运筹学课件 第二章线性规划
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运筹学 第二章 线性规划课件
ij m n
1
m
则模型可表示为
Maxz CX
s .t
.
AX X
0
b
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 428.0000
VARIABLE VALUE X1 20.000000 X2 24.000000
A
B
CD
0.1
0
0.1 0.2
0
0.1
0.2 0.1
0.4
0.6
2.0 1.7
试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用为 最少？
运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
解：设购买M、N饲料各为 x , x ，则
1
2
M 1 i x 1 n 0 4 x 2 z
0.1x1 0 x 2 0.4
第二章 线性规划（Linear Programming）
第一节 线性规划的模型与图解法 第二节 单纯形法 第三节 对偶问题与灵敏度分析 第四节 运输问题 第五节 线性整数规划
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
第一节 线性规划的模型与图解法
一、线性规划问题及其数学模型
在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何 合理地利用有限的资源，以得到最大的效益。
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗 煤、电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
资源单耗 产 品
资源 煤 电 油
单位产品价格
甲乙
运筹学课件 第2章：线性规划的对偶理论
min w 16y1 36y2 65y3
90 y1 3 y 2 y1 2 y 2 5 y 3 70 y , y , y 0 1 2 3
原问题 A b C 约束系数矩阵
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 Max z=CX Min w=Y’b 目标函数 AX≤b A’Y≥C’ 约束条件 X≥0 Y≥0 决策变量
若原问题为求极小形式的对称形式线性规划问题， 对偶问题应该具有什么形式？
Min w Y 'b A'Y C Y 0
max w Y 'b A'Y C Y 0
min z CX
Max z CX
AX b X 0
AX b X 0
min w 5 y1 4 y2 6 y3 4 y1 3 y2 2 y3 2 y1 2 y2 3 y3 3 3 y1 4 y3 5 2 y 7 y y 1 2 3 1 y1 0, y2 0, y3无约束
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
目标函数中的价格系数向量
目标函数 约束条件
变量
Max z=CX m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束
约束条件的右端项向量 目标函数 Min w=Y’b m个 ≥0 变量 ≤0 无约束 n个 ≥ 约束条件 ≤ =
【例2-3】写出下列线性规划问题的对偶问题
min 2x1 3x2 5x3 x4
1.初始表中单位阵在迭代后单纯形表中对应的位臵就是B-1 2.对于原问题的最优解，各松弛变量检验数的相反数恰好 是其对偶问题的一个可行解，且两者具有相同的目标函数 值。根据下面介绍的对偶问题的基本性质还将看到，若原 问题取得最优解，则对偶问题的解也为最优解。
运筹学线性规划ppt课件
16
例3
化如下的线性规划问题模型
min z 3x1 2 x 2 x3 x1 2 x 2 3x3 2 2 x1 3x 2 2 x3 2 x 0, x 无约束, x 0 2 3 1
为标准形式。
(1 )变量 x1 是非正的，所以要将模型中的所有 x1 都用 x1 x1 0 代替，其中 x1
运筹学建模步骤:
识别问题
定义决策变量
建立约束条件
建立目标函数
6
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下： max( 或 min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (或 ，或 )b1 a21x1 a22 x2 a2 n xn (或 ，或 )b2 s.t. a x a x a x (或 ，或 )b mn n m m 1 m2 2 x1 , x2 ,..., xn 0
(5)约束条件2是“”型的，因此需要在左边加上一个松弛变量
x5 使它化为等式： 2 x1 3x 2 2 x3 x5 2 也就是
3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1
18
从而得到模型的标准形式为
2 x2 2 x2 x3 max z 3x1 2 x2 2 x 2 3x3 x 4 2 x1 3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1 x , x , x , x , x , x 0 1 2 2 3 4 5
运筹学基础PPT(线性规划2)
单纯形法
单纯形法的基本思想
从可行域的某一个顶点开始，判断此顶点 是否是最优解，如不是，则再找另一个使 得其目标函数值更优的顶点，再判断此点 是否最优。这个过程，称之为迭代。直到 找到使得目标函数值最优的解，或者能判 断出线性规划问题无最优解为止。
若干基本概念
基：已知A是约束条件的m*n系数矩阵，其秩为m。若B 是A中的m*n阶非奇异子矩阵（可逆矩阵，即|B|≠0）， 则称B是线性规划问题的一个基。
iii资源限制300台时400千克250千克设备原料a原料b112101灵敏度分析????单纯形法?单纯形法的一般步骤?将线性规划问题转化成标准形?写出初始单纯形表?对检验数进行检验若检验数均为非负数则得到最优单纯形表
线性规划 II
(Linear Programming, Part II)
图解法的灵敏度分析
1 0 0 1 1 1 0 1 0 和 2 1 0 都是该线性规划的一个基。 0 0 1 0 1 0
1 1 1 0 ，它有三个基向量： 1 0 1 1 1 2 ， 1 ， 0 0 0 1
基向量：基B中的一列称之为基向量。
1 对于B= 2 0
O
灵敏度分析的概念
灵敏度分析 的意义
例子 某工厂在计划期内要安排I、II两种产品的生产，已知 生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消 耗，以及资源的限制，如下表。该工厂每生产一单位 产品I可获利50元，每生产一单位产品II可获利100元。 问工厂应生产多少个产品I和产品II才能使工厂获利最 大？
设备 原料A 原料B
I 1 2 0
II 1 1 1
资源限制 300台时 400千克 250千克
管理运筹学课件第2章线性规划
2019/7/14
课件
4
2.1.1 线性规划问题的提出
承导入案例
产品甲 产品乙 生产能力
设备A
2
1
10
设备B
1
1
8
单位利润 3
2
决策变量 （decision variable）
设两种产品产量为x1,x2,则有: 总利润表三达要式素
最大化 max z 3x1 2x2
目标函数 （objective function） 约束条件
最优值：z=18
10 2x1+x2=10
8
6
(2,6) z=3×2+2×6=18
【例2.3】用图解法求LP最优解
max z 3x1 2x2
s.t.
2xx11
x2 x2
≤10 ≤8
x1, x2 ≥ 0
可行域
o
45
令3x1+2x2=12
x1+x2=8
8
x1
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课件
课件
6
2.1.2 线性规划的数学模型
线性规划的一般形式：
max(min)z c1x1 c2x2 cn xn
a11x1 a12 x2 s.t.a21x1 a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn ≤ (或≥， ）b1 a2n xn ≤ (或≥， ）b2
11
2.2.3 线性规划几何解的讨论
线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷 多最优解、无界解、无可行解。 可行域为封闭有界区域时，可能存在唯一最优解， 无穷多最优解两种情况； 可行域为非封闭无界区域时，可能存在唯一最优解， 无穷多最优解，无界解三种情况； 可行域为空集时，没有可行解，原问题没有最优解。
《运筹学》胡运权第4版线性规划的对偶理论及灵敏度分析省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
13
2
y3
2 3
题
y1符号不限, y 2 0, y3 0
非 对 偶 形 式 旳 原对 偶 问 题
例2-4 写出下列问题旳对偶问题
max z c1x1 c2 x2 c3x3
a11x a12 x a13x3 b1
s.t.
a21x1 a31x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
出让自己旳资源？
问 题 旳 导 出
例2-1
条件：出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生 产活动时获取旳获利。
y1,y2,y3分别代表单位时间（h）设备A、设备B和调试工 序旳出让代价。 y1,y2,y3旳取值应满足：
6y 2
y 3
2
5y 1
2y 2
y 3
1
美佳企业用6h设备B和1h调试可 生产一件家电I,获利2元
y1, y2 , y3 0
LP1和LP2两个线性规划问题，一般称LP1为原问题， LP2为前者旳对偶问题。
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题
s.t.
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn xn bm
规 划 问
minW b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym (, )c1
a12y1
a22 y2
am2
ym
(,
)c2
题 旳 对 偶 问
a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn
题
y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m
运筹学—线性规划第2章
1 1
1 0
0 1
0 0
6 2 0 0 1
1 0 0
则
B 0
1
0
的列是线性无关的，即
1
0
0 0 1
p3 0, p4 1 0 0
•
0
p5 0 是线性无关，因此 1
x3
x4
x5
是, 0
p2
1 2
不在这个基中，所以x1,
x2为非基变量。
定义10：使目标函数达到最优值的基本可行解，称为基
本最优值。
• 例4：（SLP)如例3，试找一个基本可行解。
1 1 0
解：B1
1
0
0
是其一个基矩阵.p1,p3, p5是一个基。
6 0 1
则 x1 , x3, x5为基变量。X2, x4为非基变量。令 x2=x4=0. 得x1=2, x3=3, x5=9. 故 x1=(2,0,3,0,9)是原问题的一个基本 可行解，B1为基可行基。
•当 由0连续变动到1时，点z由y沿此直线连续的变动到x，且 因z-y平行x-y，则有：z y (x y) 于是有：
z x (1 ) y
•这说明当 0 1 时，x (1 ) y表示以x.y为端点的直线段
上的所有点，因而它代表以 x.y为端点的直线段。 一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则有如下定义：
• 定义14：设R是Rn中的一个点集，（即R Rn），对于任意 两点x R, y R 以及满足0 1 的实数 ,恒有
x (1 )y R
则称R为凸集。
• 根据以上定义12及13可以看到，凸集的几何意义是：连接凸 集中任意两点的直线段仍在此集合内。
其可行域如上图，可行解（3，1，0，0）T。用x1, x2 表示则为图上点（3，1）。由图可见这不是可行域的 顶点。而我们将证明基本可行解是可行域的顶点。而 在例4中p1,p3线性无关，所以B=(p1,p3)是一个基矩阵， 对应的基本解为（4，0，0，0）T。用坐标x1, x2表示则 为平面上的点（4，0），是上图可行域的顶点。
管理运筹学线性规划_PPT课件
• 为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式， 非标准型可以转化为标准型。标准形式为：
▪ 目标函数极大化， ▪ 约束条件为等式， ▪ 右端常数项bi≥0， ▪ 决策变量非负。
19
经济管理学院
第三节 线性规划的标准型
二、标准型的表达方式 有代数式、矩阵式：
1. 代数式
n
maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn
6D
C(4,6)
2x2 =12
3
Z=24
Z=12
B Z=36
0
4
A
8
12
x1
16
3x经1 +济4管x2理=3学6院
第二节 线性规划的图解法
三 、解的可能性（续）
• 无界解：线性规划问题的可行域无界，使目标函数 无限增大而无界。（缺乏必要的约束条件）
例如
x2
-2x1 + x2 =2
3
maxZ= 3x1 +2 x2
一、图解法的基本步骤 • 图解法即是用图示的方法来求解线性规划问题。 • 一个二维的线性规划问题，可以在平面图上求解，
三维的线性规划则要在立体图上求解，这就比较麻 烦，而维数再高以后就不能图示了。
12
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第二节 线性规划的图解法
1. 可行域的确定
• 满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束 条件共同围城的区域。x2
x1 +2 (x2′-x 2〃) + x3′+ x4 =5
2x1 +3 (x2′-x 2〃) + x3′≥6
x1 +
(x2′-x
〃 2
)
+
运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法
方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。
运筹学课件1-2-1线性规划图解法
x2
4x1 ≤ 16 C D
| 1 | 2 | 3 | 4
4 x2 ≤ 16
最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 ≤ 8
| 6 | 7 | 8 | 9
A
0
E
| 5
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； 由全部约束条件作图求出可行域； 可行域 • 作目标函数等值线，确定使目标函数最 作目标函数等值线， 等值线
E (8,0)
| 6
| 8
| | 10 12
| | | 14 16 18
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练习） 图解法 —（练习）
18 — 16 — 14 — 12 — 10 — B 8—
x2
2x1 + x2 ≤ 16 2x1 + 2x2 ≤ 18 C 4x1 + 6x2 ≤ 48 D
| 2 | 4 | 6 | 8 | | 10 12 | | | 14 16 18
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x2
6 ① ③ 4
④
2
(4,2)
Zmax ②
0
2 Z=0
4 Z=6
6
8
x1
返回
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练习： 练习：
用图解法求解LP问题
Max Z = 34 x1 + 40 x2
4 x1 + 6 x2 ≤ 48 2 x1 + 2 x2 ≤ 18 2 x1 + x2 ≤ 16 x1、 x2 ≥ 0
A
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练习） 图解法 —（练习）
18 — 16 — 14 — 12 — 10 — B 8—
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2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)
2020/11/23
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24
（b）对于约束条件是“≥”型的不等式
3x1 2x2 4x3 3
在约束条件左端减去一个
非负的变量xs，则它化为
等价的等式约束条件 。
3x1 2x2 4x3 xs 3
变量xs实际上是原式左端减去右端的差，即 ：
am1x1+am2x2+…+amnxn≤(≥,=)bm x1,x2,…,xn ≥0
cj—价值系数 bi—资源常数 aij—工艺系数
技术系数
简化形式
n
max(min) z c j x j
s.t.
n
j 1
aijxj (, )bi (i 1,, m)
j1
xj 0(j 1,n)
2020/11/23
2020/11/23
广东工业大学管理学院
11
2.2 线性规划的图解法
➢可行解：我们将满足线性规划问题的所有约束 条件的变量的一组取值称为线性规划问题的一个 可行解。 ➢可行域：我们将可行解的集合称为可行域。 ➢最优解：使得目标函数取最优值的可行解。 ➢最优值：将最优解代入目标函数而得到的值。
2020/11/23
劳动力安排：某单位由于工作需要，在不同的时间段需要 不同数量的工作人员，在一定的安排规则：比如每个工作 人员在连续做5个工作日后接连休息两天下，如何安排工 作人员才能用最少的工作人员来满足工作的需求？
运输问题：一家公司有若干个生产单位和销售单位，产品 由各生产单位运往各销售单位的成本有差异，如何根据各 生产单位的产量和各销售单位的销售需要量制定一个最佳 的运输方案，使产品运往各销售单位的总运输费用最低？
广东工业大学管理学院
20
用向量、矩阵形式表示线性规划的数学模型
max(min) z CX
s.t.
n
Pjx
j1
X0
j
(, )b
C (c1, c2 ,, cn )
x1
X
x
2
x
n
b1
a1j
b
b2
pj
a 2j
b
m
a
mj
max(min) z CX
s.t.
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12
图解法步骤: ➢建立平面直角坐标系 ➢图示约束条件,求可行域 ➢图示目标函数 ➢求最优解
2020/11/23
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13
例: max z=x1+3x2
x1+ x2≤6 st. -x1+2x2≤8
x1 ≥0, x2≥0
x2 6
4
最优解 X*= (4/3, 14/3) z* = 46/3
如果记xj是计划期第j种产品的产量(j=1,2, … ,n),则一般的生产 计划问题的数学模型具有如下形式:
max z = c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2 +… + a1nxn ≤b1 a21x1+a22x2+… + a2nxn ≤b2
st. ……
am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm x1,x2,…,xn ≥0
x2 4 3x2 9
x1, x2 0
2x1+x2=4
D C
x1+2x2=5 B
4x1+3x2=9
O
A
x1
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16
3、无界解
指线性规划问题有可行解，但 是在可行域，目标函数值是无 界的，因而达不到有限最优值。 因此线性规划问题不存在最优 解。
x2 -3x1+2x2=1
剩余变量
xs 3x1 2x2 4x3 3
无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实 际价值，因此它们在目标函数中的系数都应该为零。 有时也将松弛变量和剩余变量统称为松弛变量
s.t.
3xx2 12xx23
100 100
x1 , x2 , x3 0
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6
2.10. 一家酒店24小时都需要安排服务员上班，在各时间段 中所需要的服务员数量见表
班次
1 x1
2 x2 3 x3 4 x4 5 x5 6 x6
时间 6:00-10:00 10:00-14:00 14:00-18:00 18:00-22:00 22:00-2:00 2:00-6:00
max z 2x1 3x2
3x1 2x2 1
x1
2x2
1
x1, x2 0
x1-2x2=1
O
x1
2020/11/23
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17
4、无可行解
指找不到一组变量能满足线性规划的所有约束条件的情况，
也就是线性规划问题不存在可行解，或者说可行域是空集。
例如线性规划问题：
x2
max z 2x1 x2
所需人数 60 70 60 50 20 30
设服务员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作八 小时，问该酒店至少配备多少名服务员。列出此问题的线 性规划模型。
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7
min w x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x6 ≥ 60
x1
x2
≥
70
x2
x3
≥
60
s.t.x3 x4 ≥ 50
x4
x5
≥
20
x5 x6 ≥ 30
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4 ,
x5 ,
x6
0
2020/11/23
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8
2.11 某班有男生30人，女生20人，周日去植树。根据经验，一 天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女 生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。问应怎 样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？
约束条件
x1+2x2 ≤5 s.t. 2x1+ x2 ≤4
4x1+3x2 ≤9
x1 ,x2 ≥0
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3
例1中的问题常称为生产计划问题或产品组合（product mix） 问题。一般的生产计划问题可以表述为：设用m种资源，生 产n种不同的产品。已知第 i种资源在一给定的计划期最多可 以使用bi个单位，每生产一个单位的产品 j 需要第 i 种资源 aij 个单位，并且产品 j 的单位利润为Cj 元。问在该计划期应如 何组织生产才能获得最大利润？
－x1+ 2x2=8
可行域
-8 0
目标函数等值线
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6 x1
x1+ x2=6
14
max z 3x1 2x2
x1 2x2 5
s.
t.42
x1 x1
x2 4 3x2 9
x1, x2 0
x1 3 2 , x2 1
x2
2x1+x2=4 l* D
C
x1+2x2=5
等价于: max w 2x1 3x2 x3
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2. 约束条件为不等式
（a）对于约束条件是“≤”的不等式
例如： 2x1 3x2 x3 2 约束条件左端加上一个非 负的变量xs(松弛变量)
等价为： 2x1 3x2 x3 xs 2
变量xs其实就是原式右端与左端的差，即:
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2.12 某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、 乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C三种原料的含量要求、 各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌号 糖果的单位加工费及售价如表所示。问该厂每月生产这三种 牌号糖果各多少千克，才能使该厂获利最大？