十字相乘法解一元二次方程学案

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第5课一元二次方程的解法——十字相乘

第5课一元二次方程的解法（5）——十字相乘法班别：姓名：学号：一、问题引领1、掌握运用十字相乘法进行因式分解；2、提高运用所学知识解决数学问题的能力。

二、启发交流填空：=++)3)(4(x x =+-)2)(5(x x =--)6)(1(x x三、自主探索试一试：1272++x x =（）（） 1032--x x =（）（） 672+-x x =（）（）可见，形如ab x b a x +++)(2的多项式可使用公式进行因式分解，这种方法我们又称为十字相乘法。

想一想：怎样的多项式能用十字相乘法进行因式分解呢？形如ab x b a x +++)(2的多项式的特征： ① 项式② 二次项系数为 ③ 常数项为两数之④ 一次项系数为这两个数之四、探究升华例题：用十字相乘法解下列方程（1）0652=++x x ；（2）0652=+-x x ；（3）0652=-+x x ；（4）0652=--x x 解：（1）0652=++x x（2）0652=+-x x（3）0652=-+x x（4）0652=--x x方法点拨：形如ab x b a x +++)(2的多项式因式分解，关键在常数项的分解。

当常数项是正数时，它分解成两个号因数，它们和一次项系数的符号；当常数项是负数时，它分解成两个号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号。

五、基础训练1、用十字形成法解下列方程（1）022=-+x x （2）01522=--x x（3）0342=++x x （4）01072=+-a a（5）03652=--p p （6）0822=-+t t（7）0892=++x x （8）024102=+-x x（9）01032=-+x x （10）02832=--x x2、（1）如果)5)(9(452+-=-+x x mx x ，则___.m =（2）若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为，n 的值为六、拓展训练1、用十字相乘法解下列方程（1）028)1(11)1(2=++++x x（2）0652222=--x y x y x（3）07824=+-a a七、中考链接（2007年临沂市）如果34-x 是多项式a x x ++542的一个因式，则a 等于（）A 、 -6B 、 6C 、 -9D 、9。

十字相乘法解一元二次方程课件

(3).( 2x 1)2 4(2x 1);
(4).(x 1)(x 2) 12
思考：用因式分解法解关于的方x程
(1)x2 2ax a2 b2 0
2a bx2 2bx a b 0
课堂小结？
∴ x1=
,
A解
x2=
B解
观察思考 1
(1)(x 2)(x 3) ___________
(2)(x 3)(x 7) _______________
(3)(x 4)(x 5) _____________
由此你能将下面的多项式分解因式吗？
x2 10 x 21 ___________
解一元二次方程
十字相乘法
教学目标
1、会对多项式运用十字相乘法进行分解因式； 2、能运用十字相乘法求解一元二次方程。重点：运用十字相乘法求解一元二次方程
难点：对多项式运用十字相乘法进行分解因式。
因式分解法解题框架图
解：原方程可变形为：
=0
( 一次因式A )( 一次因式B)=0
=0或
一次因式A
一次因式=B0
x
－4
x1
-
3 5
,
x2
4
－20x＋3x=－17x
练习：解下列方程
(1)2 y2 3y 2 0 (2)3x2 10 x 8 0
(3)4x2 31x 45 0 (4) 3x2 22 x 24 0
先胜为快
解下列方程
(1).x 1(5x 4) 0; (2).3xx 2 4 2x;
Hale Waihona Puke c1(a1x c1)(a2x c2 )
a2 c2
例2 求解:3x －2 10x＋3=0
解：(x－3)(3x－1)=0

十字相乘解一元二次方程方法

十字相乘解一元二次方程方法【原创版3篇】篇1 目录1.十字相乘法简介2.十字相乘法解一元二次方程的基本步骤3.示例：用十字相乘法解一元二次方程4.总结与拓展篇1正文【1.十字相乘法简介】十字相乘法是一种求解一元二次方程的简便方法，它是一种基于因式分解的解法。

这种方法之所以被称为“十字相乘”，是因为在分解因式的过程中，需要将常数项和一次项分别写在十字的两边，并通过交叉相乘得到二次项的系数。

【2.十字相乘法解一元二次方程的基本步骤】1) 确定一元二次方程的标准形式：ax + bx + c = 02) 计算判别式：Δ = b - 4ac3) 根据判别式的值判断方程的根的情况：- Δ > 0：方程有两个不相等的实根- Δ = 0：方程有两个相等的实根- Δ < 0：方程无实根4) 根据一元二次方程的求根公式，计算出方程的两个根：x1,2 = (-b ±√Δ) / (2a)5) 用十字相乘法分解因式：将根的形式代入原方程，得到一个关于 a、b、c 的因式分解式6) 根据因式分解式，得出方程的两个根【3.示例：用十字相乘法解一元二次方程】示例：求解方程 2x - 3x - 2 = 01) 确定方程的标准形式：2x - 3x - 2 = 0，a = 2, b = -3, c = -22) 计算判别式：Δ = (-3) - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 253) 根据判别式的值判断方程的根的情况：Δ > 0，方程有两个不相等的实根4) 根据求根公式，计算出方程的两个根：x1,2 = (3 ±√25) / (2* 2) = (3 ± 5) / 4，x1 = 1, x2 = -2/2 = -15) 用十字相乘法分解因式：将根的形式代入原方程，得到 2(x - 1)(x+ 2) = 06) 根据因式分解式，得出方程的两个根：x1 = 1, x2 = -2【4.总结与拓展】十字相乘法作为一种解一元二次方程的简便方法，在实际应用中具有较高的价值。

解一元二次方程十字相乘法教案(一)

解一元二次方程十字相乘法教案(一)解一元二次方程十字相乘法教案1. 教学目标•理解一元二次方程十字相乘法的概念与原理•学会使用十字相乘法解一元二次方程的方法•掌握运用十字相乘法解决实际问题的能力2. 教学准备•黑板、粉笔•教材、练习题3. 教学内容与步骤第一步：引入概念1.引导学生回顾二次方程的定义。

2.引入十字相乘法的概念，并解释其背后的原理。

第二步：解一元二次方程的步骤1.给出一个简单的一元二次方程，例如：x^2 - 5x + 6 = 0。

2.按照以下步骤进行解题：–将方程转化为括号形式：(x - a)(x - b) = 0。

–根据方程的形式，利用十字相乘法得出 a 和 b 的值。

–根据 a 和 b 的值，写出方程的两个根。

3.通过多个例题，巩固学生对解一元二次方程的十字相乘法的理解。

4.强调注意事项，例如方程无解时或只有一个解时的特殊情况。

第三步：应用实例1.给出一些实际问题，例如：某数的平方减去这个数的两倍再加上1等于0，求这个数。

2.引导学生将问题转化为一元二次方程，并运用十字相乘法解决问题。

4. 拓展练习1.让学生在课后完成一些练习题，巩固解一元二次方程十字相乘法的能力。

2.鼓励学生运用所学知识解决更多的实际问题。

5. 小结与评价1.总结一元二次方程十字相乘法的解题步骤与技巧。

2.确保学生理解并掌握所学内容，及时解答他们的疑惑。

3.对学生的学习情况进行评价，并提供积极的反馈。

6. 参考资料•教材•练习题集7. 教学延伸1.给学生讲解使用十字相乘法解一元二次方程时的常见错误，并指导学生如何避免这些错误。

2.引导学生思考，如果方程不是标准的二次方程形式，如何将其转化为适合使用十字相乘法解题的形式。

8. 探究性学习1.提供一些较为复杂的一元二次方程，让学生自己尝试使用十字相乘法解决问题。

2.引导学生思考，在实际生活中可以应用十字相乘法解决哪些问题，如何解决。

9. 课外拓展1.推荐学生阅读相关的数学书籍或网站，进一步了解十字相乘法以及解一元二次方程的其他方法。

一元二次方程的解法-十字相乘法

首先观察一元二次方程的形式，确定二次项系数和常数项系数。
根据二次项系数和常数项系数，将方程左侧转化为两个一次项的乘积。
求解一次项系数
求解未知数
通过交叉相乘的方法，求解出一次项系数。
将求得的一次项系数代入原方程，解出未知数。
注意事项
适用范围
十字相乘法适用于解形式为 $ax^2+bx+c=0$的一元二次方
概念
十字相乘法基于因式分解的思想，通过将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而求解未知数。
重要性及应用领域
重要性
十字相乘法是一元二次方程的重要解法之一，它能够直接求得方程的解，避免了复杂的计算和求解过程。
应用领域
十字相乘法广泛应用于数学、物理、工程等领域，尤其在解决实际问题中，如代数问题、几何问题、概率统计等，都经常需要使用到一元二次方程的解法，而十字相乘法是其中的一种常用方法。
一元二次方程的解法-十相乘法原理 • 实例解析 • 与其他解法的比较 • 练习与巩固 • 总结与展望
01 引言
定义与概念
定义
十字相乘法是一种解一元二次方程的数学方法，通过将方程左侧的二次项和常数项进行拆分，然后与右侧的一次项进行交叉相乘，得到两个一次方程，从而求解一元二次方程。
02 十字相乘法原理
原理概述
十字相乘法是一种解一元二次方程的简便方法，通过将方程左侧的二次项和常数项进行拆分，然后交叉相乘，得到两个一次项，从而找到方程的解。
该方法基于一元二次方程的因式分解，通过将方程左侧转化为两个一次项的乘积，简化了解的过程。
具体步骤
确定二次项系数和常数项系数
进行因式分解
与因式分解法的比较
适用范围

人教版九年级上册 21.2 十字相乘法解一元二次方程讲义

十字相乘法一、回顾①(x+2)(x+1)=.②(x+2)(x-1)=.@(x-2)(x+1)=@(x-2)(x-1)=⑤(x+α)(x+")=二、新知形成(一)二次项次数为1的二次三项式的因式分解一般地，由多项式乘法，(x+Q)(x+b)=x 2+(α+b)x+αb ,反过来，就得到也就是说，对于二次三项式f +pχ+q f 如果能够把箪等项q 分解成两个因数么b 的积，并且。

+匕等于一次项的系数p,那么它就可以分解因式，即X 2+px+q=x 2+(α+力)x+"=(x+.)(x+b),运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。

二、典例分析例1、分解因式(1)f+4x÷3 (2) —3x +2 (3) +6x -7 (4) —2x —3(5)X 2-5X +6=0; (6)x 2+10x-11=0.(7)x 2+4x+3=0;(8)x 2-2x-3=0(9)χ2-6x+5=0 (10)X 2-X -12=O (11)X 2-7X ÷10=0(13)X 2-5x-6=O(14)(x+1)(x+3)=15+3x+2= ________ X 2+x-2= —X-2= ________ -3x+2= ________ X 2+(a+b)x+ab= (12)X 2+2X -99=0例2若一元二次方程。

〃一1)/+37/%+(m2+36-4)=0有一个根是0,则〃2的值是？(二)二次项次数不为1的二次三项式的因式分解例2、解方程(2)6X 2-7X -5=0(3)2X 2-5X -3=O(5)3a 2-8^+4=0 (6)5x 2+7x-6=0 例3已知3/一7盯一2θV=o,求证：χ=4y^c3x=-5y.(1)2X 2-7X +3=0 (4)2X 2+15X ÷7=O (7) 6∕-11y-10=0 (8) 2X 2-3√5X +5=O (9) 2X 2-5X =-2。

新版九年级数学专题教案：十字相乘法解一元二次方程

“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因
高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出
－3
⑵ 3x2＋8x－3＝0
竖分 3 － 1
叉乘
横写 1
3
对于某些一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可以尝试运用十字相乘法
解一元二次方程，关键是对ax2+bx+c进行因式分解。
因式分解的操作要点为：竖分、叉乘、横写。
比如形如x2+(a+b)x+ab＝0的方程，可以将其变形为(x+a)(x+b)=0后
班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她

一元二次方程的解法----十字相乘法教案大全

一元二次方程的解法----十字相乘法教案大全第一篇：一元二次方程的解法----十字相乘法教案大全一元二次方程的解法——十字相乘法班级________姓名________学号________一、学习目标：1、利用十字相乘法分解因式2、利用十字相乘法解一元二次方程练习：（1）x2＋7x＋12 =0(2)x2—5x＋6=0（3）(x＋2)(x—1)=10二、典例精析例1、用十字相乘法分解因式（1）x2＋5x＋6（3）x2＋5x—6（5）x2—5xy＋6y2练习：（1）x2—7x＋10（3）x2—12x—13例2、用十字相乘法解一元二次方程（1）x2＋5x＋6=0（3）（x＋3)(x—1)=5（2）x2—5x＋64）x2—5x—6(6)(x＋y)2—5（x＋y）—6（2）y2＋y—2（4）m2—5m＋4（2）y2＋y—2=0（4）t(t＋3)=28例3、用十字相乘法解关于x的方程：(1)(x—2)2—2(x—2)—3=0*(2)(x2—3x)2—2(x2—3x)—8=0练习：（1）(x+1)2-5(x+1)-24=0（2）x2+(m2-n2)x-m2n2=0★例4、已知x2—5xy＋6y2 =0（y≠0），求yxx+y 的值。

四、课后作业1、m2＋7m—18=(m＋a)(m＋b),则a,b的符号为（）A、a,b异号B、a,b异号且绝对值大的为负C、a, b同号D、a,b同号且绝对值大的为正（2、在下列各式中，（1）x2＋7x＋6（2）x2＋4x＋3（3）x2＋6x＋8（4）x2＋7x＋10（5）x2＋15x＋44有相同因式的是（）A、（1）（2）B、（3）（5）C、（2）（5）D、（1）（2）、（3）（4）、（3）（5）3、x2＋2x—3，x2—4x＋3，x2＋5x—6的公因式是（）A、x—3B、3—xC、x ＋1D、x—14、若y2＋py＋q=（y—4）（y＋7），则p=，q=.5、分解因式：（1）x2＋7 x—8（2）y2—2y—15（3）（x＋3y）2—4(x＋3y)—326、用十字相乘法解一元二次方程（1）x2—3x—10 =0（2）x2＋3x—10 =0（3）x2—6x—40 =0（4）x2—10x＋16 =0（5）x2—3x—4 =0（6）m2—3m—18=07、用十字相乘法解关于x的一元二次方程：（1）(x＋1)(x＋3)=15（2）(x＋2)(x—3)=14（3）x2-4ax+3a2=0(5)(x—2)2＋3(x—2)—4=0（4）x2—3xy—18y2=0*(6)(x2—x)2—4(x2—x)—12=08、已知：△ABC的两边长为2和3，第三边的长是x2—7x＋10=0的根，求△ABC的周长.9、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2-1=0<1>x2+x-2=0<2>x2+2x-3=0<3>……x2+(n-1)x-n=0<n>（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可. 第二篇：一元二次方程解法一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c是常数)根的判别式时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根①当②当③当根与系数的关系解法1、直接开平方法x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)2、配方法3、求根公式法4、因式分解法一、选择1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）一元二次方程的解法同步测试题7281 4162210222C.x+8x+9=0化为（x+4）=25D.3x-4x-2=0化为(x-)= 39222A.x-2x-99=0化为(x-1)=100B.2x-7x-4=0化为(x-)=2.用配方法解关于x的方程x+px+q=0时，此方程可变形为（）2p2p2-4qp24q-p2A.(x+)=B.(x+)= 2424p2p2-4qp24q-p2C.(x-)=D.(x-)= 24243.二次三项式x-4x+7值（）A.可以等于0B.大于3C.不小于3D.既可以为正，也可以为负1 24.若2x+1与4x-2x-5互为相反数，则x为()A.-1或222233B.1或-C.1或-D.1或 32325.以5-26和5+26为根的一元二次方程是（）A．x-10x-1=0B.x+10x-1=0C.x+10x+1=0D.x-10x+1=06.方程2x-6x+3=0较小的根为p，方程2x-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于（）A.3B.2C.1D.237.已知x1、x2是方程x-x-3=0的两个实数根，那么x1+x2的值是（）A.1B.5C.7D.222222222 4948.方程x（x+3）=x+3的解是（）A.x=1B.x1=0, x2=-3C.x1=1 ,x2=3D.x1=1,x2=-39.下列说法错误的是（）A.关于x的方程x=k，必有两个互为相反数的实数根。

十字交叉相乘法解一元二次方程

十字交叉相乘法解一元二次方程《十字交叉相乘法解一元二次方程》一元二次方程啊，就像一个小怪兽，有时候让我们很头疼呢。

不过别担心，有个超厉害的方法可以来打败它，那就是十字交叉相乘法。

我先给大家说说啥是一元二次方程吧。

一元二次方程呢，就长这个样子：ax²+bx + c = 0（a、b、c是常数，a可不是0哦）。

这就好比是一个神秘的城堡，我们要找到打开城堡大门的钥匙，这个钥匙就是方程的解。

那十字交叉相乘法怎么用呢？我来举个例子，比如说方程x²+5x+6 = 0。

我们就把二次项系数1分解成1×1，常数项6分解成2×3。

然后像搭积木一样，把它们交叉相乘再相加，1×3+1×2正好等于一次项系数5呢。

这时候我们就可以把方程写成(x + 2)(x+ 3)=0。

这样就简单多啦，因为只要让x+2 = 0或者x + 3 = 0就好啦。

解得x = -2或者x=-3。

哇塞，是不是很神奇呢？我再给你们讲个更复杂一点的例子吧。

像2x² - 7x+3 = 0。

我们把二次项系数2分解成2×1，常数项3分解成(-1)×(-3)。

然后交叉相乘再相加，2×(-1)+1×(-3)= -2 - 3=-5，哎呀，这可不对，我们得重新分解常数项3，把它分解成(-3)×(-1)。

再交叉相乘相加，2×(-1)+1×(-3)= -2 - 3=-5，还是不对。

那我们重新把常数项3分解成(-1)×(-3)，这次2×(-1)+1×(-3)= -2 - 3=-5，不对呀。

再重新来，把3分解成1×3，2×(-3)+1×(-1)= -6 - 1=-7，哈哈，这次对啦。

所以方程就可以写成(2x - 1)(x - 3)=0。

那解就是x = 1/2或者x = 3。

我和我的同桌就经常讨论这个十字交叉相乘法呢。

十字相乘法解一元二次方程PPT课件

3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
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将下列各数表示成两个整数的积的形式
（1）6= 2×3 或 (-2)×(-3)或1×6或(-1) ×(-6) （2）-6= 1× (-6)或-1×6或2× (-3)或3× (-2) （3）12= 1× 12或(-1)×(-12)或2× 6或(-2)× (-6) 或3×4
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三.十字相乘法分解因式－解方程（1）
解方程1x2 6x 8 0; 2x2 5x 6 0; 3x2 x 20 0; 4x2 2x 8 0 5x2 3x 2 0; 6x2 11x 30 0
解：1x 2x 4 0
x 2 0 x 4 0
x1 2, x2 4
解方程1x2 6x 8 0; 2x2 5x 6 0; 3x2 x 20 0; 4x2 2x 8 0 5x2 3x 2 0; 6x2 11x 30 0
解
3x 5x 4 0
x 5 0, x 4 0 x1 5, x2 4
4x 4x 2 0
x 4 0, x 2 0 x1 4, x2 2
(3)4x2 31x 45 0 (4) 3x2 22 x 24 0
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把下列各式分解因式解一元二次方程
1. x2-11x-12=0
2. x2+4x-12=0 3. x2-x-12 =0
4. x2-5x-14 =0 5. y2-11y+24=0
第14页/共17页
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6=0 答案(7x＋6)(x＋1)=0 2－y2－4y＋12=0 答案－ (y＋6)(y－2)=0 3 15x2＋7xy－4y 2=0 答案 (3x－y)(5x＋4y)=0 4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10=0

人教版九年级上十字相乘法解一元二次方程(17张)

=例2 分解因式 3x2 －10x＋3
解：3x 2－10x＋3
1
－3
=(x－3)(3x－1)
3
－1
－9－1=－10
例3 分解因式 5x2－17x－12
解：5x 2－17x－12 5
＋3
=(5x＋3)(x－4) 1
－4
－20＋3=－17
三.十字相乘法分解因式－解方程（2）
例解下列方程
(1)2 y2 3y 2 0 (2)3x2 10 x 8 0
三.十字相乘法分解因式－解方程（1）
解方程1x2 6x 8 0; 2x2 5x 6 0; 3x2 x 20 0; 4x2 2x 8 0 5x2 3x 2 0; 6x2 11x 30 0
解：1x 2x 4 0
x 2 0 x 4 0
x1 2, x2 4
长又
（1）6= 2×3 或 (-2)×(-3)或1×6或(-1) ×(-6) （2）-6= 1× (-6)或-1×6或2× (-3)或3× (-2)
（3）12= 1× 12或(-1)×(-12)或2× 6或(-2)× (-6) 或3×4 或(-3)× (-4)
（4）-12= 1× (-12)或(-1)×12或2×(- 6)或(-2)× 6或 3×(-4) 或(-3)× 4
人师的乐趣 ,在工作逐渐充实了自己。 2.我先后任教过高一(2)班、高一 (3)班、高一(4)班的化学,并自己熟悉了高化学教材和教学大纲,对高一化学教材有比较充分的理解,能正确理解、掌握化学教学大纲和教材 ,能正确传授内容,重点突出。能够落实“双基”教学,注意培养学生的化学创
解 5x 1x 2 0

十字相乘法

3.十字相乘法解一元二次方程例1 把2x^2-7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：11╳23 1×3+2×1=513╳21 1×1+2×3=71-1╳2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-51 -3 ╳2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1c1 ╳ a2c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).例2 把6x^2-7x-5分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种21╳3-5 2×(-5)+3×1=-7是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×(-3)=2所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即12╳ 5-4 1×(-4)+5×2=6解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2=2(x-y) ^2-3(x-y)-21-2╳ 211×1+2×(-2)=－3=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1).指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5 x^2+2x-15分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。