函数凹凸性判别法与应用

函数凹凸性判别法与应用

作者：祝红丽 指导老师：邢抱花

摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过

它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸

性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并

结合相关例题做了较详细的论述.

关键词 凹凸性 导数 不等式 应用

1 引言

函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变

量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确.

以函数()y f x =在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增

加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图

形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分

析.

作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学

者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研

究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛.

本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函

数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹

凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性，

及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判

别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函

数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都

能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代

的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函

数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的

函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.

2 凹凸函数及拐点的定义

我们已经熟悉函数2y x =和lg y x =的图象.

X

它们的不同之处是：曲线2

y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线lg y x =则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方.我们把具有前一种特性的曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数；后一种曲线称为凸的，相应的函数成为凸函数.函数凹凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凹凸性定义的更一般的形式.

2.1函数凹凸性的定义

定义 设函数()f x 在区间I 上连续，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数(0,1)λ∈,总有: 1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-, 则称f 为I 上的凹函数. 反之，如果总有:1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≥+-+(1-,则称f 为I 上的凸函数. 特别地，当λ=

12时，满足121211()()()222

x x f f x f x +≤+的函数为凹函数，满足121211()()()222x x f f x f x +≥+的函数为凸函数. 如果定义中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凹函数和严格凸函数.

2.2 凹函数与凸函数的几何意义

定义中凹函数与凸函数的图象如图1、图2.

图1 图2 凹函数（凸函数）的几何意义：连接曲线()y f x =上任意两点的弦总位于对应曲线的上方（下方）.

2.3 拐点的定义

设曲线()y f x =在点0,0(())x f x 处有穿过曲线的切线.且在切点近旁，曲线的切线的两侧分别是严格凹和严格凸的，这时称点0,0(())x f x 为曲线()y f x =的拐点.

由定义可见，对于具有凹凸性的函数而言，拐点正是函数的凹凸性发生改变的那一点，即拐点的两侧邻域有着互异的严格凹凸性.如下图中的M 点.

严格地说，拐点都是平面光滑曲线（即切线连续变动的曲线）弯曲方向发生改变的转折点，拐点的几何特征是该点的切线不是在曲线的一侧“托着曲线”而是切线在切点处把曲线一分为二，分别在切线的两侧.

易知，有正弦曲线的图象可知sin y x =有拐点(,0)k π ，k 为整数.

2.4 拐点的判别法

(1)若()f x 在0x 处连续，在0x 两侧()''f x 反号，则()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点.

(2)若()''00f x =，()(3)00f x ≠，则()()00,x f x 是()y f x =的拐点.

例题1 求下列函数的拐点 ()1()()

2211x

f x x =+-； ()2 ()3f x x =. 解 ()1()()

()'3211x f x x -+=-，()()

()

''2421x f x x +=- ， 当()()2,11,x ∈-⋃+∞时，()''0f

x >； 当(),2x ∈-∞-时，()''0f x < ，又()529

f -=, 所以点52,9⎛

⎫- ⎪⎝⎭

是函数的拐点. ()2()'23f x x =，()''6f x x =，()'''6f x =，()''00f =，()'''00f ≠，所以点()0,0是函数的拐点.

注意：函数的拐点只是表示在该点的两侧函数具有不同的严格凹凸性，而不能只依靠判断二阶导数是否为零来确定函数的拐点.对于二阶导数不存在的点0x ，检查''

()f x 在0x 左右两侧邻近的符号，那么当两侧邻近的符号相反时，点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是曲线()y f x =的拐点函数的拐点.因此函数的拐点