讨论函数 fx () x在x 0处的可导性

x→0+
x→0+
由于函数 f ( x )在点 x = 0处的左、右极限都存在
但不相等，因此函数 f ( x )在点 x = 0处不连续，
从而在点 x = 0处不可导。
当 x < 0时， f (x ) = x，从而 f ′(x ) = (x )′ = 1，
( ) 当 x > 0时， f (x ) = e x，从而 f ′(x ) = e x ′ = e x .
x→0
但在x = 0处有
∆y
(0 + ∆x)sin 1 − 0
=
0 + ∆x = sin
1
∆x
∆x
∆x
౰∆x
→
0时,
∆y ∆x
=
sin
1 ∆x
在-1和1之间振荡而极限不存在
∴ f ( x)在x = 0处不可导.
. 求函数 f (x) = C (C 为常数) 的导数.
解 y′ = lim f (x + ∆x) − f (x) = lim C − C = 0
综上所述，可知函数 f (x )的导数为
⎧1, x < 0
f (x ) = ⎪⎨不存在 , x = 0
⎪ ⎩
e
x,
x
>
0
有什么区别与联系 ?
区别: 联系:
f ′(x) 是函数 , f ′(x0 ) 是数值; f ′(x) x= x0 = f ′(x0 )
？ 注意: f ′(x0 ) = [ f (x0 ) ]′
设. f ′(x0 ) 存在 , 则
lim
h→0
f
( x0
−
h) h
−
f
(x0 )
=
_−__f_′_( x_0_)_
例6 求幂函数 f ( x ) = xµ (µ 为任意实数 )的导数。
解
f ′(x)
=
lim
f
(
.
x+
h
)
−
f (x)
h→ 0
= lim ( x + h)µ − xµ
=
h lim
xµ
⎜⎛ 1 + ⎝
h x
⎟⎞µ ⎠
−1 .
h→ 0
h
h→ 0
h
由于当
h
→
0时，
⎜⎛ ⎝
1
+
h ⎟⎞µ x⎠
−
1
~µ
h, x
即 f+′(0) ≠ f−′(0),
∴函数y = f ( x)在x = 0点不可导.
y y= x
o
x
.
讨论函数
f
(
x)
=
⎪⎧ ⎨
x
sin
1 x
,
x ≠ 0,
⎪⎩ 0, x = 0
在x = 0处的连续性与可导性 .
解
Q sin
1 x
是有界函数
,
∴ lim x sin 1 = 0
x→0
x
Q f (0) = lim f ( x) = 0 ∴ f ( x)在x = 0处连续.
即
(loga
x)′
=
1 x ln a
. 问曲线 y = 3 x上哪一点有铅直切线 ? 哪一点处
的切线与直线
y
=
1 3
x
−1
平行
?
写出其切线方程.
解
Q
y′
=
(3
x )′
=
1
x
−
2 3
3
=
1 33
1 x2
,
∴ y′ x=0 = ∞ ,
故在原点 (0 , 0) 有铅直切线 x = 0
令
11 33 x2
=1, 3
µh
f ′( x ) = lim xµ x = µ xµ −1 , 即
h→0 h
所以有
( )xµ ′ = µ xµ −1
. 例7
求函数
f
(x
)
=
⎧ x,
⎨ ⎩
e
x
x < 0, 的导数。
, x ≥ 0。
( ) 解
f 0−
= lim f (x ) = lim x = 0
x→0−
x→0−
( ) f 0+ = lim f (x ) = lim e x = 1
解 f ′(x) = lim f (x + h) − f (x)= lim loga (x + h) − loga x
h→0
h
h→0
h
=
lim
h→0
1 h
⋅
log
a
x+h x
=
lim
h→0
1 h
⋅log
a
(1
+
h) x
ln(1+ h)
= lim
x = lim
h x
=
1
h→0 h ln a h→0 h ln a x ln a
2x
= 1 lim f (1+ (−x)) − f (1)
2 x→0
(−x)
= 1 f ′(1) = −1 2
所以 f ′(1) = −2.
. 设 f (x) 在 x = 0 处连续, 且 lim f (x) 存在，证明:
x→0 x f (x) 在 x = 0 处可导.
证：因为 lim f (x) 存 x→0 x 在，
故有lim f (x) = lim
x→0
x→0
f (x) ⋅ x = 0 x
又
f
(x)在
x
=
0
处连续,
即
f
(0)
=
lim
x→0
f
(x)
=
0,
所以
lim f (x) = lim f (x) − f (0) = f ′(0)
x→0 x
x→0
x
即
f (x) 在 x = 0 处可导.
.
设
f
(x)
=
⎩⎨⎧asinx
. 讨论函数 f ( x) = x 在x = 0处的可导性.
解
Q
f
(0 +
h) − h
f
(0)
=
h h
,
lim f (0 + h) − f (0) = lim h = 1,
h→0+
h
h h → 0 +
lim f (0 + h) − f (0) = lim − h = −1.
h→0−
h
h h → 0 −
∆x→0
∆x
∆x→0 ∆x
即 ( C )′ = 0
例4 求函数 f (x) = xn (n ∈ N+ ) 在 x = a 处的导数.
解 f ′(a) = lim f (x) − f (a) = lim xn − an
x→a x − a
x→a x − a
= lim ( xn−1+ a xn−2 + a2 xn−3 + L + an−1)
得
x = ±1 ,
对应 y = ±1 ,
故在点(1,1) , (–1,–1) 处的切线与直线
1
y
=
1 3
x
−
1平行.
其方程分别为
y
−
1
=
1 3
(
x
−
1),
y
+
1
=
1 3
(
x
+
1)
即
x −3y ± 2 = 0
−1 1
−1
.
1. 函数 f (x)在某点 x0 处的导数 f ′(x0 ) 与导函数 f ′(x)
× × 原式
==
hl12i→mf0
f ′(
(t x0
+ )
+22h12h)
− f (t) f ′(x0 )
==
hlfi→′m(0x0f )′(t )
=
f
′(x0 )
.已知
f
(0)
=
0,
f
′(0)
=
k0
,
则
lim
x→0
f
(x) x
=
_k_0__ .
提示: lim f (x) = lim f (x) − 0 = f '(0) .
cos x , x < 0 f ′(x) =
1, x ≥ 0
. 例2 讨论函数 y = 3 x在整个定义域上的连续 性 及在点 x = 0处的可导性。
解 因为y = 3 x是初等函数，且在(− ∞，+ ∞)上处
处有定义，因此该函数在整个定义 域上连续，
当然也在点x = 0处连续。但函数在点x = 0处有
+
h)
sin
h 2
= cos x
h→0
2h
2
即
(sin x)′ = cos x
类似可证得 (cos x)′ = − sin x
. 求函数 f ( x) = a x (a > 0, a ≠ 1)的导数.
解 令 h = ∆x , 则
f ′(x) = lim f (x + h) − f (x) = lim a x+h − a x
.
3. 设 f ′(x0 )存在, 则极限 = _f_′_(_x0_)_ .
lim f (x0 + h) − f (x0 − h)
h→0
2h
解
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原是令式否t =可=x按0hli→−m下0h[述,则f 方(x0法+作h2)h:− f (x0)
+ f (xx00)−−hf)(−x0f−(xh0)) ]
2(2−hh)
故 f (x) 在点 x = 0
处可导, 且
f ′(0) = 0
.
1. 设 f ′(x) 存在, 且 lim f (1) − f (1− x) = −1, 求 f ′(1).
x→0
2x
解: 因为
lim f (1) − f (1− x) = − lim f (1− x) − f (1)
x→0
2x
x→0
x→a
= n an−1
. 求函数 f (x) = sin x 的导数.
解: 令 h = ∆x , 则
f ′(x) = lim f (x + h) − f (x) = lim sin(x + h) − sin x
h→0
h
h→0
h
= lim 2 cos(x + h) sin h
h→0
22
h
=
lim
cos(x
x ,
,
x x
< ≥
0 0
, 问 a 取何值时,
f ′(x) 在
(−∞ , + ∞) 都存在 , 并求出 f ′(x) .
解: 该函数在(−∞,0)及(0,+∞) 都可导，在x=0处，
f−′
(0)
=
lim
x→ 0−
sin x
x −
− 0
0
=1
f+′
(0)
=
lim
x→ 0+
ax − 0 x−0
=a
故 a = 1 时 f ′(0) = 1 , 从而 f ′(x) 在 (−∞ , + ∞) 都存在,
lim f (0 + h) − f (0) = lim 3 h − 0
h→ 0
h
h→0 h
=
lim
h→ 0
1
2
= +∞ , 但导数为无穷大（不存 在），
h3
因此函数 y = 3 x在点 x = 0处不可导。不过从图形 (2.4)中可以看出， 曲线 y = 3 x在原点 O处具有 垂 直于 x轴的切线 x = 0.
h→0
h
h→0
h
= a x lim ah −1 h→0 h
由于当h→0时, ah −1 = ehlna −1
~ h ln a , 所以
f ′(x)
= a x lim h ln a h→0 h
= a x ln a.
(ax)′ = ax lna. (ex )′ = ex
. 求函数 f (x) = loga x 的导数.
x→0 x
x→0 x − 0
5. 若 x ∈ (−δ , δ ) 时, 恒有 f (x) ≤ x2 , 问 f (x) 是否在点
x = 0 处可导? 解 由题设 f (0) = 0
0≤
f (x) − f (0) ≤ x x−0
由夹逼准则 lim f (x) − f (0) = 0 x→0 x − 0