2020高一数学：反函数的定义

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反函数的定义

设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，

例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数

f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为

[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函数存在的条件

按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．

3．函数与反函数图象间的关系

函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．

4．反函数的几个简单命题

（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．

（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数．