---=-∴作差得又,21362121+---=-∴x y y x x y l 的方程为直线………………（11分）故直线l 恒过点（0，225）.…………………………（12分） 5. 解：（I ）设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，因B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b=c ，又a 2= b 2+ c 2，所以b a 2=，…………①由于椭圆上的左（右）顶点到左（右）焦点的距离最近，所以12-=-c a ，②由①②知1,2===c b a ，∴椭圆的标准方程为：.1222=+y x （II ）当直线的斜率存在，设直线MN 的方程为2+=kx y 解方程组=++=122y x kx y消去.230,034)21(222>>?=+++k kx x k y 得由得设),(),,(2211y x N y x M ，则221214k k x x +-=+……………… ③ .213221k x x +=………………④又因M 在DN 之间，所以DN DM λ=，即212211),2,()2,(x x y x y x λλ=∴-=-，于是λλλλ212212212221)1(,)1(,x x x x x x x x x x =+++=+=，……………⑤ 将③④代入⑤得λλ2222213)1()214(k k k +=++-，整理得.)1(316121,)1(3121162222λλλλ++=+∴+=+k k …………………………8分 .331,34)1(3161,341211,23222<<<+<∴<+<∴>λλλ由此解得kk又.131,10<<∴<<λλ …………………………………………………………10分当直线的斜率不存在时，直线MN 的方程为x 31,0==这时，.31=∴λ ……………………………………………………………………………11分综上所述，λ的取值范围是.1,31??∈λ …………………………………………12分 6. 解：（1）由于2||,221121==F F NF F F ，+===-==∴.,1||1,2||22221221c b a NF caF F c 解得==1222b a ，从而所求椭圆的方程为.1222=+y x （4分）（2）N B A NB NA ,,,∴=λ 三点共线，而点N 的坐标为（－2，0）.设直线AB 的方程为)2(+=x k y ，其中k 为直线AB 的斜率，依条件知k ≠0.由=++=12),2(22y x x k y 消去x 得22)21(22=+-y y k ，即.02412222=+-+y k y kk 根据条件可知??≠<+?-=?.0,0128)4(222k kk k 解得.22||0<<="">设),(),,(2211y x B y x A ，则根据韦达定理，得+=+=+.122,1242221221k k y y k k y y 又由),2(),2(,2211y x y x +=+=λλ得=+=+∴.),2(22121y y x x λλ 从而+=+=+.122,124)1(222222k k y k k y λλ 消去.128)1(222+=+k y λλ得（8分）令3151],31,51[,)1()(212≤<≤∈+=λλλλλλφ任取，则22212121)1()1()()(λλλλλφλφ+-+=-.0)11)((2121>--=λλλλ（10分）]31,51[)(是区间λφ∴上的减函数，从而)51()()31(φλφφ≤≤，即536)(316≤≤λφ， 5361283162≤+≤∴k ，解得.22||0,21626221<<≤≤-≤≤-k k k 适合或因此直线AB 的斜率的取值范围是].2 1,62[]62,21[ -- （12分）7. 解：（Ⅰ）∵0MN AF ?=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =，∴ ||||2||ME MF m EF +=>， (4)分∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =，∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．……………………………6分（Ⅱ）设11(,)Q x y ∵ 0(,)2mP y ，PF FQ λ=，∴ 1011(1),2.m x y y λλ?-=--=? ∴ 1101(1),21.m x y y λλλ?=+-=-??……………………………8分由点P 、Q 均在椭圆W 上，∴ 22220222211,411(1) 1.2(1)y m y m m m λλλ?+=?-+-+=?-?……………………………10分消去0y 并整理，得2211m m m λ-+=-，由221121m m m -+-≤≤及1m >，解得12m <≤．……………………………14分8. 解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线，,4,14,4414,2121211222121211=∴+=+--=+=∴y y y y y y y y y y y y k k DM A M 即即………（2分）.544212221=+?=?∴y y y y OM …………………………………………………（3分）设∠POM =α，则.5cos ||||=??α.5sin ||||,25=??∴=αS ROM 由此可得tanα=1.……………………（5分）又.45,45),,0(??=∴∈与故向量απα……………………（6分）（II ）设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴)9(.04,4))(1(,141,441431312331331233232131233分即即即=+++-=++∴+=-+--=+y y y y y y y y y y y y y y y y y y,0444,4,432322121=+++?∴==y y y y y y y y 即即.(*)04)(43232=+++y y y y ……………………………………（10分）)4(4,4442232232232232y x y y y y PQ y y y y y y k PQ-+=-∴+=--=的方程是直线即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即……………………（12分）由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.故存在定一点 E （1，－4），使PE ∥.QF …………………………………………（14分）9. （Ⅰ）解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．设动点P (x ，y )，则|x ＋y |2?|x －y |2＝1，即|x 2－y 2|＝2．………………………………4分∵P ∈D ．∴x ＋y ＞0，x －y ＞0，即x 2－y 2＞0．∴x 2－y 2＝2(x ＞0)．即曲线C 的方程为x 22－y 22＝1(x ＞0)．…………6分（Ⅱ）解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴以线段AB 为直径的圆的圆心Q (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴半径r ＝12|AB |＝x 1＋x 22．即|AB |＝x 1＋x 2．①……………………………………………………………………8分∵曲线C 的方程为x 22－y 22＝1(x ＞0)，∴F (2，0)为其焦点，相应的准线方程为x ＝1，离心率e ＝2．根据双曲线的定义可得， |AF |x 1－1＝|BF |x 2－1＝2，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2(x 1－1)＋2(x 2－1)＝2(x 1＋x 2)－22．②…………………12分由①，②可得，x 1＋x 2＝2(x 1＋x 2)－22．由此可得x 1＋x 2＝4＋22．∴线段AB 的长为4＋22．……………………………………………………………14分（Ⅱ）解法二：∵曲线C 的方程为x 22－y 2＝1(x ＞0)，∴F (2，0)为其焦点，相应的准线为l ：x ＝1，离心率e ＝2．分别过A ，B 作AA '⊥l ，BB '⊥l ，垂足分别为A '，B '．设AB 中点Q ，过Q 点作QQ '⊥y 轴，垂足为Q '．由双曲线的定义可得，|AF ||AA '|＝|BF ||BB '|＝2，∴|AF |＝2|AA '|，|BF |＝2|BB '|．…………………10分 |AB |＝|AF |＋|BF |＝2(|AA '|＋|BB '|) 根据梯形中位线性质可得 |AA '|＋|BB '|＝2(|QQ '|－1)．∴|AB |＝2?2(|QQ '|－1)．①…………………………12分∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴|QQ '|＝12|AB |．②把②代入①得|AB |＝22(12|AB |－1)，解得|AB |＝4＋22．……………………………………………………………………14分（Ⅱ）解法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线AB 过点F (2，0)，当AB ⊥x 轴时，|AB |＝22，以线段AB 为直径的圆与y 轴相离，不合题意．∴设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．代入双曲线方程x 2－y 2＝2得，x 2－k 2(x －2)2＝2，即(1－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋2)＝0，∵直线与双曲线交于A ，B 两点，∴k ≠±1．∴x 1＋x 2＝4k 2k 2－1，x 1x 2＝4k 2k 2－1．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]……………………………………………………9分∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴圆的半径12|AB |与圆心到y 轴的距离12(x 1＋x 2)相等．即12(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]＝12(x 1＋x 2)．∴12(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]＝12?4k 2k 2－1．………………………………………12分化简得k 4 －2k 2－1＝0，解得k 2＝1＋2（k 2＝1－2不合，舍去）．经检验，当k 2＝1＋2时，直线与曲线C 有两个不同的交点。

2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题

2020年高考文科数学一轮复习大题篇一圆锥曲线综合问题【归类解析】题型一范围问题【解题指导】解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用己知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【例】已知椭圆C：务+*=l(a>b>0)与双曲线§一,2=1的离心率互为倒数，且直线x—y—2=0经过椭圆的右顶点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点。

的直线与椭圆C交于M, N两点，且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列，求△。

初V面积的取值范围.【解】(1)・.•双曲线的离心率为罕，.,・椭圆的离心率g弓=平.又,直线尤一y—2=0经过椭圆的右顶点，.••右顶点为点(2,0),即"=2,c=*,b=l,...椭圆方程为号+廿=1.(2)由题意可设直线的方程为(导0,m^O),M(xi,yi),Ng y2).y=kx+m9消去y,并整理得(1+4好)计+8切ix+4(冰一1)=0,则X[+X28hn m2—1+4好'皿=~1+4矽于是yiyi—(Axi+m)(kx2+m)=l^xiX2+km(xi+工2)+m2.又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,y2砂X1X2+饥X]+x2X2X1X2+m2则1+4好^-nr—O.由EO得好=},解得k=4又由A=64lrnr—16(1+4^)(m2—1)=16(4好一农2+1)>o,得Q<m2<2,显然m2#l(否则X1x2=0,利，X2中至少有一个为0,直线OM,ON中至少有一个斜率不存在,与已知矛盾).设原点。

2020高考数学复习-圆锥曲线

2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，少年！已知双曲线C 的实半轴长和虚半轴长的乘积为3，C 的两个焦点分别为F 1、F 2，直线L 过F 2且与直线F 1F 2的夹角为ϕ，tg ϕ=221，L 与线段F 1F 2的垂直平分线的交点是P ，线段PF 2与双曲线C 的交点为Q(且｜PQ ｜∶｜PF 2=2∶1)，求双曲线的方程.解：如图，以直线F 1F 2为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立坐标系.设双曲线C 的方程为22ax -22b y =1 (a ＞b ＞0)设F 1，F 2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)，其中C=22b a +，则点P 的坐标为(0，-221，c). 由线段的定比分点公式可得Q 点的坐标为(32c,- 221c). 将Q 点坐标代入双曲线方程得229a 4c -223621c b =1，整理得16(a b )4-41(ab )2-21=0 解得(ab )2=3或(ab )2=-167(舍去) 由(a b )2=3和题设ab=3，解得a=1，b=3.故所求双曲线方程为x 2-3y2=1.已知点P 在直线x=2上移动，直线l 通过原点且OP 垂直，过点A(1，0)和点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程，并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标.解：设点P 的坐标为(2，y 1)，则直线OP 的斜率 k OP =2y 1. ∵l ⊥直线OP .∴直线l 的斜率k 1满足k OP ·k 1=-1，即2y 1·k 1=-1，得k 1=-12y .又直线l 过原点，所以l 的方程为y=-12y x. ∵直线m 过点A(1，0)，P(2，y 1). ∴m 的方程为y 1x-y-y 1=0 由l 的方程得y 1=-y x 2代入m 的方程得-y x 2-x-y+yx2=0，即2x 2+y 2-2x=0.显然点Q 与点A(1，0)不重合，故x ≠1. 又2x 2+y 2-2x=0可化为41)21(2 x +212y =1 (x ≠1)，已知椭圆的焦点为F 1(0，-1)和F 2(0，1)，直线 y=4是椭圆的一条准线.(1)求椭圆方程；(2)设点P 在椭圆上，且│PF 1│-│PF 2│=1，求 tan ∠F 1PF 2的值. 解：如图.(1)设所求椭圆方程为22ay +22b x =1，(a ＞ b ＞0)由F 1(0，-1)和F 2(0，1)，知c=1，得a 2=b 2+1， ①由一条准线方程为y=4知，ca 2=4 ②又a 2=b 2+c 2③由①、②、③解得a 2=4，b 2=3.故所求椭圆方程为42y +32x =1.(2)由椭圆定义及a=2有│PF 1│+│PF 2│=4 ① 由题设有│PF 1│-│PF 2│=1 ② 解出│PF 1│=25，│PF 2│=23，又│F 1F 2 │=2. 在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2=θ， ∴cos θ=2122122212PF PF F F PF PF ⋅-+=53，从而sin θ=54，tg θ=34，tg ∠F 1PF 2=34. 四、能力训练 (一)选择题1.“点M 的坐标是方程f(x ，y)=0的解”是“点M 在方程f(x ，y)=0曲线上”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.抛物线x=-42Y 的焦点坐标是( )A.(0，1)B.(-1，0)C.(0，-161)D.(-161，0) 3.椭圆(1-m)x 2-my 2=1的长轴长是( ) A.m m --112 B. 112--m m C.m m --2 D. mm---12 4.下列各对双曲线中，既有相同离心率又有相同渐近线的是( )A.32x -y 2=1和92y -32x =1B. 32x -y 2=1和y 2-32x =1 C.y 2-32x =1和x 2-32y=1D. 32x -y 2=-1和32y -92x =1 5.抛物线x 2-4y=0上一点P 到焦点的距离为3，那么P 的纵坐标是( )A.3B.2C.25D.-26.已知椭圆22a x +22by =1 (a ＞b ＞0)的两个焦点把夹在两条准线间的线段三等分，那么这个椭圆的离心率是( )A.21 B. 31 C.32 D. 33 7.圆x 2+y 2-2axsin α-2bycos α-a 2cos 2α=0在x 轴上截得的弦长是( )A.2aB.2│a │C.2│a │D.4│a │8.过双曲线的一个焦点，有垂直于实轴的弦PQ ，F ′是另一个焦点，若∠PF ′Q=2π，则双曲线离心率是( )A.2+2B. 2+1C. 2D. 2-1 9.抛物线y 2+4y-4x=0的准线方程是( ) A.x=0 B.y=0 C.x=-2 D.y=-2 10.椭圆的两准线方程分别为x=433，x=-417，一个焦点坐标为(6，2)，则椭圆方程是( )A.161)-(x 2+92)-(y 2=1B.162)(x 2++92)(y 2+=1C.252)-(x 2+92)-(y 2=1D.252)(x 2++92)(y 2+=111.设双曲线22a x -22by =1的两条渐近线含实轴的夹角为θ，而离心率e ∈［2，2］，则θ的取值范围是( )A.［6π，2π］B.［3π，2π］C.［2π，32π］ D.［32π，π］12.椭圆92x +42y =1的弦AB 被点(1，1)平分，则 AB 所在的直线方程是( )A.4x-9y-11=0B.4x+9y-13=0C.9x+4y-10=0D.9x-4y-5=013.和x 轴相切，且和圆x 2+y 2=1外切的动圆圆心的轨迹方程是( )A.x 2=2y+1B.x 2=-2y+1C.x 2=2y+1或x 2=-2y+1D.x 2=2│y │+114.如果椭圆a x 2+b y 2=1 (a ＞b ＞0)和曲线m x 2+ny 2=1(m ＞0，n＞0)有相同的焦点F 1和F 2 ，P 是这两条曲线的交点，则│PF 1│·│PF 2│的值是( )A.a-mB.41(a-m) C.a 2-m 2 D.a -m15.已知0＜a ＜1＜b ，那么曲线a 2x 2-a 2y 2=log a b 是( ) A.焦点在x 轴的双曲线 B.焦点在y 轴的椭圆 C.焦点在x 轴的等轴双曲线 D.焦点在y 轴的等轴双曲线(二)填空题16.直线xsin α+ycos α=m(常量α∈(0，2π)) 被圆x 2+y 2=2所截的弦长为343，则m=________.17.设椭圆13m 2+x -m 2y 2=1的准线平行于x 轴，则m 的取值范围是________.18.如果方程x 2cos2θ+y 2sin θ=1，表示椭圆，那么θ 角的取值范围是_________.19.设双曲线C ：16x 2-9y 2=1椭圆的焦点恰为双曲线C 实轴上的两个端点，椭圆与双曲线离心率为互为倒数，则此椭圆方程是________.(三)解答题20.已知两圆C 1∶x 2+y 2+4x-4y-5=0 C 2∶x 2+y 2-8x+4y+7=0(1)证明此两圆相切，并求过切点的公切线方程. (2)求过点(2，3)且与两圆相切于上述切点的圆的方程.21.(1)椭圆22a x +22by =1上一点P 与两焦点 F 1F 2连线所成的角∠F 1PF 2=α，求△F 1PF 2的面积；(2)将上题的椭圆变成双曲线22a x -22b y =1 ，求△F 1PF 2的面积.22.抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22a x -22by =1的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，又双曲线与抛物线的一个交点是(1. 5，6)，求抛物线和双曲线的方程.23.已知椭圆252x +212y =1，左、右焦点分别为 F 2、F 1，右准线为L ，问能否在椭圆上求得一点P ，使│PF 1│是P 到L 的距离d 与│PF 2│的比例中项?若能，求出P 点坐标，若不能，说明理由.24.试就k 的取值(k ∈R ，且k ≠4)讨论方程k-42x +(k-2)y 2=1+k 所表示曲线的形状.25.已知椭圆22x +62y =1中有一内接△PAB ，∠X OP=60°，且k PA +k PB =0(1)求证：直线AB 斜率是定值； (2)求△ABP 的面积的最大值.能力训练参考答案(一)1.C 2.B 3.C 4.D 5.B 6.D 7.B 8.B 9.C 10.C 11.C 12.B 13.D 14.A 15.D(二)16.±36；17.(-31，-41)；18.2k π＜θ＜2k π+4π或2k π+4π＜θ＜2k π+π(k ∈ Z)；19. 252x +92y =1(三)20.解两圆方程化为：c 1：(x+2)２+(y-2)２=13 C2∶(x-4)２+(y+2)２=13 ，C 1、c ２圆心分别为(-2，2)、(4，-2)，半径都是13，圆心距d=2)?(24)?-(-2++=213，即圆心距等于两圆半径之和，故两圆外切，因连心线斜率为k 1=4-2-22+=-32，解方程组 x ２＋y ２+4x-4y-5=0 x ２＋y ２-8x+4y+7=0得切点坐标为(1 ，0)，∴公切线方程为y=23(x-1),即3x-2y-3=0,(两圆相外切时，两圆方程相减得根轴方程，即过切的公切线方程).(2)与两圆相切于点(1，0)的圆圆心必在直线y=-23(x-1)上，且(x-1)２+y ２=(x-2)２+(y-3)２，解上面两方程组成的方程组得圆心坐标为(-4，310)，r ２=9325,∴所求圆方程为(x-4)２+(y-310)２=9325,即3x ２+3y ２+24x-20y-2 7=0.21.(1)(2c)２=|PF 1|２+|PF 2|２-2|PF 1||PF 2|cosa=(|PF 1|+|PF 2|)２-2|PF 1||PF 2|(1+cosa)∴|PF 1|·|PF 2|=22cos 2c?-4(a?2α⋅,S=21|PF 1||PF 2|sina=b ２tg 2α,(2)(2c)２=(|PF 1|-|PF 2|)２+2|PF 1||PF 2|(1-cos α)，|PF 1|·|PF 2|=2sin 22a?-4(c?2⋅⋅,S=b２ctg 2α. 22.双曲线焦距是2b?a?+设抛物线方程为y２=4x 2b a?+;(1.5,6)在其上，∴b?a?+=1故抛物线方程为y ２=4x,又a?5.1-b?6=1,a ２+b ２=1,∴双曲线方程是4x ２-34y?=1; 23.a=5,b=21,c=2,e=32,设若有点P ，使|PF 1|２=d ·|PF 2|，即21PF PF =2PF d =e 1=25 |PF 1|+|PF 2|=10，25|PF 1|+|PF 2|=10；|PF 2|=720；|PF 1|=25 |PF 2|=750 ;|PF 1|-|PF 2|=730＞2c ，∴P 不存在； 24.k ＜-1或k ＞4实轴在y 轴上的双曲线；-1＜k ＜2，实轴在x 轴上的双曲线2＜k ＜4,k=3时，圆k ≠3，即k ∈(2,3)∪(3,4)是长轴为y 轴的椭圆.y=3x25.(1) ⇒ P(1，3 )，2x?+6y?=1 由k PA +k PB =0 L PA ∶y-3=k(x-1) L PB ：y-3 =-k(x-1)可求得x A =3k 3-k 32-k?2+ x B =k ２+23 k-3 k AB ＝3(定值)，y B =3336k -k?3-2++k y B＝3336k k?3-2+++k(2)｜AB ｜＝34162b -，P 到AB 的距离d=2b ，S △PAB ＝21｜AB ｜·d ＝21[]36-6)-(b 3122-≤3，S △PAB 最大值是3.。

2020年高考数学专题复习圆锥曲线的复习素材精品

2020年高考专题复习——圆锥曲线的复习1. 夯实基础,重视通性通法例1 (2020年)（8）设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点。

若在双曲线右支上存在点P ，满足||||212F F PF =，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲的渐近线方程为（A ）043=±y x （B ）053=±y x （C ）034=±y x （D ）045=±y x例2(10年)（13）设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，点)2,0(A 。

若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为。

例3(09年)（7）设向量a,b 满足︱a ︱=3,︱b ︱=4,b a ⋅=0.以a,b,a-b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 例4(09年)（9）过双曲线12222=-by a x （a ＞0,b ＞0）的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若AB =BC 21,则双曲线的离心率是（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）10例5(08年)（10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（A ）圆（B ）椭圆（C ）一条直线（D ）两条平行直线例6(08年)（7）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5例7(08年)（12）已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点, 若1222=+B F A F ，则AB =______________。

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1
圆锥曲线专题训练
一、定义
【焦点三角形】
1、已知椭圆的左右焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点， 14
92
2=+y x （1）若∠F 1PF 2=900，求△F 1PF 2的面积
（2）若∠F 1PF 2=600，求△F 1PF 2的面积
2、已知双曲线的左右焦点为F 1、F 2，P 为双曲线上一点， 14
52
2=-y x （1）若∠F 1PF 2=900，求△F 1PF 2的面积
（2）若∠F 1PF 2=600，求△F 1PF 2的面积 3、是椭圆的两个焦点，以为圆心且过椭圆中心的21,F F )0(122
22>>=+b a b
y a x 1F 圆与椭圆的一个交点为。

若直线相切，求该椭圆的离心率。

M 12F M F 与圆4、椭圆的焦点为。

点P 为其上的动点，当为钝角时。

14
92
2=+y x 21F F 、21PF F ∠点P 横坐标的取值范围为多少？
5、椭圆和双曲线有公共的焦点、)0(2222>>+b a b y a x )0,(22
22>-n m n
y m x )0,(1c F -，为这两曲线的交点，求的值．
)0,(2c F P 21PF PF ⋅二、方程
已知圆，从圆上任意一点P 向x 轴作垂线段，点M 在上，并922=+y x /PP /PP 且，求点M 的轨迹。

/2MP PM =
2.3【定义法】（与两个定圆相切的圆心轨迹方程）
：一动圆与两圆：
012812222=+-+=+x y x y x 和的轨迹方程是什么？
题型1：求轨迹方程例1．（1）一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，。