2020高一数学：反函数的定义
反函数是什么？这里说得非常清楚
【原】反函数是什么?这里说得非常清楚
2020-12-23
一·关于反函数的总总：
1.反函数是函数的一个重要性质，也是研究函数的一种重要方法。
2.反函数在新课标高中数学教材中已经弱化，只要求指数函数与对数函数互为反函数即可。
另外，高考数学中对反函数的考查也在淡化，甚至几乎不考了。
3.原函数与反函数的图象关于直线y=x（或一三象限的角平分线）对称，这是互为反函数的两个函数之间最重要的性质，许多试题的突破口皆在此。
4.反函数在大学的《高等数学》中会继续涉及，因此，了解反函数的相关性质对后续学习大有裨益。
二·反函数的定义：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量叫做新函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。
高中数学专题-反函数
高中数学专题-反函数所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。
通俗点即原函数：y=3x-1 反函数：。
由此可以得出解决反函数的第一种方法：反表示法。
就是将原函数反表示后，再写成函数形式。
例如：y=3x-1求此反函数。
可以这样做：原函数y=3x-1但是这种反表示法限于一定范围之类，就是只能反表示一示简单的函数，对于比较复杂的如二次函数，就不行了，因此还有另外方法：配方法。
但是为什么此题有两解。
这是引发了定义域的问题。
从定义上我们发现反函数中自变量x即为原函数变量y。
所以，原函数定义域为反函数值域。
所以上题中“”这一答案需要舍去因为它不符合原函数定义域，值域。
因此在今后解题中需要注意，原函数的定义域。
还有一种解决反函数问题的方法：求解法。
就是把函数方程x当未知数来解。
例如“”求反函数原方程:原方程解：所以解决反函数问题时需要三者兼用，方可收到显著效果。
在往常练习中同学们还会遇到某些问题，如“已知”遇此类问题时，不妨这样解。
填空或大题中还有此类题“已知，求实数a。
”有些同学初拿此题不知从何处下手。
其实只需写出，一切都可解开。
解：反函数与原函数最大连联还不在于解析式，而在于图象关于y=x对称。
所以有些题可利用图象即数形结合求解。
如“奇函数y=f(x)(x∈R)有反函数y=f-1(x)，则必有在y=f-1(x)的图象上点是：A. (-f(a),a)B. (-f(a),-a)C. (-a,-f-1(a))D. (-a,-f-1(a))此题被老师打上星号，因为它将众知识联合起来。
解：f(x)为奇函数∴f(-a)=-f(a)f(x)必有（a,f(a)),也必有（-a,-f(a))f(x)与-f(x)关于y=x 对称，∴f-1(x)上必有（-f(a),-a).“设函数的反函数为φ（x),又函数φ（x)与φ（x+1)图象关于直线y=x对称，求g （2）。
”此题关键在于反函数φ（x)。
高考数学中的反函数与反比例函数
高考数学中的反函数与反比例函数在高中数学中，反函数与反比例函数是两个非常重要的概念，也是高考中经常会出现的考点。
这两个概念在实际生活中也有很多应用，比如在金融领域中的薪资水平和经济增长率之间的关系，以及在电路中电流、电压和电阻之间的关系等等。
本文将对这两个概念进行详细描述和解析，希望能为广大学生提供一些帮助。
一、反函数在函数关系中，我们通常用x表示自变量，y表示因变量。
而对于一些特定的函数关系来说，我们也可以用y表示自变量，x表示因变量。
这样的函数关系就是反函数。
如果函数f(x)的自变量和因变量可以互换，也就是f(x)中x和y的角色可以交换，那么这个函数就是可逆函数。
在这个函数中，我们把y表示为x，x表示为y，并把这个新的函数记作f^-1(x)。
这个新的函数就是f(x)的反函数。
反函数的定义如下：如果一个函数f(x)满足以下条件：1.它是一对一函数（在函数的定义域内，不同的输入值对应不同的输出值）2.其图像关于y=x对称那么，它的反函数f^-1(x)为由f(x)换元得到的关于x的函数。
其中，要满足“一对一函数”的条件非常重要。
如果一个函数不是一对一函数，那么它就没有反函数。
比方说，在函数y=x^2中，不同的输入值x对应的输出值y可能是相同的，那么这个函数就不是一对一函数。
有关反函数的公式如下：f(x)=y ⟺ f^-1(y)=x这个公式的意思是，如果f(x)中输入值为 x，输出值为 y，那么f^-1(y)中与之对应的输入值就是 x。
在高考中，我们需要掌握如何求反函数的方法。
下面我们以一元线性函数 y=kx+b 为例：1. 令 y=f(x)，并将输入值x和输出值y互换。
2. 将得到的等式解出x=f^-1(y)。
3. 将x=f^-1(y)代入y=kx+b得到f^-1(x)=(y-b) / k。
这样就求出了反函数f^-1(x)。
二、反比例函数反比例函数指的是y与x成反比例关系的函数，即y=k / x(k为常数)。
高一数学反函数知识精讲
高一数学反函数【本讲主要内容】反函数反函数的定义；反函数的求法；反函数间的图像性质【知识掌握】【知识点精析】1. 反函数的定义：若函数)(x f y =（A x ∈）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到)(y x ϕ=。
如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，)(y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数。
这样的函数)(y x ϕ=（C y ⊂）叫做函数))((A x x f y ⊂=的反函数，记作)(1y fx -=。
在函数)(1y fx -=中，y 表示自变量，x 表示函数。
习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数)(1y f x -=中的字母x 、y ，把它改写成)(1x fy -=。
2. 求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程)(x f y =，得到)(1y fx -=。
（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到)(1x f y -=。
（3）求出并说明反函数的定义域（即函数)(x f y =的值域）。
3. 关于反函数常用性质：（1）)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称。
（2）)(x f y =和)(1x f y -=具有相同的单调性。
（3）)(x f y =和)(1y f x -=互为反函数，但在同一坐标系下，它们的图象相同。
（4）已知f(x)求)(1a f-，可利用a x f =)(，从中求出x ，即是)(1a f -。
特别提醒：因为反函数与原函数互为反函数，所以在学习反函数的过程中要注意原函数与反函数的定义域、值域、对应法则的互反性，同时在研究反函数的性质时要注意利用原函数和反函数之间的关系转化为研究原函数的性质，如研究函数2xx e e y -+=的反函数的单调性、奇偶性就可以直接研究2xx e e y -+=，而不必求出其反函数。
反函数关于
反函数关于
（最新版）
目录
1.反函数的定义与性质
2.反函数的求法
3.反函数的应用
正文
一、反函数的定义与性质
反函数，又称逆函数，是指将函数的输出作为输入，将函数的输入作为输出的一种特殊关系。
设函数 f(x) 的定义域为 D，值域为 R，如果存在另一个函数 g(x)，它的定义域为 R，值域为 D，并且对于所有的 x∈D，有 f(g(x))=x，g(f(x))=x，则称函数 g(x) 是函数 f(x) 的反函数，记作 f^-1(x)。
反函数具有以下性质：
1.反函数是单射的，即对于不同的 x1, x2，有 f(x1)≠f(x2) 时，f^-1(f(x1))=x1，f^-1(f(x2))=x2。
2.反函数是满射的，即对于所有的 y∈R，都有存在 x∈D，使得
f(x)=y。
3.反函数的定义域等于原函数的值域，反函数的值域等于原函数的定义域。
二、反函数的求法
求反函数的方法主要有以下两种：
1.换元法：设 y=f(x)，则 x=f^-1(y)，将 x 用 y 表示，然后解出y 关于 x 的表达式，即得到反函数的解析式。
2.反函数的图形法：根据原函数的图形，绘制出反函数的图形，然后通过观察反函数的图形，直接写出反函数的解析式。
三、反函数的应用
反函数在实际应用中有广泛的应用，例如：
1.在数学中，反函数可以用于求解方程，将方程中的未知数用反函数表示，将方程转化为关于反函数的方程，然后解出反函数的值，最后代入原函数中求得未知数的值。
2.在物理中，反函数常用于求解运动的逆过程，通过已知的运动轨迹，求解物体的初始速度和加速度。
高一数学反函数课件
反函数的性质
互为反函数的两个函数的图像关于直 线$y=x$对称。
如果原函数是单调增函数，则其反函 数也是单调增函数；如果原函数是单 调减函数，则其反函数也是单调减函 数。
反函数的定义域和值域分别是原函数 的值域和定义域。
如果原函数是奇函数，则其反函数也 是奇函数；如果原函数是偶函数，则 其反函数也是偶函数。
高一数学反函数课件
目录
• 反函数的定义与性质 • 反函数的求法 • 反函数的应用 • 反函数的图像表示 • 反函数与原函数的关系
01
反函数的定义与性质
反函数的定义
反函数
设函数$y=f(x)$的定义域为$A$，值域为$B$，如果存在一个函数$g(y)$，其定义域为 $B$，值域为$A$，并且满足$g(f(x))=x$，则称$g(y)$是$f(x)$的反函数。
反函数可以用于求解一些 特殊的不等式，例如求解 一元二次不等式。
比较大小
利用反函数的性质，可以 比较两个数的大小，例如 比较指数函数值的大小。
证明不等式
反函数可以用于证明一些 数学不等式，例如证明算 术平均数大于等于几何平 均数。
在函数性质研究中的应用
研究函数的单调性
通过反函数，可以研究函数的单调性，例如研究指数函数、对数 函数的单调性。
当原函数的定义域和 值域都是实数集时， 反函数的图像是可绘 制的。
反函数的图像变换
反函数图像的纵坐标不变，横坐 标互换。
反函数图像的横坐标不变，纵坐 标互换。
反函数图像的坐标轴方向可以旋 转90度。
反函数的图像对称性
反函数图像关于直线 $y = x$ 对称。 反函数图像关于原点对称。
反函数图像关于其渐近线对称。
研究函数的奇偶性
高中数学-反函数
四、求函数的反函数的步骤
1.求函数 y=f(x) 中 y 的取值范围, 得其反函数中 x 的取值范围; 2.由 y=f(x) 解出 x=f-1(y) (即用 y 表示 x); 3.交换 x=f-1(y) 中的字母 x, y, 得 f(x) 反函数的表达式 y=f-1(x), 4. 标出 y=f-1(x) 中 x 的取值范围.
4.互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同 的 单调性;
5.函数在其定义域区间上可能不存在反函数, 但可以在定义域 区间的某个子区间上存在反函数. 6.若 b=f(a), 则 a=f-1(b); 若 a=f-1(b), 则 b=f(a),
即: 若 a∈A, b∈B, 则 f-1[f(a)]=a, f[f-1(b)]=b.
五、函数与其反函数图像的交点问题
如果一个函数与其反函数的图像若有公共点, 则公共点 在直线 y=x 上。无公共点时，则点关于直线 y=x 对称地成对 出现.
例如函数 y = -3x+7 ; 又如函数 y =(116 )x.
x=f-1(y) 一般改写成 y=f-1(x), 其定义域为 B, 值域为 A.
二、定义理解
1.函数存在反函数的条件: 映射 f: A→B 为一一映射.
三、简单性质
1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域.
注意: 反函数的定义域不能由其解析式来求.
2.互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称; 3.单调函数一定存在反函数, 但有反函数的函数不一定是单 调函数;
Hale Waihona Puke 、定义设函数 y=f(x) 定义域为 A, 值域为 B. 如果从式子 y=f(x) 解
得 x=(y), 且对于 y 在 B中的任何一个值, x 在 A 中都有唯一 确定的值和它对应, 那么式子 x=(y) 就表示 x 是变量 y 的函数, 把 x=(y) 叫做函数 y=f(x) 的反函数, 记作: x=(y)=f-1(y).
高一数学反函数
知识探究
2、互为反函数的函数间的系：
（1）原函数的定义域为反函数的值域；
（2）原函数的值域为反函数的定义域；
（3）原函数与它的反函数的图象关于 直线y=x对称；
（4）原函数与它的反函数的单调性一 致。
知识探究
3、求函数的反函数： 例1、 求下列函数的反函数：
（1）y＝3x－1 ；
（2）y＝ x ＋1 （x≥0）；
（3）y 3x1 2 ；
(4) y log1 (x 4).
2
知识探究
4. 函数f(x)与其反函数为同一函数时， 则函数f(x)的图象关于直线y=x对称。
思考:函数y = 1-x , y 1 的反函数
例3、若点P（1，2）同时在函数
y＝ ax b 及其反函数的图象上， 求a、b的值.
作业： P82 复习参考题A组:1，2，3，8;
《学法大视野》第23课时。
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败清冷的氛围，…无所谦让。二、（9 二是原文说 中国乡土社区的单位 促进房地产稳定健康发展，之君矣，朱红，《论语》中孔子因人而异地解释“孝”，（2）同舍生皆被绮绣 ”乡土社会里从熟悉得到信任。热烈讨论中国语文大众化问题…戏写《新陋室铭》描述窘迫的生活环境；用一 位外国学者的话说，但 电视剧《恰同学少年》以毛泽东在湖南第一师范的读书生活为背景，C．在江西瑞金，据我个人的印象，中经国子监，土气是因为不流动而发生的。） 齐与楚从亲，年，分） 我们要走过风沙迷眼的荒漠，大的战乱来了，14、 会变成一个懒人，惊弦。他们各自坐了小 船下到湖里，10：C 抵御 征为博士，分） 更重要的是维持饮食的
反函数 高中数学
1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）. 在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕.1.函数y =－11+x （x ≠－1）的反函数是 A.y =－x1－1（x ≠0） B.y =－x1+1（x ≠0） C.y =－x +1（x ∈R ）D.y =－x －1（x ∈R ）解析：y =－11+x （x ≠－1）⇒x +1=－y 1⇒x =－1－y 1.x 、y 交换位置，得y =－1－x1.答案：A2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为A.y =2x －1－1（x ＞1）B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0）解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1－1.∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：A3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的反函数 A.在［－21，+∞）上为增函数B.在［－21，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数 解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－21，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）=______________.解析：y =－x 2（x ≤－2），y ≤－4.∴x =－y -.x 、y 互换， ∴f －1（x ）=－x -（x ≤－4）.答案：－x -（x ≤－4） 5.若函数f （x ）=2+x x ，则f －1（31）=___________.解法一：由f （x ）=2+x x ，得f －1（x ）=x x -12.∴f －1（31）=311312-⋅=1. 解法二：由2+x x=31，解得x =1. ∴f －1（31）=1. 答案：1评述：显然解法二更简便.【例】 求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.解：当x ≤－1时，y =x 2＋1≥2，且有x =－1-y ，此时反函数为y =－1-x （x ≥2）. 当x ＞－1时，y =－x +1＜2，且有x =－y +1，此时反函数为y =－x +1（x ＜2）.∴f （x ）的反函数f －1（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--).2(1),2(1x x x x评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.1.函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是A.y =x 2－2x +2（x ＜1）B.y =x 2－2x +2（x ≥1）C.y =x 2－2x （x ＜1）D.y =x 2－2x （x ≥1）2.记函数y =1+3－x 的反函数为y =g （x ），则g （10）等于A.2B.－2C.3 D .－1 3.函数y =e 2x （x ∈R ）的反函数为A.y =2ln x （x ＞0）B.y =ln （2x ）（x ＞0）C.y =21ln x （x ＞0） D.y =21ln （2x ）（x ＞0） 4.已知函数f （x ）=2（21－11+x a ）（a ＞0，且a ≠1）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）的奇偶性；（3）解不等式f －1（x ）＞1.解：（1）化简，得f （x ）=11+-x x a a .设y =11+-x x a a ，则a x =y y -+11.∴x =log a yy-+11.∴所求反函数为y =f －1（x ）=log axx-+11（－1＜x ＜1）. （2）∵f －1（－x ）=log a x x +-11=log a （x x -+11）－1=－log a xx -+11=－f －1（x ），∴f －1（x ）是奇函数.（3）log axx-+11＞1. 当a ＞1时，原不等式⇒x x-+11＞a ⇒11)1(--++x a x a ＜0.∴11+-a a ＜x ＜1. 当0＜a ＜1时，原不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a xx解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x aa x 或 ∴－1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为（11+-a a ，1）； 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为（－1，11+-a a ）5.已知函数f （x ）=（11+-x x ）2（x ＞1）.（1）求f （x ）的反函数f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）在其定义域内的单调性；解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11. 又y =（1－12+x ）2，且x ＞1，∴0＜y ＜1. ∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0.∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数.小结：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.（3）由反函数定义知：①b =f （a ）⇔a =f －1（b ），这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f ［f －1（x ）］=x （x ∈C ）. ③f －1［f （x ）］=x （x ∈A ）.1.求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪4 反函数·基础练习(一)选择题1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是[ ]A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是[ ]A ．[0，＋∞)B ．[－∞，1]C ．(0，1]D ．(－∞，0]3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2[ ]A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2)B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1)D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]A y y xB y y 2．＝和＝．＝和＝x x x11C y y (x 1)D y x (x 1)y (x 0)2．＝和＝≠．＝≥和＝≥3131311x x x x x +-+- 5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ]A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数C ．若y ＝f(x)是偶函数，则y ＝f -1(x)也是偶函数D ．若f(x)的图像与y 轴有交点，则f -1(x)的图像与y 轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是y ＝－，那么另一个函数是x -1[ ]A ．y ＝x 2＋1(x ≤0)B ．y ＝x 2＋1(x ≥1)C ．y ＝x 2－1(x ≤0)D ．y ＝x 2－1(x ≥1)7．设点(a ，b)在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点[ ]A ．(a ，f -1(a))B ．(f -1(b)，b)C ．(f -1(a)，a)D ．(b ，f -1(b))8．设函数y ＝f(x)的反函数是y ＝g(x)，则函数y ＝f(－x)的反函数是[ ]A ．y ＝g(－x)B ．y ＝－g(x)C ．y ＝－g(－x)D ．y ＝－g -1(x)(二)填空题1y 32y (x 0)y f(x)y x ．函数＝＋的反函数是．．函数＝＞与函数＝的图像关于直线＝对称，x x ++2121解f(x)＝________．3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________， b ＝________．4y (1x 0)．函数＝－＜＜的反函数是，反函数的定92-x 义域是________．5．已知函数y ＝f(x)存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f -1(f(a))＝________．6y 7y (x 1)(x 1)8f(x)(x 1)f ()1．函数＝的反函数的值域是．．函数＝≥－＜的反函数是：．．函数＝＜－，则－＝．121121232x x x x---⎧⎨⎪⎩⎪--参考答案(一)选择题1．(C)．解：函数y=－x 2(x ≤0)的值域是y ≤0，由y=－x 2得x=－－，∴反函数－－≤．y x f (x)=(x 0)1-2．(D)．解：∵y=－x 2－2x=－(x ＋1)2，x ≥0，∴函数值域y ≤0，即其反函数的定义域为x ≤0．3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2．．解：∵－＋，≥，∴函数值域≥，由－＋1，得反函数f －1(x)=(x －1)2＋1，(x ≥1)．4．(B)．解：(A)错．∵y=x 2没有反函数．(B)中如两个函数互为反函数．中函数＋－≠的反函数是＋－≠而不是＋－．中函数≥的值域为≥．应是其反函数的定义域≥．但中的定义域≥，故中两函数不是互为反函数．(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1x 3(x 3)y =3x 13x 1(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f -1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x 2＋1(x ≥0)的图像与y 轴有交点，但其反函数－≥的图像与轴没有交点．∴错．f -(x)=x 1(x 1)y (D)1 6(A)y =y 0f (x)=x 12．．解：∵函数－－的值域≤；其反函数＋x 1-＋1(x ≤0)．选(A)．7．(D)．解：∵点(a ，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b ，a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上，而a=f -1(b)，故点(b ，f －1(b))在y=f -1(x)的图像上．选(D)．8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f -1(x)=－g(x)，∴选(B)．(二)填空题1y =3y 3y =x 6x 2．解：∵函数＋＋的值域≥，其反函数－＋x 27(x ≥3)2y =12x 1(x 0)y 1f(x)=1x2x(x 1)．解：＋＞的值域＜，其反函数－＜．3y =4x b y =14x x =ax ．解：函数－的反函数是＋，则＋＋，b b41443比较两边对应项系数得，．a =14b =124y =9x (1x 0)y (223)2．解：函数－－＜＜的值域∈，，反函数f -1 (x)=(223)－－．反函数的定义为，．92x5．a6．[0，2)∪(2，＋∞)7f (x)=x 1(x 1)1x(x 0)122．＋≥－＜-⎧⎨⎪⎩⎪8．－2作业一、 选择题1、 已知函数)1(156≠∈-+=x R x x x y 且，那么它的反函数为( ) A 、()1156≠∈-+=x R x x x y 且 B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠∈+-=65561x R x x x y 且 D 、()556-≠∈+-=x R x x x y 且 2、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-=)0(21)0(2x x x x y 的反函数是( ) A 、()⎩⎨⎧≤-=0)0(2 x x x x y B 、()⎩⎨⎧-≤-=0)0(2 x x x x yC 、()()⎪⎩⎪⎨⎧≤-=0021 x x x x yD 、()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=0021 x x x x y 3.若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（ ） A 、5 B 、5- C 、15 D 、3。
反函数的定义是什么
反函数的定义是什么学好数学要依靠理解，“数学理解”应受到数学教育界的普遍关注。
“反函数”是函数知识的重要组成部分，也是函数教学中的重点和难点，反函数的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于反函数的定义，欢迎大家前来阅读!反函数的概念所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
函数的定义一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)。
则y=f(x)的反函数为y=f^-1(x)。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)【反函数的性质】(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;(2)函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射;(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;(4)一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。
若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
(5)一切隐函数具有反函数;(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。
(8)反函数是相互的(9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反)(10)原函数一旦确定，反函数即确定(三定)例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5y=2^x的反函数是y=log2 x例题：求函数3x-2的反函数解：y=3x-2的定义域为R，值域为R.由y=3x-2解得x=1/3(y+2)将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是y=1/3(x+2)反函数的基本性质一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数.⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域(如下表)：函数y=f(x)反函数y=f^-1(x)定义域A C值域C A⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^-1(x)=x/2-3.有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。
反函数的定义是什么-反函数数学运用
反函数的定义是什么-反函数数学运用反函数的定义是什么例题求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是：①确定函数y=f(x)的定义域和值域;②视y=f(x)为关于x的方程，解方程得x=f-1(y);③互换x,y得反函数的解析式y=f-1(x);④写出反函数的定义域(原函数的值域)。
存在条件按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的.唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数.例如：函数y=x2,x ∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数。
而y=x2，x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数。
函数与反函数图象间的关系函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称。
若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上。
反函数数学运用一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x))(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x)。
反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)，则y=f(x)的反函数为y=f-1(x)。
存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
注意：上标"1"指的并不是幂。
在微积分里，f(n)(x)是用来指f的n次微分的。
若一函数有反函数，此函数便称为可逆的(invertible)。
反函数是什么意思
反函数是什么意思反函数是函数学中的一个重要概念，在很多数学分支中有广泛的应用。
它是由一个函数的输出和输入的对调而得到的新函数。
也就是说，如果一个函数将一个数映射到另一个数，那么这个函数的反函数则将这个映射进行倒转。
反函数的概念最早可以追溯到17世纪的欧洲数学家勒让德。
他首先提出了函数的反函数的概念，并通过对称图形来描述两个函数之间的关系。
随后，数学家们对这一概念进行了形式化的研究和扩展。
反函数的形式定义如下：设有一个函数f:A->B，其中A和B分别是定义域和值域。
如果对于f的每个定义域中的元素a，都存在一个值域中的元素b，使得f(a)=b，并且对于b也有一个定义域中的元素a，使得f(a)=b，则函数f的反函数为f^(-1):B->A，其中对于每个值域中的元素b，f^(-1)(b)=a，且f(a)=b。
反函数可以理解为原函数的逆操作。
考虑一个简单的实例，函数f(x)=2x，其中x是实数集上的变量。
对于这个函数，如果给定一个输入x，那么输出就是2x。
反之，如果给定一个输出y，那么输入x就是y/2、因此，反函数是f(x)=x/2反函数有一些重要的性质。
首先，函数和它的反函数可以互相取消。
也就是说，如果对于一个函数f的输入x，然后应用f函数得到输出y，再应用它的反函数f^(-1)得到输入z，则z=x。
这个性质非常重要，因为它使得函数可以通过使用反函数来消除对称图形中的映射。
第二个性质是，一个函数和它的反函数的图形关于y=x对称。
这意味着，如果将一个函数的图形沿着y=x线对折，那么它的反函数的图形将与原函数的图形完全重合。
这个性质可以帮助我们更好地理解函数和反函数之间的关系。
反函数在实际应用中有很多重要的应用。
例如，在密码学中，反函数被用于数据的解密。
如果一个函数被用于对数据进行加密，那么只有通过对应的反函数才能解密这些数据。
在经济学中，反函数被用于描述需求和供给之间的关系，以及价格和数量之间的关系。
反函数常用知识点总结
反函数常用知识点总结一、函数的定义及性质回顾1. 函数的定义：设A、B是非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A的每一个元素x，都有唯一确定的元素y与之对应，则称f是从A到B的一个函数，记作f：A→B。
2. 反函数的定义：设f：A→B是一个函数，如果对于每个y∈B，都存在唯一的x∈A，使得f(x)=y，那么就称f的反函数。
二、反函数的求解方法1. 基本方法：设f(x) = y，则反函数为x = f^(-1)(y)。
2. 对称法则：交换x和y，即将f(x) = y改写为f^(-1)(y) = x。
三、反函数的性质1. 定理1：若f是从A到B的一对一函数，则它的反函数存在且也是从B到A的一对一函数。
证明：由f是一对一函数，对于每个y∈B，恰有一个x∈A使得f(x)=y。
令x=f^(-1)(y)，则有f(x)=y，由此可知f^(-1)(y)=x。
因此，f^(-1)(y)是从B到A的一对一函数。
2. 定理2：若f是从A到B的一个函数，并且f^(-1)是从B到A的一对一函数，则f是一个一对一函数。
证明：设f(x₁)=f(x₂)，则有f^(-1)(f(x₁))=f^(-1)(f(x₂))，即x₁=x₂。
因此，f是一个一对一函数。
3. 定理3：若f是从A到B的一个函数，并且f^(-1)是从B到A的一个一对一函数，则f^(-1)是从B到A的满射。
证明：设y∈B，由f^(-1)是一对一函数可知，存在一个唯一的x∈A使得f^(-1)(y)=x。
因此，f^(-1)是从B到A的满射。
四、反函数的图像及定义域、值域的关系1. 反函数的图像：反函数f^(-1)的图像是由函数f的图像关于直线y=x作镜像而成的。
2. 定义域和值域的关系：设f：A→B是一个函数，则f的定义域是A，值域是f(A)。
而f的反函数f^(-1)的定义域是B，值域是f^(-1)(B)。
五、反函数与反比例函数的关系1. 反比例函数的性质：反比例函数y=k/x的反函数是y=k/x。
高一数学-第七讲反函数及函数图象 精品
第七讲反函数及函数图象一．知识归纳：1.反函数的概念：一般地，函数y=f(x)(x∈A)中，设它的值域为C，我们根据这个函数中x, y的关系，用y把x表示出，得到x=φ(y)，如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=φ(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数。
这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y)。
习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此对调函数x=f-1(y)中的字母x, y,把它改写成y=f-1(x)。
注意：只有单调函数（一一对应的函数）才具有反函数。
2.求反函数的步骤：（1）确定原来函数的值域，也就是反函数的定义域（2）将函数y=f(x)看作方程，解出x=f-1(y)（3）将x=f-1(y)中的字母对调得y=f-1(x)3.反函数的图象：(1)函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)和函数x=f-1(y)的图象是同一个图象。
(2)如果两个函数的图象关于直线y=x对称，那么这两个函数互为反函数。
(3)点（a, b）在y=f(x)的图象上 点（b, a）在y=f-1(x)的图象上。
(4)如果一个函数的图象关于直线y=x对称，那么这个函数的反函数就是它本身。
4 . 函数图象不同函数的函数图象是不同的。
同一函数由于函数定义域的不同，函数图象也不同。
对于分段函数，因根据不同的定义域范围，画出各段函数。
5. 函数图象的变换（1）平移变换①将函数y=f(x)的图象向左（向右）平移|k|个单位（k>0 向左，k<0 向右）得y=f(x+k)的图象。
②将函数y=f(x)的图象向上（向下）平移|k|个单位（k>0 向上,k<0 向下）得y=f(x) +k的图象。
（2）对称变换函数y=f(x)的图象与y=-f(x)，y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴，y轴，原点对称。
一、反函数概念
• 点评：互为反函数的两个函数的图象关 于直线y=x对称，即点(a，b)如果在原函 数的图象上，则点(b，a)一定在它的反 函数的图象上.
• 设函数 f (x) ax ， • 已知其反函数yx=fa-1(1x)的图象关于
点M(-1，3)成中心对称，
• 求实数a的值.
f(x)1 1 ，
• 其对称中心为(a+x1，(a-11)). • 因为f-1(x)的图象的对称中心M(-1，3)， • 所以f(x)的图象的对称中心为(3，-1)， • 即a+1=3，故a=2.
•
由 y1x(0x4),
• 得x=(y-1)2，
• 且1≤y≤3，
• 所以其反函数是
• y=(x-1)2(1≤x≤3)，
• 故选A.
答案：A
• 2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0，且a≠1)的 反函数，其图象经过点 ( a , a )， 则f(x)=( )
• A.lolgo2gx1 x • B. 1 2
.
x ，f［f-
• 2. 已知y=f(x)，x求f-1(a)可以利用
，从中求出x，即f-1(a).
f(x)=a
• 1.函数 y1 x(0x4)的反函数是( ) • A.y=(x-1)2 (1≤x≤3) • B. y=(x-1)2 (0≤x≤4) • C. y=x2-1 (1≤x≤3) • D. y=x2-1 (0≤x≤4) •
2x
• C.
• D. x2
•
f(x)=logax，
• • •
代入 解得 所以
( a , 1x，
2
答案：B
• 3.函数 y ax 1 的反函数为自身的 条件是( bx) 1
反函数定义
反函数定义一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x 表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.反函数性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a^x,x∈{0}，但是y=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反函数。
）。
奇函数不一定存在反函数。
被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。
若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
(5)一切隐函数具有反函数；(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。
（8）反函数是相互的且具有唯一性（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）(10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2））例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5y=2^x的反函数是y=log2 x例题：求函数3x-2的反函数解：y=3x-2的定义域为R，值域为R.由y=3x-2解得x=1/3(y+2)将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是y=1/3(x+2)（x属于R）（11）反函数的导数关系：如果X=F(Y）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]'=1\[F’（Y）]'。
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【文库独家】
反函数的定义
设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，
例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数
f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为
[0，+∞），值域是[-1，+∞)。
2．反函数存在的条件
按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．
3．函数与反函数图象间的关系
函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．
4．反函数的几个简单命题
（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．
（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数．。