模糊逻辑推理1
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'
x，y
1
1
1
{∨[µA′ ( x) ∧ µB′ ( y)] ∧ [µA2 ( x) ∧ µB2 ( y) ∧ µC2 ( z)]}
x，y
{ { =（ω11 ∧ ω12） µC1 } ∨（ω21 ∧ ω22） µC2 } ∧ ∧
模糊推理
• 工程中实际的输入情况 工程应用中实际的输入（知识）是确定 值，而不是模糊集合，这时的推理过程应 是怎样的？
(y)
( x0 ) ∧ µ
(y)
（ m a x − m in 复 合 运 算 ）
2. 多前提单规则
前提（事实） 1 前提（规则） 2 结果（结论） x是x0 , y是y0 if x 是A 和 y是B, then Z是C z是 C ′
µC ( z) = ∨ [µ A′ ( x) ∧ µB′ ( y)] ∧ [µ A ( x) ∧ µB ( y) ∧ µC ( z)]
X× Y
∫µ
A
( x) ∩ µ B ( y ) /( x, y )
Larsen方法（乘积运算）
R P = A → B = A× B =
X×Y
∫ µ (x) ⋅ µ ( y) /(x, y)
A B
模糊推理
模糊结论的获得 规则：IF X=A THEN Y=B 知识：X=A’ 待求：Y=B’=A’◦(A->B)=A’◦R
'
x，y
1
1
1
{∨ [ µ A′ ( x) ∧ µ B′ ( y )] ∧ [ µ A2 ( x) ∧ µ B2 ( y ) ∧ µC2 ( z )]}
x，y
= （µ A1 ( x0 ) ∧ µ B1 ( y0 )） µC1 } ∨（µ A2 ( x0 ) ∧ µ B2 ( y0 )） µC2 } { ∧ { ∧
µ A ( x) = µ x ( x) ∗ ⋅ ⋅⋅ ∗ µ x ( x) ,
X 1 p
x∈ X
每条规则的输出: 每条规则的输出
B l = Ax o R l µ Bl ( y ) = µ A o Rl ( y )
X
= sup [ µ AX ( x) ∗ µ A→ B ( x, y )], l = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, m.
( 3, 5 )
S2 S2 B1 B2 B2
S3 S3 S1 B2 B3 B3 S3 S2 CE B2 B3 S3 S3 S2 B1 B3 B3 S2 S2 S1 B2 B2 B2
S2 S1
: if ϕ 是S1和x是B2 , then θ 是S 2 ;
ϕ CE
B1 B2 B3
R ( 4,3) : if ϕ 是CE和x是CE , then θ 是CE ; •••••• R ( 7,5) : if ϕ 是B3和x是B2 , then θ 是B2 ;
模糊推理的几种常用模式
• MIN-MAX（最小-最大）推理 • PRODUCT-SUM(乘积-代数和)推理 • Sugeno推理 if x=A1 and y=B1 then z=C1=f1(x,y); if x=A2 and y=B2 then z=C2=f2(x,y); … …; if x=An and y=Bn then z=Cn=fn(x,y);
Mamdani方法（最小运算）
B ' = A ' o R = ∫ µ A' ( x ) / x o
X X× Y
∫µ
A
A
( x) ∩ µ B ( y ) /( x, y )
Larsen方法（乘积运算）
B ' = A' o R = ∫ µ A' ( x ) / x o
X X× Y
∫µ
( x) ⋅ µ B ( y ) /( x, y )
模糊推理
1. 单个前提单个规则:
前提 （事实） 1 前提 2 （规则） 结果（结论） x是 A′ if x 是 A , then y 是 B y是 B ′
µ
B′
( y) = ∨[µ
x x
A′
(x) ∧ µ
A
(x) ∧ µ
A
B
( y )]
B
= [∨ (µ
A′
(x) ∧ µ ( y)
( x ))] ∧ µ
( y)
= ω ∧ µ
B
（ max − min 复合运算）
2. 多前提单规则
前提1 （事实） 前提（规则） 2 结果（结论） x是A′, y是B ′ if x 是A 和 y是B , then Z是C z是C ′
隶属函数的计算
µC ( z) = ∨ [µ A′ ( x) ∧ µB′ ( y)] ∧ [µ A ( x) ∧ µB ( y) ∧ µC ( z)]
• 特点：知识满足规则与否是确定的，因此 结论也是确定的
模糊知识的演绎推理
例：
– 规则：胖人得心脑血管疾病的可能性大 – 知识：某某人很胖（较胖、不胖） – 结论：某某人得心脑血管疾病的可能性？
• 特点：知识满足规则与否是模糊的，应以 程度表述，因此结论也是模糊的，应以程 度表述。
模糊推理
• 问题的描述： 规则：IF X=A THEN Y=B 知识：X=A’ 待求：Y=B’=? 这里X、Y分别为输入和输出论域的变量， A,A’,B,B’都是模糊集合。
wk.baidu.com
模糊推理
• 模糊推理问题的解决思路
– 第1步.将已知的规则归纳为前因与结果两论域 间的模糊关系。 – 第2步.将前因论域的现有知识与归纳得到的模 糊关系进行合成运算，推出当前知识下的结论。
模糊推理
由规则得到模糊关系的常用方法 规则：IF X=A THEN Y=B
Mamdani方法（最小运算）
RC = A → B = A× B =
'
x，y
= ∨ [(µ A′ ( x) ∧ µB′ ( y) ∧ µ A ( x) ∧ µB ( y)] ∧ µC ( z)
x, y
= {∨[(µ A′ ( x) ∧ µ A ( x))]} ∧ {∨[µB′ ( y) ∧ µB ( y)]} ∧ µC ( z)
x y
= (ω1 ∧ ω2 ) ∧ µc ( z)
模糊推理系统
规则库
精确输入
模糊器
去模糊器
精确输出
模糊输入集合
推理机
模糊输出集合
模糊推理系统
1）模糊化和模糊器 ★单点模糊化
输入模糊集合 A′是单点模糊器， 即：x = x′时，µ A′ ( x′) = 1; x ≠ x′时，µ A′ ( x′) = 0。
µ B′ ( y ) = µ A→ B ( x = x′, y )
m x
µ B ( y)
m
ωm
推理举例:
当货车状态为 ϕ ( t i ) = 140 o , x ( t i ) = 6时，激活 3条规则：
1) R ( 5,1) : if ϕ 是 B1和 x是 S 2 , then θ 是 B 2 ;
2) R
( 5, 2 )
: if ϕ 是B1和x是S1 , then θ 是B3 ;
S2 S1 S2 S3 CE B小1 B中2 B3 大 大
小 小 中 小 小 大 大 大
S1
CE
x
B1
µϕ (ϕ )
ϕ
µ x (x)
ϕ = 140o
ϕ = 195o
x
x=6 x=14
3.推理机
首先求取规则隐含的模糊关系
µ R ( x, y ) = µ A→ B ( x, y ), x = ( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, x p )T
3) 多前提多规则
前提（事实） 1 前提（规则1） 2 前提（规则 2） 3 结果（结论） x是 x 0 , y 是 y 0 if x 是 A1和 y是 B1 , then Z 是 C1 if x 是 A2 和 y是 B2 , then Z 是 C 2 z是 C ′
µC ( z ) = {∨ [ µ A′ ( x) ∧ µ B′ ( y )] ∧ [ µ A ( x) ∧ µ B ( y ) ∧ µC ( z )]} ∨
1. 单个前提单个规则:
前 提（ 事 实 ） 1 前 提（ 规 则 ） 2 结果（结论）
µ
( y) = ∨[µ
x x
x是 x 0 if x 是 A , then y 是 B y是 B ′
(x) ∧ µ
A
B′
A′
(x) ∧ µ
A′
A
B
( y )]
B
= [∨ (µ = µ
A
(x) ∧ µ
B
( x ))] ∧ µ
最大
1. 极大去模糊化
模糊逻辑推理
• 什么是推理
– 推理是使用理智从某些前提产生结论的行动。
• 经典推理的模式
– 演绎推理：给出正确前提就必然能推出结论 （知识无扩展）。 – 归纳推理：当前提为真时，可推出某结论（可 扩展知识）。 – 溯因推理：推论到最佳解释。
演绎推理的三段论
• 由规则和知识推理结论的过程 例：
– 规则：人皆有一死 – 知识：苏格拉底是人 – 结论：苏格拉底会死
★非单点模糊化
输入模糊集合 A′是非单点模糊器， 即： x = x′时， µ A′ ( x′) = 1; x ≠ x′时， µ A′ ( x′) ≠ 0， 随 x的变化（偏离 x′）， µ A′ ( x′)逐渐减小。
2σ x
k
mx
k
2. 规则库
一般情况下，规则 R l 可以表示如下：
l R l : if u1 是 A1l , u 2 是 A2 ,⋅ ⋅ ⋅， u p 是 A lp , then v 是 G l
'
x，y
= ∨ [(µ A′ ( x) ∧ µB′ ( y) ∧ µ A ( x) ∧ µB ( y)] ∧ µC ( z)
x, y
= {∨[(µ A′ ( x) ∧ µ A ( x))]} ∧ {∨[µB′ ( y) ∧ µB ( y)]} ∧ µC ( z)
x y
= (µ A ( x0 ) ∧ µB ( y0 )) ∧ µc ( z)
隶属函数的计算
C ′ = ( A ′ × B ′) o ( R1 ∪ R 2 ) = [( A ′ × B ′) o R1 ] ∪ [( A ′ × B ′) o R 2 ] ′ = C 1 ∪ C ′2
µC ( z) = {∨[µA′ ( x) ∧ µB′ ( y)] ∧ [µA ( x) ∧ µB ( y) ∧ µC ( z)]} ∨
l
µ R ( x, y ) = µ R ( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, x p , y ) = µ A→ B ( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, x p , y )
l l
l ∴ µ R l ( x , y ) = µ lA1 ( x1 ) ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ µ lA2 ( x p ) ∗ µ G l
输入的模糊集合
模糊推理
合成运算方法的选择
最大-最小合成法（Zadeh）
'
µ B ( y ) = ∀ [µ A ( x) I µ R ( x, y )]
x∈ X
'
最大-代数积合成法（Kaufmann）
µB ( y) = ∀ [µA ( x) ⋅ µR ( x, y)]
'
x∈X
'
模糊推理
举例：若人工调节炉温，有如下经验规则：“如果炉温低， 则应施加高电压”。试问当炉温为“低”、“非常低”， “略低”，“不低”时，应施加怎样的电压？ 设x和y分别表示模糊语言变量“炉温”和“电压”，并设x 和y的论域为： X=Y={1,2,3,4,5} 设A为表示炉温低的模糊集合 A=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5 设B为表示电压高的模糊集合 B=0.2/1+0.4/2+0.6/3+0.8/4+1/5
x∈AX
对所有规则, 对所有规则
B = A X o [ R 1 , R 2 ,⋅ ⋅ ⋅ R m ] =
m
U
i =1
AX o R i
模糊预滤波
自适应滤波
µ B ( y)
1
µ A oR ( y)
1 x
ω1 ω2
µ A (x)
x
µ A oR ( y)
2 x
µ B ( y)
2
• •
∑
µB(y)
µ A oR ( y)
3) 多前提多规则
前提 （事实） 1 前提 2 （规则1 ） 前提 3 （规则 2 ） 结果（结论） x 是 A′, y是 B ′ if x 是 A1和 y 是 B1 , then Z 是 C1 if x 是 A2 和 y 是 B 2 , then Z 是 C 2 z是 C ′
C1
C2
C1
C2
C′
3) R ( 6 , 2 ) : if ϕ 是 B2和 x是 S1 , then θ 是 B3 ;
3条规则合成所获得的输出为:
µθ (θ ) µθ (θ )
θ
max-min 乘积
θ
总的输出模糊集合
4. 去模糊化
输出隶属函数的一般形式:
µ y ( y)
µ ∗ ( y) y
最小
最大平均
重心 面积平均
举例：货车倒车
装卸站台
x=10, ϕ
= 90o
ϕ ∈ [ − 90 o ， o ] 270
θ
θ ∈ [−40o， o ] 40
x,y
x ∈ [0,20]
货车终点位置 (x f ,ϕ f ) = (10,90)
x=20
ϕ
x=0
规则： 规则：
S3
R (1, 2) : if ϕ 是S 3和x是S1 , then θ 是S 3 ; R
x，y
1
1
1
{∨[µA′ ( x) ∧ µB′ ( y)] ∧ [µA2 ( x) ∧ µB2 ( y) ∧ µC2 ( z)]}
x，y
{ { =（ω11 ∧ ω12） µC1 } ∨（ω21 ∧ ω22） µC2 } ∧ ∧
模糊推理
• 工程中实际的输入情况 工程应用中实际的输入（知识）是确定 值，而不是模糊集合，这时的推理过程应 是怎样的？
(y)
( x0 ) ∧ µ
(y)
（ m a x − m in 复 合 运 算 ）
2. 多前提单规则
前提（事实） 1 前提（规则） 2 结果（结论） x是x0 , y是y0 if x 是A 和 y是B, then Z是C z是 C ′
µC ( z) = ∨ [µ A′ ( x) ∧ µB′ ( y)] ∧ [µ A ( x) ∧ µB ( y) ∧ µC ( z)]
X× Y
∫µ
A
( x) ∩ µ B ( y ) /( x, y )
Larsen方法（乘积运算）
R P = A → B = A× B =
X×Y
∫ µ (x) ⋅ µ ( y) /(x, y)
A B
模糊推理
模糊结论的获得 规则：IF X=A THEN Y=B 知识：X=A’ 待求：Y=B’=A’◦(A->B)=A’◦R
'
x，y
1
1
1
{∨ [ µ A′ ( x) ∧ µ B′ ( y )] ∧ [ µ A2 ( x) ∧ µ B2 ( y ) ∧ µC2 ( z )]}
x，y
= （µ A1 ( x0 ) ∧ µ B1 ( y0 )） µC1 } ∨（µ A2 ( x0 ) ∧ µ B2 ( y0 )） µC2 } { ∧ { ∧
µ A ( x) = µ x ( x) ∗ ⋅ ⋅⋅ ∗ µ x ( x) ,
X 1 p
x∈ X
每条规则的输出: 每条规则的输出
B l = Ax o R l µ Bl ( y ) = µ A o Rl ( y )
X
= sup [ µ AX ( x) ∗ µ A→ B ( x, y )], l = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, m.
( 3, 5 )
S2 S2 B1 B2 B2
S3 S3 S1 B2 B3 B3 S3 S2 CE B2 B3 S3 S3 S2 B1 B3 B3 S2 S2 S1 B2 B2 B2
S2 S1
: if ϕ 是S1和x是B2 , then θ 是S 2 ;
ϕ CE
B1 B2 B3
R ( 4,3) : if ϕ 是CE和x是CE , then θ 是CE ; •••••• R ( 7,5) : if ϕ 是B3和x是B2 , then θ 是B2 ;
模糊推理的几种常用模式
• MIN-MAX（最小-最大）推理 • PRODUCT-SUM(乘积-代数和)推理 • Sugeno推理 if x=A1 and y=B1 then z=C1=f1(x,y); if x=A2 and y=B2 then z=C2=f2(x,y); … …; if x=An and y=Bn then z=Cn=fn(x,y);
Mamdani方法（最小运算）
B ' = A ' o R = ∫ µ A' ( x ) / x o
X X× Y
∫µ
A
A
( x) ∩ µ B ( y ) /( x, y )
Larsen方法（乘积运算）
B ' = A' o R = ∫ µ A' ( x ) / x o
X X× Y
∫µ
( x) ⋅ µ B ( y ) /( x, y )
模糊推理
1. 单个前提单个规则:
前提 （事实） 1 前提 2 （规则） 结果（结论） x是 A′ if x 是 A , then y 是 B y是 B ′
µ
B′
( y) = ∨[µ
x x
A′
(x) ∧ µ
A
(x) ∧ µ
A
B
( y )]
B
= [∨ (µ
A′
(x) ∧ µ ( y)
( x ))] ∧ µ
( y)
= ω ∧ µ
B
（ max − min 复合运算）
2. 多前提单规则
前提1 （事实） 前提（规则） 2 结果（结论） x是A′, y是B ′ if x 是A 和 y是B , then Z是C z是C ′
隶属函数的计算
µC ( z) = ∨ [µ A′ ( x) ∧ µB′ ( y)] ∧ [µ A ( x) ∧ µB ( y) ∧ µC ( z)]
• 特点：知识满足规则与否是确定的，因此 结论也是确定的
模糊知识的演绎推理
例：
– 规则：胖人得心脑血管疾病的可能性大 – 知识：某某人很胖（较胖、不胖） – 结论：某某人得心脑血管疾病的可能性？
• 特点：知识满足规则与否是模糊的，应以 程度表述，因此结论也是模糊的，应以程 度表述。
模糊推理
• 问题的描述： 规则：IF X=A THEN Y=B 知识：X=A’ 待求：Y=B’=? 这里X、Y分别为输入和输出论域的变量， A,A’,B,B’都是模糊集合。
wk.baidu.com
模糊推理
• 模糊推理问题的解决思路
– 第1步.将已知的规则归纳为前因与结果两论域 间的模糊关系。 – 第2步.将前因论域的现有知识与归纳得到的模 糊关系进行合成运算，推出当前知识下的结论。
模糊推理
由规则得到模糊关系的常用方法 规则：IF X=A THEN Y=B
Mamdani方法（最小运算）
RC = A → B = A× B =
'
x，y
= ∨ [(µ A′ ( x) ∧ µB′ ( y) ∧ µ A ( x) ∧ µB ( y)] ∧ µC ( z)
x, y
= {∨[(µ A′ ( x) ∧ µ A ( x))]} ∧ {∨[µB′ ( y) ∧ µB ( y)]} ∧ µC ( z)
x y
= (ω1 ∧ ω2 ) ∧ µc ( z)
模糊推理系统
规则库
精确输入
模糊器
去模糊器
精确输出
模糊输入集合
推理机
模糊输出集合
模糊推理系统
1）模糊化和模糊器 ★单点模糊化
输入模糊集合 A′是单点模糊器， 即：x = x′时，µ A′ ( x′) = 1; x ≠ x′时，µ A′ ( x′) = 0。
µ B′ ( y ) = µ A→ B ( x = x′, y )
m x
µ B ( y)
m
ωm
推理举例:
当货车状态为 ϕ ( t i ) = 140 o , x ( t i ) = 6时，激活 3条规则：
1) R ( 5,1) : if ϕ 是 B1和 x是 S 2 , then θ 是 B 2 ;
2) R
( 5, 2 )
: if ϕ 是B1和x是S1 , then θ 是B3 ;
S2 S1 S2 S3 CE B小1 B中2 B3 大 大
小 小 中 小 小 大 大 大
S1
CE
x
B1
µϕ (ϕ )
ϕ
µ x (x)
ϕ = 140o
ϕ = 195o
x
x=6 x=14
3.推理机
首先求取规则隐含的模糊关系
µ R ( x, y ) = µ A→ B ( x, y ), x = ( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, x p )T
3) 多前提多规则
前提（事实） 1 前提（规则1） 2 前提（规则 2） 3 结果（结论） x是 x 0 , y 是 y 0 if x 是 A1和 y是 B1 , then Z 是 C1 if x 是 A2 和 y是 B2 , then Z 是 C 2 z是 C ′
µC ( z ) = {∨ [ µ A′ ( x) ∧ µ B′ ( y )] ∧ [ µ A ( x) ∧ µ B ( y ) ∧ µC ( z )]} ∨
1. 单个前提单个规则:
前 提（ 事 实 ） 1 前 提（ 规 则 ） 2 结果（结论）
µ
( y) = ∨[µ
x x
x是 x 0 if x 是 A , then y 是 B y是 B ′
(x) ∧ µ
A
B′
A′
(x) ∧ µ
A′
A
B
( y )]
B
= [∨ (µ = µ
A
(x) ∧ µ
B
( x ))] ∧ µ
最大
1. 极大去模糊化
模糊逻辑推理
• 什么是推理
– 推理是使用理智从某些前提产生结论的行动。
• 经典推理的模式
– 演绎推理：给出正确前提就必然能推出结论 （知识无扩展）。 – 归纳推理：当前提为真时，可推出某结论（可 扩展知识）。 – 溯因推理：推论到最佳解释。
演绎推理的三段论
• 由规则和知识推理结论的过程 例：
– 规则：人皆有一死 – 知识：苏格拉底是人 – 结论：苏格拉底会死
★非单点模糊化
输入模糊集合 A′是非单点模糊器， 即： x = x′时， µ A′ ( x′) = 1; x ≠ x′时， µ A′ ( x′) ≠ 0， 随 x的变化（偏离 x′）， µ A′ ( x′)逐渐减小。
2σ x
k
mx
k
2. 规则库
一般情况下，规则 R l 可以表示如下：
l R l : if u1 是 A1l , u 2 是 A2 ,⋅ ⋅ ⋅， u p 是 A lp , then v 是 G l
'
x，y
= ∨ [(µ A′ ( x) ∧ µB′ ( y) ∧ µ A ( x) ∧ µB ( y)] ∧ µC ( z)
x, y
= {∨[(µ A′ ( x) ∧ µ A ( x))]} ∧ {∨[µB′ ( y) ∧ µB ( y)]} ∧ µC ( z)
x y
= (µ A ( x0 ) ∧ µB ( y0 )) ∧ µc ( z)
隶属函数的计算
C ′ = ( A ′ × B ′) o ( R1 ∪ R 2 ) = [( A ′ × B ′) o R1 ] ∪ [( A ′ × B ′) o R 2 ] ′ = C 1 ∪ C ′2
µC ( z) = {∨[µA′ ( x) ∧ µB′ ( y)] ∧ [µA ( x) ∧ µB ( y) ∧ µC ( z)]} ∨
l
µ R ( x, y ) = µ R ( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, x p , y ) = µ A→ B ( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, x p , y )
l l
l ∴ µ R l ( x , y ) = µ lA1 ( x1 ) ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ µ lA2 ( x p ) ∗ µ G l
输入的模糊集合
模糊推理
合成运算方法的选择
最大-最小合成法（Zadeh）
'
µ B ( y ) = ∀ [µ A ( x) I µ R ( x, y )]
x∈ X
'
最大-代数积合成法（Kaufmann）
µB ( y) = ∀ [µA ( x) ⋅ µR ( x, y)]
'
x∈X
'
模糊推理
举例：若人工调节炉温，有如下经验规则：“如果炉温低， 则应施加高电压”。试问当炉温为“低”、“非常低”， “略低”，“不低”时，应施加怎样的电压？ 设x和y分别表示模糊语言变量“炉温”和“电压”，并设x 和y的论域为： X=Y={1,2,3,4,5} 设A为表示炉温低的模糊集合 A=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5 设B为表示电压高的模糊集合 B=0.2/1+0.4/2+0.6/3+0.8/4+1/5
x∈AX
对所有规则, 对所有规则
B = A X o [ R 1 , R 2 ,⋅ ⋅ ⋅ R m ] =
m
U
i =1
AX o R i
模糊预滤波
自适应滤波
µ B ( y)
1
µ A oR ( y)
1 x
ω1 ω2
µ A (x)
x
µ A oR ( y)
2 x
µ B ( y)
2
• •
∑
µB(y)
µ A oR ( y)
3) 多前提多规则
前提 （事实） 1 前提 2 （规则1 ） 前提 3 （规则 2 ） 结果（结论） x 是 A′, y是 B ′ if x 是 A1和 y 是 B1 , then Z 是 C1 if x 是 A2 和 y 是 B 2 , then Z 是 C 2 z是 C ′
C1
C2
C1
C2
C′
3) R ( 6 , 2 ) : if ϕ 是 B2和 x是 S1 , then θ 是 B3 ;
3条规则合成所获得的输出为:
µθ (θ ) µθ (θ )
θ
max-min 乘积
θ
总的输出模糊集合
4. 去模糊化
输出隶属函数的一般形式:
µ y ( y)
µ ∗ ( y) y
最小
最大平均
重心 面积平均
举例：货车倒车
装卸站台
x=10, ϕ
= 90o
ϕ ∈ [ − 90 o ， o ] 270
θ
θ ∈ [−40o， o ] 40
x,y
x ∈ [0,20]
货车终点位置 (x f ,ϕ f ) = (10,90)
x=20
ϕ
x=0
规则： 规则：
S3
R (1, 2) : if ϕ 是S 3和x是S1 , then θ 是S 3 ; R