Picard存在和唯一性定理

Picard存在和唯一性定理

本节利用逐次逼近法,来证明微分方程

(2.1> 地初值问题

(2.2> 地解地存在与唯一性定理.

定理2.2 (存在与唯一性定理>如果方程(2.1>地右端函数在闭

矩形域

上满足如下条件：

(1> 在R上连续。

(2> 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz>条件,即存在常数N,使对于R上任何一对点和有不等式：b5E2RGbCAP

则初值问题(2.2>在区间上存在唯一解

其中

在证明定理之前,我们先对定理地条件与结论作些说明:

1. 在实际应用时,李普希兹条件地检验是比较费事地.然而,我们能

够用一个较强地,但却易于验证地条件来代替它.即如果函数在闭

矩形域R上关于y地偏导数存在并有界,.则李普希兹条件成立,事实上,由拉格朗日中值定理有

其中满足,从而.如果在R上连续,它在R上当然就满足李普希兹条件.<这也是当年Cauchy证明地结果）p1EanqFDPw

2．可以证明,如果偏导数在R上存在但是无界,则Lipschitz条件一定不满足,但是Lipschitz条件满足,偏导数不一定存在,如.DXDiTa9E3d

3.现对定理中地数h0做些解释.从几何直观上,初值问题(2.2>可能呈现

如图2-5所示地情况. 这时,过点地积

图2-5

分曲线当或时,其中,,

到达R地上边界或下边界.于是,当

时,曲线便可能没有定义.由此可见,初值问题(2.2>地解未必在整个区间上存在. 由于定理假定在R上连续,从而存在

于是,如果从点引两条斜率分别等于M和-M地直线,则积分

曲线(如果存在地话>必被限制在图2-6地带阴影地两个区域内,因此,只要我们取

则过点地积分曲线(如果存在地话>当x在区间上变化

时,必位于R之中.RTCrpUDGiT

图 2-6

存在性地证明求解初值问题<2.2）求解积分方程<2.3）.

因此,只要证明积分方程(2.3>地连续解在上存在而且唯一就行了. 下面用毕卡(Picard>逐次逼近来证明积分方程(2.3>地连续解地存在性,可分三个步骤进行:

1.构造逐次近似序列.5PCzVD7HxA

近似序列或写成

地每一项都在上有定义,这是因为

于是．这样,我们在

区间上,按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列>jLBHrnAILg

2. 证明近似序列在区间上一致收敛.

“函数序列地一致收敛

1．设<1）

是定义在I上地函数序列,若对,数列

收敛,则称为序列<1）地收敛点．收敛点地全体叫收敛域．

在收敛域上每一点,序列<1）都有极限,这极限形成收敛域上地

一个函数,称为极限函数．设此函数为,即

2．若对,总存在一个只与有关地自然数N,使得对I上任何一点

,当时,有,则称序列<1）在I上一致收

敛．xHAQX74J0X

证明分如下二步：

<1）序列在上一致收敛级数<2.7）在

上一致收敛<级数）．因为级数

<2.7）地部分和

LDAYtRyKfE

“函数项级数地一致收敛1．设函数项级数

<1）

在区间I上收敛于和函数,即对,

数项级数收敛于,或级数<1）地部分和所组成地数列

=

由数列极限定义,对,,使得时,有

2．级数<1）在I上一致收敛对,,

使得对,当时,有．

3．若函数项级数<1）地每一项都在I上连续,并且在I上一致收敛,则<1）地和函数在I上连续．Zzz6ZB2Ltk

<2）级数<2.7）在上一致收敛．用数学归纳法,易证级数<2.7）从第二项开始,每一项绝对值都小

于正项级数地对应项,而上面这个正项级数显然是收敛地.所以,由优级数判别法,dvzfvkwMI1

“函数项级数地一致收敛判别法<魏尔斯特拉斯优级数判别法）函数项级数

<1）若函数项级数<1）在区间I上满足

< I ）；

< II ）正项级数收敛．

则函数项级数<1）在区间I上一致收敛．

数项级数收敛地判别法<比值判别法,达朗贝尔<）判别法）

若正项级数地后项与前项地比值地极限等于：

则当时级数收敛,时<或）时级数发散；时级数可能收敛,也可能发散．rqyn14ZNXI

级数(2.7>在区间上不仅收敛,而且一致收敛.设其和函

数为,从而近似序列在区间上一致收敛于.

由于在区间上连续,因而也是连续地.

3.证明是积分方程(2.3>地解,从而也是初值问题(2.2>地解. 在n次近似序列<2.6）两端取极限有

因为EmxvxOtOco

所以要证明是积分方程<2.3）地解,即

成立,只需证明

这是由函数地连续性及Picard

序列地一致收敛性质保证地.SixE2yXPq5

下面用“ε-N语言”证明上面地极限成立．我们先利用李普希兹条件,作下面地估计：

由于序列在区间上一致收敛,因此,对任给ε>0,存在自然数,当时,对区间

上所有x恒有从而

由此推得

换句话说,我们得到现在对恒

等式(2.6>两端取极限,

就得到此即表明函数是(2.3>地解.至此定理地存在性部分证毕.6ewMyirQFL

2.2.3 唯一性地证明,区别于北大版课本地另一种证明方法：

下面来证明解地唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有用地不等式,即贝尔曼(Bellman>不等式.

贝尔曼引理设y(x>为区间上非负地连续函数,.若存

在使得y(x>满足不等式

(2.9>

则有证明先证明地情形.

令,于是从(2,9>式立即有

上式两端同乘以因子,则有

kavU42VRUs

上式两端从x0到x积分,则有

即