讨论函数 fx () x在x 0处的可导性
2022-2023年研究生入学《数学二》预测试题4(答案解析)
2022-2023年研究生入学《数学二》预测试题（答案解析）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第壹卷一.综合考点题库(共50题)1.设平面区域D由曲线(x2+y2)2=x2-y2(x≥0，y≥0)与x轴围成，计算二重积分正确答案：本题解析：2.设函数f（x）具有二阶导数，g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x，则在区间[0，1]上（）。
A.当f′（x）≥0时，f（x）≥g（x）B.当f′（x）≥0时，f（x）≤g（x）C.当f″（x）≥0时，f（x）≥g（x）D.当f″（x）≥0时，f（x）≤g（x）正确答案：D本题解析：方法一：若熟悉曲线在区间[a，b]上凹凸的定义，则可以直接做出判断，显然g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x是连结（0，f（0））（1，f（1））两点的直线方程，故当f″（x）≥0时，曲线是凹的，即在区间[0，1]上f（x）≤g（x）。
方法二：若不熟悉曲线在区间[a，b]上凹凸的定义，则可令F（x）＝f（x）－g（x）＝f（x）－f（0）（1－x）－f（1）x，则F（0）＝F（1）＝0，且F″（x）＝f″（x），故当f″（x）≥0时，曲线F（x）是凹的，从而F（x）≤F（0）＝F（1）＝0，即在区间[0，1]上F（x）＝f（x）－g（x）≤0，即f（x）≤g（x）。
3.计算二重积分其中D＝{（r，θ）∣0≤r≤secθ，0≤θ≤π/4}。
正确答案：本题解析：由题设可知令x＝sint，则dx＝costdt，0＜t＜π/2，进一步可得4.设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是（）。
A.若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛B.若{xn}单调，则{f（xn）}收敛C.若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛D.若{f（xn）}单调，则{xn}收敛正确答案：B本题解析：由函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界可知，若{xn}单调，则{f（xn）}单调有界。
导数性质知识点总结
导数性质知识点总结导数性质知识点总结「篇一」导数的定义：当自变量的增量Δx=x-x0，Δx→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)。
函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示函数曲线在P0[x0，f(x0)] 点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性(单调性)的.法则：设y=f(x )在(a，b)内可导。
如果在(a，b)内，f'(x)>0，则f(x)在这个区间是单调增加的(该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状)。
如果在(a，b)内，f'(x)<0，则f(x)在这个区间是单调减小的。
所以，当f'(x)=0时，y=f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值求导数的步骤：求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)—f(x0)② 求平均变化率③ 取极限，得导数。
导数公式：① C'=0(C为常数函数);② (x^n)'= nx^(n—1) (n∈Q*);熟记1/X的导数③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = — sinx;(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 —(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanxsecx (cscx)'=—cotxcscx (arcsinx)'=1/(1—x^2)^1/2 (arccosx)'=—1/(1—x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=—1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2—1)^1/2) (arccscx)'=—1/(|x|(x^2—1)^1/2)④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=—hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=—1/(sinhx)^2=—(cschx)^2 (sechx)'=—tanhxsechx (cschx)'=—cothxcschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2—1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2—1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2—1) (|x|>1)(arsechx)'=1/(x(1—x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数) (Inx)' = 1/x(ln为自然对数) (logax)' =(xlna)^(—1)，(a>0且a不等于1)(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(—1) (1/x)'=—x^(—2)导数的应用：1.函数的单调性(1)利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想。
高等数学第三章导数
1 (tan y)
1 sec2
y
1 1 x2
§3 . 隐函数及参数方程所确定的函数的导数。
1. 隐函数求导法
现在讨论由方程 F(x, y) 0所确定的隐函数 y y(x)的 导数，由于 F(x, y(x)) 0，两边对 x 求导，即可解出 y(x)，举例说明。
例1. 求由方程 x2 y2 r 2 所确定的隐函数 y y(x) 的导数。
d secx secx tanxdx, d cscx cscxcot xdx
d arcsin x 1 dx, d arccos x 1 dx
(2)如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导，那么 f (x) 在点 x0 处可微分，且 A f (x0 )
因此，当 f (x)在点x0 可微分时，其微分为：
dy xx0
f (x0 )x
任意点 x 处的微分称为函数的微分，记作 dy 或 df (x) 即 dy = f '(x) Δx
为了形式上统一，记 dx= Δx ，则 dy = f '(x)dx
y (ex x)(cot x x csc2 x) (x cot x)(ex 1) (ex x)2
例3. 设 y xnax cos x ，求 y
y nxn1ax cos x xnax (lna) cos x xnax sinx
例4.
设
y
2a
x1
1
2 a
,
x 0，(a 0, a 1) ,求 y
cosx,
x0
解：当x 0时，y 2a x1 ln a ;
当 x 0时, y sin x ;
在
x
0 处，f (0)
lim
x0
考研数学三(微积分)模拟试卷16(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷16(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．曲线的渐近线有( )．A．1条B．2条C．3条D．4条正确答案：B解析：由为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为x→1及x→一2时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选B．知识模块：微积分2．函数f(x)=x3一3x+k只有一个零点，则k的范围为( )．A．｜k｜＜1B．｜k｜＞1C．｜k｜＞2D．k＜2正确答案：C解析：，令f’(x)=3x2一3=0，得x=±1，f”(x)=6x，由f”(一1)=一6＜0，得x=一1为函数的极大值点，极大值为f(—1)=2+k，由f”(1)=6＞0，得x=1为函数的极小值点，极小值为f(1)=一2+k，因为f(x)=x3一3x+k只有一个零点，所以2+k＜0或一2+k＞0，故｜k｜＞2，选C．知识模块：微积分3．设f(x)在x=0的邻域内有定义，f(0)=1，且，则f(x)在x=0处( )．A．可导，且f’(0)=0B．可导，且f’(0)=一1．C．可导，且f’(0)=2D．不可导正确答案：B解析：知识模块：微积分4．设，则在x=a处( )．A．f(x)在x=a处可导且f’(a)≠0B．f(a)为f(x)的极大值C．f(a)不是f(x)的极值D．f(x)在x=a处不可导正确答案：B解析：由，根据极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x—a｜＜δ时，有＜0，从而有f(x)＜f(a)，于是f(a)为f(x)的极大值，选B．知识模块：微积分5．设函数f(x)在｜x｜＜δ内有定义且｜(x)｜≤x2，则f(x)在x=0处( )．A．不连续B．连续但不可微C．可微且f’(0)=0D．可微但f’(0)≠0正确答案：C解析：知识模块：微积分6．设f(x)=，其中g(x)为有界函数，则f(x)在x=0处( )．A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续，但不可导D．可导正确答案：D解析：因为f’+(0)=f’—(0)=0，所以f(x)在x=0处可导，应选D．知识模块：微积分填空题7．设y=x5+5x一tan(x2+1)，则y’=__________．正确答案：5x4+5xln5—2xsec2(x2+1)．解析：y’=5x4+5xln5—2xsec2(x2+1)．知识模块：微积分8．y=，则y’=__________．正确答案：解析：知识模块：微积分9．f(sinx)=cos2x+3x+2，则f’(x)=__________．正确答案：解析：由f(sinx)=cos2x+3x+2，得f(sinx)=1—2sin2x+3x+2，f(x)—1—2x2+3arcsinx+2，f’(x)=一4x+．知识模块：微积分10．y=，则y’=__________．正确答案：解析：知识模块：微积分11．xy=yx，则y’=__________．正确答案：解析：由xy=yx，得ylnx=xlny，两边求导数得知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
大学高等数学检测题
大学高等数学测试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．与向量{-1，1，-1}平行的单位向量是（ ）A ．{31-，31-，31-}B ．{31，31-，31}C ．{0，0，0}D ．{31，31，31}2. 设函数f(x,y)=f 1(x)f 2(y)在(x 0,y 0)处偏导数存在，则f y (x 0,y 0)=（ ）A ．0lim→h hy f h y f )()(0202-+f 1(x 0)B ．0lim→h hy f h y f )()(0202-+C ．0lim →h h x f h x f )()(0101-+f 2(y 0)D ．0lim →h h x f h x f )()(0101-+3. 设∑为球面x 2+y 2+z 2=1,则对面积的曲面积分⎰∑（x 2+y 2+z 2）dS=（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 4. 微分方程（e x+y -e x ）dx -(e y -e x+y)dy =0是（ ）A ．可分离变量的微分方程B ．齐次微分方程C ．一阶线性非齐次微分方程D ．一阶线性齐次微分方程 5. 下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（ ） A ．∑∞=1n n sin n 3B ．∑∞=1n nn n n )1(3+C ．∑∞=1n 132+n D ．∑∞=1n ln1+n n 6．若)x (F '=f(x)，则⎰'dx )x (F =（ ） A ．F(x) B ．f(x) C ．F(x)+CD ．f(x)+C7．设f(x)的一个原函数是x ，则⎰xdx cos )x (f =（ ） A ．sinx+C B ．-sinx+CC ．xsinx+cosx+CD ．xsinx -cosx+C8．设F(x)=dt te xt ⎰-12，则)x (F '=（ ）A ．2x xe B ．2x xe - C ．2x xe -D ．2x xe --9．设广义积分⎰+∞α1x1发散，则α满足条件（ ） A ．α≤1 B ．α<2 C ．α>1D ．α≥110.设z=cos(3y -x)，则xz∂∂=（ ） A ．sin(3y -x) B ．-sin(3y -x) C ．3sin(3y -x) D ．-3sin(3y -x)11．函数z=x 2-y 2+2y+7在驻点（0，1）处（ ） A ．取极大值 B ．取极小值 C ．无极值 D ．无法判断是否取极值 12．设D={(x,y)|x ≥0，y ≥0,x+y ≤1}，⎰⎰⎰⎰βα+=+=D2D1dxdy )y x (I ,dxdy )y x (I ，0<α<β，则（ ） A ．I 1>I 2B ．I 1<I 2C ．I 1=I 2D ．I 1，I 2之间不能比较大小13．级数5n 7n)1(1n 1n --∑∞=-的收敛性结论是（ ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．无法判定14．幂级数n1n n x 3n 3∑∞=+的收敛半径R=（ ） A ．41 B ．4C ．31 D ．315．微分方程y ln y y x ='的通解是（ ） A ．C e x+B ．C ex+-C ．Cx eD ． Cx e+-二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
高数(高等教育出版社)第一版,第二章习题详解参考
第二章习题解答参考习题2-11．设f (x )=8 x，试按定义求 f (1) ．解2．设f1xf 1lim8 1x 8．f (1)= lim8x 0x x0x2bx c ，其中 a, b, c 为常数.按定义求 f (x ) ．f (x )= ax解f xf x x f x= limxx022a x xb x xc ax cbx limxx02 ax x a x2 b x2 ax b ．limxx03．证明(sin x ) = cos x ．证设 f x sin x ，则 f x x f x sin x x sin x 2 cosx x x sin222 cos xsinxf x x f x x2f x lim 2limx x x0x0sin xx2lim cos x cos x，2x2x0所以(sin x ) = cos x ．4．下列说法可否作为 f ( x )在 x 0可导的定义？f (x0 h ) f ( x 0h )（ 1）limh 存在；h 0解不能．因为从极限式中不能判断 f x0存在，也不能判断lim f ( xh ) f (x)存在．h0h例如 f x x 在x0 点不可导，但lim f (0h ) f (0 h)h hlim0h 0h h0h却存在．（ 2）lim f (x 0h)f (x)和lim f (x0h )f(x)存在且相等；h0h h 0h解可以．因为 lim f (x0h ) f ( x0 )f x0，hh0lim f ( x0h ) f ( x0 ) f ( x0h ) f ( x0)f x0，根据导数存在的充要h lim hh 0h0条件，可知 f x存在．5．求下列函数的导数：（ 1）y x 5；（2）y1；（3）x232（ 4）y log1x；（5）y x x；（6）3x 5解（1）y 5 x 5 1 5 x 4；y x37x ；y lg x ．（2）（3）（4）1131y x 22；x2 2 x x221522 x2 7x；y x 722x 777y11；1x ln 3x ln3（5）（6）2511512y x 32x66x 66；56x 1y．x ln 106．已知物体的运动规律为s t 3(米)，求这物体在 t2 (秒)时的速度．解因为 s t3， v ds3t 2，所以 t 2 时，v 2 3 2212 ．dt7．如果 f ( x )为偶函数，且 f (0)存在，证明 f (0)=0．证因为 f(0)=lim f x f 0，而 f ( x ) 为偶函数，故 f (x ) f ( x) ，x0x所以 f (0)limf x f0f xf 0，0lim f (0)x x x 0x所以 f (0)=0．8．抛物线y x 2在哪一点的切线平行于直线y 4 x 5 ？在哪一点的切线垂直于直线 2 x 6 y50 ？解由 y x2，可得 y 2 x ，若切点为x0 , x 02，则依题设 2 x 0 4 ，即 x0 2时，切线平行于直线11 ，即 x03y 4 x 5 ； 2 x0时，切线垂直于直线322 x 6 y 50；所以抛物线切线垂直于直线y x2 在点 2 , 4 的切线平行于直线y 4 x 5 ？在点3,9的242 x 6 y 50 ．9．在抛物线y x 2上取横坐标为x1 1 及 x2 3 的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解由题设可知 y 2 x，所取的两点为 1,1， 3, 9 ，连接两点的直线斜率为 k 4 ，依题设，应有 2 x 4 ，即 x 2 ，所以所求点为2, 4．10. 如果y f x在点4, 3处的切线过点0, 2 ，求 f4．解依题设，曲线在点4, 3处的切线为 y3f4x 4 ，满足 2 3 f404，从而f 41．411．讨论下列函数在x0 处的连续性与可导性：x21x0,（1）y3 x ；（2）ysin,x0 ,x0.解（ 1）因为lim 3 x0y0 ，所以 y 3 x在 x0 点连续，x03x1，所以 y3 x 在 x0 点不可导；而 limx lim2x 0xx 321（2）因为 limx 2 s in 1y 0 ，所以 yx sin x,x0, 在 x0 点连续，xx0 ,x0.211x sin12,x 0,又 limx0 ，所以 yx sinx 在 x0 点可导．lim x sinx 0 xxx0 ,x 0.12．设 f (x )=sin x , x 0在 x0 处可导，求 a, b 的值．axb , x 0解因为 f (x )=sin x , x0 处可导， axb , x在 x所以 lim f ( x)f0 ，且 ff，x 0又 limf ( x )0 ， limf ( x )b ， fb ，故 b0 ， f0 ，x 0x从而 f 0lim fxf 0 lim sin x1 ，xxxx 0flimf xf 0limaxa ，所以 a1 ．xxx 0x 0213．已知 f ( x)x , x 0，求 f (0)， f(0) 和 f (0)．x, x2f ( x)f 0x 2解因为 f ( x) x , x ，所以 f (0)limlim0 ，x, xxxx 0x 0f (0)f ( x)f 0 limx 1 ，所以 f(0) 不存在．limxxxx14．设函数 f ( x)=x 3 ,x 0 ，求 f (x ) ．3xx ,解 当 x 0 时， f ( x )3 x 2 ，当 x 0 时， f ( x)3 x 2 ，当 x0 时， f (0)limf xf 0limx 3 0 ，xxxx 0f (0)lim f xf 0limx 3 0 ，所以 f(0)0 ，xxxx 02 所以 f(x )=3 x , x 0 ．3 x 2 , x 015．设所给的函数可导，证明：（1）奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数；（2）周期函数的导函数仍是周期函数．证 （1）设 f x 为奇函数，则 fxfx ，而 ff xh f x，xlimhh 0fxlim fx hfxf x hf xhlimhhhf xhf xf x hfxx，limhlimhfhh 0所以 fx为偶函数；相似地，若 f x 为偶函数，则 fx f x，于是f xlimfxh fxfxhf xhlimhhh0lim f xhf xfx，所以 fx为奇函数．hh0（2）设 fx为周期函数，则存在 T ，使 f x Tf x，则fx Tf x Thf x Tf x hf xfx ，limhlimhhh所以 fx也是以 T 为周期的周期函数．16．设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ．于是分布在区间 [0, x ] 上细棒的质量 m 是 x 的函数 mm ( x ) ．应怎样确定细棒在点 x 0 处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫这细棒的线密度）?解 设在 x 0 处的线密度为 x 0，给 x 0 以 x 的增量，则在区间 [ x 0 , x 0x ] 上细棒的平均线密度为m x 0x m x 0，x故x 0m x 0x m x 0mx 0 ．limxx 017．证明： 双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2 a 2 ．222证由 xya 2可得 y a , x 0 ，于是 ya2 , x 0 ，若切点为x 0 ,a ，x 0xx则该点处的切线为ya 2a 2 xx 0 ，它与两坐标轴的交点分别为2 x 0 , 0，x 0x 02220, 2 a，所以所求三角形的面积为 S 12 x 02a2 a 2 ．x 02x 018．设函数 f (x ) 在 x 0 处可导，试讨论函数 | f (x ) | 在 x 0 处的可导性．解因为函数 f(x ) 在 x0 处可导，所以 limf ( x)f 0f0 存在，xx而 fx 0 limf ( x)fxx，故x（1）若f ( 0 )f ( x)f 0f0 可知：f ( x ) f，其中xxxl i mx f，x，从而 f ( x )此时 fxlim x flimx f，x 0xxxx 0因此 | f ( x) | 在 x 0 点的左导数为f 0，右导数为 f，所以 |f ( x) | 在 x0 处可导的充要条件是 f 00 ；（ 2）若 f (0)0 ，设 f (0)0 ，则 lim f ( x)f 00 ，由保号性定理，0 ，x当 x U 0,时， f x0 ，此时有 ff ( x)f 0f ( x )f 0x x 0limxlimxf，相似地，x 0x若 f (0)0 ，则 limf ( x)f 00 ，由保号性定理，0 ，当 xU 0,时，xf ( x)f 0f ( x )f 0f x0 ，此时有 fxx 0limxlimxf；xx 0总之，若 f ( x) 在 x 0处可导，则当 f (0)0 时， | f (x ) | 在 x 0 处可导；当f (0) 0时，| f (x ) | 在 x 0处可导的充要条件是 f 00 ．习题2-21．求下列函数的导数：（1） （3） （5）（7）y 3cos2 x ；（ 2） y 3 x4cos2 x ； （4） 2e y 3e4 x1 ；（ 6） y1；（ 8）xln xy4sin(3 t1) ；y( x 1) 5 ；yx；21x y(x 2x1)( x 1) 3 ；2ln x x 3（9） yx 3 e x sin x ；（ 10） y 2 ．3ln x x解（ 1） y3 sin 2 x 2 x3 sin2 x 2 6 sin2 x；（ 2） y 4 cos(3 t1) 3t 1 12 cos(3 t1) ；（ 3）（ 4）y 2e 3 x 3 x4 sin 2 x 2 x 6e 3 x 8 sin 2 x ；y5( x 1) 4 x1 5( x1)4 ；（ 5） （ 6）（ 7）y3e 4 x 4 x12e 4 x ；1 2x2 xxx 21y2 1；221 x1 21 xxln x1xln xxlnx 1yx；222xln xxln xxln x（ 8） y32x 1) 3( x 2222 x 2；2 x 1 ( x 1)( x1)( x 1) 5 x（ 9） y2x3 x3x 2xx sin xx cos x；3 x e sin x x e sin xx e cos x x e3sin x2 23ln x233 2 xx 3 xx2ln x xx x 9 x 4 ln x x42 （ 10）y3 x2 xx 2 223ln x3ln xx 22．证明：（ 1） (cot x)csc 2 x；（ ） (csc x )csc xcot x．2证（1）(cot x )cos x sin x sin x2cos x cos x csc2x ；sin x sin x（2）(csc x)1cos x1cos xcsc x cot x ．2sin x sin xsin x sin x3．证明：（ 1）(arccos x )1；（2）(arccot x)1．221x1 x证（1）设y arccos x ，则其反函数为 x cos y ， y2,2，由于 x sin y ，由反函数求导法则，arccos x111；sin y12y12cos x（2）设y arc cot x ，则其反函数为 x cot y ， y0,，由于 x csc 2y ，由反函数求导法则，arccos x111．csc212y12y cot x4．求下列函数在给定点处的导数：2（1）y 2 cos x 3 sin x ，求y xπ ；（2）y32x，求 f (2) ．4x3解（1）因为y 2 sin x 3 cos x ，所以y xπ4ππ522 sin3 cos；442212 x22 x，所以 y2 2 210 ．（2）因为y232x 223x3x33233 5．写出曲线y 2 x1与 x 轴交点处的切线方程．2 x解令 y0 ，得曲线 y 2 x1与 x 轴交点为1, 0和1, 0，2 x22而 y21，所以 y1 4 ，222 x所以所求切线有两条，方程分别为y 4 x 2 ， y 4 x2．6．求下列函数的导数：（ 1）y(2 x 23) 5；（2）y sin (5 2 x 2 ) ；（ 3） （ 5） （ 7）（ 9）y e 3 x 22 x 1 ；（4） y sin ( x 2 ) ；y cos 2 x ； （6） y a 2x 2 ；y arctane x ；（8） y ( arccos x ) 2 ； yln sin x ；（10） ylog a (x 31) ．解 （1） y5 (2 x 23) 4 (2 x 2 3)20 x (2 x 2 3)4；（ 2） ycos(5 2 x 2 ) (52 x 2 )4 x cos(5 2 x 2 ) ；（ 3） y e 3 x 23 x 26 x 2 e 3 x22 x 12 x 12 x 1；（ 4） y cos( x 2 ) ( x 2 ) 2 x cos( x2) ；（ 5） y 2 cos x cos x2 cos x sin xsin 2 x；（ 6） y1222 xx；2 a 2x 2a x2 a 2 x 2a 2x 21x（ 7） y2exe2 x；e x11 e（ 8）（ 9）y2(arccos x)(arccos x)2(arccos x)12 arccos x ；122x1 xy1 cos x cot x ；sin xxsin xsin12（ 10） y33 x．3 1) ln a ( x 1)( x 31) ln a ( x7．求下列函数的导数：（1）（3）（5）（7）（9）yarccos (1 2 x) ； （ 2） y y1ln x ； （4） y1ln xysin n x cos nx ； （ 6） yy e arctan x；（8） yy1 x 1 x ； （10）1 x1 xarcsin 1 ；x ln (xx 2a 2 ) ；1 sin2 x ； 1 sin 2 xln ln ( ln x) ；y arccot1 tan x ．2 2解（ 1） y121；(1 2 x )221 (12 x)x 1 x1 (12 x )（ 2）（ 3）y1 1 x 1x ；1x2x 222111xxx2x1 1ln x 1 lnx1x x2y22；1 ln xx 1 ln x12 x122122（ 4） yx2 x a ；2 2xa2xx22 2xaxaxa（ 5） yn sin n1xsin xcos nxsin n xsin nx nxn1cos x cos nxsin x sin nxn sin n 1 x cos n 1x；n sin x（ 6） y11 sin2 x1sin 2 x1 sin2 x2sin 2 x112 cos 2 x 1sin 2 x1 sin2 x 2 cos 2 x1 sin2 x1sin 2 x 22sin 2 x112 cos 2 x2 cos 2 x； 1 sin 2 x 1sin 2 x 1 sin 2 xcos 2 x 1sin 2 x（ 7） （ 8）（ 9）arctan xarctan xarctanx1 y ee1 xx1 ln ( ln x)1 1y x ) ln ( ln x) ln xln ( lnln xarctanxe；2 1 xx1；x ln x ln ( ln x)111 x1x1x112 1 x 2 1 x1 x2 1 x 2 1 xy21 x1x1 x 1 x21 x1 x 121x2；221 x 1 x1 x 1 x1 x 1 x（ 10）y11x41 2 x x1x2tan22sec2 122x2 tan24tan222xsec21．2x4tanx1223 cos28．设f ( x )1cos x ,x0，求 f x．ln (1 x )x cos x ,x0sin x,x0解当 x0 时， f (x )1cos x x sin x ,x0，1x2x x当 x 0 时，f(0)1cos x0lim 2 sin2lim sin x sin20 ，lim x x2xx0x0x02ln1x x cos x01f (0)lim ln1x cos x ln e 10 ，lim x xx0x0sin x ,x0所以 f00，从而 f(x )1cos x x sin x, x ．1x0 9．求函数y( sin x ) cos x 的导函数．解法 1因为y( sin x ) cos x e cos x ln sin x ，所以 y e cos x lnsin x cos x ln sin x sin xcos xsin x ln sin x cos xcosxsin xsin x sin x ln sin x2x ．cos xcossin x解法 2对数求导法，由 y( sin x) cos x，得 ln y cos x ln ( sin x ) ，两边同时对 x 求导，得ysin x ln sin x cos xcos x，y sin x所以 y sin x sin x ln sin x cos2x．cos xsin x10．设f(x )sin x ， (x )x3，求 f [(x )] ， f[(x )] ， { f [(x )]}．解 因为 f (x )sin x ， ( x) x 3 ，所以 f ( x)cos x ，(x ) 3 x2，所以 f [( x)] f 3 x 2 sin 3 x 2 ，f [( x )]cos( x )cos x 3，{ f [ ( x)]} sin x 3 cos x 3 x 3 3 x 2 cos x 3 .11．设 f ( x) 存在，求下列函数的导数：（ 1） f n (cos x ) ； （ 2） cos n [ f ( x)] ．解（1） nn 1(cos x)f (cos x )n 1f (cos x)nf nf(cos x ) f (cos x) cos xn sin xfn 1(cos x ) f (cos x ) ；（2） cos n [ f (x)]n cos n 1 [ f ( x)] cos [ f (x )]n cos n 1 [ f (x)] sin [ f ( x)] f xn 1[ f (x )] fx ．n sin [ f ( x)] cos12. 求曲线 f x 2 sin x sin2所有具有水平切线的点．x解 因为 fx2 cos x 2 sin x cos x ，令 fx0 ，得 cos x 1sin x0 ，于是 cos x 0 ，或 sin x1 ，推得 x k, k Z ，或 x 2k3Z ，2, k2所以所求的点为2 k, 3 ，2k3 1 ，其中 k Z ．,22习题2-31．求下列函数的二阶导数：（1）（3）ye3 x 5；（2） y 2x ln x ；（4） sinye t sin t；y tan x ；（5） yln( x4 x 2 ) ；（ ） y (1 x 2 ) arctan x．6解 （ 1） y 3e 3 x 5 ， y9e 3 x 5 ；（2） yetsin t e t cos t e t cos t sin t，yetsin te tsin t cos t2etcos tcos t ；2（3） y2 sin x cos x ln xsin 2 x 1ln xsin 2 xsin x ，xxsin 2 x2sin x cos xx sin2y ln x 2 cos 2 x xxx22 sin 2 x22 x ln xsin x ；x 2 cosx 2（4）（5）22 sec x sec x tan x2ysec x ， y2 sec x tan x ；112 x1y，x4 22 4x 24 2xx13xy4x 222 x；2423x（6） y2 x arctan x1 ， y2 arctan xx．21x2． y x 3 e x，求 y ( 5 )(0)．解设 u x 3 ， v e x，则 u3 x 2 ， u 6 x ， u6 ， u n 0, n 4 ； v ne x , n N ，代入莱布尼兹公式，得y ( 5 )u 5 v5 u 4 v 10 u v10 u v5u v 4uv 510 6e x10 6 xe x5 3 x 2e xx 3 e x ，所以(5 )60．y (0)3． yx 2 e 2 x ，求 y ( 20 ) ．解 设 ux 2 ， v e 2 x ， 则 u2 x ， u2 ， u n0,n 3 ； v n2 n e 2 x , n N，20181920代入莱布尼兹公式，得y ( 20 )C 20k u nkv kC 202C 201 C 200 u vu vuvk 0190 2 218 e 2 x C 201 2 x 219 e 2 x C 200 x 2 2 20 e 2 x2 20 e 2 x95 20 xx 2 ．4．试从dx1导出：（ 1）d 2 xy3；（2）d 3 x3( y ) 2y y．2( y ) d y 35dy yd y( y )解因为d x1，所以 d 2 x d 1 d 1 dx y 1y 3，d yy2dy ydx ydyy2yd yy3dydy dxd x3dyy 3dx3dydyy322yy y 3 yy13 yy y．6y5yy5．证明：函数 y C 1e xC 2 ex（ ,C 1 , C 2 是常数）满足关系式 y2y 0 ．解 因为 y C 1 e xC 2 ex，所以所以xxxx2x2xyC 1 eC 2eC 1eC 2 e， yC 1 e C 2 e，y2y2C 1e x 2C 2 ex2C 1 e x C 2 ex0 ．6. 求常数 的值，使得函数 ye x 满足方程 y5 y6 y．解 因为 ye x ，所以 y ex， y2ex，代入方程 y5 y6 y 0 ， 得256 e x0 ，因为 e x0,xR ，所以256，解得 1 6 ， 21 ．7. 设 fxsin xa ， g xb sin xc cos x ，求常数 b, c 的值，使得f 0g 0，且 f 0g0 .解 因为 fxsin x a， g xb sin xc cos x ，所以 f x cos x a， g xb cos xc sin x ,所以由 f 0g 0， f 0g 0，可得 c sin a ，且 bcos a ．8．求下列函数的 n 阶导数．（1） y x na 1 x n 1 a 2 x n 2a n 1 x a n （ a 1 , a 2 , a n 是常数）；（2） y xe x ；（3） ysin 2 x ； （4） yx 2 16．5 x解（1） yn 1n 1 a 1 xn 2n 3a n 1 ，nxn 2 a 2 xn 2n 3n 4a ，根据幂函数的导数公式特点：每求导一次，幂函数降一次幂，故y n n ! ．（2）y e x xe x e x x 1 ， y e x x 1 e x e x x 2，yxx2x xx 3 ，由此可见，每求一次导数，增加一个e x，e e e所以n xx n， n N；y e（3）y sin 2 x1cos 2 x11cos 2 x，222y 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x2，y 2 cos 2 x 2 cos 2 x22，y 2 2sin 2 x 2 2cos 2 x32，42 3cos 2 x23 cos 2 x4，y2所以n2n1 cos 2 x n， n N ．y2（4）因为y111，x 2 5 x6x3x2而1x32112x3，x3，x331123x34x3，1n可见，123n x n 11nx3n1x33n !，1n同理，123n x n11nx2n1x22n !，所以n n n1n1n 11．y 1 n ! x 3x 2 1 n !x3n 1xn 12习题2-41．求由下列方程所确定的隐函数的导数d y ：d x（1） x y e xy0 ； （2） 2 x 2 y xy 2 y 30 ；（3） e xyy ln xsin 2 x ；（ ） xya（ a 0 的常数）．4解（ 1）将方程两边同时对 x 求导，得dydydy ye xyxy，变形得：1；1ey x0 dx1xydx dxxe（2）将方程两边同时对 x 求导，得2dyy2dy2dy 0，2 2 xy xx 2 y3 ydxdx dx变形整理得：dy224 xy y 2；dx2 x 2 xy3 y（3）将方程两边同时对 x 求导，得e xyy xdydyln xy 2 cos 2 x ，dxdxx变形整理得：dy2 x cos 2 xyxy exy；dxx ln x 2xyx e（4）将方程两边同时对 x 求导，得11dy ，2 x2y dx变形整理得：dyy, x．dxx2．求曲线 x 2 y 52 xy0 在点 (1,1) 处的切线方程．解将方程两边同时对 x 求导，得： 2 x5 y 4 dy2 yx dy0 ，dx dx将 x1 ， y 1 代入，解得：dy1,10 ，dx所以曲线在点 (1,1) 处的切线方程为： y1 ．3．已知 y sinx cos( xy )0 ，求隐函数 yy x 在点 0, π的导数值．2解将方程两边同时对 x 求导，得：dyy cos xsin( x y ) dy ，sin x1dxdx将 x0 ， y2 代入，解得： dy1．dx0,222 4．求下列方程所确定的隐函数的二阶导数 d y ．dx 2（1） y tan( x y ) ； （2） y 1x e y ；（3） y lny xy ；（4） arctany ln x 2 y 2 .x解（1）将方程两边同时对 x 求导，得：dysec 2 ( xy ) 1dy，dxdx解得dycsc 2 ( xy ) ，dxd 2dy再求导，得：y2 csc( xy)csc( xy ) cot xy，21dxdx将 dy2csc 2( xy) 代入，整理得：d y2 csc 2 ( x y) cot3 xy ；dxdx 2（2）将方程两边同时对 x 求导，得：dye yx e y dy，dxdxe y dy1 xe ye ye yx e y dy解得：dyy，再求导，得： d 2 y dxdxe y 2y2，dx1xedx1xedy y22 y2 xe y2 y3 y将 e代入，整理化简得：d yeey2y 33；dx1 xedx12 yxe（3）将方程两边同时对 x 求导，得：dyln ydy 1 dy ， dxdxdx1 dy解得：dy1d 2 yy dx 2 ，，再求导，得： 2dxln y dxln y将 dyd 2 y13；1代入，整理化简得：2ydx ln ydx ln ydyxy2 x 2 ydy（4）将方程两边同时对 x 求导，得：1dx1 dx，y 2222y 21xxx1dy x yx y 1dy解得：dy x y，再求导，得：d 2 ydxdx，dxx ydx 22x y222将 dyx y代入，整理化简得：dy 2 xy.3dxxydx 2xy5．用对数求导法求下列函数的导数：（1） y(sinx) cos x ；（2） y(tan 2 x ) x；x x（3） y；（4） y (2 x 1) x (3 x 1) x 1 ．1 x解 （ 1）两边取自然对数，得： ln ycos x ln(sin x ) ，两边同时对 x 求导，得：1 dysin x ln sin xcos x cos x ,y dxsin x整理化简得：dy(sin x) cos xsin x ln sin xcos x cot x ；dx（2）两边取自然对数，得： ln y x ln(tan2 x ) ，两边同时对 x 求导，得：1dy ln(tan 2 x )xsec 2 2 x2tan 2 x ，y dx整理化简得：dy(tan 2 x) xln(tan 2 x)4 x ；dxsin 4 x（3）两边取自然对数，得： lny x lnx x ln xln1 x，1x两边同时对 x 求导，得：1dy ln x ln 1 xx 1 1 1 y dxxxx整理化简得：dyx ln x x1 1；dx1 x1 x（4）两边取自然对数， 得： ln yln(2 x1)1x1ln(3 x1)1 x1 ，ln 4 ln28两边同时对 x 求导，得：1 dy2 1 131)81， y dx 2 x 2 x 4(3 x x 1整理化简得：dy(2 x1) x(3 x1) x 12 1 1 31) 8 11dx2 x 2 x 4(3 x x 6．求下列参数方程所确定的函数的导数d y ： d x2 atxa cos btb sin atxt21 （ a 为常数）．（1）（ a , b 为常数）； （2）2ya sin btb cos ata (1 )ty1t2解（1）因为dxab sinbtab cosat ，dyab cosbtab sinat，dtdt所以d yab cos btab sin atcos btsin at；d xab sin btab cos atsinbtcos at2 a 1 t22 at 2t2（2）因为dx2 a 1 t，22dt1212ttdy2at 1 2a (1 2) 2 t4 atttdt221 t 21 2t所以dy1 2 t 2 t ．dxt 2 t 2 17．求曲线x tet1 在 t0 处的切线方程与法线方程．t 2 )ey (2 t t解 因为 dxe tte t ， dy2 2 t e t(2 t t 2 )e t ，dtdt所以dy2 t 2 ， dyt 02 ，又 x t 0 1, y t 0dx1 tdx故所求切线为： y2 x 1，法线为：y1 x 1 ． 28 ． 已 知曲 线 x2n在 ttm t0 时过原点，且在该点处的切线与ype t2e2 x3 y5 0 平行，求常数 m , n, p ．解 因为 dxm ，dyp e t ，故dyt2 tp e ，dtdtdx2t m由题设可知： x tn0 ， yt 0p2e0 ，dyt 0p 2 ，dxm3所以所求常数为： n0 ， p2e， m3e ．注：此题的书后答案有误．29．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 dy ：d x 2（1）x1 t 2；（2）xe t cos t ；y tt 3yte sin tx ln 12xf ( t )t；（4）（ f(t ) 存在且不为零）．（3）y tf ( t )f (t )yt arctan t（ 1）因为dx2 t ，dy，所以dy13 t 21 3t ， 解13t 2dt dtdx2 t2t221 322于是 d yd13t dt2t 21 3t；2dt2 t2dx2 t3dx4t（2）因为dxe tcos te tsin t ，dye t sin t e t cos t ，dtdt所以dye t sin te t cos tsin t cos t ，于是dxt cos t tsin tcos tsin te ed 2 yd sin tcos tdt cos tsin 2sin t2 1tcos t2dtcos tsin tdxcos tsin 2tcos ttsin tdxte e2；e tcos tsin t 311dx2tdy1dy12t1，1t（3）因为 dtt 2dt1t 2 ，所以dx2 t2 ，1 t 221221于是 d yt；22 t4 tdx1 t 2（4）因为dxf( t ) ，dyf ( t ) tf ( t )f (t ) tf (t )，所以dyt ，dtdtdx于是 d 2 y1．2f (t )dx10．将水注入深 8 米、上顶直径 8 米的正圆锥形容器中，注水速率为4 吨/分钟．当水深为 5 米时，其表面上升的速率为多少？解 如图所示，设在 t 时刻容器中水面的高度为h t（米），此时水面的半径为 rt（米），则依题意应有1 r 2t h t4 t ，而h tr t ， 384所以 1h 3 t4t ，两边同时对时间 t 求导，12可得1h2t dh4 ，当 h t5 时，可求得dh16 ， 4dt dt2516 所以当水深为 5 米时，其表面上升的速率为m m in ．2511．汽车 A 以 50 公里 / 小时的速度向西行驶，汽车 B 以 6 0 公里 / 小时的速度向北行驶，两辆车都朝着两条路的交叉口行驶． 当汽车 A 距离交叉路口 0.3 公里，汽车 B 距离交叉路口 0.4 公里时，两辆车以什么速率接近？解 如图所示，设在 t 时刻，汽车 A 距离交叉路口x t ，汽车 B 距离交叉路口 y t ，则两车之间的直线距离为 st x 2y 2t t ，两边同时对时间 t 求导，可得x tdxy dytdxdydsdtdt60 ，，依题意可知 50 ，dt2y 2dtdtx t t故当 x t0.3 ， y t0.4 时，ds 0.350 0.4 6078 ，即当汽车 A 距离交叉dt0.32 20.4路口 0.3 公里，汽车 B 距离交叉路口 0.4 公里时，两辆车以78 km / h 的速率接近．12．一个路灯安装在 1 5 英尺高的柱子上， 一个身高为6 英尺的人从柱子下以5 英尺/秒的速度沿直线走离柱子，当他距离柱子4 0 英尺时，他身影的顶端以多快的速率移动？解 如图所示，设在 t 时刻，此人离灯柱的水平距离为x t，身影的顶端离灯柱的水平距离为y t，则依题意有：dx，6y tx t5，515，可见y tx tdt y t3两边同时对时间 t 求导，得dy5dx25 ，dt3dt3所以他身影的顶端以25 feet / s 的速率移动，与他离灯柱的水平3距离无关，只与他的前进速度、身高、灯柱高有关．习题2-51．函数y x2，求当 x 1 ，而 x0.1 ， 0.01 时，y 与 d y 之差是多少？解当 x 1 ， x0.1 时，y20.21， d y 2 x x0.2 ，1.11所以y dy0.01；当x 1 ，x0.01时， y 1.01 210.0201， d y 2 x x0.02 ，所以y dy0.0001；2．求函数y x2x 在 x 3 处， x等于 0.1 ， 0.01时的增量与微分．解因为 y x 2x ，所以dy 2 x1x ，当 x 3 ， x0.1 时，2 3.1230.71， dy0.7；y 3.13当 x 3 ， x0.01 时，y 3.012 3.0120.0701， dy0.07 ．333．函数y x 3x ，求自变量x由 2变到 1.99时在 x 2 处的微分．解因为y3x ，所以 dy21x ，x 3 x当 x2， x0.01 时， dy3210.010.11 ．24．求下列函数的微分（1）（3）（5）y x 2 x 2 1 x3x 4；（ 2）3yx；（ 4）1 x2y3ln cos x；（ 6）y xe x2；y tan 2 (1x 2 ) ；y e ax sin bx ．23解（1）dy 1 4 x x 4 x dx ；x 2x 22x 2x 2x 2 2；（ 2） dy e dx xe dxe dx xe2 x dx e1 2 x dx22221 x dx xd 1 x1 x dx x2 x dx（ 3） dy1 xdx ；2221 2121 2xxx（ 4） dy2 tan(12) d tan(1 x22 tan(1x 222) d (12x )) sec (1x x )4 x tan(12) sec 22；x (1 x ) dx（ 5） dy 3 ln cos x ln 3dln cos x3 ln cos x ln 31 d cos xcos xln cos x3ln 3 tan xdx ；（ 6） dyaxax sin bxaxcos bx d bxaxa sin bxb cos bxdx ．e d e e5．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：（1） d( ) sintd t ；（ 2） d()（3） d ( )x；（ 4） d ( )d x1 x2（5） d ( ) x 2（ 6） d ()xe d x ；23 xd x ；secd x；x 2a 2ln xd x .x解（1）1 cost；（ ）1tan 3 x ；（ ） 1x 2；233（4） 1arctanx ；（5） 1e x ；（6） 1l n 2 x ．2aa 226．某扩音器的插头为圆柱形，其截面半径r 为 0.15 厘米，长度 L 为 4 厘米，为了提高它的导电性能，要在圆柱的侧面镀一层厚度为 0.001 厘米的铜，问每个插头约需要多少克纯铜？（铜的密度为8.9 克/ 立方厘米，3.1416 ）解因为圆柱形的扩音器插头的体积为Vr2L ，侧面镀层的体积约为VdV2 rLr ，当 r 0.15 ， r 0.001L4时， V32 3.1416 0.15 4 0.0013.7699210 ，，故所需铜的重量约为 m3.769921030.03355克．8.97．设有一凸透镜，镜面是半径为R 的球面，镜面的口径为 2h ，若 h 比 R 小h 2 得多，试证明透镜的厚度 D．2 R解如下图所示，镜面半径 R 、镜面口径 2h 、透镜厚度 D 之间有关系：h 222，化简得： h22RDD20 ，R DR2R4R 2 4 h 2h 得： DR R 12R2 2，若 h 比 R 小得多，则1 h 21h 2，22 R 2R222故DRR1hR R 1h h ．R 22 R 22 R8．利用微分求下列函数值的近似值（1）；（2）；（3）； （ 4） e 1.01 ；（ ）26 ；（ ） 3 ．996cos 59tan 46lg 1156解 （1） cos 59coscoscossin6013 18033180130.5151 ；2 2180（ 2） tan 46 tan 0tantan245141804sec18041 21801.0349；（ 3） lg 11 lg 10 1lg 10111.0434；10 ln 10（ 4） e1.01e1 0.01ee 0.01 2.7455；（ 5） 2625 1251 15.1 ；22512（6） 3 996310004310001000349.9867 ．39．当 | x | 较小时，证明下列近似公式：（ 1） sin x x ； （2） (1x )1x ； （ 3） ln(1 x ) x ．解 （1）设 fx sin x ，则 fxcos x ，当 | x | 较小时， fxsin xsin 0 cos 0 xx ，所以 sin x x ；（ 2）设 f x(1 x) ，则 fx1(1 x )当 | x | 较小时， f x(1 x ) f 1f 1 x1x ，所以 (1x )1x ；（3）设 f x ln(1 x) ，则 fx1，1x当 | x | 较小时， f xln(1 x ) f 1 f 1 x x ，所以 ln(1x )x ．习题2-61. 一飞机在离地面 2000 米的高度，以 200 公里 / 小时的速度飞临某目标之上空，以便进行航空摄影．试求飞机飞至该目标上方时摄影机转动的速度．解 如右图示意，A 为摄影目标，B 为其正上方的点，设 t 时刻飞机离 B 点的水平距离为 x t ，摄影机镜头 C 与 A 点连线与飞机的水平飞行方向成夹角，则co tx t ， xtx200000t ，两边同时对时间20003600t 求 导 ， 可 得 csc 2d1 dx t1， 即dt 2000 dt36d 1，当飞机飞至该目标上方时，，dtsin2362代入解得：d1 360 5rad / s ．dt36 22. 一架飞机着陆的路径如图 2-11 所示，并且满足下列条件：（ⅰ）降落点为原点， 飞机开始降落时水平距离为 l ，飞行高度为h ．（ⅱ）在整个降落过程中， 飞行员必须使飞机保持恒定的水平速度 v ．（ⅲ）垂直方向的加速度的绝对值不能超过常数 k （必须比重力加速度小很多） ．3图 2-11（ 1） 求一个三次多项式 P x2ax bxcx d ，通过在开始降落和着陆的点对P x 和 P x施加一定的条件限制，使它满足条件。
分段函数在分界点处的极限、连续性与可导性的例子
即
贝
ｄ
导性。
解 函数 （ 在点 ＝ 处及其附近有定义。 ｆ ） ｘ １ ｘ
“
ｘ 可导 ｏ
Ｊ
ｍ 又 ｌ ｆ ） ｌ 犷 ＝１ ｉ （ 二ｉ ｍ ｘ
｝ ｌ
ｓ ｉ ｌ － ． １ ｍ
ｆ ＝ （ｘ ） （） ｌ ２ 一１ 二１ ｘ ｉ ｍ
柳 ．０ ２ １ ０
Ａ一Ｂ Ｂ一Ａ
卜Ｉ 一 或ｘ 引＝ ， ｘ ３ ＞ ＜ － Ｂ
｛１ ＜ ＜ １ ． ｘ 一１ ｘ ４ ＝ Ａ
合ａａ除 中与证卜再 故 ， 口求 （ ． 书例推夕可用 事高 答 项 ， ＋ ） ， ， 斯
１ ２ ３ －＋ ０ 的和说明， ＋ 十 ＋二 １ ０ 及用梯形面积公式记忆。解应
ｘ 一１ ，
的可导性时， 需讨论： ） （ 、点处是否连续； ） １ （ｌ ２ｉ ｍ
ｆ ） Ａ． （ 一 ｘ） ｘ
Ｘ一 ｘ ０ Ｘ７ １１ ０ ．
第 巧卷第 ９ 期
２０ 年 ９月 ０１
成都教育学院学报
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｃ Ｅ Ｇ Ｕ Ｌ Ｅ Ｅ Ｅ Ｕ Ａ ＩＮ Ｏ Ｒ Ａ Ｏ Ｈ Ｎ Ｄ Ｃ Ｌ Ｇ Ｏ Ｄ Ｃ ＴＯ Ｆ Ｏ Ｆ
Ｗ 巧－ Ｎ９ ｏ ｅ － ＳＰ２ 田１
文 章编号： ０ 一 １ （ ０）９ ０７ 一 ２ ： ８ ９４ ２ １ 一 ０１ ０ １ ０ ４０ ０
性。
＇Ｉ ｆ ） ｉ ｆ ） ：－ｍ（ ； （ ｏ （ ． ａｆ ） ｎ ｌ ｘ ， ｌ ｘ不存在。 ｘ ｍ ｉ ．；
．刃 ，一 １。 冲 十
！
Ｘ
，０ 点 ＝处 连 ｘ 在 ｘ０ 的 续 ６ ９ 讨 数ｘ｛ 论ｆ ｓ 函（ Ｉ ）Ｘ ＝ｍ ｃ
｀ ０ ， 二０ ｘ
47不可导函数举例
f ( x) f (0)
x2 0
lim
lim
x0
x
x x0
0
f(0) ,
lim
x0
f (x) f (0)
x0
lim
x
x x0
1 f(0) ,
即 f(0) f(0),
f (x) 在 x 0 点不可导.
2020/4/1
7
例2 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解
f
5
连续函数不存在导数举例
1. 函数 f ( x)连续 ,但 f( x0 ) f( x0 ) .
例1
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
在 x 0处不可导. 解
lim f (x) lim f (x) 0
x0
x0
y
y x2
yx
0
x
f ( x)在x 0处连续.
2020/4/1
6
lim
x
x0
x
n1
lim xn1 sin 1
x0
x
存在
此时 f (0) 0
③ 当x 0时 f ( x) nx n1 sin 1 xn2 cos 1
x
x
f (0) 0
要使 f ( x)连续 只须f ( x)在x 0处连续
即只须lim f ( x) f (0) 0
x0
lim[nx n1 sin 1 xn2 cos 1 ] 0 n 2
lim
x x0
f (x) x
f ( x0 ) x0
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) ;
2) 右导数 (right – hand derivative)
导数和微分的定义
则 f ( x) 在点 x0 可导, 且 f '( x0 ) a.
例6. 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 x) f (0) x ,
x
x
lim f (0 x) f (0) lim x 1,
x0
x
h0 x
lim
f (0 x) f (0)
lim
x
1.
在 M 点处旳切线
割线 M N 旳极限位置 M T
(当
时)
切线 MT 旳斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 旳斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o t0
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2 , 当 x 在 x0 取
得增量x 时, 面积旳增量为
x x0x (x)2
有关△x 旳 x 0 时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
x0x
故
称为函数在 x0 旳微分
定义: 若函数
在点 x0 旳增量可表达为 Ax o(x)
( A 为不依赖于△x 旳常数)
3. 导数旳几何意义: 切线旳斜率;
4. 可导必连续, 但连续不一定可导;
5. 已学求导公式 :
(C) 0;
(ln x) 1
(cos x) sin x ;
x
不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义;
看左右导数是否存在且相等.
导数与微分习题及答案
第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。
C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。
高等数学(上)复习题
高等数学（上）复习题第一章 函数与极限一、单项选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5)B. (1，5)C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（ ）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.函数45)(2+-=x x x f 的定义域为 （ ）A. (]1,∞-B. [)+∞,4C. (][)+∞⋃∞-,41,D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.函数y=x 1-+arccos21x +的定义域是( ) A. x<1 B.-3≤x ≤1C. (-3，1)D.{x|x<1}∩{x|-3≤x ≤1}5.函数y=2x xln -的定义域是（ ）A. (-∞，0)B. (2，+∞)C. (0，2)D. (-∞，0) ∪ (2，+∞)6.下列函数中为奇函数的是（ ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-7.函数f(x)=1+xsin2x 是（ ） A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数8.函数y=2a a xx -+(a>0,a ≠1)是（ ）Ａ.奇函数 B.非奇非偶函数 C.偶函数 D.奇偶性取决于a 的取值9.当x →0时，下列无穷小量与x 为等价无穷小的是（ ）A. sin 2xB. ln(1+2x)C. xsin x 1D.x 1x 1--+10.当0x →时，2x+x 2sinx1是x 的（ ） A.等价无穷小 B.同阶但不等价的无穷小 C.高阶无穷小 D.低阶无穷小11.设函数)(x f y =在0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=∆，则当0→h 时，必有 A.dy 是h 的等价无穷小； B.dy 是h 的高阶无穷小；C.dy y -∆是比h 高阶的无穷小；D.)(x f dy y -∆是h 的同阶无穷小；12.设2)(,1)(2x x g ex f x =-=-，则当0→x 时（ ）Ａ.)(x f 是)(x g 的高阶无穷小 Ｂ.)(x f 是)(x g 的低阶无穷小Ｃ.)(x f 是)(x g 的等价无穷小 Ｄ.)(x f 与)(x g 是同阶但非等价无穷小 13.下列极限正确的是( )A.11sinlim =∞→x x x B.11sin lim 0=→x x x ；C.1sin lim=∞→x x x ； D.12sin lim 0=→xxx ； 14.=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→2xx x 11lim （ ） A.e 2B.21eC.e -2D.21e-15.nn 211(lim +∞→）＝（ ） Ａ. 0 B. 1 C.不存在 D. 2 16.=+∞→xx x)21(lim （ ） A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 17.xx x 21sin3lim ⋅∞→=( ) A.∞ B. 0 C. 23 D.32 18.=→2xtan3xlimx （ ） A.∞B.23C.0D.119.=-ππ→xxsin lim x ( ).A.1B.∞C.-1D.-∞20.=-+-→xx x x x 32112lim （ ） A.21B. 0C. 1D. ∞21.limsin2xxx →∞等于( )A. 0B. 1C.12D. 223.xmxx sin lim0→ (m 为常数) 等于 ( )A.0B. 1C.m1D. m 24. hx )h x (lim 320h -+→ =( )。
考研数学三(一元函数微分学)模拟试卷26(题后含答案及解析)
考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷26(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(x)在|x|＜δ内有定义且|f(x)|≤x2，则f(x)在x=0处( )．A．不连续B．连续但不可微C．可微且f(0)=0D．可微但f’(0)≠0正确答案：C解析：知识模块：一元函数微分学2．设y=y(x)由x一∫1x+ye一t2dt=0确定，则y”(0)等于( )．A．2e2B．2e一2C．e2一1D．e2一1正确答案：A解析：(A)2e2(B)2e一2(C)e2一1(D)e一2一1当x=0时，由=0得y=1，应选(A)．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)=则在点x=0处f(x)( )．A．不连续B．连续但不可导C．可导但导数不连续D．导数连续正确答案：D解析：因为=f(0)=0，所以f(x)在x=0处连续；由=0，得f(x)在x=0处可导，且f’(0)=0；当x＞0时，f’(x)=3x2sin当x＜0时，f’(x)=2x，因为=f’(0)，所以f(x)在x=0处导数连续，选(D)．知识模块：一元函数微分学4．设f(x)在x=0的邻域内有定义，且f(0)=0，则f(x)在x=0处可导的充分必要条件是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：设f(x)==0，而f(x)在x=0处不可导，(A)不对；即存在只能保证f(x)在x=0处右可导，故(B)不对；因为于是存在不能保证f(x)在x=0处可导，故(D)不对；，选(C)．知识模块：一元函数微分学5．设f(x)=|x3—1|g(x)，其中g(x)连续，则g(1)=0是f(x)在x=1处可导的( )．A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．非充分非必要条件正确答案：C解析：设g(1)=0，f’(1)=(x2+x+1)g(x)=0，f’+(1)=(x2+x+1)g(x)=0，因为f’一(1)=f’+(1)=0，所以f(x)在x=1处可导．设f(x)在x=1处可导，f’一(1)=．(x2+x+1)g(x)=一3g(1)，f’+(1)=(x2+x+1)g(x)=3g(1)，因为f’一(1)=f’+(1)=0，所以g(1)=0，故g(1)=0为f(x)在x=1处可导，应选(C)．知识模块：一元函数微分学6．设f(x)在x=0的某邻域内连续，若=2，则f(x)在x=0处( )．A．不可导B．可导但f’(0)≠0C．取极大值D．取极小值正确答案：D解析：由=2得f(0)=0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，＞0，从而f(x)＞0=f(0)，由极值的定义得f(0)为极小值，应选(D)．知识模块：一元函数微分学填空题7．xy一yx，则y’=________．正确答案：解析：由xy一yx，得ylnx=xlny，两边求导数得y’lnx+解得y’= 知识模块：一元函数微分学8．设f(x)为偶函数，且f’(一1)=2，则=________．正确答案：一8．解析：因为f(x)为偶函数，所以f’(x)为奇函数，于是f’(1)=一2，知识模块：一元函数微分学9．设f(x)在x=2处可导，且=2，则f(2)=________，f’(2)=________。
导数的概念2可导与连续的关系
2.导数与导函数的区别与联系
区别：
f (x0 ) 是一常数。
f x 是一函数。
联系：函数 f (x) 在点 x0 处的导数 f (x0 ) 就是导函数 f x 在 x x0 处的值， 即
义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改
变量Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的
极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或
变化率)记f (作x0 )或y |x x0 ,
即:
f ( x0 )
y lim x0 x x
f
(x0 )
(不可导)，
也称f (x)在 x0 的导数 为无穷大.
2）导数定义还有其他等价形式,
f
( x0
)
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) ;
若记x=x0+x, 当x0时, x x0,
f
( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) ; x x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) .
1） 若 lim f (x0 x) f (x0 ) 存在，则称
x0
x
f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在).
否则，称f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0
的导数不存在). 特别
若 lim x0
第五章导数和微分
h0
h
lim
h0
cos( x
h) 2
sin h 2
h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
例3 求函数 y x n (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、导数旳几何意义与物理意义
1.几何意义
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率 , 即
f ( x0 ) tan , (为倾角)o
y f (x)
如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
《微积分》复习大纲1
《微积分》复习大纲第二章、极限与连续第一节、数列的极限教学目的和要求：1、通过割圆术和截杖问题的计算实例引入数列极限的概念，从中领会极限的基本思想。
2、使学生了解的极限定义和性质，并通过例题学会如何处理和解决相应的数学问题。
重点：数列极限的概念教学过程：一、问题的提出1、刘徽的割圆术2、截杖问题二、数列极限的定义注：1、数列是否有极限，与其前面的有限项无关•而与从某项以后的变化情况有关，因此改变一个数列的有限项的值或去掉或添加有限项，均不改变{ X n} 的收敛与发散性；2、在证明数列有极限时，不一定要找到最小的正整数N,只要证明其存在即可.显然，如果证明了存在符合要求的正整数N,那么这种就有无穷多个.3、数列极限的定义未给出求极限的方法.第二节、函数的极限教学目的和要求：1、理解函数极限的概念，了解；-X ,；定义。
2、使学生了解的函数极限性质重点：函数极限的概念教学过程：一、函数极限的定义1、自变量趋于无穷大时函数的极限注：讨论当自变量X的绝对值|X无限增大（X r ,X r 一，X））时，函数f （X）无限趋近于一个常数A的情形.2、自变量趋于有限值时函数的极限注：研究自变量x无限趋近于一个常数x o,(x— x0,x_. x0,x_. \7),函数f (x) 无限趋近于一个常数A的情形.三、例题分析例1证明lim叱=0.x注：1本题考察用定义验证函数极限的一般过程2、若|im f x =c，则直线y = c是函数y= f x的图形的水平渐近线。
例2:证明lim c =c ( c为常数).X—注：常数在任一点的极限是常数。
例3:证明lim x = x0.X—sxo例4:证明lim匸1 =2.一x—1注：函数在某一点是否有极限，与该点是否有定义无关。
\+1, x c0例5:设f (x)=彳0, x =0证验当X T0时，f (x )的极限不存在.x2 -1, x 0注：函数f X当x > X。
导数的定义学习
h0
h
三、证明：若 f ( x)为偶函数且 f (0) 存在，则 f (0) 0 .
四、
设函数
f
(x)
x k
sin
1 x
,
x
0问
k
满足什么条
0 , x 0
件， f (x)在x 0 处 (1)连续； （2）可导；
（3）导数连续.
五、
设函数
f
(x)
x2
,
x
1
,为了使函数
ax b , x 1
解
f (x)
x
x
x
x0 ,
x 0
y y x
lim f (x) f (0) lim x 1,
x0
x
x x0
o
x
lim f (x) f (0) lim x 1.
x0
x
x x0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
例3 设f (x)存在,求 lim f (x ax) f (x bx)
B 沿曲线C A, x x0 ,
x x0
x x0
切线AD的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
引例2 物体移动路程s f(t),求在t t0时的运动速度.
t : t0 t0 t
s f (t0 t) f (t0 )
s t
f
(t0
(2)当k 1时, f ( x)在x 0 处可导,且 f (0) 0 ；
(3)当k 2 及 x 0 时, f ( x) 在x 0 处连续.
五、a 2, b 1.
六、
f
(
x)
考研数学一高等数学模拟试卷288_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（高等数学）模拟试卷288(总分50, 做题时间90分钟)2. 填空题1.若f(x)的导函数是sinx，则f(x)的原函数是___________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：一sinx+C1 x+C2解析：f(x)的导函数是sinx，那么f(x)应具有形式一cosx+C1，所以f(x)的原函数应为一sinx+C1 x+C2，其中C1，C2为任意常数．2.设f(x)在[0，1]连续，f(｜cosx｜)dx=__________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：由于f(｜cosx｜)在(一∞，+∞)连续，以π为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得I=2∫π f(｜cosx｜)dx= (｜cosx｜)dx=4A．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1.设y=y(x)由方程组SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：由方程组的第一个方程式对t求导得x't=6t+2=2(3t+1)．将第二个方程对t求导并注意y=y(t)得y't e y sint+e y cost—y't=0．整理并由方程式化简得y't = ． (**) 注意：由(*)式得y｜t=0=1，由(**)式得｜t=0=e．在上式中令t=0得解析：这里y与x的函数关系由参数方程x=x(t)，y=y(t)给出，且．其中x=x(t)是显式表示，易直接计算x't，而y=y(t)由y与t的方程式确定，由隐函数求导法求出y't．2.设y=In(3+7x一6x 2 )，求y (n)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：先分解 y=ln(3—2x)(1+3x)=ln(3—2x)+ln(1+3x) → y (n)=[ln(3—2x)] (n) +[ln(1+3x)] (n)．然后利用[ln(ax+b)] (n)的公式得解析：利用对数函数性质将函数y分解为形如ln(ax+b)的对数函数之和，再用[ln(ax+b)] (n)的公式即可得结果．3.讨论函数f(x)=在x=0处的连续性与可导性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：按定义因此，f'+ (0)=f'—(0)=0．因此f(x)在x=0可导，因而也必连续．解析：我们可先讨论f(x)在x=0处的可导性．因为当f(x)在x=0可导或f'+ (0)，f'—(0)均存在但不等时，均可得f(x)在x=0连续．由f(x)分段定义的具体形式，我们分别按定义求出f'+ (0)，f'—(0)来讨论f'(0)是否存在．4.设f(x)在(一∞，+∞)有一阶连续导数，且f(0)=0，f"(0)存在．若求F'(x)，并证明F'(x)在(一∞，+∞)连续．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：首先求F'(x)．当x≠0时，由求导法则易求F'(x)，而F'(0)需按定义计算．然后讨论F'(x)的连续性，当x≠0时由连续性的运算法则得到F'(x)连续，当x=0时可按定义证明型极限问题，可用洛必达法则．即F'(x)在x=0也连续．因此，F'(x)在(一∞，+∞)连续．5.给定曲线y=x 2 +5x+4，(Ⅰ)确定b的值，使直线y=一x+b为曲线的法线；(Ⅱ)求过点(0，3)的切线．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)曲线过任意点(x0，y)(y=x2 +5x+4)不垂直于x轴的法线方程是 y=一(x一x0 )+y。
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x→0 x
x→0 x − 0
5. 若 x ∈ (−δ , δ ) 时, 恒有 f (x) ≤ x2 , 问 f (x) 是否在点
x = 0 处可导? 解 由题设 f (0) = 0
0≤
f (x) − f (0)− f (0) = 0 x→0 x − 0
解 f ′(x) = lim f (x + h) − f (x)= lim loga (x + h) − loga x
h→0
h
h→0
h
=
lim
h→0
1 h
⋅
log
a
x+h x
=
lim
h→0
1 h
⋅log
a
(1
+
h) x
ln(1+ h)
= lim
x = lim
h x
=
1
h→0 h ln a h→0 h ln a x ln a
lim f (0 + h) − f (0) = lim 3 h − 0
h→ 0
h
h→0 h
=
lim
h→ 0
1
2
= +∞ , 但导数为无穷大（不存 在），
h3
因此函数 y = 3 x在点 x = 0处不可导。不过从图形 (2.4)中可以看出， 曲线 y = 3 x在原点 O处具有 垂 直于 x轴的切线 x = 0.
.
3. 设 f ′(x0 )存在, 则极限 = _f_′_(_x0_)_ .
lim f (x0 + h) − f (x0 − h)
h→0
2h
解
原是令式否t =可=x按0hli→−m下0h[述,则f 方(x0法+作h2)h:− f (x0)
+ f (xx00)−−hf)(−x0f−(xh0)) ]
2(2−hh)
x→0+
x→0+
由于函数 f ( x )在点 x = 0处的左、右极限都存在
但不相等，因此函数 f ( x )在点 x = 0处不连续，
从而在点 x = 0处不可导。
当 x < 0时， f (x ) = x，从而 f ′(x ) = (x )′ = 1，
( ) 当 x > 0时， f (x ) = e x，从而 f ′(x ) = e x ′ = e x .
得
x = ±1 ,
对应 y = ±1 ,
故在点(1,1) , (–1,–1) 处的切线与直线
1
y
=
1 3
x
−
1平行.
其方程分别为
y
−
1
=
1 3
(
x
−
1),
y
+
1
=
1 3
(
x
+
1)
即
x −3y ± 2 = 0
−1 1
−1
.
1. 函数 f (x)在某点 x0 处的导数 f ′(x0 ) 与导函数 f ′(x)
综上所述，可知函数 f (x )的导数为
⎧1, x < 0
f (x ) = ⎪⎨不存在 , x = 0
⎪ ⎩
e
x,
x
>
0
2x
= 1 lim f (1+ (−x)) − f (1)
2 x→0
(−x)
= 1 f ′(1) = −1 2
所以 f ′(1) = −2.
. 设 f (x) 在 x = 0 处连续, 且 lim f (x) 存在，证明:
x→0 x f (x) 在 x = 0 处可导.
证：因为 lim f (x) 存 x→0 x 在，
即 f+′(0) ≠ f−′(0),
∴函数y = f ( x)在x = 0点不可导.
y y= x
o
x
.
讨论函数
f
(
x)
=
⎪⎧ ⎨
x
sin
1 x
,
x ≠ 0,
⎪⎩ 0, x = 0
在x = 0处的连续性与可导性 .
解
Q sin
1 x
是有界函数
,
∴ lim x sin 1 = 0
x→0
x
Q f (0) = lim f ( x) = 0 ∴ f ( x)在x = 0处连续.
即
(loga
x)′
=
1 x ln a
. 问曲线 y = 3 x上哪一点有铅直切线 ? 哪一点处
的切线与直线
y
=
1 3
x
−1
平行
?
写出其切线方程.
解
Q
y′
=
(3
x )′
=
1
x
−
2 3
3
=
1 33
1 x2
,
∴ y′ x=0 = ∞ ,
故在原点 (0 , 0) 有铅直切线 x = 0
令
11 33 x2
=1, 3
有什么区别与联系 ?
区别: 联系:
f ′(x) 是函数 , f ′(x0 ) 是数值; f ′(x) x= x0 = f ′(x0 )
？ 注意: f ′(x0 ) = [ f (x0 ) ]′
设. f ′(x0 ) 存在 , 则
lim
h→0
f
( x0
−
h) h
−
f
(x0 )
=
_−__f_′_( x_0_)_
x→a
= n an−1
. 求函数 f (x) = sin x 的导数.
解: 令 h = ∆x , 则
f ′(x) = lim f (x + h) − f (x) = lim sin(x + h) − sin x
h→0
h
h→0
h
= lim 2 cos(x + h) sin h
h→0
22
h
=
lim
cos(x
x→0
但在x = 0处有
∆y
(0 + ∆x)sin 1 − 0
=
0 + ∆x = sin
1
∆x
∆x
∆x
∆x
→
0时,
∆y ∆x
=
sin
1 ∆x
在-1和1之间振荡而极限不存在
∴ f ( x)在x = 0处不可导.
. 求函数 f (x) = C (C 为常数) 的导数.
解 y′ = lim f (x + ∆x) − f (x) = lim C − C = 0
例6 求幂函数 f ( x ) = xµ (µ 为任意实数 )的导数。
解
f ′(x)
=
lim
f
(
.
x+
h
)
−
f (x)
h→ 0
= lim ( x + h)µ − xµ
=
h lim
xµ
⎜⎛ 1 + ⎝
h x
⎟⎞µ ⎠
−1 .
h→ 0
h
h→ 0
h
由于当
h
→
0时，
⎜⎛ ⎝
1
+
h ⎟⎞µ x⎠
−
1
~µ
h, x
× × 原式
==
hl12i→mf0
f ′(
(t x0
+ )
+22h12h)
− f (t) f ′(x0 )
==
hlfi→′m(0x0f )′(t )
=
f
′(x0 )
.已知
f
(0)
=
0,
f
′(0)
=
k0
,
则
lim
x→0
f
(x) x
=
_k_0__ .
提示: lim f (x) = lim f (x) − 0 = f '(0) .
故有lim f (x) = lim
x→0
x→0
f (x) ⋅ x = 0 x
又
f
(x)在
x
=
0
处连续,
即
f
(0)
=
lim
x→0
f
(x)
=
0,
所以
lim f (x) = lim f (x) − f (0) = f ′(0)
x→0 x
x→0
x
即
f (x) 在 x = 0 处可导.
.
设
f
(x)
=
⎩⎨⎧asinx
cos x , x < 0 f ′(x) =
1, x ≥ 0
. 例2 讨论函数 y = 3 x在整个定义域上的连续 性 及在点 x = 0处的可导性。
解 因为y = 3 x是初等函数，且在(− ∞，+ ∞)上处
处有定义，因此该函数在整个定义 域上连续，
当然也在点x = 0处连续。但函数在点x = 0处有
故 f (x) 在点 x = 0
处可导, 且
f ′(0) = 0
.
1. 设 f ′(x) 存在, 且 lim f (1) − f (1− x) = −1, 求 f ′(1).
x→0
2x
解: 因为
lim f (1) − f (1− x) = − lim f (1− x) − f (1)
x→0
2x
x→0
h→0
h
h→0
h
= a x lim ah −1 h→0 h
由于当h→0时, ah −1 = ehlna −1