最新大同中学自主招生数学试题

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精品解析：2024年山西省大同市多校中考一模数学试题(解析版)

2023—2024中考学科素养自主测评卷（一）数学注意事项：1.本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1. 下列四个实数中，无理数是（）A. 3.14B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查的是无理数的定义，熟知初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是解答此题的关键．无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【详解】解：A 、3.14是有限小数，属有理数不是无理数，故此选项不符合题意；B、是分数，属有理数不是无理数，故此选项不符合题意；CD是整数，属有理数不是无理数，故此选项不符合题意；故选：C ．2. “二十四节气”是根据太阳在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置来划分的，是在我国春秋战国时期订立的一种用来指导农事的补充历法，下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图案的是（）A. B.2272277C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查轴对称的性质，对称轴两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形．根据轴对称的定义判定即可．【详解】解：A ．选项中的图案不是轴对称图形，故选项A 不符合题意；B ．选项中的图案是轴对称图形，故选项B 符合题意；C ．选项中的图案不是轴对称图形，故选项C 不符合题意；D ．选项中的图案不是轴对称图形，故选项D 不符合题意；故选：B ．3. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此题考查了整式的加法、单项式除以单项式的运算和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据整式加法法则计算即可判定A ；根据单项式除以单项式法则计算即可判定B 、C ；根据完全平方公式即可判定D ．【详解】解：A 、，故此选项不符合题意；B 、，故此选项不符合题意；C 、，故此选项符合题意；D 、，故此选项不符合题意；()2244a a --=-322144a b a b a ÷=()734122a aa ÷-=-()222224a b a ab b -=-+()2222444a a a a --=-+=322144a b a b ab ÷=()734122a aa ÷-=-()222244ab a ab b -=-+故选：C ．4. 如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C 放在直尺上，，，则的度数是（）A. 10°B. 12°C. 15°D. 20°【答案】D【解析】【分析】本题主要考查平行公理推论，平行线性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线．过点B 作交于D ，则，在中，，又在中，，则，从而求得，再证明，即可由平行线的性质求解．【详解】解：过点B 作交于D ，∵，∴，∴在中，，在中，，∴，∴，∵，，∴，∴．故选：D ．5. 随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声30︒ABC 30A ∠=︒150∠=︒2∠BD EF ∥AC 1CDB ∠=∠Rt BCD 90CBD CDB ∠=︒-∠Rt ABC △30A ∠=︒90ABC A ∠=︒-∠ABD ABC CBD ∠=∠-∠BD MN ∥BD EF ∥AC BD EF ∥150CDB ∠=∠=︒Rt BCD 9040CBD CDB ∠=︒-∠=︒Rt ABC △30A ∠=︒9060ABC A ∠=︒-∠=︒604020ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒BD EF ∥MN EF ∥BD MN ∥220ABD ∠=∠=︒乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】解：设“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”这四种课程分别为A 、B 、C 、D ．画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即、、、，∴小红和小明两人恰好同时选择体育运动（包含轮滑和足球）的概率为．故选：A ．6. 在数学课上，同学们用7个相同的小立方体搭成不同形状的几何体，下面是四个小组搭成的几何体，则下列说法中不正确的是（）A. 图1和图2的俯视图的面积相等B. 图2和图4的左视图相同C. 图3和图4的俯视图相同D. 图1比图3的左视图的面积小【答案】D【解析】【分析】本题考查了简单组合体的三视图，分别画出相应几何体的视图再进行判断即可得出结论．14381312AA BB CC DD 41164【详解】解：A. 图1的俯视图是，图2的俯视图是，所以，图1和图2的俯视图的面积相等，故选项A 说法正确，不符合题意；B. 图2的左视图是，图4的左视图是，所以，图2和图4的左视图相同，故选项B 说法正确，不符合题意；C. 图3的俯视图是，图4的俯视图是，所以，图3和图4的俯视图相同，故选项C说法正确，不符合题意；D. 图1的左视图是，图3的左视图是，所以，图1与图3的左视图的面积相等，故选项D 说法错误，符合题意，故选：D7. 如图，直线与的图象相交于点，则关于x 的不等式的解集为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．【详解】解：当时，，得由函数图象可知，关于x 的不等式的解集为，故选：C ．8. 如图，内接于半径为6的中、作的直径，若，连接，则图中扇形的()0y kx b k =+≠6y x =-(),4A m -6kx b x +<-4x >-<4x -2x >2x <y kx b =+6y x =-4y =-64x -=-2x =6kx b x +<-2x >ABC O O BD 50A ∠=︒OC面积是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积公式，求出是解题的关键．先由圆周角定理得，从而求得，即可由扇形面积公式求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：A ．9. 已知抛物线的部分值如下表所示：…2368……4 5.54…由表格可知，下列结论中正确的是A. 抛物线开口向上B. 该抛物线的最大值为5.5C. 该抛物线的对称轴为直线D. 该抛物线与y 轴交于点【答案】D【解析】【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质．求出二次函数解析式是解题的关键．先用待定系数法求出抛物线的解析式，再根据解析式，由抛物线的图象性质判定即可．8π6π169π329π80COD ∠=︒2100BOC A ==∠∠°80COD ∠=︒50A ∠=︒2100BOC A ==∠∠°18080COD BOC ∠=︒-∠=︒28068360CODS ππ⨯==扇形2y ax bx c =++x y 2-3x =()0,2-详解】解：把，，分别代入，得，解得：，∴抛物线解析式为，∵，∴抛物线的开口向下，故A 选项错误，不符合题意；∴当时，抛物线最大值为6，故B 选项错误，不符合题意；∴该抛物线的对称轴为直线，故C 选项错误，不符合题意；∵把代入，得，∴该抛物线与y 轴交于点，故D 选项正确，符合题意；故选：D ．10. 如图是由若干个相同的小正三角形组成的图形，小明在该图形中建立了平面直角坐标系，并测得点A 的坐标是，点B 的坐标是，由此可知、点C 的坐标是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】此题考查了点的平移、正三角形的性质、勾股定理等知识，求出等边三角形的边长，再根据平移方式即可求出点C 的坐标．【详解】解：由点B 的坐标是可知，每个小正三角的高是3，如图，小正三角形边长为【的()2,4()6,4()8,2-2y ax bx c =++42436646482a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩1242a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩()22112424622y y x x x =-=-+-=--+102a =-<4x =4x =0x =21422y x x =-+-=2y -()0,2-()-()0,3-()(3,⎫⎪⎪⎭()0,3-DEFa ，在中，，∴，∴，即，解得，即每个小正三角形的边长为，∵点C 是由点A 向右平移个单位，向上平移3个单位得到的，∴点C 的坐标是，故选：A 第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 计算：的结果为_____________．【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把除法化为乘法运用乘法分配律，再运算减法，即可作答．【详解】解：12. 小明与弟弟玩用棋子探图案的游戏，小明摆出的图案具有一定的规律，第1个图案用5枚棋子．第2个图案用9枚棋子，第3个图案用13枚棋子，第4个图案用17枚棋子…，依此规律，第个图案用_____________枚棋子（用含的代数式表示）．3,DH =Rt DHF △1302FDH EDF ∠=∠=︒2DF HF =222DF DH HF =+222132a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a =()- 3.5=()==n n【答案】【解析】【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律，找出规律是解题的关键．由图形可知：第1个图案需枚棋子；第2个图案需枚棋子；第3个图案需枚棋子；…由此得出第n 个图案需个棋子．【详解】解：第1个图案需枚棋子；第2个图案需枚棋子；第3个图案需枚棋子；第4个图案需枚棋子；…由此得出第n 个图案需枚棋子．故答案为：．13. 要想富，先修路．为了让贫困地区的人们尽早摆脱贫困．我国截至2023年底共建成了约4万公里的高铁营业里程．高铁平均每公里的造价约1.3亿元，那么截至2023年底我国在高佚营业里程建造的投入约为____________元（用科学记数法表示）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．()41n +31115⨯++=32219⨯++=333113⨯++=3141n n n ++=+31115⨯++=32219⨯++=333113⨯++=344117⨯++=()3141n n n ++=+41n +125.210⨯10n a ⨯110a ≤<12844101.310 5.210⨯⨯=⨯⨯125.210⨯14. 在物理学中，用电功率表示电流做功的快慢．已知串联电路中，电阻消耗的电功率与电阻的比值成正比；并联电路中，电阻消耗的电功率与电阻的比值成反比．如图1；把阻值不等的两个电阻和串联在符合条件的电路中，与的电功率的比是3：5．当把它们并联在符合条件的电路中．的电功率是60W ．则的电功率是____________W ．【答案】36【解析】【分析】本题考查了成比例线段，解题的关键是理解“正比”与“反比”的含义．根据两个电阻在串联时与其电功率成正比、在并联时与其电功率成反比求解即可．【详解】根据题意知，两个电阻串联时，电阻与电功率成正比，则两电阻之比等于其消耗功率之比．∴设与并联时，各自的电功率为与，则，根据并联时电阻与电功率成反比，∴，∴，即的电功率为．故答案为：．15. 如图，在正方形中，，点在对角线上运动，连接，点在上运动，且，连接，则的最小值为______________．【答案】##【解析】1R 2R 1R 2R 1R 2R 12:3:5R R =1R 2R 1P 2P 160P W =2112::3:5P P R R ==()121236036W 5R P P R ×´===2R 36W 36ABCD 4AB =E AC BE F BE BCF ABE ∠=∠AFAF 22-+【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，求一点到圆上的距离的最值问题，根据题意得出，进而可得在为直径的一段弧上运动，勾股定理求得，即可求解．【详解】解：∵，，即∴∴在为直径的一段弧上运动，如图所示，设为的中点，连接，则,∴当在上时，取得最小值，最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）16. （1）计算：；（2）解不等式组：并把解集表示在数轴上【答案】（1）（2），数轴表示见解析．【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，解不等式组，零指数幂，在数轴上表示不等式解集．（1）先计算乘方，并化简绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可．（2）先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再确定出不等式的公共解集，然后在数轴上表示不等式解集即可．．90BFC ∠=︒F BC AO BCF ABE ∠=∠9090CBF ABE BCF ∠=︒-∠=︒-∠90FBC FCB ∠+∠=︒90BFC ∠=︒F BC O BC AO 2BO =AO ==F OA AF 22-()013.14173π⎛⎫-⨯---- ⎪⎝⎭31123262x x x x +>-⎧⎪--⎨>⎪⎩，，183-13x -<<【详解】解：（1）原式；（2）解不等式①，得．解不等式②，得．所以，原不等式组的解集为．把这个不等式组的解集表示在数轴上如答图，17. 如图，已知直线上有一点A ，直线外有一点P ．（1）根据下列步骤．利用尺规完成作图，并解决相关的问题：①连接，作的垂直平分线，交直线于点B ，交于点；②在直线上截取线段，使（点Q 与点B 不重合）；③作直线．（2）判断并说明直线与直线的位置关系；（3）若，直接写出线段的长．【答案】（1）作图见解析；（2）直线直线（或）；（3）．【解析】【分析】（1）根据作法的语言描述，作出图形即可．1183⎛⎫=⨯-- ⎪⎝⎭183=--183=-31123262x x x x +>-⎧⎪⎨-->⎪⎩，①，②1x >-3x <13x -<<l l AP AP MN l AP O MN OQ OQ OB =PQ PQ l 6PQ PA ==BQ PQ l PQ l ∥（2）证明，得，再根据平行线的判定即可得出结论．（3）由，得，，求得，再由勾股定理求得，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，此图即为所求；【小问2详解】解：直线直线（或）．理由如下：∵是的垂直平分线，∴．在和中，∴．∴．∴直线直线．【小问3详解】解：∵，∴，，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴()SAS OPQ OAB ≌PQO ABO ∠=∠OPQ OAB △≌△OP OA =OB OQ =3OP=OQ ==PQ ∥l PQ l ∥MN AP OP OA =OPQ △OAB OQ OB POQ AOBOP OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS OPQ OAB ≌PQO ABO ∠=∠PQ l OPQ OAB △≌△OP OA =OB OQ =116322OP PA ==⨯=MN AP 90POQ ∠=︒OQ ===∴【点睛】本题考查尺规基本作图-作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定，勾股定理．掌握尺规基本作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．18. 某电器商场经过市场调查发现某品牌甲、乙两种节能冰箱深受消费者喜欢，电器商场决定购进这两种节能冰箱销售．已知甲种节能冰箱的进价比乙种节能冰箱的进价贵2400元，分别用3.6万元购进这两种节能冰箱时，甲种节能冰箱的数量是乙种节能冰箱数量的．（1）求甲、乙两种节能冰箱的进价分别是多少；（2）该电器商场准备用20万元购进甲、乙两种节能冰箱共40台，求最多购进甲种节能冰箱多少台．【答案】（1）甲种节能冰箱的进价是6000元/台，乙种节能冰箱的进价是3600元/台；（2）最多购进甲种节能冰箱23台【解析】【分析】本题考查分式方程与不等式的应用．找出等量关系与不等量关系列出方程与不等式是解题的关键．（1）设乙种节能冰箱的进价是元/台，则甲种节能冰箱的进价为元/台，根据分别用3.6万元购进这两种节能冰箱时，甲种节能冰箱的数量是乙种节能冰箱数量的，列出方程，求解即可．（2）设购进甲种节能冰箱台，则购进乙种节能冰箱台，根据购进两种节能冰箱的总金额汪睛或等于20万元，列出不等式求解即可．【小问1详解】解：设乙种节能冰箱的进价是元/台．根据题意，得．解，得．经检验：是原方程的解．．答：甲种节能冰箱的进价是6000元/台，乙种节能冰箱的进价是3600元/台．【小问2详解】解：设购进甲种节能冰箱台．根据题意，得．2BQ OB OQ OQ =+==35x ()2400x +35y ()40y -x 3.610000 3.610000324005x x ⨯⨯=⨯+3600x =3600x =24006000x +=y ()60003600402010000y y +-≤⨯解，得．∵取最大的正整数，∴．答：最多购进甲种节能冰箱23台．19. 为响应党的二十大报告中提出的要“深化全民阅读活动”的号召，贯彻教育部《关于完善中华优秀传统文化教育指导纲要》等政策精神，某校开展了“书香浸润心灵阅读点亮人生”读书系列活动．某校语文组开展了阅读我国“四大古典名著”的活动，“四大古典名著”是指《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》．语文组为了了解学生对“四大古典名著”的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图（如图）．请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是____________部，中位数是____________部；（2）请将以上条形统计图补充完整；（3）扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角的度数为_____________；【答案】（1）2，2；（2）见解析；（3）72°．【解析】【分析】（1）先求出调查的总人数，再分别求出读一本、四本的数量，再根据众数的定义解答，取排序后的数值取中间位置，即为中位数；（2）结合（1）的结合，作图补充条形统计图，即可作答．（3）用乘上读1部的所占的百分比，即可作答．【小问1详解】解：调查的总人数：（人）读4部的人数：（人）读1部的人数：（人）703y ≤y 23y =360︒1525%60÷=6020%12⨯=60318151212----=∴本次调查所得数据的众数是2部；排在位的即为中位数，∴中位数是2部；故答案为：2，2；【小问2详解】解：由（1）知读4部的人数：（人）读1部的人数：（人）条形统计图补充如下：【小问3详解】解：依题意，得∴扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角的度数为．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，求扇形统计图的圆心角，中位数和众数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．20. 阅读与思考下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读，并帮助小明解答小明父亲给的以下任务：小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，售价不得低于成本价且利润率不高于80%．销售一段时间后市场调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x （元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：任务一：要解决小明父亲提出的问题，主要运用的数学思想是____________；A ．公理化思想B ．统计思想C ．函数思想D ．分类思想任务二：请帮助小明解决相关的3个问题．【答案】任务一：C ；任务二：（1）（2）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元．30,31212143014183231+=<+=>，6020%12⨯=12123607260︒⨯=︒72︒()42160305y x x =-≤≤+（3）销售单价应定为50元．【解析】【分析】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．任务一：根据（1）的问题“y 与x 的函数关系式”，以及后面的最大利润问题，得知要解决小明父亲提出的问题，主要运用的数学思想是函数思想，即可作答．任务二：（1）设每天的销售数量y （件）与销售单价x （元/件）之间的关系式为，用待定系数法可得；（2）设每天获利w 元，得，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．（3）根据题意得把代入中，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；【详解】解：任务一：依题意，得主要运用的数学思想是函数思想，故选：C任务二：（1）设每天的销售数量y （件）与销售单价x （元/件）之间的关系式为，把代入得：，解得，∴（2）设每天获利w 元．根据题意，得整理，得．∵，∴抛物线开口向下，有最大值，对称轴是直线．y kx b =+2160y x =-+()22551250w x =--+1200w =()22551250w x =--+y kx b =+()()35904080，，，35904080k b k b +=⎧⎨+=⎩2160k b =-⎧⎨=⎩2160y x =-+；()21603054y x x =-+≤≤()()302160w x x =--+()22551250w x =--+20-<55x =又∵售价不得低于成本价且利润率不高于80%，∴且．解，得．∴时，取最大值，．答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元．（3）把代入中，得解，得，．∵，∴．答：销售单价应定为50元．21. 在清明节来临之际，王亮的父亲带王亮自驾车回老家祭拜先祖．用如图所示的方式表示他们回老家的两条路线．设王亮家在A 处，老家在D 处．第一条是从家出发先向东行驶到达B 处，再沿B 处的北偏东方向行驶到达老家D 处；第二条是从家向正北方向行驶到达C 处，再沿C 处的北偏东方向到达老家D 处．已知车速相同，请说明选择哪条路能更快回到老家．（参考数据：，，）【答案】选择第一条路能更快回到老家，理由见解析．【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点D 作交的延长线于点E ，过点B 作交于点F ，证明四边形是矩形，得到，；设，再解直角三角形得到，，30x ≥()30180%x ≤+3054x ≤≤54x =w ()22545512501248max w =-⨯-+=1200w =()22551250w x =--+()225512501200x --+=150x =260x =3054x ≤≤50x =21km 37︒63km 53︒sin 5345︒≈cos5335︒≈tan 5343︒≈DE AC ⊥AC BF DE ⊥DE ABFE 21km EF AB ==63AE BF AC CE CE ==+=+km DF x =4km 3BF x =5km 3BD x =，，进而建立方程，解得，由此分别求出两条路线的长度即可得到答案．【详解】解：选择第一条路能更快回到老家，理由如下：如图，过点D 作交的延长线于点E ，过点B 作交于点F ．∴由题知，∴四边形是矩形．∴，．设．在中，，，∴．∵，，∴，．在中，，，，∵，，∴，．∵，∴．解得．363km 4x CE +=5105km 4x CD +=43636334x x +=+135x =DE AC ⊥AC BF DE ⊥DE 90DEC DFB ∠=∠=︒90A ∠=︒ABFE 21km EF AB ==63AE BF AC CE CE ==+=+km DF x =Rt BDF △37DBF ∠=︒90DFB ∠=︒9053FDB DBF ∠=︒-∠=︒4tan 3BF FDB DF ∠==3cos 5DF FDB BD ∠==4km 3BF x =5km 3BD x =Rt DCE V 90DEC ∠=︒()21km DE x =+53ECD ∠=︒4tan 3DE ECD CE ∠==4sin 5DE ECD CD ∠==363km 4x CE +=5105km 4x CD +=63AE BF CE ==+43636334x x +=+135x =∴．∴第一条路：．∵．∴第二条路：．∵，∴选择第一条路能更快回到老家．22. 综合与实践问题情境如图1，在中，，，点D 在上运动，于点E ，探究图形中存在的数量关系．操作探究（1）如图2，当时，则线段与的数量关系是_____________；图1中，线段与的数量关系是_____________（用含n 的代数式表示）；拓展探究（2）把绕点A 顺时针旋转得到图3，连接和，猜想和的数量关系，并说明理由；（3）把绕点A 顺时针旋转，当点C ，E 和D 在同一条直线上，，，时，直接写出线段的长，【答案】（1），；（2）结论：，理由见解析；（3）或．【解析】【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是利用数形结合，55135225km 33BD x ==⨯=21225246km AB BD +=+=51055135105195km 44x CD +⨯+===63195258km AC CD +=+=246258<ABC 90ACB ∠=︒AC nBC =AB DEAC ⊥1n =BD CE BD CE ADE V BD CE BD CE ADE V 8AC =2n =AE BC =CD BD=BD=BD=22-分类讨论的思想，证明三角形相似．（1）根据勾股定理求出与的关系，根据正切值以及勾股定理求出与的关系，进而求出线段BD 与CE 的数量关系即可；（2）先证明，再证明，得到，即可得出结论；（3）分在之间和在之间，两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：（1）当时，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴；∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故答案为：，；（2）结论：．理由如下：∵旋转，AB BC AD DEAED ACB ∽ABD ACE ∽ABBD AC CE=E ,C D D ,C E 1n =AC BC=90ACB ∠=︒45A B ∠=∠=︒AB =DE AC⊥45A ∠=︒AE DE =AD =CE AC AE =-)BD AB AD AC AE =-=-BD=AC nBC=AB===1tan BC DE A AC AE n===AE nDE =AD ===()),E CE AC AE n BC DE BD A D B C AD B =-=-=--=BD =BD =BD =BD =∴，∵于点E ，，∴．∵，∴．∴，∴∵∴，∴，在中，，，由勾股定理，得．∴．∴．（3）①当在之间时，如图：∵，，，∴，∵，∴，∴,CAB EAD CAE BAD ∠=∠∠=∠DE AC ⊥90ACB ∠=︒90AED ACB ==︒∠∠EAD CAB ∠=∠AED ACB ∽AD AE AB AC=AD AB AE AC =CAE BAD∠=∠ABD ACE ∽AB BD AC CE=Rt ABC △AC nBC =90ACB ∠=︒AB ===AB AC ==BD =E ,C D 8AC =2n =AE BC =4AE BC ==AE DE ⊥90AEC ∠=︒CE ==∵，∴，∴，∴；②当在之间时，如图：同法可得：综上：的长为或．23. 综合与探究如图，抛物线与x 轴交于点A和B ，点A 在点B 的左侧，交y 轴于点C ，作直线．（1）求点B 的坐标及直线的表达式；tan tan BAC EAD ∠=∠12BC DE AC AE==122DE AE ==2CD CE DE =+=+D ,C E 2CD CE DE =-=-CD 2+2-21262y x x =--BC BC（2）当点D 在直线下方抛物线上运动时，连接交于点E ，若，求点D 的坐标；（3）抛物线上是否存在点F ．使得?若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点B 的坐标是，直线BC 的表达式是；（2）点的坐标是或；（3）存在，点的坐标是或．【解析】【分析】（1）令和，解方程即可求得点B 和点C的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）作轴，垂足为，交直线于点，证明，利用相似三角形的性质求解即可；（3）分两种情况讨论，利用待定系数法和解方程组即可求解．【小问1详解】解：令，解方程得或，∴点B 的坐标为；令，则，∴点C 的坐标为；设直线的表达式为，则，解得，∴直线的表达式为；【小问2详解】解：作轴，垂足为，交直线于点，的BC OD BC 512DE OE =15BCF ∠=︒()6,06y x =-D 151,2⎛⎫- ⎪⎝⎭75,2⎛⎫- ⎪⎝⎭F (4+0y =0x =DH x ⊥H BC G DGE OCE ∽△△0y =212602x x --=2x =-6x =()60，0x =y =-6()06-，BC 6y kx =-066k =-1k =BC 6y x =-DH x ⊥H BC G∴，∵点C 的坐标为，∴，设点坐标为，则点的坐标为，∴，∵，∴，∴，∴，整理得，解得或，∴点坐标为或；【小问3详解】解：∵点B 的坐标为，点C 的坐标为，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，的的DG OC ∥()06-，6OC =D 21262m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，G ()6m m -，2211626322GD m m m m m =--++=-+DG OC ∥DGE OCE ∽△△EDG OC DE O =22136125m m -+=2650m m -+=5m =1m =D 151,2⎛⎫-⎪⎝⎭75,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()60，()06-，6OB OC ==OBC △45OCB ∠=︒15BCF ∠=︒∴或，当时，以为边作等边，直线交抛物线于点，此时，如图，作轴于点，在中，，，∴，∴点的坐标为，同理，求得直线的表达式为，联立，解得或（舍去），∴点的坐标是；当时，设交轴于点，此时，如图，60OCF ∠=︒30OCF ∠=︒60OCF ∠=︒OC OCM CM F 15BCF ∠=︒MN y ⊥N Rt OMN △6OM OC ==132ON OC ==MN ==M ()3-MC 6y x =-261262y y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩06x y =⎧⎨=-⎩F 30OCF ∠=︒CF x K 15BCF ∠=︒在中，，，∴，∴点的坐标为，同理，求得直线的表达式为，联立，解得（舍去），∴点的坐标是；综上，点的坐标是或．【点睛】本题考查了一次函数表达式的确定，函数图象上点的坐标特征，二次函数图象和性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论思想等，属于中考压轴题，解题关键是熟练掌握待定系数法，运用方程思想和分类讨论思想．Rt OCK △6OC =30OCK ∠=︒tan 30OK OC =⋅︒=K ()CK6y =-261262yy x x ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩4x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩06x y =⎧⎨=-⎩F (4+F (4+。

福建省厦门市大同中学2025届高三适应性调研考试数学试题含解析

福建省厦门市大同中学2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z满足)1z z i -+=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（） A ．1B ．0C ．1-D．122i -+ 2．己知a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>3．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．45 B ．45-C ．35D ．354．已知复数21iz i=+，则z =（） A ．1i +B ．1i -CD ．25．过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（） ABC ．2D6．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-7．已知函数()32cos f x x x =+，若2(3)a f =，(2)b f =，2(log 7)c f =,则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．设复数z 满足z ii z i-=+，则z =（） A ．1B ．-1C ．1i -D ．1i +9．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（）． A ．0B ．1C ．2D ．310．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π11．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（） A ．2或233B ．2或3C ．3或62D ．233或62二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年高中自主招生素质检测数学试题及参考答案

学校姓名考场座位号2024年自主招生素质检测数学试题注意事项:1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟㊂2.全卷包括试题卷 (4页)和答题卡 (2页)两部分㊂3.答题一律要求用0.5m m 黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷,作图题使用2B 铅笔作答,考试不使用计算器㊂4.考试结束后,请将试题卷和答题卡一并交回㊂一㊁选择题:共10小题,每小题5分,共50分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂1.由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示,现拿走一个小立方体,得到几何体的主视图与左视图均没有变化,则拿走的小立方体是A .①B .②C .③D .④2.黄山景色绝美,景观奇特. 五一假期,黄山风景区进山游客近13万人,黄山景区门票旺季190元/人,以此计算, 五一假期黄山景区进山门票总收入用科学计数法表示为A .0.247ˑ107B .2.47ˑ107C .2.47ˑ108D .247ˑ1053.下列因式分解正确的是A .2x 2+y 2+4x y =(2x +y )2B .x 3-2x y +x y 2=x (x -y )2C .x 2-(3y -1)2=(x -1+3y )(x +1-3y )D .a x 2-a y 2+1=a (x +y )(x -y )+14.已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y =a x 2-3x +3上两点,当a -x 1-x 2=2时,y 1=y 2,则该抛物线与坐标轴的交点个数为A .3个或0个B .3个或1个C .2个或0个D .2个5.若关于x 的不等式组x +2a <03x +a <15的解集中的任意x 的值,都能使不等式x -4<0成立,则实数a 的取值范围为A .a <-3B .a <-2C .a ȡ-2D .a ȡ36.如图,已知әA B C 中,A D 为øB A C 的平分线,A B =8,B C =6,A C =10,则D C 的值为A .10B .2C .5D .17.如图,B (-2,0),C (4,0),且B E 所在的直线与A C 垂直,øA C B -øB A O =45ʎ,连接O D ,若射线O D 上有一点M ,横坐标为6,则әB O M 的面积为A .3B .6C .23D .728.定义:用M a ,b ,c 表示这三个数的中位数,用M i n {a ,b ,c }表示这三个数的最小数.例如:M {-1,12,0}=0,M i n {-1,12,0}=-1.如果M {4,x 2,2x -1}=M i n {4,x 2,2x -1},则x 的值为A .2或-2B .1或12C .2或12D .1或529.如图,әA B C 中,A B =B C ,øB =120ʎ,E 为平面内一点,若A E =3,C E =2,则B E 的值可能为A .2.5B .3C .0.3D .0.510.如图,直线A B :y =13x +b 与反比例函数y =kx相交于点A (3,5),与y 轴交于点B ,将射线A B 绕点A 逆时针旋转45ʎ,交反比例函数图象于点C ,则点A ㊁B ㊁C 构成的三角形面积为A .12B .1110C .232D .554二㊁填空题:共4小题,每小题5分,共20分㊂11.某市为改善市容,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均绿地面积的增长率为.12.若x 9+x 8+ +x 2+x +1=0,则x 的值为.13.定义:对于函数y =l g x (x >0),y 随x 的增大而增大,且l g 10=1,l g xy=l g x -l g y ,l g x y =l g x +l g y .若1a +5b =5,则l g a +l g b 的最大值为.14.已知二次函数y =2x 2+b x +c 图象的对称轴为直线x =34,且过点(3,10),若其与直线y =3交于A ㊁B 两点,与直线y =x +5交于P ㊁Q 两点,则P Q 2A B值为.三㊁解答题:共5题,共80分㊂解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤㊂15.(12分)(1)若13a +25b =1,23a +35b =3,求a 2-b 2+8b -172025;(2)先化简再求值:m +2m -m -1m -2ːm -4m 2-4m +4,其中m =2s i n 30ʎ㊃t a n 45ʎ-32t a n 30ʎ.16.(12分)请按以下要求完成尺规作图.(1)如图1,菱形A B C D 中,点P 在对角线B D 上,请作出一对以B D 所在直线为对称轴的全等三角形,使交B A 于点M ,交B C 于点N ,әP B M ɸәP B N .你有几种解法?请在下图中完成;(保留必要作图痕迹,不写作法)(2)如图2,点P 是菱形A B C D 内部一点,请作出一条过点P 的直线,交射线B A ㊁射线B C 于点M ㊁N ,且B M =B N ,聪明的你肯定有多种不同作法?请在下图中完成两种作法,并选择其中一种证明:B M =B N .(保留必要作图痕迹,不写作法)17.(15分)如图,直角三角形A B C中,以直角边A B为直径作圆交A C于点D,过点D作D MʅA B于点M,E为D M的中点,连接A E并延长交B C于点F,B F=E F.(1)求证:C F=B F;(2)求t a nøD E F;(3)若D F=2,求圆的面积.18.(19分)已知四边形A B C D,A B=4,点P在射线B C上运动,连接A P.(1)若四边形A B C D为正方形,点M在A P上,且øA D M=øA P D.请判断A M㊁A P㊁A C之间数量关系,并说明理由;(2)若四边形A B C D为菱形呢?øB=60ʎ,其他条件与(1)同,则(1)中的结论还成立吗?并说明理由;(3)若四边形A B C D为正方形,将线段A P绕点P顺时针旋转90ʎ于P Q,此时D Q的最小值为多少?A Q+D Q的最小值呢?并说明理由.19.(22分)已知抛物线y=a x2+b x+c的顶点坐标为A(1,4),与x轴交点分别为点B㊁C(点B在点C 左侧),与y轴交点为D,一次函数y=k x+4(k>0)与x轴所形成的夹角的正切值为4,方程k x+4=a x2+b x+c有两个相等的实数根.(1)求该抛物线的解析式;(2)点M是该抛物线上一动点,则在抛物线对称轴上是否存在点N,使得以A㊁B㊁M㊁N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出所有满足条件的点N坐标及该平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;(3)若将该抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到抛物线y',点D关于x轴的对称点为D',若过点D'的直线与y'交于P㊁Q两点(点P在点Q左侧),点Q关于y轴的对称点为Q',若әP Q O与әP Q Q'面积相等,求直线P Q的解析式.2024年自主招生素质检测数学参考答案选择题:共10小题,每小题5分,满分50分㊂题号12345678910答案CBCBCABDAD填空题:共4小题,每小题5分,满分20分㊂11.20% 12.-1 13.1 14.2654.ʌ解析ɔ x 1+x 2=a -2,抛物线的对称轴x =--32a,ʑ32a =a -22⇒a 2-2a -3=0⇒(a +1)(a -3)=0⇒a 1=-1,a 2=3,ʑ①当a 1=-1时,y =-x 2-3x +3,Δ=9+12>0,与坐标轴的交点个数为3个;②当a 2=3时,y =3x 2-3x +3,Δ=9-4ˑ3ˑ3<0,与坐标轴的交点个数为1个.5.ʌ解析ɔ x <-2a ,x <15-a 3,①-2a >15-a 3,解得a <-3,ʑx <15-a 3,ȵx <4,ʑ15-a 3ɤ4,解得a ȡ3(舍去);②-2a ɤ15-a 3,解得a ȡ-3,ʑx <-2a ,ȵx <4,ʑ-2a ɤ4,解得a ȡ-2.6.ʌ解析ɔ 由角平分线定理S әA B D S әA C D =A B ㊃h A C ㊃h =45=B D D C ,ʑ45=6-D C D C ,解得D C =103.7.ʌ解析ɔ øB E O =øB A E +øA B E ,øA C B =øB A O +45ʎ,R t әB O E ʐR t әB D C ,ʑøB E O =øA C B ,ʑøA B D =45ʎ,则әA B D 为等腰直角三角形,A D =B D ,ʑR t әA E D ɸR t әB C D ,ʑA E =B C ,S әA E D =S әB C D ,ʑh 1=h 2,ʑ点D 在øA O C 的角平分线上,M (6,6),S әB O M =2ˑ62=6.8.ʌ解析ɔ 由图像知x 2=2x -1,解得x =1;或2x -1=4,解得x =52.9.ʌ解析ɔ 设B E =x ,将әA B E 绕B 点顺时针旋转120ʎ到әC B E ',C E '=A E =3,øE B E '=120ʎ,B E =B E '=x ,易得E E '=3x ,在әC E E '中,C E '-C E <E E '<C E '+C E ,即3-2<3x <2+3,解得33<x <533.10.ʌ解析ɔ 由题知,直线y =13x +b 与反比例函数y =k x相交于点A(3,5),则13ˑ3+b =5,解得b =4,k =15,法一:直线A C 与y 轴交于点M ,从M 点作直线A B 的垂线,垂足为N ,A M =(m -5)2+32,MN =(4-m )s i n θ=(4-m )310,A M =2MN ,ʑ(m -5)2+9=95(m -4)2⇒5(m -5)2+45=9(m -4)2,2m 2-11m -13=0⇒(2m -13)(m +1)=0,ʑm =132(舍)或m =-1,直线A C 的方程为y =2x -1.2x -1=15x ⇒2x 2-x -15=0⇒(2x +5)(x -3)=0,解得x 1=-52,x 2=3,ʑ点C (-52,-6),S әA B C =5ˑ(3+52)2=554.法二:易知l A B :y =13x +4,设l A C :y =k 2x +b ,由倒角公式得t a n 45ʎ=k 2-k 11+k 1k 2=k 2-131+13k 2=1,k 2-13=13k 2+1,两边平方得k 2=2或k 2=-12(舍),又l A C 过点A ,ʑl A C :y =2x -1(与y 轴交点为M ),与y =15x 联立得x C =-52,ʑS әA B C =12BM |x A -x C |=554.12.ʌ答案ɔ -1ʌ解析ɔ 若x =0,等式不成立,则x ʂ0,等式两边同乘x ,ʑx 10+x 9+x 8+ +x 2+x =0⇒x 10-1=0⇒x 10=1,解得x =ʃ1.当x =1时,等式不成立;当x =-1时,等式成立.13.ʌ解析ɔ l g a +l g b =l ga b ,即求a b 的最大值,12a +54b ȡ212a ㊃54b =258a b ,258a b ɤ5⇒a b ɤ10.14.ʌ解析ɔ 由题知,-b 4=34,解得b =-3,抛物线过点(3,10),代入数据解得c =1,抛物线y =2x 2-3x +1,当y =3时,2x 2-3x +1=3,解得x 1=-12,x 2=2,A B =52,当y =x +5时,2x 2-3x +1=x +5⇒x 2-2x -2=0⇒x 3+x 4=2,x 3x 4=-2,(x 3-x 4)2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4=12,P Q =(1+k 2)(x 3-x 4)2=26,P Q 2A B =265.15.(12分)ʌ解析ɔ (1)13a +25b =1, ①23a +35b =3, ②①+②得a +b =4,(2分) a 2-b 2+8b -17=(a +b )(a -b )+8b -17=4a -4b +8b -17=4a +4b -17=-1,(4分)a 2-b 2+8b -17 2025=-1.(6分)(2)原式=m +2m -m -1m -2㊃(m -2)2m -4=m 2-4-(m 2-m )m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -4m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -2m,(8分)m =2ˑ12-32ˑ33=12,(10分) ʑ原式=12-212=-3.(12分) 16.(12分)ʌ解析ɔ (1)提示:作P M ㊁P N 分别垂直于A B ㊁A C ,如图1;(2分)过P 点作MN 垂直于B D ,如图2;(4分)P 作E F ʊB C A B 于点E C D 于点F E M =E P M P 交B C 于点N作法二:先作B M '=B N ',交A B 于点M ',交B C 于点N ',连接M 'N ',将直线M 'N '平移过点P ,交A B 于点M ,交B C 于点N ,即MN 为所求直线,如图4;(8分)选择作法一证明:ȵE M =E P ,ʑøE M P =øE P M ,ȵE F ʊB C ,ʑøE P M =øB NM ,ʑøE M P =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)选择作法二证明:ȵB M '=B N ',ʑøB M 'N '=øB N 'M ',M 'N 'ʊMN ,ʑøB MN =øB M 'N ',øB NM =øB N 'M ',ʑøB MN =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)(作法不限,合理即可)17.ʌ解析ɔ (1)ȵD M ʊB C ,ʑәA D E ʐәA C F ,әA E M ʐәA F B ,ʑA E A F =D E C F ,A E A F =E M B F,(2分) ȵD E =E M ,ʑC F =B F ;(4分)(2)取A B 的中点O ,即为圆心,连接O F ,设圆O 的半径为r ,延长A B 交D F 延长线于G ,由(1)知,F 为R t әB C D 中斜边B C 的中点,ʑD F =B F =E F ,ʑøF D E =øD E F =øA E M ,ȵøG +øG D M =øE A M +øA E M =90ʎ,则øG =øE A M ,ʑA F =F G ,在әA F G 中,F B ʅA G ,则A B =B G =2r ,A O =r ,O G =3r ,(6分)ȵO F ʊA C ,ʑO G A O =F G D F=3,即F G =3D F ,(8分) ȵD F =B F ,ʑF G =3B F ,ʑc o s øB F G =B F F G =13,ʑt a n øD E F =t a n øE D F =t a n øB F G =B G B F=22;(10分)(3)ȵD F =B F ,ʑB F =2,由(2)知,t a n øB F G =B G B F=22,ʑB G =42,(12分)ȵB G =2r ,ʑr =22.(13分)S 圆O =πr 2=8π.(15分)18.ʌ解析ɔ (1)A C 2=2A M ㊃A P .(2分)理由如下:如图1,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D ,ʑA D 2=A M ㊃A P ,在正方形A B C D 中,A D =22A C,ʑ(22A C )2=A M ㊃A P ,ʑA C 2=2A M ㊃A P .(6分)(2)(1)中的结论不成立.(7分) 理由如下:如图2,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D,ʑA D 2=A M ㊃A P ,ȵ在菱形A B C D 中,øB =60ʎ,则B C =A B =A C =A D ,ʑA C 2=A M ㊃A P .(11分)(3)如图3,过点Q 分别作Q E ʅB C 的延长线于点E ,Q F ʅC D 于点F ,ʑQ F =C E ,设B P =m ,A P =Q P ʑR t әA B P ɸR t әP E Q ,则B P =Q E =m ,A B =P E =4,ȵC E +P C =B P +P C =4,ʑC E =B P =m ,在R t әD F Q 中,Q F =C E =m ,D F =C D -C F =4-m ,(15分) D Q 2=D F 2+Q F 2=(4-m )2+m 2=2m 2-8m +16=2(m -2)2+8,当m =2时,D Q 取得最小值,D Q m i n =22,(17分) 分析易知Q 在C D '上运动,作D 关于C D '的对称点C ',连接Q C ',则(A Q +D Q )m i n =(A Q +Q C ')m i n =A C '=42+82=45.(19分) 19.ʌ解析ɔ (1)由题可知k =4,ʑy =4x +4(2分) 2的顶点坐标为A y =a x -12即4x +4=a (x -1)2+4⇒a x 2-(2a +4)x +a =0有两个相等的实数根,ʑΔ=(2a +4)2-4a 2=0,解得a =-1,ʑ抛物线的解析式为y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3;(5分)(2)设M 点坐标为(m ,-m 2+2m +3),N 点坐标为(1,n ),A (1,4),令-x 2+2x +3=0,解得x 1=-1,x 2=3,所以B (-1,0),C (3,0),(7分)若A B 为对角线,1-12=m +12,解得m =-1(舍去);若A M 为对角线,m +12=1-12,解得m =-1(舍去);若A N 为对角线,1+12=m -12,解得m =3;(9分) 4+n 2=0-m 2+2m +32,解得n =-4,此时M (3,0),N (1,-4),(10分)S ▱A B M N =4ˑ82=16;(12分) (3)由题可知,抛物线y '=-x 2,点D (0,3)关于x 轴的对称点D '(0,-3),直线P Q 过点D ',设直线P Q 的解析式为y P Q =k x -3,若k >0,如图1,S әP Q O =S әP Q Q ',则Q 'O ʊP Q ,则әQ 'H O ɸәQ H D ',所以O H =12O D '=32,H (0,-32),所以Q (62,-32),Q '(-62,-32),直线P Q 的解析式为y P Q =62x -3;(16分)若k <0,如图2,过点Q '作直线l ʊP Q ,取l 与y 轴交点M ,作O L ʅP Q 于点L ,MH ʅP Q 于点H ,所以O L ʊHM ,S әP Q O =S әP Q O ',所以O L =HM ,所以四边形O L MH 为平行四边形,则对角线互相平分,所以M (0,-6),同理,әD 'K Q ɸәM K Q ',所以D 'K =K M =12D 'M =32,所以K (0,-92),(20分) 因为点Q 的纵坐标为-92,所以Q (322,-92),直线P Q 的解析式为y P Q =-22x -3.(21分)综上,直线P Q 的解析式为y P Q =6x -3或y P Q =-2x -3.分)。

大同中学自招考题

大同中学自招考题一、背景介绍大同中学是一所位于中国的知名高中学校，以其优秀的教育质量和丰富多样的教育资源而著称。

每年，该校都会进行自主招生，吸引了众多优秀的初中毕业生前来报考。

为了选拔最适合该校的学生，大同中学设置了一套独特而有挑战性的自招考题。

二、考题内容1. 数学题目一：已知函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，求 f(x) 的最小值和对应的 x 值。

题目二：某商品原价为 100 元，现在打八折出售，请计算这个商品现在的售价。

2. 英语题目一：请用英语写一篇不少于100词的短文，介绍你最喜欢的电影，并解释你为什么喜欢它。

题目二：阅读以下短文，并回答问题：Tom is a student from China. He is studying English at a language school in the United States. Every morning, he takes the bus to school and arrives at 8 o' clock. After class, he usually goes to the library to borrow some books. In the evening, he likes to watch American TV shows to improve his listening skills. He also enjoys playing basketball with his classmates on the weekends.问题：1.Tom 是哪国人？2.他每天什么时候到达学校？3.他喜欢用什么方式提高听力技巧？4.他周末喜欢和谁一起打篮球？3. 哲学题目一：请阐述你对“知识是力量”的理解，并举例说明。

题目二：请阐述你对“幸福”的理解，并谈谈你认为如何追求幸福。

三、参考答案1. 数学题目一：函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的最小值为 -1，对应的 x 值为 1。

2025届山西省大同一中高三第四次模拟考试数学试卷含解析

2025届山西省大同一中高三第四次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( )A ．10B ．11C ．12D ．132．已知向量a ，b ，b =(1，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（） A ．2B ．1C ．12D ．03．已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（） A ．{}1A B x x ⋂=< B ．{}A B x x e ⋃=< C ．{}1A B x x ⋃=<D ．{}01A B x x ⋂=<<4．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（） A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π5．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：函数4()f x x x=+的最小值为4. 给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()()p q ⌝∧⌝，其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（）A B ．2C D7．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．A ．26B ．4C ．3D ．228．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 9．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<10．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（）A ．800B ．1000C ．1200D ．160011．已知函数()sin 3cos f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 12．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（）A ．3()3x f x x =-B ．e e ()x xf x x --= C ．2()f x x x =-D ．||e ()xf x x=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年大同中学自主招生数学试题

大同中学自主招生数学试题
一、填空题
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c符合f(x)·f(-x)= f (x2), 则这样旳二次函数有________个. 2．一辆火车通过一种信号灯花了分钟, 通过600m隧道用了分钟, 则火车速度为_____km/h．
3. 使完全平方数n2+11成立旳正整数n为___________.
4. 838, 212称这两个数字为回文数, 并且838-212=626也是回文数, 便称(838, 212)为回文数对, 那么有________个(a>b)旳(a, b)旳回文数对？
5. 有九个格子, 三种颜色, 每一列每一行三种颜色不反复, 那么有________种状况？
6. 当有一列数相加, 每两个数字之间差不不小于1, 且第一种与最终一种数为1时, 则称这个相加之后旳数为“好数”, 例如：1+2+3+3+4+5+4+3+3+2+2+1=33, 则称这些数是33旳“好数”, 已知是好数, 那么它旳好数至少有_________项？
7．已知两个函数与旳图像相交于点P, 且OP= , 则k=________．
二、解答题
1. a+b+c=4, a2+b2+c2=10, a3+b3+c3=22, 求a4+b4+c4.
3. 已知二次函数f(x)旳二次项系数为a, 且不等式f(x)>-2x旳解集为(1, 3),
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等旳根, 求f(x)旳解析式；
(2)若f(x)旳最大值为正数, 求a旳取值范围．。

2023年山西省大同市第一中学校等多校中考模拟数学试题(含答案解析)

2023年山西省大同市第一中学校等多校中考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．B ．C ．．．下列运算，正确的是（）．18826+=5025÷=()326339a b a b -=-．()()423232a a +÷+．杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022杭州亚运会”．亚洲奥林匹克理事会在2022年月19日宣布，原定于亚运会将推迟至2023年月23日举行，名称仍为“杭州2022年第19会主场馆杭州奥体博览城总占地583.89公顷，已知1公顷10000=平方米，则其总占地面积用科学记数法表示为（）A ．4583.8910⨯平方米C ．75.838910⨯平方米5．为了让小区居民吃上放心蔬菜，王师傅在小区内开了便民蔬菜店．其中，某蔬菜一周内每天的进价、售价信息如右图所示．若该蔬菜每天出售是（）A．该蔬菜周一的销售利润最小B．该蔬菜周日的销售利润最大C．该蔬菜周二和周四的销售利润相同D．该蔬菜本周进价的中位数是2.9元/斤6．由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力⨯动力臂=阻力⨯阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置12克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是（）A．6克B．4克C．3.5克D．3克∠+∠+∠= 7．等边三角形、正方形及正五边形各一个，按下图放在同一平面内，则123（）A．102︒B．104︒C．106︒D．108︒8．农科所响应“乡村振兴”号召，为某村免费提供优质香瓜瓜苗友大棚栽培技术.这种瓜苗先在农科所的温室中生长到大约20cm后，移至该村的大棚内研究发现，50天内瓜苗y与生长时间x天之间的函数关系的图象如图所示，当瓜苗长到大约的平均高度cm80cm时，开始开花结果，此时瓜苗在该村大棚内生长的天数是（）A ．10天B ．159．节约用水人人有责，我市市政部门绿化队不断改进绿地灌溉技术，改进后其中某块绿地每天的用水量比原来少20%水量是x 吨，则根据题意可以列出的方程是（A ．()80805120%x x-=-C ．()80120%805x x+-=10．如图，在Rt ABC △中，∠O 交AC 于点E ，与边BC 切于点A ．934π-B ．6二、填空题11．计算：()23m m m --的结果是12．安全教育是学校的生命线．某学校政教处举行了主题为动，设置了“交通安全”“消防安全中的主题不相同的概率是______13．如图、反比例函数ky x=的图象经过菱形OABC 边AB 的中点点C 在x 轴上，则k 的值是______．14．某超市现有n人在收银台排队等候结账，设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度固定，若同时开放2个收银台，则20分钟后可使排队人数为0；若同时开放3个收银台，则12分钟后可使排队人数为0，由此可知，收银员结账速度是结账人数增加速度的______倍.15．如图，边长为3的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在AB上且⊥于点F，把CF绕点C顺时针旋转90︒得到线BE AE2=，连接CE，过点B作BF CE段CG，连接OG．则OG的长为______．三、解答题(1)尺规作图：过点C作CD(2)在作出符合（1）的图形中，求证：18．2023年5月17日上午，第十七运载火箭在西昌发射场成功发射，时隔近三年星．某航模店看准商机，推出了两种模型共200个，购进(1)求购进“卫星”模型至多多少个？(2)已知每个“卫星”模型的进价为30元售价为45元/个，“火箭”模型的售价为多少？19．随着生活水平的提高，人们的购买力越来越强，我国快递公司也不断崛起，业务量越来越多．某快递公司为了解客户的需求，提升服务质量，随机抽取了问卷调查．调查问卷如下：1．您对本公司快递服务的整体评价为（A．满意B．一般C．不满意如果您对本公司快递服务的整体评价为一般或者不满意，请回答第2．您认为本公司快递服务最需要改进的方面为（A．快递价格B．配送速度该快递公司将抽取的200在图2中，小明发现2O C O B =．理由如下：如图，过点O 作OH AB ⊥于点H ，∴90OHB ∠=︒．︒，AH BH =（依据1）．22．综合与实践问题情境数学课上，老师出示这样一道题：连接AE，以AE为边作正方形操作发现（1）如图1，连接BG操作探究（2）如图2、在AD边上截取并说明理由；拓展探究（3）如图3，把正方形AEFG 绕点A 顺时针旋转，点E 落在正方形ABCD 内部，连接DE ，BG ，作ADE V 的边DE 的中线AM ，发现BG AM ⊥，2BG AM =，请证明.23．综合与探究如图，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ．该抛物线经过点()2,3D -．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，连接AC ，作直线BC ，点P 在x 轴上运动，连接CP 得到ACP △，当ACP OCB ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)点E 为抛物线上的点，点F 为直线AD 上的点．若EF x ∥轴，则四边形OAEF 是平行四边形，请借助图2探究，并直接写出点E 的坐标．参考答案：图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重叠，那么该图形就是轴对称图形．3．B【分析】根据二次根式加法法则计算并判定积的乘方和幂的乘方法则计算并判定计算判定D ．【详解】解：A 、∵18B 、∵502=502=÷÷C 、∵()326327a ba b -=-D 、∵()()43232a a +÷+故选：B ．∵O 与边BC 切于点D ，∴OD BC⊥∴90ODB ∠=︒∵26AF BF ==又∵AF 为O 直径，∴3OA OF BF OD ====，∴6OB =，共有9种等可能的结果，其中小颖与小莉两人选取主题不相同的结果有∴小颖与小莉两人选取主题不相同的概率是故答案为：2 3．【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．∵()3,4A ，∴AE=4，OE=3，∵AE x ⊥，∴AEO=90∠︒由勾股定理，得2OA OE =+∵菱形OABC ，∴5AB OA ==，AB OC ∥，∵点D 是AB 的中点，∴1522AD AB ==∴511322OF =+=，DF AE ==∴11,42D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵点Ｄ在反比例函数k y x =的图象上，∵边长为3的正方形ABCD（2）证明：∵OP平分∴AOP BOP∠=∠由作图可知：CD OA∥∴AOP OCD∠=∠，∴OCD BOP∠=∠∴OD CD=．【点睛】本题考查尺规基本作图判定，熟练掌握平行线的判定与性质定理，等腰三角形的判定定理是解题的关键．18．(1)购进“卫星”模型至多(2)2665元【分析】（1）设购进“卫星数量不超过“火箭”模型数量的（2）设售完这批模型可以获得的利润()()(45303020200y x=-+-数，求出y的最大值即可．【详解】（1）解：设购进()2200x x≤-解得：4003x≤，∵x为整数，∴x最大为133，答：购进“卫星”模型至多（2）解：设售完这批模型可以获得的利润()()(45303020200y x=-+-∴90OHB ∠=︒．∵OA OB=∴90OHC ∠=︒，AH ∵90AOB ∠=︒∴12OH AB =（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）在Rt OAB 中，由勾股定理，得∵OC MN ⊥于点C ，∴OCA NCO ∠∠=-在Rt OCH 中，sin ∠∴12OH OC =∴OC AB =．∴2O C O B =．∴依据1为：等腰三角形＂三线合一＂性质；【点睛】本题考查了解直角三角形的应用直角三角形，利用三角函数求解，验．22．（1）601；（2）四边形【分析】（1）过点G 作垂直于()AAS HAG DAE ∠△≌△，可知而利用勾股定理即可求解；（2）根据正方形的性质证明90AHG D BAD ∠=∠=∠=︒（3）连接AM 并延长，使得再证AEH GAB ∠=∠，进而证得进而证得2BG AM =，再证【详解】解：（1）过点G 作垂直于∵四边形ABCD 是正方形，∴90D H ∠=︒=∠，BAD ∠=则2213AE AD DE =+=，又∵四边形AEFG 是正方形，∵AM 是ADE V 的中线，∴=DM EM ，又∵AMD HME ∠=∠，∴(SAS AMD HME △≌△∴AD HE BA ==，DAH ∠∴AD HE ∥，∵PE BC ⊥，OBC ∠=∴2222PE BE PB ===∵()1,0A -，()0,3C -，(P m ∴10AC =，1AP m =--∵45ACP OCB ∠=∠=︒，∴252AE CE AC ===，∴295PE m =+-，由勾股定理，得222PA PE AE =+，即(1m --化简整理，得22918m m +-=解得：16m =-，232m =（不符合题意，舍去）∴6m =-，∴()6,0P -，设AD 的解析式为y kx =+把()1,0A -，()2,3D -代入，得023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：k b ⎧⎨⎩∴AD 的解析式为=y x -∵AOEF ，∴1EF OA ==，EF ∥x 轴，设()2,23E t t t --，(,F s -∴2123s t t --=--解得：222s t t =-++，∴()2221t t t --++=解得：11132t +=，21t =∴113113,22E ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭或⎛ ⎝【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，性质，勾股定理，平行四边形的性质．此题属抛物线与几何图形综合题目，属中考压轴题，熟练掌握相关性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用，以免漏雨解．。

上海市大同中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

上海市大同中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、填空题1．函数()2sin sin 2f x x x =-在[0,π]所有零点之和为．2．在复平面上，已知复数1z 和2z 的对应点关于直线y x =对称，且满足124z z i =，则1z =．3．已知数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为4，方差为2，则数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均数与方差的差为．4．在2024(1)x -的展开式中系数最大的项是第项．5．已知向量(2,2,1)a =- 与(1,1,0)b =- ，则a 在b方向上的数量投影为．6．差15log 3a =，152b =，则5log 36=（用 a ，b 表示）．7．将序号分别1，2，3，4，5的5张参观券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则甲恰好分得2张参观券连号的概率为．8．已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线左支交于A ，B 两点，且113AF BF =，以O 为圆心，2OF 为半径的圆经过点B ，则双曲线的离心率为.9．已知6260126(1)(1)(1)x a a x a x a x =+++++++ ，则123628a a ++++=．10．已知函数45()1x f x x -+=+，π()sin 22(0)3g x a x a a ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，若对任意的1[0,2]x ∈，总存在2[0,2]x ∈，使()()12g x f x =成立，则实数a 的取值范围是.11．设P 为正四面体A BCD -棱上的点，由点P 到四个面中心的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有个．12．给定正整数2n ≥及正数k ，对于满足不等式221na a k +≤的所有等差数列1a ，2a ，3a …，则21nii n a=-∑的最大值为．二、单选题13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线1Γ、2Γ的中心在原点，焦点都在x 轴上，且1Γ与2Γ不重合．记1Γ、2Γ的离心率分别为1e 、2e ，则“12e e =”是“1Γ与2Γ没有公共点”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要14．将函数π()sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向左平移θ个单位长度得到数()g x 的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为2π3，则ϕ=（）．A ．π6B ．π5C ．π4D ．π315．给定实数i x 和(1,2,3)i a i n = ，若函数1()ni i i f x a x x ==-∑，当（）时，()f x 有最大值无最小值．A ．10ni i a =>∑B ．1ni i a =≥∑C ．1ni i a ==∑D ．1ni i a =<∑16．已知函数()f x =()f x 的图像是轴对称图形；②方程5(())9f f x =有实数解．以下判断正确的是（）A ．①正确②不正确B ．①不正确②正确C ．①②都正确D ．①②都不正确三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan a b A =且B 为钝角，(1)求B A -；(2)求sin cos sin A B C -+的取值范围是．18．如图，直三棱柱111ABCA B C 中，底面是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是BC ，1AB的中点．(1)若1C D ⊥平面ADE ，求1BB 长度；(2)证明：//DE 平面11ACC A ；19．在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：题号12345考前预估难度iP 0.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差.设i P '为第i 题的实测难度，请用i P 和i P '设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．20．我们把由半椭圆22221(0)x y x a b+=≥与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤合成的曲线称作“果圆”，其中222a b c =+，0a >，0b c >>．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆”与x ，y 轴的交点，M 是线段12A A 的中点．(1)设P 是“果圆”的半椭圆22221(0)y x x b c+=≤上任意一点，且4b =，3c =．求证：当PM 取得最小值时，P 在点1A 处；(2)若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标；(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．21．记()y f x '=，()y g x '=分别为函数()y f x =，()y g x =的导函数.若存在0x ∈R ，满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()y f x =与()y g x =的一个“S 点”；若仅满足()()00f x g x =则称0x 为函数()y f x =与()y g x =的一个“T 点”.(1)证明：函数y x =与222y x x =+-不存在“S 点”，但存在“T 点”；(2)若函数21y ax =-与ln y x =存在“S 点”，求实数a 的值；(3)已知()log a f x x =，()xg x a =其中实数0a >且1a ≠．若使函数()y f x =与()y g x =区间()0,∞+内存在三个“T 点”，求实数a 的取值范围．。

2024届山西省大同市平城区翰林学校小升初数学自主招生备考卷含解析

2024届山西省大同市平城区翰林学校小升初数学自主招生备考卷一、用心思考，我会填。

(每小题2分，共22分)1．7点45分时，时针与分针的锐角是（____）度。

2．一个三角形中有两个角分别是40°，70°，按角分这个三角形是________三角形；一个三角形中有一个角是98°，按角分这个三角形是________三角形。

3．从A地到B地，甲需走24分，乙需走36分。

如果乙从B地出发2分后甲才从A地出发，那么相遇时甲比乙多走了160米，A、B两地的距离是（____）米。

4．爷爷比爸爸大26岁，妈妈比小明大26岁，小明一家四口人今年的年龄之和是120岁，而5年前他们家的人年龄之和是102岁，则小明的爷爷今年是（______）岁。

5．有2分和5分的硬币共18枚，一共6角钱，5分的硬币有（______）枚．6．如果x=y，那么y：x=______：______．7．在括号里填上合适的数。

1 2=()1+()11 4=()1+()1=()1+()1+()18．如图，ABC的顶点A的位置用数对____表示，当B、C不动，点A向左平移到____，ABC变成直角三角形，与原三角形相比，面积____。

（填“变大”“变小”或“不变”）9．下图是由五个完全相同的小长方形刚好拼成的一个大长方形，那么小长方形的长和宽的比是________。

10．甲数÷乙数=6，甲、乙两数的最小公倍数是________。

11．把一个圆等分成若干个小扇形，用这些小扇形拼成了一个长方形。

已知长方形的周长比圆的周长多4厘米，长方形的宽是________厘米，长是________厘米。

二、仔细推敲，我会选。

(每小题2分，共10分）12．一个长方体的长、宽、高分别为a米，b米和h米．如果长、宽不变,高增加3米,新的长方体体积比原来增加( )立方米．A．3ab B．3abh C．(3+h)ab13．赵明在方格纸上画了一个图形，下列描述中正确的是（）。

上海市大同中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

上海市大同中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、填空题1．已知e 3m =，ln 2n =，则23e m n += 2．不等式512x ≥+的解集用区间表示是．33的解集是．4．已知6log 27a =，用a 的代数式表示3log 2=．5．若αβ､是一元二次方程2410x x ++=的两个实数根，则11αβ+=.6．设{}A x x k ==∈N ，{}6,B x x x =≤∈Q ，则A B = .7．函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是．8．函数()2log 17x a y ax -=+-+（0a >且1a ≠）的图象过定点．9．已知幂函数()2144my m m x -=--的图像与坐标轴没有交点，则1log 32m -=．10．若不等式组()222011x ax ax x ⎧-+≥⎪⎨-<⎪⎩的解集是R ，则a 的取值范围是11．设为A 、B 为两个非空有限集合，定义(),A B J A B A B=，其中S 表示集合S 的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门学科中自主选择3门作为高中学业水平等级性考试科目．设这四名同学的选考科目组成的集合分别为1S 、2S 、3S 、4S ，已知1{S =物理，化学，生物}、2{S =物理，化学，地理}、3{S =政治，历史，地理}．若()()()142434,,,J S S J S S J S S <=，写出一个符合条件的4S = ．12．已知非零实数x 、y 满足223x xy y ++=，则22x xy y -+的取值范围是．二、单选题13．设集合A ={1，2}，则满足{}1,2,3A B ⋃=的集合B 的个数是A ．1B ．3C ．4D ．814．已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么,,a b c 之间的大小关系为A ．b<c<aB ．b a c<<C ．a b c <<D ．c<a<b15．设R a ∈，“1a >”是“531a -<”的一个（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要16．已知a 、b 、R t ∈，若对于任意实数x ，不等式()()()212240x t a x t b x t a-+------≥恒成立，则21x a x b a -+++-的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)4,+∞三、解答题17．已知命题:p 函数()22log 4421y x m x ⎡⎤=+-+⎣⎦的定义域为R ，命题:q 对任意实数(),2xx y m b =-是增函数；(1)若p 是q 的充分不必要条件，求b 的取值范围；(2)当3b =时，若p ，q 两命题一真一假，求m 的取值范围.18．某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长cm a 、宽cm b 的矩形，面积为260cm ．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为2cm ，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为1cm ．三个栏目的文字宣传区域面积和为S ，(1)用a 、b 表示文字宣传区域面积和S ；(2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和S 最大？最大面积是多少？19．已知函数12ax y x -=+的图像是由两支组成的双曲线，(1)当1a =，作出函数图像；(2)是否存在实数a ，使该函数在区间()1,∞-+上是严格减函数，并且函数值恒为负？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)若直线y x a =+与双曲线的一支有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．20．若集合12n A B B B = ，其中1B 、2B 、…、n B 均为非空集合，()1i j B B i j n ⋂=∅≤<≤，则称集合{}12,,,n B B B 为集合A 的一个n 划分，(1)写出集合{}1,2,3A =的所有不同的2划分；(2)设{}12,B B 为有理数Q 的一个2划分，且满足对任意1x B ∈、2y B ∈都有x y <，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由；①1B 中的元素不存在最大值，并且2B 中的元素不存在最小值；②1B 中的元素存在最大值，并且2B 中的元素存在最小值；(3)设集合{}1,2,3,,16A = ，对集合A 的任意一个3划分{}123,,B B B ，证明：存在{}1,2,3i ∈，存在a 、i b B ∈，使得i b a B -∈．。

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2015大同中学自主招生数学试题
一、填空题
1．已知二次函数y=ax 2+bx+c 符合f (x)·f (-x)= f (x 2)，则这样的二次函数有________个．
2．一辆火车经过一个信号灯花了41分钟，经过600m 隧道用了4
3分钟，则火车速度为_____km/h ．
3．使完全平方数n 2+11成立的正整数n 为___________．
4．838，212称这两个数字为回文数，并且838-212=626也是回文数，便称(838，212)为回文数对，那么有________个(a>b)的(a ，b)的回文数对？
5．有九个格子，三种颜色，每一列每一行三种颜色不重复，那么有________种情况？
6．当有一列数相加，每两个数字之间差不大于1，且第一个与最后一个数为1时，则称这个相加之后的数为“好数”，例如：1+2+3+3+4+5+4+3+3+2+2+1=33，则称这些数是33的“好
数” ，已知2008是好数，那么它的好数至少有_________项？
7．已知两个函数)0(2<=k x
k y 与k x y 3+-=的图像相交于点P ，且OP=7，则k=________．二、解答题
1．a+b+c=4，a 2+b 2+c 2=10，a 3+b 3+c 3=22，求a 4+b 4+c 4．
2．已知AB=BC=40，CE=25，求BD 的长．
3．已知二次函数f (x)的二次项系数为a ，且不等式f (x)>-2x 的解集为(1，3)，
(1)若方程f (x)+6a=0有两个相等的根，求f (x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．。