振动之同方向的简谐振动的合成
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谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
4
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
谐运动分析(三)
(k 0，1， ) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
5
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t
( 0)
21
物理学
第五版
三种阻尼的比较
谐运动分析(三)
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
22
物理学
第五版
谐运动分析(三)
例 有一单摆在空气（室温为 20C）中来 回摆动. 摆线长l 1.0 m，摆锤是半径r 5.0103 m 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小 10％所需的时间；（3）能量减小10％所需 的时间；（4）从以上所得结果说明空气的 粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.
简谐振动的合成
0 < ∆ϕ < π
质点沿顺时针方向运动
π < ∆ϕ < 2π 质点沿逆时针方向运动
说明：任何一个直线简谐振动， 说明：任何一个直线简谐振动，椭圆运动或匀速 圆周运动都可分解为两个相互垂直的简谐振动. 圆周运动都可分解为两个相互垂直的简谐振动
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第九章 振 动
用旋转矢量描绘振动合成图
(1) ϕ2 − ϕ1 = 0或2π
A2 y= x A1
y
A2
o
A1
x
时刻t 质点离开平衡位置的位移（合振动） 时刻 质点离开平衡位置的位移（合振动）
2 r = x2 + y 2 = A12 + A2 cos(ωt + ϕ )
2 2 A = A1 + A2
——合振动也是谐振动 合振动也是谐振动
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第九章 振 动
Acosϕ = A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
令
Asinϕ = A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2
A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
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第九章 振 动
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
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第九章 振 动பைடு நூலகம்
§9.4.4 互相垂直不同频率简谐振动的合成·李萨如图形 互相垂直不同频率简谐振动的合成 李萨如图形
振动之同方向的简谐振动的合成
合振幅等于原来两个简谐振动的 振幅之差的绝对值，振动减弱。
如果A1 = A2，则合振动的 结果使质点处于静止状态。
一般情况下，合振幅介于A1 + A2和|A1 - A2|之间。
如果第一个振 动的振幅和初 相分别为 0.03m和0，
第二个振动 的振幅和初 相分别为 0.04m和0，
两个振动同相， 合振动加强，振 幅达到0.07m 。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
2 [讨论] x = cos(ωt + φ), A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) M ω ①当两个分振动同相时 ω Δφ = φ2 - φ1 = 2kπ,(k = 0，±1，±2，...) A ω A 2 因为cos(φ2 - φ1) = 1，所以 φ A 2 2 φ 2 φ1 1 P A A1 A2 2 A1 A2 A1 A2 可见：合振幅等于原来两个简谐 Ox x x 2 1 振动的振幅之和，振动加强。 x ②当两个分振动反相时 Δφ = φ2 - φ1 = (2k + 1)π ,(k = 0，±1，±2，...) 2 2 A A A 因为cos(φ2 - φ1) = -1，所以 1 2 2A 1 A2 | A 1 A2 |
如果有7个分振动，相差依次为20度，各个分振动的振幅相同，位相差恒定。 将各个 分振动 叠加之 后，振 幅越来 越大， 初位相 也越来 越大。
矢量首尾相接形成多边形的 一部分，最后首尾相接的矢 量就是合振动，合振幅为A = 5.4ΔA ，初相为60度。
取10 个分 振动， 相差 依次 为30 度。
如果两个振动 的振幅不变， 角度分别是0 和90，x2超前 x1的相位π/2，
合振幅为 0.05m，初 相的度数 达到53。
同方向同频率简谐振动合成问题求解方法的研究
电子技术与软件工程Electronic Technology & Software Engineering电子技术Electronic Technology 同方向同频率简谐振动合成问题求解方法的研究贾冬梅（中北大学信息商务学院山西省晋中市030600 ）摘要：本文分别运用解析法和旋转矢量法来求解两个同方向同频率简谐振动的合成问题并分析总结了它们冬自的特点.通过对比发 现：运用旋转矢量法比解析法更为直观有效，它可以生免去对物理公式的记忆和复杂的数学计算.但是在一般情形下，运用解析法求解更为有效.对于合振动初相位的确定，运用旋转矢量法比解析法更加直观、有效和便捷.关键词：振动合成；解析法；旋转矢量法；振幅；初相简谐振动是机械振动中最简单、最基本的振动形式，任何复杂 的振动都可以看作是简谐振动的合成旳。
而同方向同频率的简谐振 动的合成又是简谐振动的合成中最简单最重要的形式，它为波干涉 和衍射现象的分析奠定了理论基础，因此研究同方向同频率简谐振 动的合成有着十分重要的意义。
寻求一种高效便捷的求解简谐振动 合振动的振动的方法成为了解决同方向同频率简谐振动的合成的关 键3」。
对于同方向同频率简谐振动的合成问题，大学物理教材中 常使用旋转矢量法和解析法来进行讨论分析‘网。
下面分别运用解 析法和旋转矢量法来求解同方向同频率简谐振动合成问题，分析总 结它们各自的特点，为这类问题的分析和求解提供一些参考和借鉴。
1两个同方向同频率简谐振动的合成设两个简谐振动都沿着x 轴方向振动，平衡位置都为坐标原点， 它们振动的角频率3,振幅分别为A]和A2，初相分别为®和％， 它们的振动方程分别为：x,=A| cos （（ot+（p]） x 2=A 2 cos （（ot+（p 2）求这两个解析振动的合振动。
1. 1解析法由于两个简谐振动都沿着X 轴方向振动，所以这两个简谐振动在任一时刻合振动的位移也应在X 轴方向上，且合振动的位移X 等 于这两个分振动位移的代数和，即：X=X]+x 2将分振动的方程X1和X2代入上式展开整理：x = x }+x 2= A } COS （＜zX + % ） + 厦2 COS （m + 02 ）=4 cos （p 、cos - /1] sin （p } cos cotA 2 cos （p 2 cos cot- A 2s\n （p 2 sin cut=（A, cos （p 、+ A 2 cos %） cos cot sin （p 、4- A 2 sin （p 2） sin cot 令 A cos （p=A] cos （p]+A 2 cos （p 2 A sin （p=A 1 sin （P]+A 2 sin （p 2 得至lj x=A cos （p coscot-A sin （p sin （ot=A cos （（ot+（p ）这一结果表明：两个同方向同频率简谐振动的合振动依旧是一 个简谐振动，且合振动的频率与分振动的频率相同都等于3,合振 动的振幅和初相可以表示为：A = J （/sin 0）2 +（/cos （p ）2=J A ： + / j + 2A t A 2 cos （02 - ％）川 sin 0 _ A x sin ® + A 2 sin （p 2t a n （p =------—-------------------A cos （p A x cos （p 、+ A 2 cos （p 21.2旋转矢量法如图1所示，4和力2分别为两个分振动的旋转矢量，它们以相 同的角速度绕o 点做逆时针转动，t=Os 时它们与x 轴正向的夹角分 别为卩和①。
谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成
x A cos( p t )
A
f (02 p2 )2 4 2p2
t
dA 0 d p
x A0 e
cos(t ) A cos( p t )
28
物理学
第五版
谐运动分析(三)
共振频率
r | 2 |
2 0 2
A
共振频率 小阻尼 阻尼 0
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ， 1, )
x
A1
x
2
o
o
T
t
x ( A2 A1 ) cos( t ) A A1 A2 2 1 (2k 1)π
4
A
A2
物理学
第五版
物理学
第五版
谐运动分析(三)
两个同方向同频率简谐运动的合成
设一质点同时参与 两独立的同方向、同频 率的简谐振动：
A2
2
O
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
x2
1
x1
A1
x
两振动的位相差 2 1 =常数
1
物理学
第五版
5
解 （2） 有阻尼时 A' Ae t ln( 1 ) 0 . 9 t t 174 s 3 min 0.9 A Ae 1
1
E 0.9E, t ? （ 3）
E ' A ' （ 3） ( ) 2 e 2t E A 1 ) ln( 2t 0.9 87 s 1.5 min 0.9 e t2 2
A
f (02 p2 )2 4 2p2
t
dA 0 d p
x A0 e
cos(t ) A cos( p t )
28
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谐运动分析(三)
共振频率
r | 2 |
2 0 2
A
共振频率 小阻尼 阻尼 0
3
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谐运动分析(三)
（2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ， 1, )
x
A1
x
2
o
o
T
t
x ( A2 A1 ) cos( t ) A A1 A2 2 1 (2k 1)π
4
A
A2
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第五版
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第五版
谐运动分析(三)
两个同方向同频率简谐运动的合成
设一质点同时参与 两独立的同方向、同频 率的简谐振动：
A2
2
O
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
x2
1
x1
A1
x
两振动的位相差 2 1 =常数
1
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5
解 （2） 有阻尼时 A' Ae t ln( 1 ) 0 . 9 t t 174 s 3 min 0.9 A Ae 1
1
E 0.9E, t ? （ 3）
E ' A ' （ 3） ( ) 2 e 2t E A 1 ) ln( 2t 0.9 87 s 1.5 min 0.9 e t2 2
华科 大学物理 (下)3振动合成、谐波分析
x=A2cosω tcos 60 o y= A2cosω tsin 60 o
x1 与 x 按同方向同频率的简谐振动合成 同方向同频率 同频率的简谐振动合成 垂直方向同频率 同频率的简谐振动合成 合振动再与 y 按垂直方向同频率的简谐振动合成 60 o A1
x
X=x1+x = A1cos(ω t+ π/2) +(1/2) A2cosω t =AXcos(ωt+ϕX)
ω = 314s−1
A= A 2 + A2 + A3 2 = 0.16m 1
x2 = 0.08cos(314t +π 2)
x3 = 0.08cos(314t + 5π 6)
A3 A A1 0 A2
ϕ =π 2
x = 0.16cos(314t +π 2)
2） 转动的角度 ）
5π 6
π 2
x
∆ϕ = 3π 2 ∆t = ∆ϕ ω = 0.015s
2 ωr = ω0 − 2β 2
2 A = h (2β ω0 − β 2 ) r
若 β << ω 则 ω r ≈ ω 0 Ar ≈ h/(2β ω ) 称尖锐共振 2.速度共振 速度共振 极大的现象。 速度幅ω A极大的现象。 极大的现象
ω r= ω 0
vm r=h/2β β
ϕ v r=0
速度共振时，速度与策动力同相， 速度共振时，速度与策动力同相，一周 期内策动力总作正功， 期内策动力总作正功，此时向系统输入 的能量最大。 的能量最大。
当ω 2∼ω 1
ω 2-ω 1<<ω 2+ω 1
ω2 −ω1
2 )t
x = A( t )cosω t
振动的合成——精选推荐
二、振动的合成实际生活中，一个系统往往会同时参与两个或更多的振动。
例如悬挂在颠簸船舱中的钟摆，两列声波同时传入人耳等。
一般的振动合成显然是比较复杂，下面仅讨论几种间单情况的简谐振动合成。
一、同方向同频率简谐振动的合成若两个同方向的简谐振动，频率都是，它们的运动方程分别为因振动是同方向的，所以这两个谐振动在任意时刻的和位移应在同一直线上，且等于这两个振动位移的代数和，即合位移仍为简谐振动二、两个同方向不同频率简谐振动的合成拍如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同，那么合成后的振动仍与原振动方向相同但不再是简谐振动。
现设两简谐振动的振幅都为A，初相位为零，它们的振动方程分别为合成振动方程为若两个分振动的频率都较大且其差很小时，即，合振动可看作为振幅随时间缓慢变化的近似谐振动，振幅随时间变化且具有周期性，表现出振动或强或弱的现象，称拍，变化的频率称拍频，变化的振幅为变化的频率为三、相互垂直的简谐振动的合成李萨如图如果两个简谐振动分别在x轴和y轴上进行，他们的振动方程分别为合成后，可得质点的轨迹为椭圆方程若两分振动有不同的频率，且两频率之比为有理数时，则合成后的质点运动具有稳定、封闭的轨迹。
称其为李萨如图形。
程序编写我们已经在第一讲中体验了matlab的编程，可是你一定会生出这样的问号，辛辛苦苦在命令窗口写的一大堆代码怎么不保留？不用担心，matlab程序和其他编程工具一样，也有专门的文件格式，称m文件，文件名形式为“文件名.m”。
你可以用matlab自带的编辑器来输入你的程序代码，当然你也可以用其它编辑器或最经济的文本编辑器，不过别忘记添加文件名的后缀“.m”。
下面，请跟我一起用m文件编辑器来编写matlab程序。
例题：两个振动方向相同而频率不同的简谐振动方程分别为合成后的方程是请用matlab程序描述合成波和拍频现象。
编程：第一步：点击matlab图标，打开程序窗口。
第二步：选file—new—m-file,打开编辑器。
简谐振动的合成
x1 (t ) = a cosωt x2 (t ) = a cos(ωt + δ ) x3 (t ) = a cos(ωt + 2δ )
C
Nδ
R
A
aN
⋮ x N ( t ) = a cos[ ω t + ( N − 1)δ ]
O
δ
a3
a1 P
在∆COM中：A = 2 R sin( N δ / 2 ) 中 上两式相除得： 上两式相除得： 在∆OCP中： a = 2R sin(δ / 2) 中
2
A2 y= x 为直线方程 A1
利用旋转矢量合成
∆ϕ = 0
2 1
y
8 7 6
4 4
y
1 2
3
3 7 6
4Байду номын сангаас
8
x
5
5 3
2 1
播 放 动 画
16
5 6 7
x
8
2. |ϕ 2
− ϕ1 | π =
2 2
反相位
y
x y 2xy =0 + + A1 A2 A1 A2
3
利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果。 •利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果。 取质点振动的平衡位置O为 取质点振动的平衡位置 为 坐标原点，振动方向沿OX轴。A 坐标原点，振动方向沿 轴 2 点作两个长度分别为A 从O点作两个长度分别为 1、 点作两个长度分别为 ϕ2 ϕ A2的矢量 A1 , A2 ，它们在 它们在t=0时 时 与X轴的夹角分别为ϕ1、ϕ2。 轴的夹角分别为ϕ 轴的夹角分别为
x1 = 4 cos 3t ,
= A cos(3t + ϕ )
振动合成与分解
从数学上讲 任何形式的周期函数都可通过付里叶级数分解 成一系列不同频率、不同振幅的谐振动之和； 成一系列不同频率、不同振幅的谐振动之和；而非 周期振动可通过傅里叶积分把它展成无数个频率连 续分布的谐振动。 续分布的谐振动。 将任一周期性振动 x(t +T) = x(t) 按付立叶级数展开 a0 ∞ x (t ) = + ∑ (an cos nω t + bn sin nω t ) 2 n=1 2 π 若周期振动的频率为： 若周期振动的频率为：ν ω =2 = πν T 则各分振动的频率为:ν、2ν、3ν、… 则各分振动的频率为: （基频 , 二次谐频 , 三次谐频 , …） ） 由于所包含的频率取分立值，这类频谱称为离散谱。 由于所包含的频率取分立值，这类频谱称为离散谱。
二. 同方向不同频率简谐振动的合成 分振动 合振动
x2 = Acos(ω2t +ϕ2)
x = x + x2 1
1 1 x = 2 A cos [(ω 2 − ω1 )t + (ϕ 2 − ϕ1 )] ⋅ cos [(ω 2 + ω1 )t + (ϕ 2 + ϕ1 )] 2 2
x = Acos(ω t +ϕ1) 1 1
图(a) 中实线所代表的周期性振动可分解为基频 倍频的两个简谐振动的叠加。 和3倍频的两个简谐振动的叠加。 倍频的两个简谐振动的叠加 而图(b)则是一种“方波”振动信号， 而图 则是一种“方波”振动信号，它所包含 则是一种 的简谐振动成分就多了。 的简谐振动成分就多了。 这里用竖直线段在横坐标上的位置代表所包含 简谐振动的频率，竖直线高度代表所对应振幅， 简谐振动的频率，竖直线高度代表所对应振幅，该 称为振动频谱 图(c)称为振动频谱。 称为振动频谱。
振动合成(1)
简谐振动合成 §6-5 简谐振动合成 一、两个同方向、同频率谐振动的合成 两个同方向、
x1 = A cos(ωt +ϕ1) 1 x2 = A cos(ωt +ϕ2 ) 2
vv AA 2 2
v Av A
ω
X
x = x1 + x2 r A： 大小不变
ϕ2 ϕ
O
v A v 1 A 1
ϕ1
以角速度ω绕 点旋转 以角速度 绕O点旋转
O
A 1
X
(2) ϕ2 −ϕ1 = (2k +1)π k = 0，1 ± 2L（反相） ±， 反相） r ω A2 A = A − A2 1
合振幅最小 振动减弱！ 振动减弱！
O
r 若A1=A2 ，则A=0，质点静止。 A ，质点静止。 1
X
例1、两个同方向、同频率的简谐振动合成后， 、两个同方向、同频率的简谐振动合成后， 合振动的振幅为20cm,相位与第一振动的相位 合振动的振幅为 相位与第一振动的相位 之差为π ， 之差为π/6，若第一振动的振幅为 10 3cm ， 试求第二振动的振幅及第一第二振动的相位差。 试求第二振动的振幅及第一第二振动的相位差。 解：
离开原点位移： 离开原点位移：
2 1 2 2
A 1
S = A + A cos(ωt + ϕ )
A1
X
ϕ = ϕ1 = ϕ2 合振动是谐振动
(2) ϕ2 −ϕ1 = π
A2 y =− x A 1
2 2
A2 Y A1 X
类似,合振动是谐振动 与(1)类似 合振动是谐振动 类似
(3) ϕ2 −ϕ1 =
π
A2 = A + A − 2A Acosϕ 1
x1 = A cos(ωt +ϕ1) 1 x2 = A cos(ωt +ϕ2 ) 2
vv AA 2 2
v Av A
ω
X
x = x1 + x2 r A： 大小不变
ϕ2 ϕ
O
v A v 1 A 1
ϕ1
以角速度ω绕 点旋转 以角速度 绕O点旋转
O
A 1
X
(2) ϕ2 −ϕ1 = (2k +1)π k = 0，1 ± 2L（反相） ±， 反相） r ω A2 A = A − A2 1
合振幅最小 振动减弱！ 振动减弱！
O
r 若A1=A2 ，则A=0，质点静止。 A ，质点静止。 1
X
例1、两个同方向、同频率的简谐振动合成后， 、两个同方向、同频率的简谐振动合成后， 合振动的振幅为20cm,相位与第一振动的相位 合振动的振幅为 相位与第一振动的相位 之差为π ， 之差为π/6，若第一振动的振幅为 10 3cm ， 试求第二振动的振幅及第一第二振动的相位差。 试求第二振动的振幅及第一第二振动的相位差。 解：
离开原点位移： 离开原点位移：
2 1 2 2
A 1
S = A + A cos(ωt + ϕ )
A1
X
ϕ = ϕ1 = ϕ2 合振动是谐振动
(2) ϕ2 −ϕ1 = π
A2 y =− x A 1
2 2
A2 Y A1 X
类似,合振动是谐振动 与(1)类似 合振动是谐振动 类似
(3) ϕ2 −ϕ1 =
π
A2 = A + A − 2A Acosϕ 1
简谐振动的合成
25 第17章 振 动
则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱， 当 A1=A2 时, A=0 旋转矢量法处理谐振动的合成
x x1 x2
A2
A
A cos( t )
A A A 2 A1 A2 cos(2 1 )
2 1 2 2
2
O
A1
2 1
1
x
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
A1 cos(t x )
y
A2
O
A2 cos(t y )
x2 y2 x y 2 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) A1 A2 A12 A2
即 合成的一般结果是椭圆。 1) y x 0 A2 x A1
y
x 0， y 0 y
1 m ，m, n 2 n
合成轨迹为稳定的闭合曲线—李萨如图
y A 1
x x x y y y
达到最大的次数 达到最大的次数
-A2
0
A2
x 3 例如左图： y 2 x
应用：测定未知频率 周期T是多少? 太阳系的稳定性问题
第17章 振 动
- A1
15
小结 （谐振动合成）
（偏振光干涉的理论基础）
b) Δ π
A2
y
o
y
π c) Δ y 2
A1
x
A1 tan A2
x
正椭圆 若 A A2 1
x
0
Δ π
振动方向旋转 2 太阳光非偏振光 偏振片->线偏振光
则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱， 当 A1=A2 时, A=0 旋转矢量法处理谐振动的合成
x x1 x2
A2
A
A cos( t )
A A A 2 A1 A2 cos(2 1 )
2 1 2 2
2
O
A1
2 1
1
x
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
A1 cos(t x )
y
A2
O
A2 cos(t y )
x2 y2 x y 2 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) A1 A2 A12 A2
即 合成的一般结果是椭圆。 1) y x 0 A2 x A1
y
x 0， y 0 y
1 m ，m, n 2 n
合成轨迹为稳定的闭合曲线—李萨如图
y A 1
x x x y y y
达到最大的次数 达到最大的次数
-A2
0
A2
x 3 例如左图： y 2 x
应用：测定未知频率 周期T是多少? 太阳系的稳定性问题
第17章 振 动
- A1
15
小结 （谐振动合成）
（偏振光干涉的理论基础）
b) Δ π
A2
y
o
y
π c) Δ y 2
A1
x
A1 tan A2
x
正椭圆 若 A A2 1
x
0
Δ π
振动方向旋转 2 太阳光非偏振光 偏振片->线偏振光
同方向、不同频率的简谐振动的合成
合振幅 Acos cost Asin sin t
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见：
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
arctg A1 sin 1 A2 sin 2
讨论一：
A1 cos1 A2 cos2
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2A1
A1
6
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见：
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
arctg A1 sin 1 A2 sin 2
讨论一：
A1 cos1 A2 cos2
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2A1
A1
6
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
简谐振动的合成
(A1 sin1 A2 sin2 )sint
合振幅
令： A1 cos1 A2 cos2 Acos 代入上式：
A1 sin1 A2 sin2 Asin
2
x ( A1 cos1 A2 cos2)cost (A1 sin1 A2 sin2 )sint
Acos cost Asin sint Acos(t ) x Acos(t )
x1(t) a cost
M aN
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
C
R N
A
a3
xN (t) a cos[t (N 1) ]O a1 P
在COM中：A 2R sin(N / 2)
上两式相除得：
在OCP中： a 2Rsin( / 2)
7
A a sin(N / 2) sin / 2
若 A1 A2, A 2A1
2.当 2 1 （2k 1） (k 0,1,2, ) 时,
A
A12
A
2 2
2 A1
A2
cos(
2
1
)
| A1 A2 | 合振动振幅最小。
若 A1 A2, A 0
A2
3.一般情况 | A1 A2 | A | A1 A2 |
5
A A2 A1
A2 A A1 A A1
第二节
简谐振动的合成
1
一、同方向同频率简谐振动的合成
在同一直线上同频率的两个简谐振
动分别为：
x1 A1 cos(t 1),
x2 A2 cos( t 2 )
• 代数方法： 振动合成
x x1 x2 A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cost
《大学物理》同方向的简谐振动的合成
同方向的简谐振动的合成
§10-5 同方向的简谐振动的合成
1.同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与沿同一方向的两个独立的 同频率的简谐振动，两个简谐振动的频率为 ω，
振动方向为 X 轴方向，以 x1和 x2 分别代表同一
个质点的两个运动位移：
x1 A1 cos(t 10) x2 A2 cos(t 20)
解：已知 A = 20 cm
A1 = 17.3 cm A2 =[A2 +A12 -2AA1cos( - １)]1/2
= 10 cm
o
A
A2
１ A1 x
∵A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) ∴ cos (1 - 2 ) = [A2 - A12 - A22] / 2A1A2
同相迭加，合振幅最大。
(2)当D 2010(2k+1) (k=0及 正负整数), cos(20-10)=0, 有
O
A1
A A1 A2 A A1 A2
A2
O
X
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于 和
之间。
A1 A2 A1 A2
补例1两个同方向同频率的简谐振动，其合 振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的 相位差为 - １= π/6，若第一个简谐动的振 幅为 17.3 cm，试求： 1、第二个简谐振动的振幅 A2 2、第一、二两个简谐振动的相位差 1 - 2
旋转矢量图示法
矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
A1
10
X
O
x2
x x1
A
同方向同频率的两个简谐振动的合成
§10-5 同方向的简谐振动的合成
1.同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与沿同一方向的两个独立的 同频率的简谐振动，两个简谐振动的频率为 ω，
振动方向为 X 轴方向，以 x1和 x2 分别代表同一
个质点的两个运动位移：
x1 A1 cos(t 10) x2 A2 cos(t 20)
解：已知 A = 20 cm
A1 = 17.3 cm A2 =[A2 +A12 -2AA1cos( - １)]1/2
= 10 cm
o
A
A2
１ A1 x
∵A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) ∴ cos (1 - 2 ) = [A2 - A12 - A22] / 2A1A2
同相迭加，合振幅最大。
(2)当D 2010(2k+1) (k=0及 正负整数), cos(20-10)=0, 有
O
A1
A A1 A2 A A1 A2
A2
O
X
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于 和
之间。
A1 A2 A1 A2
补例1两个同方向同频率的简谐振动，其合 振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的 相位差为 - １= π/6，若第一个简谐动的振 幅为 17.3 cm，试求： 1、第二个简谐振动的振幅 A2 2、第一、二两个简谐振动的相位差 1 - 2
旋转矢量图示法
矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
A1
10
X
O
x2
x x1
A
同方向同频率的两个简谐振动的合成
简谐振动的合成
8.2 简谐振动的合成
一、同方向、同频率谐振动的合成 质点同时参与两个同方向同频率的谐振动:
x1(t) A1 cos(t 1)
A
x2 (t) A2 cos(t 2 )
A2
x x1 x2 Acos(t )
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2
tg A1 sin1 A2 sin2
1 2
r A
X
合振动初相位
1 2
两分振动相互加强
A1 X A2
o
x=x1+x2
t
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动反相位：
2 1 (2k 1) k 0,1, 2, r
合振幅最小
r A1
A A1 A2 合振动初相位
r 2 A
A2 o
1
X
若A1>A2 1 若A1<A2 2
A1 cos1 A2rcos2
O
1
x2
A1
x1
x
x
结论 ①合矢量 A即为合振动所对应的旋转矢量。
②合振动仍为简谐振动，振动角频率仍为ω。
分析 A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动同相位：
2 1 2k k 0,1, 2,
合振幅最大
A A1 A2
o
r
A2
r
A1
4
求合振动的振动方程。
解：
2
T
20
x(cm) 5
x1 x2
A1 A2 5cm
0.1
o 0.05
且 t 时0
-5
r
A2
x10 0, v10 f 0; x20 5cm
一、同方向、同频率谐振动的合成 质点同时参与两个同方向同频率的谐振动:
x1(t) A1 cos(t 1)
A
x2 (t) A2 cos(t 2 )
A2
x x1 x2 Acos(t )
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2
tg A1 sin1 A2 sin2
1 2
r A
X
合振动初相位
1 2
两分振动相互加强
A1 X A2
o
x=x1+x2
t
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动反相位：
2 1 (2k 1) k 0,1, 2, r
合振幅最小
r A1
A A1 A2 合振动初相位
r 2 A
A2 o
1
X
若A1>A2 1 若A1<A2 2
A1 cos1 A2rcos2
O
1
x2
A1
x1
x
x
结论 ①合矢量 A即为合振动所对应的旋转矢量。
②合振动仍为简谐振动，振动角频率仍为ω。
分析 A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动同相位：
2 1 2k k 0,1, 2,
合振幅最大
A A1 A2
o
r
A2
r
A1
4
求合振动的振动方程。
解：
2
T
20
x(cm) 5
x1 x2
A1 A2 5cm
0.1
o 0.05
且 t 时0
-5
r
A2
x10 0, v10 f 0; x20 5cm
16-2简谐运动的合成
ϕ
v a2
a4 v a3 α
Q
α
2
α
x
Nα sin 2 ∴A= a α sin 2
16 – 2
简谐运动的合成
v M
1 1 Q∠ M = (π − Nα)， CO = (π −α) CO ∠ P 2 2
v a5
α
N −1 ∴ = ∠ P −∠ M = ϕ α CO CO 2
C
α
N α v α
所以合振动为
2π 2π ω= = = π s -1 T 2 -π ϕ= 2 )m
由旋转矢量图可知合振动的振幅及初相分别为
A = A2 − A1 = 0.08 − 0.04 = 0.04 m） （
所以合振动为
x = 0 . 04 cos( πt −
π 2
16 – 2 简谐运动的合成 二、N 二、N 个同方向同频率简谐运动的合成
简谐运动的合成
3．分振动方程分别为 x1 = 3 cos(50πt + 0.25π ) ． ) 制 和 x 2 = 4 cos(50πt + 0.75π （SI制） 则它们的合振动表达式为： 则它们的合振动表达式为： （ ） （A）x = 2 cos(50πt + 0.25π ) ） （B） x = 5 cos(50πt ) ） （C） = 5 cos(50πt + ） x （D） x ）
v A 2
ϕ2
0
ω
v A
xx
x = x1 + x2 x = A cos( ω t + ϕ )
2 1 2 2
ϕ1 x2 x1
ϕ
v A 1
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
同方向的简谐振动的合成
旋转矢量图示法
A A 2A 1
2A
02
A 1
O
1
01
2
x
x
x
X
A 矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
讨论： (1) 当 D 20102kp (k=0 及 正 负整数)，cos(20-10)=1, 有
2A
A A 2A 1
O
1A
X
同相迭加，合振幅最大。 (2) 当 D 2010(2k+1)p (k=0 及 正负整数), cos(20-10)=0, 有
2
1A
A 1A A
O
2A
X
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于 2A 1A 和 2A 1A 之间。
两个简谐振动合成得：
x = x 1+ x 2
x 2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t 0 )
同方向不同频率的两个简谐振动的合成
拍
因1
~ 2 , 2 1 1 或 2 , 有
2 1
1 2
2 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时 间作缓慢变化, 第二项是角频率近于 1或 的简谐函 2 2 数。合振动可视为是角频率为 (1 2 )、振幅为 2 A cos ( 2 1 )t 2 的简谐振动。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
例15-4 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 初相分别为0, a, 2a, ..., 依次差一个恒量a，振动表达式可 写成 t soc a x
简谐振动的合成
动振幅周期变化的现象叫拍。
解：③拍现象
A (t) 不论 调 达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，
因此拍的圆频率为：
因此：
拍 20 10
调（拍）
20 10
2 20 10
2 拍
2
拍频为： 调（拍） 2 1
合成图像如下图：
x1 t
x2
t
x
t
程序演示：
MATLAB 程序：
t=[0:0.001:10]; %给出时间轴上 10s,分 10000 个点
%输入两组信号的振幅、频率以及初相
A1=input('振幅 1=');W1=input('频率 1=');a1=input('初相 1=');
A2=input('振幅 2=');W2=input('频率 2=');a2=input('初相 2=');
y1=A1*cos(W1*t+a1);
y2=A2*cos(W2*t+a2); %生成两个正弦波
此时 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) A1 A2 Amin 振动减弱
两个同方向、同频率简谐运动反相合成时，其合振动振幅最小，振幅为两个
分振动振幅之差的绝对值，初相位与振幅大的分振动的初相位相同，合成图像如
下图。
x
x2
o
x
t
x1
分析：同方向不同频率简谐振动的合成 x1 Acos10t , x2 Acos20t
A2 A1
A
x
此时 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) A1 A2 Amax 振动加强
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取12个分振动，相差依 次为30度，分振动就构 成一个完整的正多边形， 合振幅为零。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
(3)求两个同一直线、频率相近的简谐振动的合振动。 [解析](3)设一个质点同时参与两个同一直线不同频率的简谐振 动，角频率分别为ω1和ω2，为了突出频率不同所产生的效果， 设分振动的振幅和初相位都相同，因此两个分振动方程为 x1 = Acos(ω1t + φ)，x2 = Acos(ω2t + φ) 可见：两个同方向不 同频率的简谐振动合 利用和差化积公式可得合振动为 成之后不是简谐振动， 2 1 2 1 x x1 x 2 2 A co s( t ) co s( t ) 也没有明显的周期性。 2 2 当两个分振动的频率比较大而差异比较小时：|ω2 - ω1| << ω2 + ω1，方程就表示了振幅按2Acos[(ω2 - ω1)t/2]变化 的角频率为(ω2 + ω1)/2的“近似”的简谐振动。 这种振动的振幅变化是周期性的， 相对于简谐振动来说是缓慢的。
矢量首尾相接形成多边形的 一部分，最后首尾相接的矢 量就是合振动，合振幅为A = 5.4ΔA ，初相为60度。
取10 个分 振动， 相差 依次 为30 度。
当各振 动逐级 叠加时， 合振幅 先增加 再变小。
合振幅为A = 1.9 ΔA，初相为135度。
如果分振动的相差为零，那 么，正多边形变成一条线。
两个振动的最大值重合的周期随着发生变化，调制线的周期增大。
拍频为fp = Δω/2π = 1/30Hz，拍频的周期为T p = 1/fp = 30s。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
(1)求任意两个同一直线同频率的简谐振动的合振动；(2)有N个 同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是ΔA，相差都是 Δφ，第一个振动的初相为零。求N个简谐振动的振幅和初相。 (3)求两个相一直线、频率相近的简谐振动的合振动。 M ω [解析](1)如图所示，设有两个独立的同频率的简谐振动， ω 位移为x1 = A1cos(ωt + φ1)，x2 = A2cos(ωt + φ2) A2 A ω 由于两个振动在同一直线上，因此合振动为 φ2 φφ1 A1 P x = x1 + x2 = A1cos(ωt + φ1) + A2cos(ωt + φ2) x Ox x = (A cosφ + A cosφ )cosωt
1 1 2 2 2 1
- (A1sinφ1 + A2sinφ2)sinωt
x
令Acosφ = A1cosφ1 + A2cosφ2，Asinφ = A1sinφ1 + A2sinφ2, 其中 则x = Acosφcosωt – Asinφsinωt =Acos(ωt + φ),
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) , arctan
这是多个 等幅同频 振动的合 振幅公式。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
(2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都 是ΔA，相差都是Δφ，第一个振动的初相为零。求N个 C 简谐振动的振幅和初相。
nΔφ
ΔA5
M Δφ
振幅
A A
sin ( n / 2 ) sin ( / 2 )
由于各个振动的振幅相同且相差 恒为Δφ，图中各个矢量的起点和 终点都在以C为圆心的圆周上。
2 r sin
A
设圆的半径为r，每个矢量对 A 应的圆心角都是Δφ ，因此 全部矢量对应的圆 A 2 r sin n 2 心角是nΔφ，因此
2
sin ( n / 2 ) sin ( / 2 )
2 2
A1 sin 1 A 2 sin 2
A1 co s 1 A 2 c o s 2
.
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
[讨论] x = cos(ωt + φ), A
A1 A 2 2 A1 A 2 co s( 2 1 )
2 2
①当两个分振动同相时 Δφ = φ2 - φ1 = 2kπ,(k = 0，±1，±2，...)
每经过 20s， 两个振 动的最 大值重 合。经 过10s， 两个振 动的极 大值和 极小值 重合。
一条曲线的角频率较大，是两个分振动的角频率的 平均值；另一条曲线的角频率较小，称为调制线。
调制线决定了振幅的范围。
因为质点振幅的改变是周期性的，就形成 时强时弱的现象，这种现象称为“拍”。
如果将两 个振动的 角频率之 差改小一 些，例如 Δω = π/ 15，两个 振动的最 大值重合 的周期随 着发生变 化。
)
这是多个等幅同频振动的振动公式。 当Δφ→0时，有A→nΔA， φ→0，这就是等幅同频同 相振动合成的情况。 如果nΔA = 2π，就是 所有矢量旋转构成一 个正多边形，则A = 0。
如果有7个分振动，相差依次为20度，各个分振动的振幅相同，位相差恒定。 将各个 分振动 叠加之 后，振 幅越来 越大， 初位相 也越来 越大。
(2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都 是ΔA，相差都是Δφ，第一个振动的初相为零。求n个 C 简谐振动的振幅和初相。nFra bibliotekφΔA5
M Δφ
[解析](2)采用旋转矢量法可使问题得到 简化，从而避开烦琐的三角函数运算。
r Δφ A
ΔA 4Δφ ΔA 3 Δφ
n个简谐振动可表示为 φ ΔA2Δφ x1 = ΔAcosωt，x2 = ΔAcos(ωt + Δφ)， ΔA 1 x3 = ΔAcos(ωt + 2Δφ)，…，xn = ΔAcos[ωt + (n - 1)Δφ] 根据矢量合成法则，这 些简谐振动对应的旋转 矢量的合成如图所示。
x
如果A1 = A2，则合振动的 结果使质点处于静止状态。
一般情况下，合振幅介于A1 + A2和|A1 - A2|之间。
如果第一个振 动的振幅和初 相分别为 0.03m和0，
第二个振动 的振幅和初 相分别为 0.04m和0，
两个振动同相， 合振动加强，振 幅达到0.07m 。
如果两个振动 的振幅不变， 角度分别是0 和90，x2超前 x1的相位π/2，
(π ) 1 2 (π n ) n 1 2
r Δφ A φ ΔA2Δφ ΔA 1
co s( t n 1 2
ΔA 4Δφ ΔA 3 Δφ
初相为
1 2
这是多个等幅同频振动的初相公式。 合振动为x = Acos(ωt + φ)
A sin ( n / 2 ) sin ( / 2 )
合振幅为 0.05m，初 相的度数 达到53。
如果将两 个角度数 改为0和 180，则两 个振动反 相，合振 动减弱， 振幅只有 0.01m。
如果将两个角度数改为0和90，x2滞后x1的相位π/2。
除了同相和反相 的情况外，合振 动的极大值的横 坐标处在两个分 振动的极大值的 横坐标之间。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
fp 1 Tp
| Tp π
|
2
2π
1
2π
| | f 2 f 1 | .
由于余弦函数的绝对值的周期 为π，设时间周期为Tp，则有
|
2 1
2
因此拍频如上
不妨设两 个振动的 初相都为 零，第一 个角频率 为π/2，第 二个角频 率比第一 个角频率 大Δω = π/10。
拍频为fp = Δω/2π = 1/20Hz，拍频的周期为T p = 1/fp = 20s。
ω A2 φ2
ω A ω φ A φ1 1
M
因为cos(φ2 - φ1) = 1，所以
A A1 A2 2 A1 A 2 A1 A 2
2 2
P
可见：合振幅等于原来两个简谐 Ox x 2 1 振动的振幅之和，振动加强。 x ②当两个分振动反相时 Δφ = φ2 - φ1 = (2k + 1)π ,(k = 0，±1，±2，...) 2 2 A A1 A 2 2 A1 A 2 | A1 A 2 | 因为cos(φ2 - φ1) = -1，所以 合振幅等于原来两个简谐振动的 振幅之差的绝对值，振动减弱。