2001年江苏专转本高等数学真题(附答案)

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、下列各极限正确的是 （ ）

A 、e x

x

x =+→)11(lim 0

B 、e x

x x =+∞→1

)1

1(lim

C 、11sin

lim =∞

→x x x D 、11

sin lim 0=→x

x x

2、不定积分

=-⎰

dx x

2

11 （ ）

A 、

2

11x

- B 、

c x

+-2

11

C 、x arcsin

D 、c x +arcsin

3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)('

'>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ）

A 、0)('

'

'>x f C 、0)('

>x f ,0)('

'

>x f ,0)('

'>x f

4、

=-⎰

dx x 2

1 （ ）

A 、0

B 、2

C 、－1

D 、1

5、方程x y x 42

2

=+在空间直角坐标系中表示 （ ） A 、圆柱面

B 、点

C 、圆

D 、旋转抛物面

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

6、设⎩⎨⎧+==2

2t

t y te x t ，则==0

t dx dy

7、0136'

'

'=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序

=⎰

⎰dy y x f dx x x

220

),(

9、函数y

x z =的全微分=dz

10、设)(x f 为连续函数，则

=+-+⎰

-dx x x x f x f 31

1

])()([

三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5

cos

)21ln(arctan

π

+++=x x y ，求dy .

12、计算x

x dt

e x x

t x sin lim

20

2

⎰-→.

13、求)

1(sin )1()(2

--=

x x x

x x f 的间断点，并说明其类型. 14、已知x y x y ln 2

+

=，求1

,1==y x dx

dy

.

15、计算dx e e x

x

⎰+12. 16、已知

⎰∞-=+0

2

2

1

1dx x k ，求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00

==x y 的特解

18、计算

⎰⎰D

dxdy y 2

sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域. 19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若

b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.

20、设),(2

y

x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、y x z

∂∂∂2.

四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分）

21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求

（1）切线方程； （2）由2-=

x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；

（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

22、设⎪⎩⎪

⎨⎧=≠=0

0)()(x a

x x

x f x g ，其中)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(=f .

（1）求a ，使得)(x g 在0=x 处连续； （2）求)('x g .

23、设)(x f 在[]c ,0上具有严格单调递减的导数)('x f 且0)0(=f ；试证明： 对于满足不等式c b a b a <+<<<0的a 、b 有)()()(b a f b f a f +>+.

24、一租赁公司有40套设备，若定金每月每套200元时可全租出，当租金每月每套增加10元时，租出设备就会减少一套，对于租出的设备每套每月需花20元的维护费。问每月一套的定金多少时公司可获得最大利润？

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案

1、C

2、D

3、B

4、D

5、A

6、2

7、)2sin 2cos (213x C x C e y x

+=，其中1C 、2C 为任意实数 8、

dx y x f dy dx y x f dy y y y ⎰⎰⎰⎰

+2

2

42

2

20

),(),(

9、xdy x dx yx

y y ln 1

+- 10、

5

64

11、dx x x x dy x x ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++⋅+=21ln 22111

12、3

1

-

13、1-=x 是第二类无穷间断点；0=x 是第一类跳跃间断点；1=x 是第一类可去间断点.

14、1 15、C e e dx e

e e e dx e e x

x x x x x x x ++-=+-+=+⎰⎰)1ln(1122 16、π1 17、[]

C dx e

x e C dx e x e y x

x xdx xdx +⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰

=⎰⎰

----cos ln cos ln tan tan sec sec x

C

x cos +=

， x

x

y C C y

x cos 00cos 000

=⇒=⇒+⇒

==.