2021考研数学一真题试卷(完整版)

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考研数学一真题(WORD清晰版)

2021 考研数学〔一〕真题完整版一、选择题： 1～8 小题，每题 4 分，共 32 分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上 .〔1〕假设反常积分1b dx 收敛，那么〔〕0x a 1xA a 1且b 1B a 1且b1 C a 1且a b 1 D a 1且 a b 1〔2〕函数f x 2x 1 , x1，那么f x的一个原函数是〔〕ln x, x1x121x21A F x, xB F x1 , xx ln x 1 , x 1x ln x 1 1, x 1 x1212, x1C F x, xD F xx 1x ln x 1 1, x 1x ln x 1 1, x 1〔3〕假设y1 x2 21x2 , y1x221x2是微分方程y p x y q x 的两个解，那么q x〔〕A 3x 1 x2B 3x 1 x2C1x D1x x2x2x, x0〔4〕函数f x111，那么〔〕,x,n 1,2,n n1n〔A 〕x0 是f x 的第一类间断点〔B〕x0 是f x的第二类间断点〔C〕f x 在x0 处连续但不可导〔D 〕f x 在x0 处可导〔5〕设 A， B 是可逆矩阵，且A 与 B 相似，那么以下结论错误的选项是〔〕〔A 〕A T与B T相似〔 B 〕A1与B1相似〔C〕A A T与B B T相似〔D 〕A A1与B B1相似〔6〕设二次型f x1, x2 , x3x12x22x324x1 x24x1 x34x2 x3，那么 f x1 , x2 , x3 2 在空间直角坐标下表示的二次曲面为〔〕〔A 〕单叶双曲面〔 B〕双叶双曲面〔 C〕椭球面〔 C〕柱面〔7〕设随机变量X ~ N ,20，记 p P X2，那么〔〕〔A 〕p随着的增加而增加〔 B 〕p随着的增加而增加〔C〕p随着的增加而减少〔D 〕p随着的增加而减少〔 8〕随机试验E有三种两两不相容的结果A1 , A2 , A3，且三种结果发生的概率均为1，将3试验 E 独立重复做 2 次，X表示 2 次试验中结果A1发生的次数，Y表示 2 次试验中结果A2发生的次数，那么X 与 Y 的相关系数为〔〕二、填空题： 914 小题，每题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .．．．xt sin t dtt ln 1〔9〕lim02__________x 01cos x〔10〕向量场A x, y, z x y z i xyj zk 的旋度rotA_________〔 11〕设函数f u, v可微，z z x, y 由方程 x 1 z y 2x2 f x z, y 确定，那么dz 0,1_________〔12〕设函数f x arctanxx，且 f ' ' 01，那么a________ 12ax100010____________.〔13〕行列式014321〔14〕设x1, x2,..., x n为来自总体N ,2的简单随机样本，样本均值x，参数的置信度为的双侧置信区间的置信上限为，那么的置信度为的双侧置信区间为______.三、解答题： 15—23 小题，共 94 分 .请将解答写在答题纸指定位置上 .解容许写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤 .〔15〕〔此题总分值10 分〕平面区域D r ,2r 2 1 cos,22，计算二重积分xdxdy .D〔16〕〔此题总分值10 分〕设函数y(x)满足方程y'' 2 y'ky 0, 其中 0k1.证明：反常积分y( x) dx 收敛；假设 y(0) 1, y ' (0) 1, 求y( x)dx 的值 .〔17〕〔此题总分值10 分〕设函数 f ( x, y) 满足f ( x, y)(2x 1)e 2 x y , 且 f (0, y) y 1, L tx是从点 (0,0) 到点(1,t) 的光滑曲线，计算曲线积分I (t)L t f (x, y) dx f (x, y) dy ，并xy求 I (t) 的最小值〔18〕设有界区域由平面 2x y 2z 2 与三个坐标平面围成，为整个外表的外侧，计算曲面积分 Ix 2 1 dydz 2ydzdx 3zdxdy〔19〕〔此题总分值10 分〕函数 f ( x) 可导，且 f (0)1 ， 0 f '( x)1，设数列x n2满足 x n 1 f (x n )(n 1,2...) ，证明：〔I 〕级数(x n 1 x n ) 绝对收敛；n 1〔II 〕 lim x n 存在，且 0 lim x n 2 .nn1 1 12 2 〔20〕〔此题总分值11 分〕设矩阵 A2a1 , B1 a1 1aa 12当 a 为何值时，方程AX B 无解、有唯一解、有无穷多解0 1 1 〔21〕〔此题总分值11 分〕矩阵 A2 3 0〔I 〕求 A 99〔II 〕设 3 阶矩阵 B( , 2 , 3 ) 满足 B2BA ，记 B100(1 ,2 ,3 )将 1 , 2 ,3 分别表示为 1, 2 , 3 的线性组合。

考研数学一真题及答案解析(完整版)

2021考研数学〔一〕真题完整版一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 〔1〕假设反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，那么〔〕()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且〔2〕函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，那么()f x 的一个原函数是〔〕()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩〔3〕假设()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，那么()q x =〔〕()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++〔4〕函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，那么〔〕〔A 〕0x =是()f x 的第一类间断点〔B 〕0x =是()f x 的第二类间断点〔C 〕()f x 在0x =处连续但不可导〔D 〕()f x 在0x =处可导〔5〕设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，那么以下结论错误的选项是〔〕〔A 〕TA 与TB 相似〔B 〕1A -与1B -相似〔C 〕TA A +与TB B +相似〔D 〕1A A -+与1B B -+相似〔6〕设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，那么()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为〔〕〔A 〕单叶双曲面〔B 〕双叶双曲面〔C 〕椭球面〔C 〕柱面〔7〕设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，那么〔〕〔A 〕p 随着μ的增加而增加〔B 〕p 随着σ的增加而增加〔C 〕p 随着μ的增加而减少〔D 〕p 随着σ的增加而减少〔8〕随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，那么X 与Y 的相关系数为〔〕二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 〔9〕()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx〔10〕向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA〔11〕设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，那么()_________1,0=dz〔12〕设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，那么________=a 〔13〕行列式100010014321λλλλ--=-+____________. 〔14〕设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，那么μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔15〕〔此题总分值10分〕平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.〔16〕〔此题总分值10分〕设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 假设'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.〔17〕〔此题总分值10分〕设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值〔18〕设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个外表的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑〔19〕〔此题总分值10分〕函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明：〔I 〕级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；〔II 〕lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.〔20〕〔此题总分值11分〕设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？〔21〕〔此题总分值11分〕矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭〔I 〕求99A〔II 〕设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

2021年全国硕士研究生招生考试数学一试题及答案

2021年全国硕士研究生招生考试数学一试题及答案一、选择题:110小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 函数1,0()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处 ( )(A) 连续且取得极大值. (B) 连续且取得极小值.(C) 可导且导数等于零. (D) 可导且导数不为零. 【答案】(D)【解析】因为()20000111110lim lim lim =lim 222x x x x x x x e e x e x x f x x x x →→→→-----'====，所以函数()f x 在0x =可导且导数不等于0，故选(D).(2) 设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df = ( )(A) dx dy +. (B) .dx dy - (C) dy .(D) dy -.【答案】(C)【解析】方程()()21,1xf x ex x +=+两边对x 求导得：()()()()2121,1,121x x x f x e f x e e x x x ''+++=+++. ①将0x =代入①得 ()()121,11,11f f ''+=. ② 方程()22,2ln f x x x x =两边对x 求导得：()()222121,,24ln 2f x x f x x x x x x x''+⋅=+⋅. ③将1x =代入③得 ()()121,11,122f f ''+⋅=. ④ 联立②④解得：()11,10f '=,()21,11f '=，故选(C).(3) 设函数2sin ()1x f x x=+在0x =处的3次泰勒多项式为23ax bx cx ++，则 ( )(A) 71,0,6a b c ===-. (B) 71,0,6a b c ===.(C) 71,1,6a b c =-=-=-. (D) 71,1,6a b c =-=-=.【答案】(A) 【解析】由()331sin 6x x x x ο=-+，()2442111x x x xο=-+++，则()332sin 716x x x x xο=-++，所以71,0,6a b c ===-.故选(A).(4) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续，则1()f x dx =⎰( )(A) 1211lim()22nn k k f n n →∞=-∑. (B) 1211lim ()2nn k k f n n →∞=-∑. (C) 2111lim()2nn k k f n n →∞=-∑. (D) 212lim ()2nn k k f n n →∞=∑.【答案】(B)【解析】由定积分定义()1011lim nn k k f x dx f n n →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，这里将区间[]0,1分为n 等份，即10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦…1,k k n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦…1,1n n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 特殊点依次取区间中点1212,(1,,)2k k k n n n --==⋅⋅⋅，故()101211lim 2nn k k f x dx f n n →∞=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰. (5) 二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为( )(A) 2,0.(B) 1,1.(C) 2.1.(D) 1,2.【答案】（B ）【解析】二次型矩阵为011121110A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,11101||1211211111A E λλλλλλλλ---+-=-=---101(1)121(1)(3)011λλλλλλ-=+-=-+-=-. 所以A 的特征值为：0,1,3-，所以正负惯性指数为1,1.答案为（B ）.(6) 已知1231130,2,1112ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，记11βα=,221k βαβ=-,331122l l βαββ=--，若123,,βββ两两正交，则12,l l 依次为 ( )(A)51,22. (B) 51,22-. (C)51,22-. (D) 51,22--. 【答案】（A ）【解析】由施密特正交法：11βα=，21221110(,)2(,)0αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭，313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=--所以31111(,)5(,)2l αβββ==，32222(,)1(,)2l αβββ==.所以选（A ） (7) 设,A B 为n 阶实矩阵，下列结论不成立的是（）(A) ()2TA O r r A O A A ⎛⎫=⎪⎝⎭(B) ()2T A AB r r A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭(C) ()2T A BA r r A OAA ⎛⎫=⎪⎝⎭(D) ()2T A O r r A BAA ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】（C ）【解析】（C ）选项，因为()(),(),()TT A BA r r A BA r AA r A BA r A O AA ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，且(),(,)A BA E B A =,所以(),()r A BA r A ≥.所以2()T ABA r r A O AA ⎛⎫≥⎪⎝⎭. (8) 设,A B 为随机事件，且()01,P B << 下列命题中为假命题的是（）(A) 若()(),P A B P A = 则()()P A B P A = (B) 若()(),P A B P A > 则()()P A B P A > (C) 若()(),P A B P A B > 则()()P A B P A > (D) 若()(),P A A B P A AB > 则()()P A P B >【答案】(D)【解析】()(),P A B P A A B =⇒相互独立，所以()()P A B P A =，故（A ）正确；()()P A B P A >中对任意满足题设条件的随机事件均成立，而,A B 也满足条件，所以()()P A B P A >，故（B ）正确； ()()()()()()()()()()1()()P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇒>=⇒>- ()()()()()P AB P A P A B P A P B ⇒>⇒>，故（C ）正确；(())(())()()()()()()P A A B P A A B P A A B P A A B P A P AB P A B P A B >⇒>⇒>，故（D ）不正确，选（D ）. (9) 设()()()1122,,,,,,n n X Y X Y X Y 为来自总体()221212,;,;N μμσσρ的简单随机样本.令121111,,,,n ni i i i X X Y Y X Y n n θμμθ===-===-∑∑ 则（）(A) θ是θ的无偏估计，()2212D nσσθ+=(B) θ不是θ的无偏估计，()2212D nσσθ+=(C) θ是θ的无偏估计，()2212122D nσσρσσθ+-=(D) θ不是θ的无偏估计，()2212122D nσσρσσθ+-=【答案】(C)【解析】12ˆ()()()E E X E Y θμμθ=-=-=，所以ˆθ是θ的无偏估计； 2212212ˆ()()()2cov(,)cov(,)niii D D X D Y X Y X Y n n σσθ=+=+-=-∑2222121212122122ni nnnσσσσρσσρσσ=++-=-=∑，故选（C ）.(10) 设1216,,,X X X 是来自总体(),4N μ的简单随机样本，考虑假设检验问题：01:10,:10.H H μμ≤> ()x Φ表示标准正态分布函数.若该检验问题的拒绝域为{}11,W X => 其中161116i i X X ==∑，则11.5μ= 时，该检验犯第二类错误的概率为（）(A) ()10.5-Φ (B) ()11-Φ (C) ()1 1.5-Φ(D) ()12-Φ【答案】(B)【解析】检验犯第二类错误的概率为{11}P X ≤.由题可知1~(,)4X N μ，所以11.5{11}{1}1(1)1/2X P X P -≤=≤-=-Φ，选（B ）.二、填空题：1116小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (11)222dxx x +∞=++⎰__________. 【答案】4π【解析】2022dxx x +∞=++⎰()211dxx +∞=++⎰()0arctan 1x +∞+24ππ=-4π=.(12) 设函数()y y x =由参数方程()22141tt x e t y t e t⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定，则22t d y dx ==______.【答案】23【解析】dy dy dt dx dt dx =⋅()441221t t t e t e t e +-+=+422,21t t te t t e +==+ ()22212,2121t t dy d d t d y dt dx dx dt dx dt e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅==++ 222.3t d y dx ==(13) 欧拉方程2x y xy y "+'-4=0满足条件()1=1y ，()1=2y '的解为y =_______.【答案】2y x =【解析】作变换tx e =,故()()()ty t y x e xy x '='=',()()()()()y t x t y x xy x x t "=''+"'()()2xy x x y x ='+"()()2y t x y x ='+"则原方程可化为：()()()()40y t y t y t y t "-'+'-=,即()()40y t y t "-=.其特征方程为240λ-=，特征根为12λ=,22λ=-,则该方程的通解222121221tty C e C eC x C x -=+=+,又()1=1y ，()1=2y ', 故11C =,20C =.于是2y x =.(14) 设∑为空间区域{}22(,,)44,02x y z x y z +≤≤≤表面的外侧，则曲面积分22x dydz y dzdx zdxdy ∑++=⎰⎰__________【答案】π4【解析】利用高斯公式可得：22(221).x dydz y dzdx zdxdy x y dv ∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰（其中Ω为Σ围成的封闭区域）由于图形关于xoz 平面对称，所以20.ydv Ω=⎰⎰⎰同理：图形关于yoz 平面对称，则.02=⎰⎰⎰Ωxdv则2222222444424.x y x y x dydz y dzdx zdxdy dv dxdy dz dxdy πΩ+≤+≤++====∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(15) 设()ij A a =为3阶矩阵，ij A 为元素ij a 的代数余子式，若A 的每行元素之和均为2，且3A =，则112131A A A ++=__________ 【答案】32. 【解析】因为A 的每行元素之和为2，所以1112111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1112111A A A **⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111||311122111A A *⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故A *的每行元素之和为32.(16) 甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令,X Y 分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，则X 与Y 的相关系数为______________. 【答案】15. 【解析】由题可知，X 与Y 的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示YX0 1i p ⋅0 0.3 0.2 0.5 10.2 0.3 0.5j p ⋅0.50.51所以()0.3E XY =，()()0.5E X E Y ==，()()0.25D X D Y ==.故X 与Y 的相关系数为0.30.2510.255ρ-==.三、解答题：1722小题,共70分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) (本题满分10分)求极限20011lim 1sin x t x x e dt e x →⎛⎫+ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰ 【解析】原式2220sin (1)(1)sin (1)(1)limlimsin (1)xxt x t x xx x x e dt e x e dt e x e x→→+--+--==⋅-⎰⎰2222cos (1)sin cos 1cos sin 1limlim22xx t x xt x xx x x e dt x e ex x e dt x e e x x→→++⋅--++⋅+-==⎰⎰2200000cos cos 1sin 11111lim lim lim lim 022222222xt x x x x x x x e dtx x ee xxxx →→→→-⋅-=+++=++-=⎰. (18) (本题满分12分)设()()()11,2,1n nxn x u x en n n +-=+=+，求级数()1n n u x ∞=∑的收敛域及和函数.【解析】设112111()()()()(1)n nxnn n n x S x ux eS x S x n n +∞∞∞-=====+=++∑∑∑，当1xe-<时，则0x >，此时1()S x 收敛，且11()1xnxxn e S x ee-∞--===-∑，0x >. 121()(1)n n x S x n n +∞==+∑，由21(1)(2)lim 1(1)n n n x n n x x n n ++→∞++=<+，得收敛区间为(1,1)-，在1x =±时，当n →∞时，()1211(1)n n n n +±+，且211n n ∞=∑收敛，故()111(1)n n n n +∞=±+∑收敛，故2()S x 的收敛域为[]1,1-，故原级数的收敛域为(]0,1.21()=n n xS x n∞='∑，1211()=1n n S x x x ∞-=''=-∑， 222001()()(0)ln(1)1xxS x S t dt S dt x t ''''=+==---⎰⎰，2220()()(0)ln(1)(1)ln(1)xxS x S t dt S t dt x x x '=+=--=--+⎰⎰，()0,1x ∈，当1x =时，211111(1)[]1(1)(1)n n S n n nn ∞∞====-=++∑∑，故12()()()(1)ln(1)1xxe S x S x S x x x x e--=+=+--+-，()0,1x ∈， 11211(1)(1)(1)1111nn e eS S S ee e -∞--==+=+=+=--∑，综上所述：(1)ln(1),(0,1)1(),11xxe x x x x e S x e x e --⎧+--+∈⎪⎪-=⎨⎪=⎪-⎩(19) (本题满分12分)已知曲线2226,:4230,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上的点到xoy 坐标面距离的最大值.【解析】取C 上点(),,x y z ，到xOy 坐标面距离为z ，目标函数为()2,,f x y z z =,构造拉格朗日函数()222,,,,(26)(4230)F x y z z x y z x y z λμλμ=++--+++-.22240(1)420(2)20(3)260(4)42300(5)xy z F x F y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ⎧'=+=⎪⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+--=⎪⎪'=++-=⎪⎩ 1(1)(2):(4)02x y λ⨯--=. 若0λ=，则0μ=，代入（3）可得0z =，代入（4）（5）2226042300F x y F x y λμ⎧'=+-=⎪⎨'=+-=⎪⎩，此方程无解.若0λ≠，则4x y =，代入（4）（5）2216260162300F y y z F y y z λμ⎧'=+--=⎪⎨'=++-=⎪⎩.可解得4112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或8266x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.()()224,1,1212,8,2,6666f f =--=.故曲线上的点到xOy 坐标面最大距离为66. (20) (本题满分12分)设2D R ⊂是有界单连通闭区域，22()(4)DI D x y dxdy =--⎰⎰取得最大值的积分区域记为1D .(I) 求1()I D 的值； (II) 计算222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ++∂++-+⎰，其中D ∂是1D 的正向边界.【解析】(I)要使22()(4)DI D x y dxxdy =--⎰⎰最大，则D 应该包含所有使得被积函数22(,)40f x y x y =--≥并且D 中不能包含使得22(,)40f x y x y =--<的区域，故221{(,)|4}D x y x y =+≤，从而11122221()(4)41()D D D I D x y dxdy dxdy x y dxdy =--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2230161688d r dr ππθπππ=-=-=⎰⎰.(II) 由于22224224222(81)(4)(4)2(4)xy xy Q P xye x y ye x xx yx y ++∂∂-+---=∂∂+22224224222(81)(4)()8(4)xy xy xye x y xe y yx y ++++-+-+0=.且(,),(,)Q x y P x y 在1D ∂围成的区域上1D 上有奇点，所以要补线222:4,0L x y εε+=>足够小，取顺时针方向，且L 围成的区域为D ''，则(,),(,)Q x y P x y 在1D ∂与L 围成的区域D '上满足格林公式的条件，于是11(,)(,)(,)(,)(,)(,)D D LLP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ∂∂++=+-+⎰⎰⎰()(,)(,)D L Q Pdxdy P x y dx Q x y dy x y -'∂∂=-++∂∂⎰⎰⎰ 22210()(4)D L dxdy xey dx ye x dy εεε-'=+++-⎰⎰⎰2211(11)2D D dxdy dxdy πεε''''=--=-=-⎰⎰⎰⎰.(21) (本题满分12分)设矩阵111111a A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭， (I) 求正交矩阵P ，使TP AP 为对角矩阵；(II) 求正定矩阵C ，使2(3)C a E A =+-，其中E 为3阶单位矩阵.【解析】(I) 因为11||=11(1)(2)(1)011a A E a a a a a λλλλλλλ-----=--+---=---，所以A 的特征值为121a λλ==-，32a λ=+，当121a λλ==-时，[(1)]0A a E x --=，111111(1)=111000111000A a E --⎛⎫⎛⎫⎪⎪---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭121a λλ==-所对应的两个无关特征向量为：1110α-⎫⎛⎪ =⎪⎪⎝⎭，2101α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当32a λ=+时，[(2)]0A a E x -+=，211101(2)=121011112000A a E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-+--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭32a λ=+所对应的两个无关特征向量为：3111α-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.对12,αα正交化，11110βα-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，21221111(,)11(,)22αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 对123,,ββα单位化111110e ββ-⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，222112e ββ⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，333111e αα-⎫⎛⎪==-⎪⎪⎭则123(,,)0P e e e ⎛--==-⎪⎪⎝⎭，112a a a -⎛⎫⎪Λ=- ⎪ ⎪+⎝⎭.T P AP =Λ(II) 因为()2(3)(3)(3)TTTC a E A a PP P P P a E P =+-=+-Λ=+-Λ422422111T T TP P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以251112=15131115T C P P -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (22) (本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X ，较长一段的长度记为Y ，令Y Z X=. (I) 求X 的概率密度； (II) 求Z 的概率密度； (III) 求X E Y ⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】(I)2+=X Y ,且<X Y ，由题意：~(0,1)X U . 所以X 的概率密度：1,01()0,<<⎧=⎨⎩x x f x 其他.(II)2X Y +=，则2Y X =-,于是2Y X Z X X-==. {}2()-⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭Z X F z P Z z P z X ,①1<z ，()0=Z F z ; ②1z ≥，222()111Z X F z P z P X X z z -⎧⎫⎧⎫=≤=≥=-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭;综上所述01()2111Z z F z z z <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩+，，,所以221(1)()()01Z Z z z f z F z z ⎧>⎪'+==⎨⎪≤⎩，，. (III)法1：令2==-X X U Y X ,同理可得：22,01(1)()0,⎧<<⎪+=⎨⎪⎩U u u f u 其他, 所以()12022ln 21(1)X E E U u du Y u ⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭⎰. 法2：10()2ln 21222+∞-∞⎛⎫⎛⎫==⋅==- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎰⎰X X X x x E E f x dx dx Y X x x .。

2021年12月27日考研数学真题+逐题解析(数一)

，3
1
，记
1
1 ，2
2
k1
，3
3
l11
l2 2
，
1
1
2
若 1 ， 2 ， 3 两两相交，则 l1 ， l2 依次为
(A) 5 , 1 . 22
(B) 5 , 1 . 22
(C) 5 , 1 . 22
(D) 5 , 1 . 22
(7)设 A, B 为阶实矩阵，下列不成立的是
(A) lim n
n k 1
f
2k 1 2n
1 2n
.
(B)
lim
n
n k 1
f
2k 1 2n
1 n
.
(C)
lim
n
2n k 1
f
k 1 2n
1 n
.
(D) lim x0
2n k 1
f
k 2n
2 n
.
【答案】B.
【解析】由定积分的定义知，将 0,1 分成 n 份，取中间点的函数值，则
(1)求 X 的概率密度；
(2)求 Z 的概率密度.
(3)求
E
X Y
.
3
2021 考研数学真题
数学（一）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）
(1)函数
f
(
x)=
e
x
x
1
1
1
3
(6)已知 1
0
， 2
2
，3

2021年考研数学一真题及答案解析

2021 年全国硕士研究生入学统一考试数学〔一〕试题一、选择题：18小题，每题4分，共32分。

以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。

(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内持续，其中二阶导数()''f x 的图形如以下图，那么曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】〔C 〕【解析】拐点出此刻二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，而且在这点的左右双侧二阶导函数异号。

因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.应选〔C 〕. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，那么 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】〔A 〕【分析】此题考察二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——解来确信微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比拟等式两边的系数可得待估系数值，另一种是依照二阶线性微分方程解的性质和构造来求解，也确实是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，因此2,1为特点方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变成32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.应选〔A 〕(3) 假设级数1∞=∑nn a条件收敛，那么=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点【答案】〔B 〕【分析】此题考察幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

2021年考研数学一真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每题4分，共32分。

以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。

(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内持续，其中二阶导数()''f x 的图形如下图，那么曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出此刻二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，而且在这点的左右双侧二阶导函数异号。

因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.应选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，那么 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确信微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是依照二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也确实是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，因此2,1为特点方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变成32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.应选（A ）(3) 假设级数1∞=∑nn a条件收敛，那么=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

2021考研数学一真题及答案解析参考

2021年考研数学一真题一、选择题，1~8小题，每题4分，共32分.以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，假设x x tan -与k x 是同阶无穷小，那么=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 那么0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，那么以下级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n nn u u. 4.设函数2),(y xy x Q =，假如对上半平面〔0>y 〕内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -. C.y x 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.假设E A A 22=+，且4=A ，那么二次型Ax x T的标准形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+. C.232221y y y --. D.232221y y y ---. 6.如下图，有3张平面两两相交，交线互相平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，那么A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件，那么)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 互相独立，且都服从正态分布),(2σμN ，那么{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二、填空题：9~14小题，每题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=那么yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S .12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧，那么dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.假设 21αα，线性无关，且2132ααα+-=，那么线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，那么{}=->1X X F P E ）（ .三、解答题：15~23小题，共94分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.〔此题总分值10分〕设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.〔1〕求)(x y ；〔2〕求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.〔此题总分值10分〕设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点〔3，4〕处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.〔1〕求b a ,；〔2〕求曲面222by ax z ++=〔0≥z 〕的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=121，n =〔0，1，2…〕〔1〕证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a 〔n =2，3…〕〔2〕求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心坐标.20.设向量组T T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3R 的一个基，T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为T c b )1,,(.〔1〕求c b a ,,.〔2〕证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似〔1〕求y x ,.〔2〕求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 互相独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =〔1〕求z 的概率密度.〔2〕p 为何值时，X 与Z 不相关. 〔3〕X 与Z 是否互相独立?23.〔此题总分值11分〕设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，，21来自总体X 的简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量2021年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析〔数学一〕9.yxx y cos cos +10.23-x e 11.x cos 12.332 13. ，T )1,2,1(-k k 为任意常数. 14.3215. 解：〔1〕)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰，又0)0(=y ，故0=c ，因此.)(221x xex y -=（2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x ex x xe x xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23---e ，)3,3(23-e .16. 解：〔1〕)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z=grad ，由题设可得，4836-=-b a ，即b a =，又()()108622=+=b a z grad ，所以，.1-==b a 〔2〕dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441 =ρρρθπd d ⎰⎰+202241=20232)41(1212ρπ+⋅=.313π 17.18.19.由对称性，2,0==y x ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.〔1〕123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.〔2〕()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，所以()233r ααβ=，，，那么23ααβ，，可为3R 的一个基.()()12323=P αααααβ，，，，那么()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，.21.〔1〕A 与B 相似，那么()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩〔2〕A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解：〔I 〕Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时，()z F z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=-- 那么Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. 〔II 〕由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，又()()1,12D X E Y p ==-，从而当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.〔III 〕由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭，121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解：〔I 〕由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =2012t e dt +∞-==⎰，从而A =〔II 〕构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他，当,1,2,,i x i n μ≥=时，取对数得()22211ln ln ln 22nii n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.。

2021年考研《数学》试题及答案(卷一)

2021年考研《数学》试题及答案（卷一）[ABCD参考答案：A[单选题]设随机变量，则方程有实根的概率为()。

ABCD0参考答案：C[单选题]ABCD参考答案：D[问答题]设，则参考答案：因为P(A-B)=P(A)-P(AB)，所以P(A+B)=P(A-B)+P(B)=0.8。

[问答题]二元函数f(x，y)=在(0，0)点是否可微?________。

(填是或否)参考答案：否[问答题]设随机变量X，Y相互独立，D(X)=4D(Y)，令U=3X+2Y，V=3X-2Y，则=_____。

参考答案：[单选题]函数y=x+ex的反函数的二阶导数=()。

ABCD[问答题]设随机变量X服从参数为2的泊松分布，令Y=4X-3，则E(Y)=_____。

D(Y)=_____。

参考答案：因为X~P(2)，所以E(X)=D(X)=2，于是E(Y)=4E(X)-3=5，D(Y)=16D(X)=32[问答题]参考解析：[问答题]参考答案：[问答题]一工人同时独立制造3个零件，第k个零件不合格的概率为;，以随机变量X表示3个零件中不合格的零件个数，则P(X=2)=______。

参考答案：令Ak={第k个零件不合格}(k=1，2，3)，则[问答题]参考答案：[问答题]设y=y(x)满足y’=x+y，且满足y(0)=1，讨论级数的敛散性。

参考答案：[单选题]设，则A与B()。

A合同且相似B合同但不相似C不合同但相似D不合同且不相似参考答案：A[单选题]设f(x)的导函数为，则f(x)的一个原函数是()。

A1+arctan xB1-arctan xC1+ln(1+x2)D1-ln(1+x2)参考答案：C[单选题]设总体X服从N(μ，σ2)，与分别是取自总体X的样本容量为10和15的两个样本均值，记P1=。

AP1<p2< p="">BP1=P2CP1>P2DP1=1，P2=σ参考答案：C[问答题]设f(x)是连续函数，且，则f(7)=______。

2021年考研数学一真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每题4分，共32分。

以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。

考研数学一真题

考研数学一真题2021年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、选择题部分1. 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n=(n-1)a_{n-1}+1$ $(n\geq2)$，则 $\sum\limits_{n=1}^{m}a_n$ 的通项公式为（）。

A. $\sum\limits_{n=1}^{m}a_n=m!$B. $\sum\limits_{n=1}^{m}a_n=(m+1)!-1$C. $\sum\limits_{n=1}^{m}a_n=m\cdot m!$D. $\sum\limits_{n=1}^{m}a_n=(m+1)!$解：由 $a_n=(n-1)a_{n-1}+1$ 可以得到：$$a_2=1+1!=2,a_3=2+2!=4,a_4=6+3!=9,a_5=24+4!=48$$可以推测出 $\sum\limits_{n=1}^{m}a_n$ 的通项公式为：$$\sum\limits_{n=1}^{m}a_n=(m+1)!-1$$故选 B。

2. 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ $(n\in N^+)$。

则$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n^2}{n}$ 的值为（）。

A. $\frac{1}{2}$B. $1$C. $2$D. $+\infty$解：可以通过递推式将 $a_{n+1}$ 表示为 $a_n$ 和$a_{n-1}$ 的形式。

不过这里我们先注意到数列的变化形式与几何平均数的重合。

因为 $a_{n+1}$ 可以理解为将 $a_n$ 和$\frac{1}{a_n}$ 取几何平均数的结果。

所以可以先推导出几何平均数的递推公式：$$x_{n+1}=\sqrt{x_n\cdot\frac{1}{x_n}}=\frac{1}{2}(x_n+\ frac{1}{x_n})$$将 $a_n$ 和 $\sqrt{n}$ 作比较：$$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}\geq2\sqrt{a_n\cdot\frac{1}{a _n}}=2$$即 $a_n\geq2(n-1)$。

2021—数一真题标准答案及解析

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分.〔1〕当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，那么(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)11,6a b =-=.〔2〕如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，那么{}14max kk I ≤≤(A)1I .(B)2I . (C)3I .(D)4I .〔3〕设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为那么函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)x(C)(D)〔4〕设有两个数列{}{},n n a b ，假设lim 0n n a →∞=，那么〔A 〕当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. 〔B 〕当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.〔5〕设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，那么由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 〔6〕设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，假设2,3A B ==，那么分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为()A **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()B **23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.〔7〕设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，那么EX = (A)0.(B)0.3. (C)0.7.(D)1.〔8〕设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，那么函数()Z F z 的间断点个数为 (A)0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：9~14小题，每题4分，共24分.〔9〕设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，那么2zx y∂=∂∂ . 〔10〕假设二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+，那么非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .〔11〕曲线(2:0L y x x =≤≤，那么Lxds =⎰ .〔12〕设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，那么2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .〔13〕假设3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中Tα为α的转置，那么矩阵Tβα的非零特征值为 . (14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.假设2X kS +为2np 的无偏估计量，那么k = . 三、解答题：15~23小题，共94分. 〔15〕〔此题总分值9分〕求二元函数()22(,)2ln f x y xy y y =++的极值.〔16〕〔此题总分值9分〕设n a 为曲线ny x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑，求1S 与2S 的值.〔17〕〔此题总分值11分〕椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. 〔Ⅰ〕求1S 及2S 的方程〔Ⅱ〕求1S 与2S 之间的立体体积. 〔18〕〔此题总分值11分〕〔Ⅰ〕证明拉格朗日中值定理：假设函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，那么存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-〔Ⅱ〕证明：假设函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，那么()0f +'存在，且()0f A +'=.〔19〕〔此题总分值10分〕计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰，其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.〔20〕〔此题总分值11分〕设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 〔Ⅰ〕求满足21A ξξ=的2ξ. 231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ.〔Ⅱ〕对〔Ⅰ〕中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关.〔21〕〔此题总分值11分〕设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-〔Ⅰ〕求二次型f 的矩阵的所有特征值；〔Ⅱ〕假设二次型f 的标准形为2212y y +，求a 的值.〔22〕〔此题总分值11分〕袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.〔Ⅰ〕求{}10p X Z ==；〔Ⅱ〕求二维随机变量(),X Y 概率分布.〔23〕〔此题总分值11 分〕设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他，其中参数(0)λλ>未知，1X ，2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；〔Ⅱ〕求参数λ的最大似然估计量.2021年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分.〔1〕当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，那么(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)11,6a b =-=.【答案】 A.【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，那么222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D). 所以此题选〔A 〕. 〔2〕如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，那么{}14max kk I ≤≤(A)1I .(B)2I . (C)3I .(D)4I .【答案】 A.【解析】此题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰； x{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为(A).〔3〕设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为那么函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减.②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为〔D 〕.〔4〕设有两个数列{}{},n n a b ，假设lim 0n n a →∞=，那么〔A 〕当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. 〔B 〕当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.【答案】C. 【解析】方法一：举反例：〔A〕取(1)nn n a b ==- 〔B 〕取1n n a b n ==〔D 〕取1n n a b n==故答案为〔C 〕.方法二：因为lim 0,n n a →∞=那么由定义可知1,N ∃使得1n N >时，有1n a <又因为1nn b∞=∑收敛，可得lim 0,n n b →∞=那么由定义可知2,N ∃使得2n N >时，有1n b <从而，当12n N N >+时，有22n nn a b b <，那么由正项级数的比拟判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.〔5〕设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，那么由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A.【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα=，那么A 称为基12,,,n ααα到12,,,n ηηη的过渡矩阵.那么由基12311,,23ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足所以此题选(A).〔6〕设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，假设2,3A B ==，那么分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为()A **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()B **23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 【答案】B.【解析】根据CC C E *=，假设111,C C C CC C*--*==分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O ⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆故答案为〔B 〕.〔7〕设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，那么EX = (A)0.(B)0.3. (C)0.7.(D)1.【答案】C.【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，所以()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭，所以()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰而()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰，()()11221222x x x dx u u u du +∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ= ⎪⎝⎭⎰⎰ 所以00.3520.7EX =+⨯=.〔8〕设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，那么函数()Z F z 的间断点个数为 (A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【答案】 B. 【解析】,X Y 独立〔1〕假设0z <，那么1()()2Z F z z =Φ 〔2〕当0z ≥，那么1()(1())2Z F z z =+Φ 0z ∴=为间断点，应选〔B 〕.二、填空题：9~14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.〔9〕设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，那么2zx y∂=∂∂ . 【答案】"'"12222xf f xyf ++.【解析】''12z f f y x∂=+⋅∂，2"'""'"1222212222z xf f yx f xf f xyf x y ∂=++⋅=++∂∂. 〔10〕假设二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+，那么非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .【答案】2xy xe x =-++.【解析】由12()xy c c x e =+，得121λλ==，故2,1a b =-=微分方程为''2'y y y x -+=设特解*y Ax B =+代入，',1y A A == ∴ 特解 *2y x =+把 (0)2y = ， '(0)0y =代入，得120,1c c ==- ∴ 所求2xy xe x =-++〔11〕曲线(2:0L y x x =≤≤，那么Lxds =⎰ .【答案】136【解析】由题意可知，2,,0x x y x x ==≤≤，那么ds ==，所以()201148Lxds x ==+⎰〔12〕设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，那么2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .【答案】415π. 【解析】方法一：2122220sin cos z dxdydz d d d ππθϕρϕρϕρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法二：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydz Ω⎰⎰⎰ 所以，()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 〔13〕假设3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中Tα为α的转置，那么矩阵Tβα的非零特征值为 . 【答案】2.【解析】2Tαβ=()2T T βαββαββ∴==⋅, T βα∴的非零特征值为2.(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.假设2X kS +为2np 的无偏估计量，那么k = . 【答案】1-. 【解析】2X kS -+为2np 的无偏估计三、解答题：15~23小题，共94分. 〔15〕〔此题总分值9分〕求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. 【解析】故10,x y e= =那么12(0,)12(2)xxef e ''=+，1(0,)0xyef ''=，1(0,)yy ef e ''=.0xxf ''>而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e=-.〔16〕〔此题总分值9分〕设n a 为曲线ny x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑，求1S 与2S 的值.【解析】由题意，n y x =与n+1y=x 在点0x =和1x =处相交，所以112111111a ()()001212n n n n n x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰，从而1111111111S lim lim(-)lim()23122+22Nn nN N N n n a a N N N ∞→∞→∞→∞=====-++=-=++∑∑由2(1)1(1)2nn x x n-++-+ln(1+x)=x- 取1x =得22111ln(2)1()11ln 2234S S =--+=-⇒=-.〔17〕〔此题总分值11分〕椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. 〔Ⅰ〕求1S 及2S 的方程〔Ⅱ〕求1S 与2S 之间的立体体积.【解析】〔I 〕1S 的方程为222143x y z ++=，过点()4,0与22143x y +=的切线为122y x ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭，所以2S 的方程为222122y z x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.〔II 〕1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与局部椭球体体积V 之差，其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰.故所求体积为9544πππ-=.〔18〕〔此题总分值11分〕〔Ⅰ〕证明拉格朗日中值定理：假设函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，那么存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-〔Ⅱ〕证明：假设函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，那么()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】〔Ⅰ〕作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即〔Ⅱ〕任取0(0,)x δ∈，那么函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式〔*式〕两边取00x +→时的极限可得：故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.〔19〕〔此题总分值10分〕计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰，其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.【解析】2223/2()xdydz ydxdz zdxdy I x y z ∑++=++⎰⎰，其中222224x y z ++= 2222223/22225/22(),()()x y z x x x y z x y z ∂+-=∂++++① 2222223/22225/22(),()()y x z y y x y z x y z ∂+-=∂++++② 2222223/22225/22(),()()z x y z z x y z x y z ∂+-=∂++++③ ∴①+②+③=2223/22223/22223/2()()()0()()()x y zx x y z y x y z z x y z ∂∂∂++=∂++∂++∂++ 由于被积函数及其偏导数在点〔0，0，0〕处不连续，作封闭曲面〔外侧〕222211:.016x y z R R ∑++=<<有〔20〕〔此题总分值11分〕设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ 1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭〔Ⅰ〕求满足21A ξξ=的2ξ. 231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ.〔Ⅱ〕对〔Ⅰ〕中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关. 【解析】〔Ⅰ〕解方程21A ξξ=()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-=求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数.解方程231A ξξ=故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.〔Ⅱ〕证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关. 〔21〕〔此题总分值11分〕设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- 〔Ⅰ〕求二次型f 的矩阵的所有特征值；〔Ⅱ〕假设二次型f 的标准形为2212y y +，求a 的值.【解析】〔Ⅰ〕 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭〔Ⅱ〕假设标准形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.那么1) 假设10a λ==，那么 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 假设20λ= ，即2a =，那么120λ=>，330λ=>，符合3) 假设30λ= ，即1a =-，那么110λ=-< ，230λ=-<，不符题意综上所述，故2a =.〔22〕〔此题总分值11分〕袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. 〔Ⅰ〕求{}10p X Z ==；〔Ⅱ〕求二维随机变量(),X Y 概率分布.【解析】〔Ⅰ〕在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间那么相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅.〔Ⅱ〕X ，Y 取值范围为0，1，2，故〔23〕〔此题总分值11 分〕设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他，其中参数(0)λλ>未知，1X ,2X ,…,n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；〔Ⅱ〕求参数λ的最大似然估计量【解析】〔1〕由EX X =而22022ˆx EX x e dx X Xλλλλ+∞-===⇒=⎰为总体的矩估计量〔2〕构造似然函数取对数11ln 2ln ln nni i i i L n x x λλ===+-∑∑令111ln 222001n i n ni i i i i d L n n x d x x n λλλ====⇒-=⇒==∑∑∑ 故其最大似然估计量为2Xλ''=.。