海南省海口市海南中学2021届高三上学期第四次月考数学试题(含答案解析)
海南省海南中学2024届高三上学期第四次月考数学含答案解析
海南中学2024届高三年级第4次月考数学试题卷时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.7.422⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中的常数项为()A.－6B.32C.6D.－328.下述方法可以证明正弦定理：直线l 与锐角ABC ∆的边AB ，AC 分别相交于点D ，E ，设BC a =，=CA b ，AB c =，90ADE ︒∠=，记与DE方向相同的单位向量为i ，AB BC AC += ，∴()i AB BC i AC ⋅+=⋅ ，进而得i AB i BC i AC ⋅+⋅=⋅，即：()()cos 90cos 90a B b A ︒︒-=-，即：sin sin a B b A =，钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示，直线l 与锐角ABC ∆的边AB ，AC 分别相交于点D ，E ，设BC a =，=CA b ，AB c =，ADE θ∠=，则θ与ABC ∆的边和角之间的等量关系为（）A ．()()cos +cos cos aB b A c θθθ+-=B ．()()cos cos sin a B b A c θθθ++-=C ．()()cos cos sin a B b A c θθθ-++=D ．()()cos cos cos a B b A c θθθ-++=二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分．9.已知等比数列{}n a 是递增数列，q 是其公比，下列说法正确的是（）A ．10a >B ．0q >C ．1(1)0a q ->D ．10a q >10.已知实数x ，y 满足ln x >ln |y |，则下列关系式中恒成立的是()A.1x <1yB.2x >2yC.sin x >sin yD.3131yx >11．下列判断正确的是()A ．命题p ：“2010x x x ∃＞，使得＋＋＜”，则p 的否定：“2010x x x ∀≤≥，都有＋＋”B ．△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝π3C ．线性回归直线ˆˆˆy bx a ＝＋必经过点1122()()()n n x y x y x y ⋯，，，，，，的中心点()x y ，D ．若随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2)，P (ξ≤4)＝0.79，则P (ξ＜－2)＝0.2112.如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：其中所有正确命题的序号是()A.有水的部分始终呈棱柱形；B.水面EFGH 所在四边形的面积为定值；C.棱11A D 始终与水面所在平面平行；D.当容器倾斜如图（3）所示时，BE BF ⋅是定值．三、填空题：本题共4小题，每小题5分（16题第一空2分，第二空3分），共20分.13．设a ＜0，则关于x 的不等式42x 2＋ax －a 2＜0的解集为__________．14．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点⎪⎭⎫⎝⎛5453，，则tan2α=_________．15．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60︒，侧面积为47，则该棱锥的体积为．16．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.如图，直线32y =与曲线()y f x =交于A ，B 两点，π6AB =，则ϕ==.()y f x =在区间()π,4t t t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦R 上的最大值与最小值的差的取值范围是.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足).(1,0)(,3,23614n n n a D a b x x x D S S a a ⋅=⎩⎨⎧===-，是有理数，是无理数记（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前2024项和（结果写成指数幂形式）.18.（本小题满分12分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ，，﹐已知()()sin sin sin sin B A C C B A -=-．(1)若2A C =，求B ；(2)证明：2222b c a +=.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AA AD AB ===，E ，F 分别为1AA ，CD 的中点．(1)证明：111B D A C ^；(2)求三棱锥11E F B C -的体积．20.（本小题满分12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲)，使方程()()12f x g x =海南中学2024届高三年级第4次月考数学参考答案一、选择题123456789101112D A C C B D AD BC BD BCDACD二、填空题14.247-16.π1212⎡-⎢⎣三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知等比数列{}n a的前n项和为n S，且满足).(1,0)(,3,23614nnnaDabxxxDSSaa⋅=⎩⎨⎧===-，是有理数，是无理数记（3）求数列{}n a的通项公式；（4）求数列{}n b的前2024项和（结果写成指数幂形式）.【答案】（1）2*32(n N)nna+=∈（2）676202422T=-【详解】设{}n a的公比为q，由题意得3116311211311a q aq qa aq q⎧⋅-=⎪⎨--⋅=⋅⎪--⎩，解得11322aq=⎧⎪⎨⎪=⎩则21312nnna a q+-=⋅=（2）111()2b a D a=⋅=，43222()200b a D a=⋅=⨯=，53333()200b a D a=⋅=⨯=22444()212b a D a=⋅=⨯=，20263202420242024()200b a D a=⋅=⨯=675123675 202412320241472023222............222. (2)12T b b b b a a a a-⨯∴=++++=+++++=++++=-676202422T=-18.（本小题满分12分）记ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知()()sin sin sin sinB AC C B A-=-．(1)若2A C =，求B ；(2)证明：2222b c a +=.【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【详解】（1）由2A C =，()()sin sin sin sin B A C C B A -=-可得，()sin sin sin sin C B C B A =-，而π02C <<，所以()sin 0,1C ∈，即有()sinB sin 0B A =->，而0π,0πB B A <<<-<，显然B B A ≠-，所以，πB B A +-=，而2A C =，πA B C ++=，所以5π8B =．（2）由()()sin sin sin sin B A C C B A -=-可得，()()sinB sin cos cos sinC sinC sin cos cos sin A C A B A B A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cosB ab C bc A bc A ac -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a b c b c a b c a a c b +--+-=+--+-，化简得：2222b c a +=，故原等式成立．19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AA AD AB ===，E ，F 分别为1AA ，CD 的中点．(1)证明：111B D A C ^；(2)求三棱锥11E F B C -的体积．【答案】(1)证明见解析(2)2【详解】（1）连接11B D ，因为1111D C B A 为正方形，所以1111AC B D ⊥，又在长方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111D C B A ，且11A C ⊂平面1111D C B A ，故111AC DD ⊥．又1111D D D B D = ，1DD ⊂平面11B DD ，11D B ⊂平面11B DD ，所以11A C ⊥平面11B DD ，又1B D ⊂平面11B DD ，故111B D A C ^．（2）由11D A ，11D C ，1D D 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则()12,2,0B ，()10,2,0C ，()2,0,2E ，()0,1,4F ，()112,0,0C B = ，()10,1,4C F =- ，()2,1,2EF =-．设平面11B C F 的一个法向量为(),,n x y z = ，则1110C B n C F n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2040x y z =⎧⎨-+=⎩，令1z =，得()0,4,1n = ．又()2,1,2EF =- ，则点E 到平面11B C F的距离EF n d n ⋅==又1C F =11B C F △的面积为11111222B C C F ⨯=⨯=所以三棱锥11E B C F -的体积为123=．20.（本小题满分12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5(1)计算试验组的样本平均数；(2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表m<m ≥合计对照组试验组合计（ⅱ）根据（i ）中的列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．【答案】(1)19.8(2)（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能【详解】（1）试验组样本平均数为：1(7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.220+++++++++++39621.622.823.623.925.128.232.336.5)19.820++++++++==（2）（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第11位数据为18.8，后续依次为19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6, ，故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以23.223.623.42m +==，故列联表为：m<m≥合计对照组61420试验组14620合计202040（ii ）零假设0H :小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量没有差异由（i ）可得，2240(661414) 6.400 6.63520202020K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，根据小概率值0.01α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可认为0H 成立，即认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量没有差异.21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，N 是PB 的中点，点M ，Q 分别在线段PD 与AP 上，且DM MP λ= ，AQ QP μ=.(1)当1λ=时，求平面MDN 与平面DNC 的夹角大小；(2)若//MQ 平面PBC ，证明：12μλ=+.【答案】(1)30︒(2)证明见解析【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0D ，()1,1,0C ，()0,2,0B ，()002P ,,.当1λ=时，1,0,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,1N ，则1,1,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,1DN =- ，()1,0,1CN =- .设平面MDN 的一个法向量为(),,m x y z = ，平面DNC 的一个法向量为(),,n a b c =，∴102x y -+=且0x y z -++=，0a c -+=且0a b c -++=，令1y =，1a =，则()2,1,1m = ，()1,0,1n =，∴cos ,m nm n m n⋅==⋅∴平面MDN 与平面DNC 的夹角大小为30︒.（2）设(),,M x y z '''，由DM MP λ= ，得()()1,,,,2x y z x y z λ''''''-=---，∴12,0,11M λλλ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，同理由AQ QP μ= ，得20,0,1Q μμ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，∴122,0,111MQ μλλμλ⎛⎫=-- ⎪+++⎝⎭.()0,2,2PB =- ，()1,1,0BC =- ，设平面PBC 的一个法向量为()111,,p x y z =，∴11220y z -=且110x y -=，令11x =，则()1,1,1p =，∴0p MQ ⋅= ，则1220111μλλμλ-+-=+++，即12μλ=+.22.（本小题满分12分）已知函数()()1xf x a x e =--，x R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间及极值；（2）设()()22ln m g x x t x t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当1a =时，存在()1,x ∈-∞+∞，()20,x ∈+∞，使方程()()12f x g x =成立，求实数m 的最小值．【答案】（1）单调递增区间为(,1)x a ∈-∞-，单调递减区间为(1,)x a ∈-+∞.函数()f x 有极大值且为1(1)1a f a e --=-，()f x 没有极小值.（2）1e-【详解】（1）由()()1x f x a x e =--得：()()1xf x a x e'=--令()0f x '=，则()10xa x e --=，解得1x a =-当(),1x a ∈-∞-时，()0f x ¢>当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '<()f x 的单调递增区间为(),1x a ∈-∞-，单调递减区间为()1,x a ∈-+∞当1x a =-时，函数()f x 有极大值()111a f a e --=-，()f x 没有极小值（2）当1a =时，由（1）知，函数()f x 在10x a =-=处有最大值()0010f e =-=又因为()()22ln 0m g x x t x t ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭∴方程()()12f x g x =有解，必然存在()20,x ∈+∞，使()20g x =x t ∴=，ln mx t=等价于方程ln x xm=有解，即ln m x x =在()0,∞+上有解记()ln h x x x =，()0,x ∈+∞()ln 1h x x '∴=+，令()0h x '=，得1=x e当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增所以当1=x e 时，()min 1h x e=-所以实数m 的最小值为1e -。
海南省海口市海南中学2021届高三上学期第四次月考数学试题(解析卷)
海南中学2021届高三第四次月考数学试题卷满分：150分考试时间：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合(){},|2A x y x y =+=，(){}2,|B x y y x ==，则AB =（ ）A.(){}1,1B.(){}2,4-C.()(){}1,1,2,4-D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知AB 实质是求交点，进而联立组成方程组求解即可.【详解】解：集合A 与集合B 均为点集，AB 实质是求2x y +=与2yx 的交点，所以联立组成方程组得22x y y x +=⎧⎨=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩， 从而集合()(){}1,1,2,4A B ⋂=-， 故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题. 2. 已知(,)a bi a b R +∈是11ii-+的共轭复数，则a b +=（ ） A. 1- B. 12- C. 12D. 1【答案】D 【解析】 【分析】 首先计算11ii-+，然后利用共轭复数的特征计算,a b 的值. 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ---===-++-，()a bi i i ∴+=--=， 0,1,1a b a b ∴==∴+=.故选:D .【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3. 3.设向量(1,1)a =，(1,3)=-b ，(2,1)c =，且()a b c λ-⊥，则λ=（ ） A. 3 B. 2 C. 2- D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算法则先计算得出a b λ-，然后根据()a b c λ-⊥，利用向量垂直的坐标运算法则求解λ的值.【详解】因为(1,1)a =，(1,3)=-b ， 所以()1,13a b λλλ-=+-，当()a b c λ-⊥时，则有()()21130λλ++-=，解得3λ=. 故选：A.【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标运算公式，设向量11,ax y ，22,bx y ，则当a b ⊥时，12120x x y y +=.4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N ≤∈个圆环所需的移动最少次数，若11a =.且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）A. 13B. 16C. 31D. 64【分析】根据已知的递推关系求6a ，从而得到正确答案.【详解】11a =，1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数， ∴21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=，652131a a =-=，所以解下6个环所需的最少移动次数为31. 故选：C. 5. 已知,,2παπ⎛⎫∈-⎪⎝⎭且3cos28sin 50αα++=，则tan α=（ ） A. 23-B.C.D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件结合二倍角余弦公式有23sin 4sin 40αα--=，求得sin α，又α的范围和sin α符号确定角的象限，进而由同角三角函数关系求cos α，即可求tan α值.【详解】3cos28sin 50αα++=知：23sin 4sin 40αα--=，解得2sin3或sin 2α=（舍）， 又,,2παπ⎛⎫∈-⎪⎝⎭2sin 03α=-<，所以α为第四象限角，即cos 0α>，∴由22sin cos 1αα+=，得：5cos α3，而sin 25tan cos 5. 故选：C6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，134+30,90,a a S ==设21log 3n n b a =，那么数列{}n b 的前15项和为（ ） A. 16B. 80C. 120D. 150【分析】根据134+30,90,a a S ==分1q =和1q ≠，利用“1,a q ”法求得n a ，进而求得n b n =，然后利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为134+30,90,a a S ==若1q =，则 14115,46090a S a ===≠，不成立， 所以1q ≠，则()412111+30,901a q a a q q-==-，解得16,2a q ==， 所以1132n n n a a q-==⋅，所以21log 3n n b a n ==， 所以数列{}n b 的前15项和为()()11515151511512022b b S ++===，故选：C .7. 已知3223ln 2ln 3,log ,23a b c ===，则（ ） A. a c b >> B. b c a >> C. a b c >> D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()ln xf x x =，利用导数判断单调性可判定,a c 大小，再求出b 即可得出结果. 【详解】设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，令()0f x '=，解得x e =， 则当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()()ln 2ln 4ln 34,3243a f c f =====，a c ∴<， 且ln 2ln1022a =>=，3223log 1b ==-，【点睛】关键点睛：本题考查对数式的大小比较，解题的关键是构造函数()ln xf x x=判断单调性，从而先得出,a c 大小.8. 对于函数y =f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y =f (x )为k 倍值函数.若f (x )=e x +3x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是（ ） A. (e +1e，+∞) B. (e +2e，+∞) C. (e +2，+∞) D. (e +3，+∞)【答案】D 【解析】 【分析】根据f (x )=e x+3x 是定义域R 上的增函数，易得()()f a kaf b kb⎧=⎪⎨=⎪⎩，即,a b 是方程3x e x kx +=的两个根，转化为3x e k x =+有两个根，令()3xe g x x =+，用导数法求解.【详解】因为f (x )=e x +3x 是定义域R 上的增函数，所以()()f a ka f b kb⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3,3a b e a ka e b kb +=+=，所以,a b 是方程3x e x kx +=的两个根， 显然0x =不是方程的根，所以3xe k x=+，令()3(0)xe g x x x=+≠，则()()21xe x g x x -'=，当0,01x x <<<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得极小值3e +，当0x →时，()g x →+∞，当x →-∞时，()3g x →， 画出函数()g x 图象，如下图所示：所以3k e >+所以实数k 的取值范围是(e +3，+∞)， 故选：D【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A. MA MB MC == B. 0MA MB MC ++= C. 1233CM CA CD =+ D. 2133BM BA BD =+ 【答案】BC【解析】 【分析】由题可知M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，由此依次计算判断即可得出结果. 【详解】M 为△ABC 的重心，∴M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，对于A ，由于△ABC 为任意三角形，故中线不一定相等，则,,MA MB MC 不一定相等，故A 错误； 对于B ，D 为BC 的中点，2MB M MD C +∴=，2MA MD =-，0MA MB MC ++=∴，故B 正确；对于C ，()22123333CM CA AM CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=+，故C 正确； 对于D ，()22123333BM BA BA BA B AM AD BD BA A BD +=+=+-==+，故D 错误. 故选：BC.10. 已知函数f (x )=sin(3x +φ)(22ππφ-<<)的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A. 函数()12f x π+为偶函数B. 函数f (x )在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递増 C. 若|f (1x )−f (2x )|=2，则|1x −2x |的最小值为3π D. 函数f (x )的图象向右平移4π个单位长度得到函数y =−sin3x 的图象 【答案】CD 【解析】 【分析】利用()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，即可求出ϕ的值，从而得出()f x 的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.【详解】因为()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈ ，得4k πϕπ=-+，k Z ∈，因为 22ππϕ-<<，所以0,4k πϕ==-，所以()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 对于A ：sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，故选项A 错误；对于B ：123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数；故选项B 不正确；对于C ：因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，所以12x x -的最小值为半个周期，即21323ππ⨯=，故选项C 正确； 对于D ：函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到 ()sin 3sin 3sin344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项D 正确；故选：CD11. 下列说法中正确的是（ ）A. 若数列{}n a 前n 项和n S 满足21n S n =+，则21n a n =-B. 在等差数列{}n a 中，满足1016S S =，则其前n 项和n S 中13S 最大C. 在等差数列{}n a 中，满足53a =，则数列{}n a 的前9项和为定值D. 若tan 2x =，则4sin 25x = 【答案】CD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，可判断ABC 选项；利用同角三角函数基本关系，结合二倍角公式，可判断D 选项.【详解】A 选项，因为数列{}n a 前n 项和n S 满足21n S n =+，所以()()221111212n n n a S S n n n n -=-=+---=-≥，又211112a S ==+=，不满足21n a n =-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故A 错；B 选项，在等差数列{}n a 中，满足1016S S =，则()()11121611161...332250a a a a a a d +++=+=+=，即1252a d =-； 当10a >时，0d <，1311202d a a d =+=->，1411302da a d =+=<，则n S 有最大值13S ；当10a <，0d >，1311202d a a d =+=-<，1411302da a d =+=>则n S 有最小值13S ；当10a d ==时，0n S =；故B 错；C 选项，在等差数列{}n a 中，满足53a =，则其前9项和为()19599272a a a +==为定值，故C 正确； D 选项，若tan 2x =，则2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15x x x x x x x ===++，故D 正确. 故选：CD.【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值的常用方法：（1）二次函数法：用求二次函数最值的方法（配方法）求其前n 项和的最值，但要注意*n N ∈； （2）图像法：利用二次函数图像的对称性来确定n 的值，使n S 取得最值；（3）项的符号法（邻项变号原则）：当100a d >⎧⎨<⎩时，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n ，使n S 取得最大值；当100a d <⎧⎨>⎩时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n ，使取得最小值；即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使nS 取最值的n 有两个.12. 关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A. ()f x 在(0,)+∞上是增函数 B. ()f x 存在唯一极小值点0x C. ()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D. ()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又34232()0,()0,(0)2042f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=>(0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f e ππ--=+>，000000()sin sin cos 2sin()04xf x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数221,0()3,0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩若0()27f x =，则实数0x 的值为___________. 【答案】13或3- 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式分类讨论进行求解即可.【详解】当00x ≥时，因为0()27f x =，所以00212713x x +=⇒=，显然符合00x ≥；当00x <时，因为0()27f x =，所以2003273x x =⇒=±，而00x <，所以03x =-，故答案为：13或3-14. 若24x y +=，则24x y +的最小值是_________. 【答案】8. 【解析】 【分析】利用基本不等式可求出24x y +的最小值.【详解】由基本不等式得224228x y x y +=+≥==， 当且仅当22x y ==时，等号成立，因此，24x y +的最小值为8，故答案为8.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是对代数式进行配凑，考查运算求解能力，属于中等题.15. 已知a 、b 、c 为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m =（-1），n =（cosA ，sinA ），若m ⊥n ，且acosB +bcosA =csinC ，则角B 的大小为______． 【答案】3π【解析】 【分析】由m ⊥n ，可得m •n =-cosA sinA ＝0，解得A ．由acosB +bcosA ＝csinC ，利用正弦定理可得sinAcosB +sinBcosA ＝sinCsinC ，化简整理可得A ，进而得出B ＝π﹣A ﹣C ． 【详解】∵m ⊥n ，∴m •n =-cosA ＝0，解得tanA =A ∈（0，π）． ∴A 6π=．∵acosB +bcosA ＝csinC ， ∴sinAcosB +sinBcosA ＝sinCsinC ， ∴sin （A +B ）＝sinCsinC ，C ∈（0，π）． ∴sinC ＝sinCsinC ≠0， ∴sinC ＝1，解得C 2π=．∴B ＝π﹣A ﹣C 3π=．故答案为：3π． 【点睛】本题考查了正弦定理、数量积运算性质、和差公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16. 设,n n S T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且211n n S n T n -=+.设点A 是直线BC外一点，点P 是直线BC 上一点，且178a a AP AB ACb λ+=+，则实数λ的值为_________. 【答案】58- 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质可得432n n n a b n-=，设(43),(2)n n a k n b k n =-=，利用等差数列的性质以及向量共线26161λ+=，即可求解. 【详解】121121214343122n n n n n n a a a b b S n n n T n n b n-----=++⇒=⇒=+， 因此可设(43),(2)n n a k n b k n =-=，因此71826261616a a k b k +==，于是2615168λλ+=⇒=-. 故答案为：58-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l ，河岸l 边有一烟囱(AB 不计B 离河岸的距离)，河的另一侧是以O 为圆心，半径为12米的扇形区域OCD ，且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧的交点为.E 经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45︒，30，和60︒.（1）求烟囱AB 的高度；（2）如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长. 【答案】（1）63（2）43.【解析】 【分析】（1）设AB 的高度为h ，利用直角三角形中的特殊角函数值及12OE =即可求h 的值. （2）由（1）确定,,OB OC CB 的长度，结合余弦定理求cos COB ∠，进而求CE 的长. 【详解】（1）设AB 的高度为.h 在CAB △中，45ACB ∠=︒，有CB h =.在OAB 中，因为30,60AOB AEB ∠=︒∠=︒，可得,3OB EB h ==.由题意得123OE h =-=，解得h =. （2）由（1）知，在OBC中18,12,OB OC CB ===5cos 6COB ∠=， 所以在OCE △中，2222cos CE OC OE OC OE COB =+-⋅⋅∠，得CE=答：AB的高为CE的长为.18. 设{a n }是等差数列，(n ∈N *)；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *).已知11b =，322b b =+，b 5=a 3+a 5，b 7=a 4+2a 6.（1）求S n 与a n ；（2）若n n c a =，求数列{}n c 前n 项和n T .【答案】（1）21nn S =-，1032n a n =-；（2）()()22527,352772,4n n n n T n n n ⎧-+≤⎪=⎨-+≥⎪⎩. 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件得到220q q --=，解得2q，从而得到21n n S =-，根据535174612616231364b a a a d b a a a d =+=+=⎧⎨=+=+=⎩，解方程组即可得到1032n a n =-. （2）首先根据1032n a n =-，得到前n 项和为2527n K n n =-，再分类讨论求数列{}n c 的前n 项和n T 即可.【详解】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，且0q >. 由11b =，322b b =+，可得220q q --=， 因为0q >，可得2q，所以122112nn n S -==--.所以535174612616231364b a a a d b a a a d =+=+=⎧⎨=+=+=⎩，解得12210a d =-⎧⎨=⎩，1032n a n =-.（2）因为1032n a n =-，前n 项和为()22210325272n n n K n n -+-==-，当3n ≤时，0n a <，所以2n 527n T K n n =-=-+，当4n ≥时，0n a >，所以()()n 1221234n n T a a a a a a a a a =++++=-+++++…………()2333=252772n n K K K K K n n =-+--=-+.所以()()22527,352772,4n n n n T n n n ⎧-+≤⎪=⎨-+≥⎪⎩. 19.已知向量3sin 22a x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(sin ,cos )b x x =，()f x a b =⋅. （1）求f (x )的最大值及f (x )取最大值时x 的取值集合M ； （2）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C的对边，若24C M π+∈，求ab 的取值范围.【答案】（1）f (x )的最大值为1，5,12M x x k k z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭；（2）⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简得出()sin 232f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭－，解得求得最大值； （2）由24C M π+∈可得3C π=，利用正弦定理以及角的关系可得1tan 22a Bb =+，根据角B 的范围即可求解.【详解】（1）()cos ,a x x =，∴()21sin cos sin2sin 223f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅===-⎪⎝⎭－，()f x ∴的最大值为12-，此时2x 2,32k πππ-=+即512x k π=π+，k z ∈，5,12M x x k k z ππ⎧⎫∴==+∈⎨⎬⎩⎭（2）24C M π+∈，52412C k πππ∴+=+，23C k ππ=+， ()0,C π∈，3C π∴=，∴21sin()sin sin 1322tan sin sin cos 2B B Ba A Bb BB B π-+====+， 锐角△ABC 中，62B ππ<<，∴tan B >， ∴3a b >，即ab 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭.【点睛】本题考查三角形中的取值范围，解题的关键是将所求利用正弦定理以及角的关系化为1tan 2a Bb =+，利用角的范围求解. 20. 已知函数32()22a f x x x bx =-++.（1）若函数()f x 在点(1，f (1))处的切线方程为3210x y -+=，求,a b 的值；（2）当02,0a b ≤≤=时，记函数()f x 在区间[]0,1上的最大值为M ，最小值为N ，求M -N 的最大值.【答案】（1）112a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）最大值为1. 【解析】 【分析】(1)求导2()3f x x ax b '=-+，然后由3(1)32f a b '=-+=，(1)1222af b =-++=求解. （2）由0b =，求导2()3(3)f x x ax x x a '=-=-，由极值和端点值比较，得到M ，N 求解.【详解】(1)因为32()22a f x x x bx =-++， 所以2()3f x x ax b '=-+， 所以3(1)32f a b '=-+=，(1)1222af b =-++=， 解得112a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩（2）当0b =时，2()3(3)f x x ax x x a '=-=-，02a ≤≤，2133a ∴≤<， 当03ax <<时，()0f x '<，当13a x <<时，()0f x '>，所以()f x 在0,3a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭是单调减，()f x 在,13a ⎛⎤⎥⎝⎦是单调增，所以3()2354a a N f ==-，因为(0)(1)f f <，所以(1)32aM f ==-， 所以31254a a M N -=-+. 令3()1254a a g a =-+，29()0,(02)18a g a a -'=<≤≤，()g a 在[]0,2上减函数， ()g a 最大值为(0)1g =，即M -N 的最大值为1【点睛】方法点睛：(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．21. 已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，12a =，0n a >且21112n n n S S a ++=+，其中*N n ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11212n a n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11(2)n c n n =++，*123()n n S c c c c n N =⋅⋅∈，记数列1n n n b b nS +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：38n T ≥. 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由递推关系可得出}{n a 是以12a =为首项，2为公差的等差数列，即可求出通项公式； （2）先求出n b 和n S ，再由裂项相消法可求出n T ，根据{}n T 是递增数列即可证明.【详解】（1）当2n ≥时，有211211212n n n n n n S S a S S a ++-⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减可得：()22112n n n n a a a a ++-=+因为0n a >，所以12n n a a +-=()2n ≥，当1n =时，由222122S a S -=-，可得24a =，所以122a a -=所以12n n a a +-=()*n N ∈则数列}{n a 是以12a =为首项，2为公差的等差数列. 所以2n a n =；（2）可得112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1(1)(1)1(2)(2)n n n c n n n n ++=+=++，则：12n n S c c c ⋅=2233(1)(1)1324(2)n n n n ⨯⨯++=⨯⨯⨯⨯⨯+2(1)2n n +=+， 111211(1)22(1)2n n n n n n b b n nS n n n n +++-+==-+⋅⋅+⋅， 12231111111()()()122222322(1)2n n n T n n +⎡⎤=-+-++-⎢⎥⨯⨯⨯⨯⋅+⋅⎣⎦1112(1)2n n +=-+⋅， 可得{}n T 是递增数列，所以1n T T ≥，即38n T ≥. 【点睛】思路点睛：利用n a 和n S 求通项的步骤： （1）当1n =时，利用11a S =求出1a ；（2）2n ≥时，将n 替换为1n -，得到关于1n S -的式子；（3）将两式相减，利用1n n n a S S -=-得到关于{}n a 的通项公式或递推关系； （4）利用递推关系求出数列通项公式； （5）验证1a 是否满足通项即可得出答案. 22. 已知()ln f x x =，213()22g x ax x =-+，()()()h x f x g x =+. （1）当2a =-时，求()h x 的单调区间；（2）若()h x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：12121()()(2)()2h x h x a x x -<--.【答案】（1）增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出23()ln 2h x x x x =--+，可得(21)(1)()x x h x x-+'=-，由()0h x '>得增区间，由()0h x '<得减区间；（2）求出21()ax x h x x-+'=，则12,x x 是210ax x -+=的两根，要证12x x <，即证明12121()()(2)()2h x h x a x x -<--， 即证1121221ln 21x x x x x x -<+，换元后再构造函数，利用导数研究函数的区间单调性，结合函数最值即可证明不等式.【详解】（1）当2a =-时，23()ln 2h x x x x =--+，即有(21)(1)()x x h x x-+'=-且(0,)x ∈+∞， 当()0h x '>时，有102x <<；当()0h x '<时，有12x >；∴()h x 的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）由题意得：21()ax x h x x-+'=，又()h x 两个极值点12,x x ，即12,x x 是210ax x -+=的两根，可知121211x x a x x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当12x x <，证明12121()()(2)()2h x h x a x x -<--，即证221112*********(ln )(ln )(2)()22222x ax x x ax x a x x +-+-+-+<-- 即证221121212211ln()()(2)()22x a x x x x a x x x +---<-- 即证221121212212111ln()()(2)()22x x x x x a x x x x x +⨯---<--+ 即证1122ln2()x a x x x <- 即证1122122()lnx x x x x x -<+ 即证1121222(1)ln1x x x x x x -<+令12x t x =(01)t <<，则2(1)ln 1t t t -<+ 令2l ())1n 1(t F t t t -=-+，而()221()0(1)t F t t t -'=>+，即()F t 在(0,1)是增函数， ∴()(1)0F t F <=，故2(1)ln 1t t t -<+成立， ∴原不等式12121()()(2)()2h x h x a x x -<--成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等主要方法有两个，1、比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可； 2、综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.。
海南省海南中学高三数学上学期第四次月考试题理8
海南中学2018届高三第四次月考理科数学（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）注息事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数21iz i=-，则z =（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i -2. 已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b -，则实数k 的值等于（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23. 若()2,4,a b a b a ==+⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．43π 4. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2D ．3 5. 已知数列{}n a 中，13a =，111n n a a +=-+（*n ∈N ），则2017a 的值等于（ ） A ．3 B ．14-C ．43- D ．3-6. 数列{}n a 的通项公式为()()12121n a n n =-+，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．221n n + B ．21n n + C ．241n n + D ．41nn + 7. 在等比数列{}n a 中，首项11a =,且3454,2,a a a 成等差数列, 若数列{}n a 的前n 项之积．为n T ,则10T 的值为（ ） A ．921- B ．362 C ．1021- D ．4528. 一个等差数列的项数为2n ，若132190n a a a -++⋅⋅⋅+=，24272n a a a ++⋅⋅⋅+=，且1233n a a -=，则该数列的公差是（ ）A.3B.-3C.-2D.-19. 在ABC ∆中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若(),AO AB BC R λμλμ=+∈，则λμ+的值为（ ）A.23B.34C.56D.110. 在ABC ∆中，90C =，6,3CA CB ==，点M 满足2BM MA =，则C M C B ⋅=（ ）A ．2B ．3C ．3-D ．611. 设ABC ∆的三内角A B C 、、成等差数列，sin sin sin A B C 、、成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A ．直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形12. 已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，且1(1)2f =，不等式1()f x x x '≤+的解集为(0,1]，则不等式2()ln 12f x x x ->的解集为（ ） A ．(0,1) B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(0,1)(1,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，则此数列的通项公式n a = ．14. 已知数列{}n a 中，)(13,1*11N n a a a a n nn ∈+==+，则{}n a 的通项公式=n a ．15. 若等差数列}{n a 满足0987>++a a a ，0107<+a a ，则当=n 时，}{n a 的前n 项和最大.16. 已知向量,,a b c 满足→→→→=++0c b a ，→→→→-=b a c c 与,32所成的角为120，则当时R t ∈，(1)ta t b +-的最小值是 ．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 向量()sin ,cos m x x =，()()()cos ,sin n x A x A =--，函数()()f x m n x R =⋅∈ 在512x π=处取得最大值．（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域；（2）若ABC ∆的面积等于13b c +=，求a 的值．18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12,111+==+n n S a a ，数列{}n b 满足11b a =，点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上，*∈N n ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19. （本小题满分12分）某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加青年联合会志愿者.（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中， PD ⊥底面ABCD , //AB CD , ,2,3,3BAD AB CD π∠=== M 为线段PC 上一点且2PM MC =.（1）证明： BM ∥平面PAD ;（2）若2AD =, 3PD =，求二面角D MB C --的正弦值．21. （本小题满分12分）对于函数()y f x =的定义域为D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 上是单调函数；②当()f x 的定义域为[],m n 时，值域也是[],m n ，则称区间[],m n 是函数()f x 的“K 区间”． 对于函数()()ln ,00,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤．（1）若1a =，求函数()f x 在(),1e e -处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“K 区间”，求a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为 112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.(1)求AB 的长；(2)若点P 的极坐标为π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，求AB 中点M 到P 的距离.23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数()1f x x x a a=++-（0a >）． （1）证明：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围．海南中学2018届高三第四次月考理科数学 参考答案一、选择题：1—12：BDCCAB DBADDD 二、填空题 13．5,162,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩14．132n - 15．8 16．32三、解答题17．（本小题12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ()sin ,cos m x x =，()()()cos ,sin n x A x A =--，函数()()f x m n x R =⋅∈ 在512x π=处取得最大值． （1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域；（2）若ABC ∆的面积等于13b c +=，求a 的值． 解:（1）()()()sin cos cos sin f x x x A x x A =-+- ()sin 2x A =- 因为函数在512x π=处取得最大值，所以52122A ππ⨯-=，得3A π= 所以()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,333x πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数值域为⎛⎤ ⎥ ⎝⎦（2）由（1）知3A π=，所以由1S sin 2bc A ==40bc =， 又由余弦定理得22222cos ()492a b c bc A b c c b b a =+-=-=-+，所以7a =18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12,111+==+n n S a a ，数列{}n b 满足11b a =，点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上，*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T 。
海南省海口市2021届新高考第四次大联考数学试卷含解析
海南省海口市2021届新高考第四次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=u u u r u u u r，则()2AE AC +u u u r u u u r 的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】 【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=u u u r u u u r，可求1x y +=，而222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =u u u r ，(2,2)AC =u u u r ，由2AE AC ⋅=u u u r u u u r，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++224()8x y x y =++++22213x x =-+=21252()22x -+，所以当12x =时，2()AE AC +u u u r u u u r 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.2．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．14【答案】D 【解析】 【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【详解】做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ，所以23z x y =+的最小值为14. 故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 3．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.考点：程序框图.4．设F 为抛物线24x y =的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，则|||||FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r（ ）.A ．9B ．6C ．38D ．316【答案】C 【解析】 【分析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r 可得123316x x x ++=，利用定义将|||||FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r用123,,x x x 表示即可.【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r及1(,0)16F ， 得111(,)16x y -+221(,)16x y -331(,)(0,0)16x y +-=，故123316x x x ++=， 所以123111|||||161616FA FB FC x x x ++=+++++=u u u r u u u r u u u r 38. 故选：C. 【点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.5．已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据[x]的定义先作出函数f （x ）的图象，利用函数与方程的关系转化为f （x ）与g （x ）=ax 有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可． 【详解】当01x ≤＜时，[]0x =， 当12x ≤＜时，[]1x =， 当23x ≤＜时，[]2x =，当34x ≤＜时，[]3x =，若()0f x ax -=有且仅有3个零点， 则等价为()=f x ax 有且仅有3个根， 即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点， 作出函数()f x 和()g x 的图象如图，当a=1时，()g x x =与()f x 有无数多个交点，当直线()g x 经过点21A （，）时，即()221g a ==，12a =时，()f x 与()g x 有两个交点， 当直线()g x 经过点()32B ，时，即()332g a ==23a =，时，()f x 与()g x 有三个交点， 要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，则直线()g x 处在过12y x =和23y x =之间，即1223a ≤＜， 故选：A ．【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 6．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数） 32e >；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数()2ln ,03f x x x =->，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到()()f f e π>，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数()ln ,0f x e x x x =->，利用导数求得函数的最大值为()0f e =，进而得到()30f <，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由239,() 2.2524e ===，可得 2.25e >，根据不等式的性质，32>成立，所以是正确的；对于②中，设函数()2ln ,03f x x x =->，则()10f x x'=>，所以函数为单调递增函数， 因为e π>，则()()ff e π>又由()221ln 10333f e e =-=-=>，所以()0f π>，即2ln 3π>，所以②不正确； 对于③中，设函数()ln ,0f x e x x x =->，则()1e e xf x x x-'=-=，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当x e =时，函数取得最大值，最大值为()ln 0f e e e e =-=， 所以()3ln330f e =-<，即ln33e <，即3ln 3e<，所以是正确的. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.7．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y =PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设出点P 的坐标，以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于a 的方程，求出方程的解，即可得出结论. 【详解】设点P 的坐标为(),a a ，直线AB 的方程为122xy-=，即20x y --=， 设点P 到直线AB 的距离为d ，则1122222PAB S AB d d =⋅=⨯⨯=V ，解得2d =， 另一方面，由点到直线的距离公式得222a a d --==，整理得0a a -=或40a a --=，0a ≥Q ，解得0a =或1a =或9172a +=. 综上，满足条件的点P 共有三个． 故选：C. 【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题． 8．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-【答案】C 【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C ． 9．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A 3B ．2C 5D 6【答案】A 【解析】 【分析】由122PF PF =及双曲线定义得1PF 和2PF（用a 表示），然后由余弦定理得出,a c 的齐次等式后可得离心率． 【详解】由题意∵122PF PF =，∴由双曲线定义得122PF PF a -=，从而得14PFa =，22PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理得222(2)(4)(2)242cos60c a a a a =+-⨯⨯︒，化简得==ce a故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用a 表示出P 到两焦点的距离，再由余弦定理得出,a c 的齐次式．10．若函数()x f x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ）A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,)e【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，可转化为曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点，可转化为方程2ln ax x -=有两解，构造函数2ln ()xh x x+=，利用导数研究函数单调性，分析即得解 【详解】函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在ln y x =上，即曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点， 即方程2ln ax x -=有两解，即2ln xa x+=有两解， 令2ln ()xh x x +=，则21ln ()xh x x --'=， 则当10x e<<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<，故1x e =时()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值，当0x →时，()h x →-∞；当x →+∞时，()0h x →， 所以0a e <<满足条件． 故选：D 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.11．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出三棱锥S-ABC 的外接球的半径，再求出外接球球心到D 的距离，利用勾股定理求得过点D 的平面截球O 所得截面圆的最小半径，则答案可求. 【详解】如图，设三角形ABC 外接圆的圆心为G ，则外接圆半径AG=233233⨯=,设三棱锥S-ABC 的外接球的球心为O ，则外接球的半径R=()222324+=取SA 中点E ，由SA=4，AD=3SD ，得DE=1, 所以OD=()2223113+=.则过点D 的平面截球O 所得截面圆的最小半径为()224133-=所以过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为()233ππ⋅=故选：A 【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题.12．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别计算出物理等级为A ，化学等级为B 的学生人数以及物理等级为B ，化学等级为A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项. 【详解】根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人（其中物理A 化学B 的有5人，物理B 化学A 的有3人）， 表格变为： ABC D E物理 10550--= 16313-= 91化学8530--=19514-=72对于A 选项，物理化学等级都是B 的学生至多有13人，A 选项错误；对于B 选项，当物理C 和D ，化学都是B 时，或化学C 和D ，物理都是B 时，物理、化学都是B 的人数最少，至少为13724--=（人），B 选项错误；对于C 选项，在表格中，除去物理化学都是B 的学生，剩下的都是一科为B 且最高等级为B 的学生， 因为都是B 的学生最少4人，所以一科为B 且最高等级为B 的学生最多为1391419++-=（人）， C 选项错误；对于D 选项，物理化学都是B 的最多13人，所以两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生最少14131-=（人），D 选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三上学期月考(四)数学(理)试题 Word版含答案
2021年高三上学期月考（四）数学（理）试题 Word版含答案本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求对的.1.已知复数z满足（其中i为虚数单位），则为A.2B.C.D.2.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数y=f(x)对任意自变量x都有f(x+1)=f(1-x)，且函数f(x)在上单调.若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前25项之和为A.0B.C.25D.504.为提高在校学生的安全意识，防止安全事故的发生，学生拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是A. B. C. D.5.如图，若是长方体被平面EFGH截去几何体后得到的几何体，其中E为线段上异于的点，F 为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是A.EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C.是棱柱D.四边形EFGH可能为梯形6.某班有24名男生和26名女生，数据，，，是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩（成绩不为0），如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数A，男生平均分M，女生平均分W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数（负数），那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入A.T>0？，B.T<0？，C.T<0？，D.T>0？，7.如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为A. B. C. D.8.设实数x，y满足，则的取值范围是A. B. C. D.9.设的最大值为3，则常数a=A.1B.a=1或a=-5C.a=-2或a=4D.10.已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分别在边BC，DC上，，.若，，则A. B. C. D.11.已知点P为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，G为三角形的内心，若成立，则的值为A. B. C. D.12.设函数对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数a的最小值是A. B. C.2 D.4选择题答题卡二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_____.14.在四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为_____.15.在非等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边，如果，则角A的取值范围为_____.16.设数列满足：，，其中，、分别表示正数的整数部分、小数部分，则_____.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且对一切正整数n都成立.（1）求，的值；（2）设，数列的前n项和为，当n为何值时，最大？并求出的最大值.18.（本小题满分12分）某商场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：（1）求表中a，b的值；（2）若以上表中的频率作为概率，且每天的销售量相互独立.求：①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和期望.19.（本小题满分12分）为了做好“双十一”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形，，，，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S-EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与重合，F与重合，G与重合，H与重合（如图所示）.（1）求证：平面SEG⊥平面SFH；（2）当时，求二面角E-SH-F的余弦值.20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)已知函数在定义域上单调且函数的零点为1.（1）求的取值范围；（2）若曲线与轴相切，求证（且)．选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥DC，DC的延长线交PQ于点Q.（1）求证：；（2）若AQ＝2AP，AB＝2，BP＝2，求QD.23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知射线C，动圆.（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）若射线C1与动圆C2相交于M与N两个不同点，求x0的取值范围．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1.（1）求a＋b＋c的取值范围；（2）若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．炎德·英才大联考湖南师大附中xx届高三月考试卷（四）数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题13.2 14.5 15. 16.三、解答题17.【解析】（1）当n=1时，，当n=2时，两式相减，或， ...............3分解方程组可得：，或，或. ..........5分（2）由（1）及知， ................6分当n≥2时，，，，，， ..............8分 令，所以数列是单调递减的等差数列，公差为， (10)分 ，所以当n≥8时，，所以数列的前7项和最大，. .........12分18.【解析】（1）由题意知：a =0.5，b =0.3. ....................2分 （2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5， （3）设5天中该种商品有X 天的销售量为1.5吨， 则X ～B （5，0.5），3125.0)5.01(5.0)2(3225=-⨯⨯==C X P . ..............6分②两天的销售量可能为2,2.5,3,3.5,4.所以的可能取值为4，5，6，7，8， 则：，， ，，， ............9分 的分布列为：........11分2.609.083.0737.062.0504.04=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE . ........12分又∵平面SFH ，SO ∩FH ＝O ，∴EG ⊥平面SFH .又∵平面SEG ，∴平面SEG ⊥平面SFH . ......................6分 (2)法1：过O 作OM ⊥SH 交SH 于M 点，连接EM ，∵EO ⊥平面SFH ，∴EO ⊥SH ， ∴SH ⊥平面EMO ，∴∠EMO 为二面角E －SH －F 的平面角. ...............8分ξ 4 5 6 7 8 P0.040.20.370.30.09当时，即，Rt△SHO 中，SO ＝5，，∴， Rt△EMO 中，，.所以所求二面角的余弦值为. ......................12分法2：由（1）知EG ⊥FH ，EG ⊥SO ，并可同理得到HF ⊥SO ，故以O 为原点，分别以OF ，OG ，OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，在原平面图形中，，则底面正方形EFGH 的对角线EG ＝5， ∴，，，，.在原平面图形中，可求得，在Rt△SOE 中，可求得， ∴S (0，0，5)，. ...............8分 设平面SEH 的一个法向量为，则得令x ＝2，则，...............10分∵EG ⊥平面SFH ，∴是平面SFH 的一个法向量，设二面角E －SH －F 的大小为θ， 则，∴二面角E －SH －F 的余弦值为.12分 20.【解析】（1）设椭圆半焦距为c ， 圆心O 到l 的距离d ＝61＋1＝3，则l 被圆O 截得的弦长为2，所以b ＝1，由题意得e ＝32，∵b ＝1，∴a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 21＝1. ...............5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 1的方程为：y ＝kx ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 21＝1消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－41＋4k2.|PQ |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝41＋k 2·1＋4k 2－m21＋4k2. ...............8分原点O 到直线l 1的距离d ＝|m |1＋k 2，则S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝2|m |·1＋4k 2－m21＋4k 2＝1， ∴2|m |·1＋4k 2－m 2＝1＋4k 2，令1＋4k 2＝n ，∴2|m |·n －m 2＝n ， ∴n ＝2m 2，1＋4k 2＝2m 2. ∵N 为PQ 中点，∴x N ＝x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y N ＝y 1＋y 22＝m1＋4k2，∵1＋4k 2＝2m 2，∴x N ＝－2k m ，y N ＝12m .∴x 2N 2＋2y 2N ＝1. ...............10分假设x 轴上存在两定点A (s ，0)，B (t ，0)(s ≠t )，则直线NA 的斜率k 1＝y Nx N －s，直线NB 的斜率k 2＝y Nx N －t，∴k 1k 2＝y 2N（x N －s ）·（x N －t ）＝12·1－x 2N2x 2N －（s ＋t ）x N ＋st ＝－14·x 2N －2x 2N －（s ＋t ）x N ＋st.当且仅当s ＋t ＝0，st ＝－2时，k 1k 2＝－14，则s ＝2，t ＝－ 2.综上所述，存在两定点A (2，0)，B (－2，0)，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值. ...............12分 21.【解析】（1）由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， .又函数f (x )的零点为1，由f (1)＝0，故，. ...............2分 ∵函数单调，若为增函数，则对任意，且不恒为0， ∴，，∴，∴.若为减函数，则对任意，且不恒为0， 则，，又，∴不恒成立． 综上所述，∴. 又∵，∴.∴的取值范围是. ............6分 （2）∵曲线与轴相切，切点为(1，0)且，∴. 由(1)得函数在上是增函数， 又，∴当时，， ∴.令，有， ∴；∴当时，令k ＝1，2，3，…，n －1，，，…，以上各式累加得：． ...............10分 ∵，∴n n n ln 122523221514131<-+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+++， ∴成立. ...............12分22.【解析】（1）∵AB ∥CD ，∴∠PAB ＝∠AQC ，又PQ 与圆O 相切于点A ，∴∠PAB ＝∠ACB ，∵AQ 为切线，∴∠QAC ＝∠CBA ，∴△ACB ∽△CQA ，∴，即. ............... 5分(2)∵AB ∥CD ，AQ ＝2AP ，∴，(3)由，BP ＝2，得，PC ＝6，∵AP 为圆O 的切线，∴，∴，∴，又∵AQ 为圆O 的切线 ，∴. ...............10分23.【解析】∵，∴．所以的直角坐标方程为. ......2分∵所以的直角坐标方程. .....4分（2）联立关于的一元二次方程在[0，＋∞)内有两个实根. ..........6分即 ..........8分得即. .........10分24.【解析】（1）由柯西不等式得，3))(111()(2222222=++++≤++c b a c b a ， ∴，∴a ＋b ＋c 的取值范围是. ...............5分（2）同理，3)](1)1(1[)(2222222=+++-+≤+-c b a c b a . ...............7分 若不等式对一切实数a ，b ，c 恒成立，则，解集为. ...............10分33005 80ED 胭36215 8D77 起22011 55FB 嗻25137 6231 戱37916 941C 鐜g33982 84BE 蒾=36661 8F35 輵X6"20056 4E58 乘31388 7A9C 窜。
2021年高三4月月考数学(文)试题 含答案
2021年高三4月月考数学（文）试题含答案本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，检测时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上．一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点的坐标为A.B.C.D.2．已知全集为，集合，则A.B.C.D.3．函数与图形的交点为，则所在区间是A．（0，1）B．（1，2 ）C．（2，3 ）D．（3，4）4.0 1 2 3 42.2 4.3 4.5 4.8 6.7且回归方程是的预测值为A．8.4 B．8.3 C．8.2 D．8.15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 48B. 32C.16D.6.若，则下列不等式成立的是A．B．C．D．7. 函数的图象大致是8．在等腰中，，则的值为A．B．C．D．9．下列说法正确．．的是A．“为真”是“为真”的充分不必要条件B．若数据，…，的方差为1，则的方差为2C．命题“存在，”的否定是“任意，”D．在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为10.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题；2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用中性笔答在答题卡指定的位置上．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上．11．已知圆经过两点,圆心在轴上，则圆的方程为_______.12．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是______.13．正偶数列有一个有趣的现象：①2+4=6；②8+10 +12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…按照这样的规律，则xx在第个等式中．14．设,其中实数满足,若的最大值为12,则实数________.15. 已知是的对称轴与准线的交点，点是其焦点，点在该抛物线上，且满足取得最大值时，点恰在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的实轴长为_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数．(Ⅰ) 求函数的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．17．（本小题满分12分）某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R（单位：公里）分为3类，即A：80≤R＜150，B：150≤R ＜250，C：R≥250．对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车．（ⅰ）求n的值；（ⅱ）如果从这n辆车中随机选取2辆车，求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率．18．（本小题满分12分）如图，矩形所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形中，∥，=2，，，，分别为，的中点，为底面的重心.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：∥平面．19．（本小题满分12分）已知是等差数列，公差为，首项，前项和为.令,的前项和.数列满足，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，求的取值范围.20.（本小题满分13分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点的直线的距离是.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线与椭圆C有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程.21．（本题满分14分）已知函数（为自然对数的底）.（Ⅰ）设曲线在处的切线与点距离为，求的值；（Ⅱ）若对于任意实数恒成立，试确定的取值范围；（Ⅲ）当时，函数在上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由．数学（文）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共50分）ACBBB CAADD二、填空题（每小题5分，共25分）11．12．4 13．14．15．三、解答题：16．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)211 ()cos cos2cos21222f x x x x x x=--=--……………………………………………………3分∴的最小值为，最小正周期为. ………………………………5分（Ⅱ）∵，即∵，，∴，∴．……7分∵共线，∴．由正弦定理，得①…………………………………9分∵，由余弦定理，得，②……………………10分解方程组①②，得．…………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，则该车行驶总里程超过5万公里的概率为．………………3分（Ⅱ）（ⅰ）依题意．……………6分（ⅱ）5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为A，B，C；5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为M，N．“从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种：AB，AC，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．“从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种：AM，AN，BM，BN，CM，CN．设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件D，则．答：选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里的概率为．…………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）矩形所在的平面和平面互相垂直，且,∴平面，又平面，所以 , -----2分又，，，由余弦定理知，∴得----------------------4分∴⊥平面，-----------------5分平面；∴平面平面；------------6分（Ⅱ）连结延长交于，则为的中点，又为的中点，∴∥，又∵平面，∴∥平面-------------------8分连结，则∥，平面，∥平面-----------------10分∴平面∥平面，----------------11分平面，所以．------------12分19．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)设等差数列的公差为，因为所以则，………………………………3分则，解得，所以．……………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，由，………………10分因为随着的增大而增大，所以时，最小值为所以．………………………………………………………………12分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）由于抛物线的焦点坐标为，所以，因此，……………………2分因为原点到直线：的距离为，解得：，……………………4分所以椭圆的方程为．……………………5分（Ⅱ）由，得方程，（）……………6分由直线与椭圆相切得且，整理得：，……………………8分将代入（）式得，即，解得，所以，……………………10分又，所以，所以，所以直线方程为，……………………11分联立方程组，得，所以点在定直线上．……………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）,.在处的切线斜率为，………………………1分∴切线的方程为，即.…………………3分又切线与点距离为,所以，解之得，或…………………5分（Ⅱ）∵对于任意实数恒成立，∴若，则为任意实数时，恒成立；……………………6分若恒成立，即，在上恒成立，…………7分设则,……………………8分当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；所以当时，取得最大值，，………………9分所以的取值范围为.综上，对于任意实数恒成立的实数的取值范围为.…10分（Ⅲ）依题意,，所以e1()e ln e1(ln1)e1xx x xM x x xx x'=+-+=+-⋅+,………………11分设,则,当,故在上单调增函数,因此在上的最小值为，即，………………12分又所以在上，，即在上不存在极值.………………14分N>39349 99B5 馵40157 9CDD 鳝25230 628E 抎<23275 5AEB 嫫Y22382 576E 坮%pk n。
2021年高三上学期第四次月考数学理试题word版含答案
2021年高三上学期第四次月考数学理试题word 版含答案第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1、设全集U=Z ，集合M={1，2}，P={x|-2≤x ≤2，x ∈Z}，则P ∩（M ）等于（ ）A 、{0}B 、{1}C 、{-2，-1，0}D 、Ø2． 已知直线，直线，且，则的值为（ ）A 、-1B 、C 、或-2D 、-1或-23．在数列{}中，若，且对任意的有，则数列前15项的和为（ ）A ．B ．30C ．5D ．4．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A.7B.C.D.5．过点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A .B .或C .D .或6．若为等差数列，是其前n 项的和，且，则=（ ）A. B. C. D. 7.若直线经过点M(cosα,sinα),则( ) A.a 2+b 2≤1 B.a 2+b 2≥1 C. D.8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 9.已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点，若，则( ) A.3 B.8 C.13 D.1610.若函数()'()()y f x R xf x f x =>-在上可导,且满足不等恒成立,满足则下列不等式一定侧视图成立的是（）A．B．C．D．11. 已知动点在椭圆上,为椭圆的右焦点,若点满足且,则的最小值为( )A．B．3 C．D． 112. 已知定义在上的函数满足，当时，．设在上的最大值为（），且的前项和为，则（）A． B． C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。
第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
海南高三高中数学月考试卷带答案解析
海南高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q=( )1.设集合P＝{3，log2A．{3,0} B．{3,0,1 } C．{3,0,2} D．{3, 0,1,2}2.如图在复平面内，复数对应的向量分别是则复数的值是( )A．B．C．D．3.设是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )A．B．若C．若D．4.下列命题正确的有( )①的展开式中所有项的系数和为 0；②命题:“”的否定:“”；③设随机变量服从正态分布N(0, 1),若，则；④回归直线一定过样本点的中心（）。
A．1个B．2个C．3个D．4个5.已知抛物线（p>0）的准线与圆相切，则p的值为( )A．10B．6C．D．6.对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.已知等差数列的公差和等比数列的公比都是，且，，，则和的值分别为( )A．B．C．D．8.在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x, y）的概率为( )A．B．C．D．9.函数的导函数的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A ．1n2B ．1n2C ．1n2D ．1n210.关于函数的四个结论：P 1：最大值为； P 2：最小正周期为；P 3：单调递增区间为Z ；P 4：图象的对称中心为Z .其中正确的有( )A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个11.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 ( )A ．B ．C ．D ．12.已知点P 是双曲线C ：左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是( )A ．B ．2C ．D ．二、填空题1.若向量，且，则锐角的大小是2.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为3.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为______________4.对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。
海南中学2021届高三第一学期第四次月考数学试题及答案
海南中学2021届高三第四次月考数学试题卷满分：150 分 考试时间：120 分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{(,)|2}A x y x y =+=，{}2(,)|B x y y x ==，则AB =（ ）A.{(1,1)}B.{(2,4)}-C.{(1,1),(2,4)}-D.∅2. 已知(,)a bi a b +∈R 是11ii -+的共轭复数，则a b +=（ ） A.1- B.12- C.12D.13. 3.设向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,1)=c ，且()λ-⊥a b c ，则λ=( )A.3B.2C.2-D.3-4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）A ．13B ．16C ．31D ．645. 已知,,2⎪⎭⎫⎝⎛-∈ππα且05sin 82cos 3=++αα，则αtan =（ ） .A 32- .B 35 .C 552- .D 25- 6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，134+30,90,a a S ==设21log 3n n b a =，那么数列{}n b 的前15项和为( )A ．16B ．80C ．120D ． 1507. 已知3223ln 2ln 3,log ,23a b c ===，则（ ） .A b c a >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >>8. 对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x ∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y=f(x)为k 倍值函数.若f(x)=e x+3x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是( ) A. (e+1e，十∞) B.(e+2e,十∞) C.(e+2, +∞) D.(e+3, +∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．MA MB MC ==B ．MA →+MB →+MC →=0→C ．CM →=13CA →+23CD → D ．BM →=23BA →+13BD →10. 已知函数f(x)=sin(3x+φ)(22ππφ-<<)的图象关于直线4x π=对称,则( )A. 函数()12f x π+为偶函数B. 函数f(x)在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递増 C. 若|f(x 1)−f(x 2)|=2,则|x 1−x 2|的最小值为3πD. 函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=−sin3x 的图象11. 下列说法中正确的是（ ）.A 若数列{}n a 前n 项和n S 满足12+=n S n ，则12-=n a n.B 在等差数列{}n a 中，满足1016S S =，则其前n 项和n S 中13S 最大.C 在等差数列{}n a 中，满足35=a ，则数列{}n a 的前9项和为定值 .D 若2tan =x ，则542sin =x 12. 关于函数f(x)=e x + sinx, x ∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( )A.f(x)在(0, +∞)上是增函数B.f(x)存在唯一极小值点x 0C.f(x)在(-π, +∞)上有一个零点D.f(x)在(-π, +∞)上有两个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数()⎩⎨⎧<≥+=.0,3,0,122x x x x x f 若f (x 0)＝27，则实数x 0的值为 .14. 若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是 .15. 已知三边c b a 、、为△ABC 的三个内角C B A 、、的对边，向量()1,3m →=-，向量()A A n sin ,cos =→，若→→⊥n m ，且C c A b B a sin cos cos =+，则角=B .16. 设,n n S T 分别为等差数列，的前项和，且211n n S n T n -=+.设点是直线外一点，点是直线上一点，且178a a AP AB ACb λ+=+，则实数的值为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l ，河岸l 边有一烟囱AB(不计B 离河岸的距离)，河的另一侧是以O 为圆心，半径为12米的扇形区域OCD ，且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧的交点为E.经测{}n a {}n b n A BC P BC λ量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为 45° ，30°，和60°． (1)求烟囱AB 的高度；(2)如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．18. 设{a n }是等差数列，(n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 5＝a 3＋a 5，b 7＝a 4＋2a 6. (1)求S n 与a n ；(2)若n n c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. 已知向量3sin 22a x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，b ＝（sinx ，cosx ），f （x ）＝a b ⋅．（1）求f （x ）的最大值及f （x ）取最大值时x 的取值集合M ； （2）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边,若24C M π+∈，求a b的取值范围.20. 已知函数32()22a f x x x bx =-++. （1）若函数()f x 在点（1，f(1)）处的切线方程为3210x y -+=，求,a b 的值； （2）当02,0a b ≤≤=时，记函数()f x 在区间[]0,1上的最大值为M ，最小值为N,求M-N 的最大值.21. 已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，12a =，0n a >且21112n n n S S a ++=+，其中*N n ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 11212n a n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11(2)n c n n =++，*123()n n S c c c c n N =⋅⋅∈，记数列1n n n b b nS +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：38nT ≥.22. 已知()ln f x x =，213()22g x ax x =-+，()()()h x f x g x =+. （1）当2a =-时，求()h x 的单调区间；（2）若()h x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：12121()()(2)()2h x h x a x x -<--.海南中学2021届高三第四次月考试题数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 22 小题，共 150 分，考试时间 120 分钟。
海南省海口市2021届新高考数学第四次调研试卷含解析
海南省海口市2021届新高考数学第四次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ） A ．37B ．13 CD【答案】D【解析】【分析】直接根据余弦定理求解即可．【详解】解：∵3,4,120a b C ︒==∠=，∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=，∴c =故选：D ．【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题． 2．已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为 A ．23-B ．54-C ．43-D ．12- 【答案】B【解析】【分析】 作出不等式组对应的平面区域，目标函数21y z x -=+的几何意义为动点(),M x y 到定点()1,2D -的斜率，利用数形结合即可得到z 的最小值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数21yzx-=+的几何意义为动点(),M x y到定点()1,2D-的斜率，当M位于11,2A⎛⎫-⎪⎝⎭时，此时DA的斜率最小，此时1252114minz--==-+．故选B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a=+$$$近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值【答案】B【解析】【分析】根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.4．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B【解析】 由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a ＜1，f(1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f′(x)＝2x －b ，所以g(x)＝e x ＋2x －b ，所以g′(x)＝e x ＋2＞0，所以g(x)在R 上单调递增，又g(0)＝1－b ＜0，g(1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，故选B.5．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）．A ．21B ．63C ．13D ．84【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d ，1a ，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【详解】解：因为130S =，3421a a +=， 所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =， 则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=． 故选：B ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．6．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．-3C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 先研究511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，再分()2x a +中，取2x 和a 两种情况求解. 【详解】 因为511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()5151r r r r T C x -+=-， 所以()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为：()32320551112(1)0x C C x a a -+--=--=-， 解得2a =，故选：C.【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x =- 【答案】C【解析】【分析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【详解】 因为函数12,2x y x y ==和1y x=-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减. 故选：C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题. 8．已知斜率为2-的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB 中点且4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．3 CD．4【答案】B【解析】【分析】 设1122(,),(,)A x y B x y ，代入双曲线方程相减可得到直线AB 的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到,a b 的等式，求出离心率．【详解】004OM y k x ==-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b+-+--=， ∴2121221212()()AB y y b x x k x x a y y -+==-+220220124b x b a y a ⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭，228,3b e a ∴=∴==． 故选：B ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系．9．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ）A ．100B ．210C ．380D ．400【答案】B【解析】【分析】设{}n a 公差为d ，由已知可得3a ，进而求出{}n a 的通项公式，即可求解.【详解】设{}n a 公差为d ，27a =，415a =， 2433211,42a a a d a a +∴===-=, 1010(339)41,2102n a n S ⨯+∴=-∴==. 故选：B.本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和，属于基础题.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( )A ．9B ．12C ．15-D ．18-【答案】A【解析】【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案.【详解】 设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.11．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( )A ．－30B ．－40C ．40D ．50 【答案】C【解析】【分析】先写出()52x y -的通项公式，再根据33x y 的产生过程，即可求得. 【详解】对二项式()52x y -，其通项公式为()()()555155221r r rr r r r r r T C x y C x y ---+=-=- 5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数是()52x y -展开式中23x y 的系数与32x y 的系数之和. 令3r =，可得23x y 的系数为()33252140C -=-； 令2r =，可得32x y 的系数为()22352180C -=； 故5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为804040-=.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.12．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（）A．14B．13C．532D．316【答案】A【解析】【分析】首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】样本空间样本点为5232=个，具体分析如下：记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=，但合并计算时会有重复，重复数量为224+=，事件的样本点数为：444228++--=个．故不同的样本点数为8个，81 324=.故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
海南高三高中数学月考试卷带答案解析
海南高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，4，5，7}，B={1，4，7，8}，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是（）A．{3，6}B．{4，7}C．{1，2，4，5，7，8}D．（1，2，3，5，6，8）2.复数z满足在复平面内所对应的点的坐标是（）A．（1，—3）B．（—1，3）C．（—3，1）D．（3，—1）=" " （）3.已知等比数列成等差数列，则S5A．45B．—45C．93D．—934.如果（）A．B．—C．D．—5.下列说法错误的是（）A．如果命题“”与命题“”都是真命题，那么命题q一定是真命题；B．命题“若”的否命题是：“若”；C．若命题p：；D．“”是“”的充分不必要条件6.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A．—7B．—28C．7D．287.设l、m、n表示不同的直线，、、表示不同的平面，给出下列四个命题：①若；②若；③若；④若其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．48.如图，设D是图中所示的矩形区域，E是D内函数图象上方的点构成的区域。
向D中随机投一点，则该点落入E （阴影部分）中的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．9.如图，正六边形ABCDEF 的两个项点，A 、D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ） A ． B ．C ．D ．10.已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量，则△ABC 周长的最小值为 （ ） A ．B ．C ．D ．11.在棱长为1的正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1内取一点E ，使AE 与AB 、AD 所成的角都是60°，则线段AE 的长为 （ ） A ． B ．C ．D ．12.定义，设 的取值范围是 （ ） A ．[-7，10] B ．[—6，10]C ．[-6，8]D ．[—7，8]二、填空题1.观察下列各式并填空：1=1，2+3+4=9，3+4+5+6+7= ，4+5+6+7+8+9+10=49，…，由此可归纳出= 。
海口市琼山区海南中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题(含答案)
海南中学2025届高三年级第一次月考数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。
第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|0<x<3},B={-2,-1,0,1,2},则 A ∩B=( )A.{1,2}B. {-2,2}C.{0,1,2}D. { -2, - 1,1,2}2.抛物线y²=4x 的焦点到其准线的距离为()A.21B.1C.2D.43.下列命题为假命题的是( ) A. 若a>b 且,则ab<0 B. 若a<b<0, 则a²>ab>b²C. 若a>b>0 且c<0, 则D. 若a>b>0, 则22bc ac>4.已知直线l:x+my+2=0 和₂ : mx+9y+6=0 互相平行，则实数m 的 值 为 ( ) A.m=-3或m=3 B.m=-3 C.m=3 D.m=05.双曲线4x²-y²=4a(a≠0) 的渐近线方程为( )A.y=土xB.y=±2xC.y=±x aD.y=±ax 6.已知函数 满足对任意实数21x x ≠, 都有成立，则a 的取值范围是( )A.(0,3)B.[)∞+，2 c.()∞+，0 D.[2,3]7.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为： 设x ∈R , 用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3,若函数(),1252++=x x x f 则函数y=[f(x)]的值域为( )A.{1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{2,3,4,5}8.已知函数f(x) 的定义域为R,y=f(x)-4e* 为奇函数，y=f(x)+2e² 为偶函数，则f(x) 的最小值为() A.2√3 B.4√3 C.6√3 D.8√3二 、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的部分给分. 9.下列说法正确的是()A.a+1<b 的一个必要不充分条件是a<b×B. 若集合A={x|ax²-x+2=0} 中只有一个元素，则C. 若3x ∈[_,3],使得2x²-mx+1≥0成立是假命题，则实数m 的取值范围为(2 √2,+00)D. 已知集合M={1,3},则满足条件MON=N 的集合N 的个数为4 10. 已知正实数a,b, 满足a+b=1, 则 ( )A.2222≥+b aB.2≤+b a43.2≤+b a C D. ba b a +≥+212111.对于定义在R 上的函数f(x), 若f(x+1)是奇函数，f(x+2) 是偶函数，且f(x) 在[1,2]上单调递减，则 ( )A.f(3)=0B.f(0)=f(4)√D.f (x) 在[3,4]上单调递减第Ⅱ卷(非选择题)三 、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12.不等的解集为13.若f(2x+1) 的定义域是[-1,3],则f(x) 的定义域为14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262年至前190年)与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆 锥曲线论》八卷。
海南省海口市海口中学2024届高三上学期第四次月考数学试题
海南省海口市海口中学2024届高三上学期第四次月考数学试题1.已知，则在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）．A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2.函数的定义域为（）A．B．C．D．3.在中，点D在边AB上，．记，则（）A．B．C．D．4.庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则三棱锥的体积为（）A．B．3C．D．5.等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（）①为的最小值②③，④为的最小值A．1B．2C．3D．46.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（）A．B．C．D．7.已知定义在上的函数满足：是奇函数；；.则（）A．3B．2025C．D．20238.在菱形中，，将沿对角线折起，使点A到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．9.下列命题为真命题的是（）A ．“”的否定是“”B ．若，则或C ．的最小值为D ．若正数满足，则10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．该图象对应的函数解析式为B ．函数的图象关于点对称C ．函数的图象关于直线对称D ．函数在上单调递增11.如图是直四棱柱，底面是边长为的正方形，侧棱，点分别为棱的中点，则（）A ．点在平面内B ．直线与平面所成的角为C ．平面D ．异面直线与所成的角的余弦值为12.已知函数，则（）A．当时，函数在上单调递减B．对任意的，函数在上一定存在零点C．存在，函数有唯一极小值D．当时，在上恒成立13.向量在向量上的投影向量为___________．（写出坐标）14.在正方体的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为____________.15.已知，则的值为______．16.已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．17.在数列和中，，且是和的等差中项.(1)设，求证：数列为等比数列；(2)若的前n项和为，求证：.18.在中，内角所对的边分别为，且．(1)求角：(2)已知是边的中点，且，求的长．19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且.(1)证明：平面；(2)若平面为的中点，，求二面角的正切值.20.某中学为了响应国家双减政策，开展了校园娱乐活动．在一次五子棋比赛活动中，甲、乙两位同学每赛一局，胜者得1分，对方得0分，没有平局．规定当一人比另一人多得5分或进行完10局比赛时，活动结束．假设甲、乙两位同学获胜的概率都为，且两人各局胜负分别相互独立．已知现在已经进行了3局比赛，甲得2分，乙得1分，在此基础上继续比赛．(1)只有当一人比另一人多得5分时，得分高者才能获得比赛奖品，求甲获得比赛奖品的概率；(2)设X表示该活动结束时所进行的比赛的总轮数，求X的分布列及数学期望．21.已知抛物线为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5.（1）求E的标准方程；（2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为，求证：直线过定点.22.己知函数.(1)若曲线在处的切线与直线平行，求函数的极值；(2)若恒成立，求实数a的取值范围.。
2021届海南省海南中学高三年级摸底数学试题
2020届海南省海南中学高三年级摸底数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|430P x x x =-+≤，{|Q y y ==，则P Q = A ．[1,3] B ．[2,3] C ．[0,)+∞D ．∅ 2．i 是虚数单位，则复数2i i z -=在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知点(2,8)在幂函数()n f x x =图像上，设0.345a f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,254b f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，125log 4c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >> 4．某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人.计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．系统抽样D ．按地区分层抽样5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15010,40S S ==，则15S =（ ） A ．80B ．90C ．100D ．110 6．函数()2ln x f x x=的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．7．若O 为ABC △所在平面内任一点，且满足20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ABC △的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形8．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A ．48B ．72C ．90D ．96 9．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如下图所示，则该凸多面体的体积V =（ ）A ．16+B ．1C ．6D ．12+ 10．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则1F AB ∆的面积为（ ）A ．7BC ．7D 11．()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，满足2()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都有()4f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.当ω取最小值时，函数()f x 的单调递减区间为（ ）.A ．,,12343k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．2,2,124k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．,,123123k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．2,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 12．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）. A．B．2) C． D．二、填空题13．已知向量()1,3a =-，()1,b t =，若()2a b a -⊥，则向量a 与向量b 的夹角为_____．14．当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，则m 的取值范围是_______. 15．已知()()()()()921120121112111x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则1211a a a +++的值为 .16．若直线y kx b =+是曲线e x y =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k =_____．三、解答题17．已知()22sin ,cos ,(3cos ,2),()a x x b x f x a b ===⋅.(1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间;(2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22S =，416S =，{}1n a +是等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2log 33n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.19．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数学期望.20．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2PA PB AB ===，点N 为AB 的中点.（1）证明：AB PC ⊥；（2）若点M 为线段PD 的中点，平面PAB ⊥平面ABCD ，求二面角M NC P --的余弦值.21．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，(20)A ，为椭圆与x 轴的一个交点，过原点O 的直线交椭圆于,B C 两点，且•0AC BC =，2BC AC =. （1）求此椭圆的方程；（2）若(),P x y 为椭圆上的点且P 的横坐标1x ≠±，试判断•PB PC k k 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.22．已知()()11f x n x a ax =+-+;(1)讨论函数的单调性;(2)当02a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，)时，函数有两个零点12,x x ，证明:120x x +>.参考答案1．A【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合P ，利用求值域得出集合Q ，根据交集的定义可得P Q .详解：因为集合{}2|430P x x x =-+≤{}[]|131,3x x =≤≤=，{|Q y y =={}[)|00,y y =≥=+∞，所以[]1,3P Q ⋂=，故选A.点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的交集，属于容易题，在解题过程中要注意交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2．C【解析】 22i (2i)i 2i 112i i i 1z --+====---，在复平面上对应的点(1,2)--位于第三象限．故选C . 3．A【分析】根据点在幂函数上，可求得幂函数解析式，进而判断大小即可．【详解】因为点()2,8在幂函数()nf x x =图像上 所以82n =，所以3n =即()3f x x =， 0.34015⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0.2514⎛⎫> ⎪⎝⎭，125log 04< 即0.30.212545log 454⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()f x 为R 上的单调递增函数所以c a b <<所以选A【点睛】本题考查了指数幂与对数大小比较，函数单调性的简单应用，属于基础题．4．D【分析】根据抽样方法的特征，即可得出结论.【详解】由于该地区东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，故按地区分层抽样.【点睛】本题主要考查抽样方法，熟记每种抽样方法的特征即可，属于基础题型.5．B【分析】利用51051510,,S S S S S --等差，即可求解.【详解】根据等差数列前n 项和的片段和性质：51051510,,S S S S S --也是等差数列，又15010,40S S ==，故可得：10,30,50成等差数列，故：151050S S -=，解得1590S =.故选：B.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的片段和性质.6．D【解析】因为()()f x f x -=-，所以函数的奇函数，排除答案A 、C ，又当01x <<时，1()2ln x f x x =，21ln 1()02(ln )x f x x -'=<，函数1()2ln x f x x=单调递减，故排除答案B ，应选答案D ．7．A【分析】由20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，推出0AC CB AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，可知ABC △的中线和底边垂直，则ABC △为等腰三角形.【详解】∵20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴0AC CB AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， ∴AC CB AB →→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭⊥, ∴ABC △的中线和底边垂直，∴ABC △是等腰三角形．故选：A.【点睛】考查向量的运算和利用向量的方法判断空间线线垂直关系，知识点较为基础，考查了学生对基本向量相乘相关知识的掌握程度，为容易题.8．D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．9．A【分析】根据平面展开图，还原几何体，将其拆分为正四棱锥和正方体即可求解对应的体积.【详解】根据平面展开图，还原几何体可得：故该几何体是由棱长为1的正方体和底边棱长为1的正四棱锥组合而成.则其体积为311111326V =+⨯⨯⨯=+故选：A.【点睛】本题考查由展开图还原几何体，涉及几何体体积的求解.10．C【分析】求出直线方程，联立椭圆方程，求弦长；用点到直线距离公式求高；由面积公式求解.【详解】设直线AB 方程为1y x =-， 联立椭圆方程22143x y += 整理可得：27880x x --=，设()()1122,,,A x y B x y ，121288,77x x x x +=⋅=-故弦长AB =247. 由点到直线的距离公式可得：又点()11,0F =-，直线AB ：1y x =-则点1F 到直线AB 的距离h =故112F ABSAB h =⨯⨯=故选：C. 【点睛】本题考查椭圆中三角形面积的问题，属基础知识题. 11．A 【分析】根据题意求出参数，再求三角函数的单调区间. 【详解】 因为2()3f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭， 故()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 即：sin 03πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得()11,3k k Z πωϕπ+=∈. ①又()4f x f π⎛⎫≥⎪⎝⎭故24f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 解得()222,42k k Z ππωϕπ+=-∈ ②由①②可得：1212246k k ω=-+令122k k k =-，则126k ω=+，k Z ∈又0ω>，故其最小值为6 此时12k ϕππ=-，又||2ϕπ<，故 解得0ϕ=.综上所述：()()2sin 6f x x = 令326222k x k ππππ+≤≤+解得：(),31234k k x k Z ππππ+≤≤+∈ 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数解析式的求解以及单调区间的求解；难点是求解析式，本题属于求解析式的复杂题. 12．B 【分析】将方程有三个根，转化为图像有三个交点，数形结合即可. 【详解】()log (2)0(1)a f x x a -+=>有三个根，等价于()y f x =与()log 2a y x =+图像有三个交点， 根据题意，()f x 是周期为4的周期函数， 在同一直角坐标系中画出函数的图像，如下所示：由图可知，若满足题意，则()log 2a y x =+在2x =处的函数值小于3，且 在6x =处的函数值大于3， 故：log 43,log 83a a <>，解得a ∈2)故选：B. 【点睛】本题考查方程根的个数，涉及函数的周期性，单调性，属综合基础题. 13．4π 【分析】由()2a b a -⊥，利用数量积为零可求得2t =，从而得()1,2b =，求得165a b ⋅=-+=，利用2cos ,2a b a b a b⋅==，从而可得结果. 【详解】()()1,3,1,a b t =-=，则()()()21,321,3,32a b t t -=--=--，()()2,20a b a a b a -⊥∴-⋅=，即()33320t +⨯-=，解得2t =，()1,2b ∴=，则165a b ⋅=-+=，则cos ,210a b a b a b⋅===⨯，又[],0,,,4a b a b ππ∈∴=，故答案为4π. 【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.14．()-+∞ 【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可. 【详解】当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立 等价于2m x x ⎛⎫>-+⎪⎝⎭在(1,2)x ∈时恒成立 即等价于2maxm x x ⎡⎤⎛⎫>-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； 而因为(1,2)x ∈，故2x x ⎛⎫-+≤-=- ⎪⎝⎭,当且仅当2x x =时取得最大值.故：m >-故答案为：()-+∞. 【点睛】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题. 15． 【解析】 试题分析：令，得，令，得，联立得：，故答案为.考点：二项式定理的应用.【方法点晴】本题考查二项式定理应用之通过赋值法求展开式的系数和问题，属于常规题，难度中等；常见的通法是通过赋值使得多项式中的变为和，在本题中要使即给等式中的赋值，求出展开式的常数项；要使即给等式中赋值求出展开式的各项系数和即，两式相减得到要求的值．16．1或1e【分析】设出两个切点坐标，利用导数的几何意义，以及过两点的直线斜率公式可列方程组，从而求出切点坐标，进而可得切线斜率. 【详解】详解：设y kx b =+与e x y =和()ln 2y x =+，分别切于点()11,xx e ，()()22,ln 2x x +，由导数的几何意义可得：1212x k ex ==+，即1212x x e +=，① 则切线方程为111()x xy e e x x -=-，即1111xxxy e x e x e =-+，或2221ln(2)()2y x x x x -+=-+，即2221ln(2)()2y x x x x -+=-+，② 将①代入②得11121xxy e x e x =+--，又直线y kx b =+是曲线e x y =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线， 则111xx e x e-+=1121x e x --，即11(1)(1)0xe x -+=， 则11x =-或10x =，即01k e ==或11k e e-==， 故答案为：1或1e. 【点睛】本题考查了应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，重点考查了运算能力，属中档题. 17．(1)T π=,单调递减区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)见解析【分析】（1）利用二倍角的正弦公式，余弦公式和两角和的正弦公式的逆用将函数解析式化为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用正弦型函数的周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）根据正弦函数的性质可得最大最小值. 【详解】（1）2()23sin cos 2cos f x a b x x x =⋅=+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222,262k x k k Z πππππ+++∈，得2,63k x k k Z ππππ++∈， ∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 取得最小值，为72sin106π+=； 当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最大值，为2sin132π+=.故函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0.【点睛】本题考查了二倍角的正弦，余弦公式，考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了三角形函数的周期，单调区间，最值，属于中档题.18．（1）1213n n a +=- （2）2(2)n n + 【分析】（1）由{}1n a +为等比数列，根据特殊的几项，结合已知，即可求解； （2）由（1）中所求n a 得n b ，再裂项求和即可. 【详解】（1）设{}1n a +的公比为q ，由题知0q >，且有：()()2312421111a q a a q a ⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩， 所以：()2341222a a q a a ++=++，即：()242222S S q S -+=+，代入242,16S S ==，得2164q =， 所以2q或者2q =-（舍去）所以：()21121a a +=+， 所以：2121a a =+由21211221S a a a a ==+=++得：113a =，所以：1413a +=所以：()11141123n n n a a q --+=+⋅=⋅所以：1213n n a +=-.（2）因为1213n n a +=-，所以()2log 331n n b a n =+=+，11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++， 所以数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 111111233412n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 11222(2)nn n =-=++ 【点睛】本题考查通项公式的求解，以及裂项相消求和法，属数列中综合基础题. 19．(1)30;(2)54,55;(3) X 的分布列如下：数学期望3EX = 【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10，进而得出40 名读书者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）40 名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．计算频率为12处所对应的数据即可得出中位数．（3）年龄在[20，30）的读书者有2人，年龄在[30，40）的读书者有4人，所以X 的所有可能取值是0，1，2．利用超几何分布列计算公式即可得出． 试题解析：（1）由频率分布直方图知年龄在[)40,70的频率为()0.0200.0300.025100.75++⨯=， 所以40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数为400.7530⨯=. （2）40名读书者年龄的平均数为250.05350.1450.2550.3⨯+⨯+⨯+⨯ 650.25750.154+⨯+⨯=.设中位数为x ，则()0.005100.01100.02100.03500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-= 解得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55. （3）年龄在[)20,30的读书者有0.00510402⨯⨯=人， 年龄在[)30,40的读书者有0.0110404⨯⨯=人， 所以X 的所有可能取值是0,1,2，()2024241015C C P X C ===， ()1124248115C C P X C ===，()0224246215C C P X C ===， X 的分布列如下：数学期望0121515153EX =⨯+⨯+⨯=.20．（1）证明见解析；（2）7. 【解析】分析：（1）由正三角形的性质可得AB NC ⊥，由等腰三角形的性质可得AB PN ⊥，由线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面PNC ，从而可得结论；（2）由（1）知PN AB ⊥，结合面面垂直的性质可得，PN ⊥平面ABCD ，以N 为坐标原点，分别以NB ，NC ，NP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面MNC 的一个法向量取平面PNC 的一个法向量()1,0,0m =，利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 详解：（1）连接AC ，因为AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为正三角形，又点N 为AB 的中点，所以AB NC ⊥.又因为PA PB =，N 为AB 的中点，所以AB PN ⊥.又NC PN N ⋂=，所以AB ⊥平面PNC ，又PC ⊂平面PNC ，所以AB PC ⊥.（2）由（1）知PN AB ⊥.又平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，所以PN ⊥平面ABCD ， 以N 为坐标原点，分别以NB ，NC ，NP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0B ，()C ，()0,0,0N ，(P ，()D -，M ⎛- ⎝⎭，设平面MNC 的一个法向量为(),,n x y z =，可得00n NC n NM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得3,0,1n ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭， 由（1）知AB ⊥平面PNC ，则取平面PNC 的一个法向量()1,0,0m =，21cos ,7m n m n m n ⋅==，故二面角M NC P --.点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．（1）221443x y +=;（2）•PB PC k k 为定值13-. 【分析】(1)由(2,0)A 求出a ，由已知条件可得点C 的坐标，则椭圆的方程易求. (2)利用斜率公式表示出PB PC k k ，结合点P 在椭圆上，可得PB PC k k 为定值. 【详解】(1)因为(2,0)A 为椭圆与x 轴的一个交点，所以2a =.由0,||2||AC BC BC AC ==，可得||||,90AC OC OCA =∠=︒， 由等腰直角三角形的性质可得(1,1)C ，代入椭圆方程可得2221114b+=，解得243b =，所以此椭圆的方程为221443x y +=. (2)由(1)可得(1,1)C ，(1,1)B --，由(,)P x y 在椭圆上，可得223144x y +=，所以222222411134111133111113PB PCx x y y y k k x x x x x ⎛⎫-- ⎪-+--⎝⎭=====-+----， 即PB PC k k 是定值，定值为13-. 【点睛】本题考查椭圆的方程，椭圆中的定值问题.判断是否为定值的一般思路是用参数表示出目标值，再看能否消去参数. 22．(1)见解析（2）见解析 【解析】分析：（1）讨论()f x '的零点与a -的关系，判断出()f x '的符号，即可得到函数的单调区间；（2）根据()f x 的单调性判断12,x x 的取值范围，构造函数()(g a f =，利用单调性得出()0g a <，判断1()f x -的符号得出12,x x 的大小关系，从而得到结论.详解：（1）()()211ax a f x a x a x a+-=-=-'++ ①若0,a = ()ln 1f x x =+，()f x 在()0,+∞上单调递增；②若0,a ≠ ()2110,a f x x a a a-'=⇔==-当0a >时，1a a a ->-，所以()f x 在1,a a a ⎛⎫--⎪⎝⎭单调递增，在1,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减； 当0a <时，1a a a-<-，所以()f x 在(),a -+∞单调递增； （2）由（1）的讨论可知当0,2a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 在1,a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减，且10a a ->，2211ln ln 0f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以两个零点121x a x a <-<， ①当1a e <时，()0ln 10f a =+<，所以1210x a x a <<-<，显然120x x +>； ②当1a e >时，()0ln 10f a =+>，所以1210x a x a<<-<， 令()ln 1g a f a ⎛⎛==+ ⎝⎝()g a ='()22121a g a --=='因为0,2a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭221210a --<，所以()g a在1,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，） 又11ln 10g e e ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g a <0，即0f ⎛< ⎝，又因为0a -<<，()f x 在1,a a a ⎛⎫--⎪⎝⎭单调递增，所以0a -<<，所以10x <， 即22121a x e->，()221ln 2a x ->-. 而()()111ln 10,f x x a ax =+-+=()()()()221111ln ln 2ln 20,f x x a x a a x -=-++++=-+>所以21x x >-，即 120x x +>，命题得证.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.。