信号与系统 王颖民 第四次作业

2.14 已知信号波形如图所示，计算卷积

)()(21t f t f *

)(a

解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤=)20(2

1

)()10(1)(21t t t f t t f 首先将函数的自变量由t 换成τ，再将)(2t f 翻转得)(2t f -，然后平移

（1）当0

时，

)

(1τf 和

)

(2τ-t f 两个波形没有相遇，因此，

0)()(21=-ττt f f ，所以0)()()(21=-=⎰+∞

∞-τττd t f f t y

（2）当10

<≤t 时

2

0214

1)(2

1)()()(t

d t d t f f t y t

t

=

-=-=⎰⎰τττττ

（3）当21

<≤t 时

4

12)(2

1)()()(1

1

021-=

-=-=⎰⎰t d t d t f f t y τττττ

（4）当32

<≤t 时

⎰⎰+-+--=-=1

21

221)(2

1)()()(t

t d t d t f f t y τ

ττττ

)32(4

12

++-=t t

（5）当3≥t

时，0)()()(21=-=⎰+∞

∞-τττd t f f t y

)(b

解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+=≤≤=)21(1(3

1

)()10(1)(21t t t f t t f ）

注：有的同学将横轴为0时的纵坐标当成1来计算，这样就有：

⎩⎨

⎧≤≤-+=≤≤=)

21(1)()

10(1)(21t t t f t t f

（1）当01<+

t ，即1-

0)()()(21=-=⎰+∞

∞-τττd t f f t y

（2）当110

<+≤t ，即01<≤-t 时

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+=+-=-=+=+-=-=⎰⎰⎰⎰++++2

1010212

101021)1(2

1)1()()()()1(61)1(31)()()(t d t d t f f t y t d t d t f f t y t t t t ττττττττττ（注：两种不同)(2t f 对应的)(t y 的值，方法一样，只是数值不同）

（3）当11>+

t 且02<+-t 时，即20<≤t 时

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+=+-=-=+=+-=-=⎰⎰⎰⎰)

2

1()1()()()()21(31)1(31

)()()(101021101021t d t d t f f t y t d t d t f f t y ττττττττττ （4）当120

<+-≤t 时，即32<≤t 时

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+-=+-=-=+-=+-=-=⎰⎰⎰⎰+-+-+-+-2

9

21)1()()()(2361)1(31)()()(212122121

21221t d t d t f f t y t d t d t f f t y t t t t ττττττττττ（5）当12≥+-

t ，即3≥t 时

0)()()(21=-=⎰+∞

∞-τττd t f f t y

2.16 已知传输算子为1

21)(H 2

+++=

p p p p ，输入信号与初始条件如下，

求系统的全响应。 （1）

2)0(,1)0(),()(='==--y y t u t f

解：a:先求零输入响应，由传输算子求得极点为：121-==λλ

所以，设零输入响应t

x e

t c c t f -+=)()(21

带入初始条件得：3,121

==c c

t

x e

t t f -+=∴)31()(

b:求零状态响应

1

11

21)(H 2

+=

+++=

p p p p p

)()(t u e t h t -=∴

τ

ττττττd t u e

u d t h f t y t f )()()()()()

(-=-=∴--+∞

∞-+∞

∞-⎰⎰

)()1(0)

(t u e d e

t

t t ----==⎰ττ

c:全响应

)0(,13)1()31()(≥+=-++=---t te

e e

t t y t

t t

（2）5)0(,3)0(),()(='==++y y t u t f

解：同理：

)()1()(t u e t y t

f --=

1)0(,0)0(='=∴++f f y y

30)0()0()0(1=+=+=∴+++c y y y f x

51)0()0()0(21=++-='+'='+++c c y y y f x

7,321==∴c c

)0()73()(≥+=∴-t e t t f t

x

全响应：

)0(,127)1()73()(≥++=-++=----t e

te

e e

t t y t

t

t t

（3）

2)0(,1)0(),()(='==---y y t u e t f t

解：同理3,121

==c c

t

x e

t t f -+=)31()(

)()(t u e t h t

-=

τ

τττττττ

d t u e

u e d t h f t y t f )()()()()()

(-=-=∴--+∞

∞--+∞

∞-⎰⎰)(0)

(t u te d e

e t

t t ----==⎰τττ

全响应：

)0(,)14()31()(≥+=++=---t e t te

e

t t y t

t

t

（4）

3)0(,2)0(),()(='==-+-y y t u e t f t

解：同理

)()(t u te t y t

f -=

1)0(,0)0(='=∴++f f y y