4.8定积分在工程中的应用

则面积微元 dA bdy
Ix
y2dA
A
h
2 h
2
by 2dy
bh3 12
类似可求得
Iy
hb3 12
4.8.3 分布荷载的力矩
1.分布荷载定义
作用于结构的外力在工程上统称为荷载。 当荷载的作用范围相对于研究对象很小时 ，可近似地看作一个点。作用于一点的力 ，称为集中力或集中荷载。当荷载的作用 范围相对于研究对象较大时，就称为分布 力或分布荷载。根据荷载的作用范围不同 ，分布荷载分为“体荷载”、“面荷载”、 “线荷载”。“线荷载”是工程力学中常见 的一种分布荷载.
以及 y 轴所围成的曲边梯形的形心
(xc , yc ) 的积分表达式
xc
Sy A
1 2
b 2 ( y)dy
a d
( y)dy
c
d
yc
Sx A
y( y)dy
c d
( y)dy
c
y
d y dy
y
c
o
图4-8-3
x (y)
x
例1：计算由抛物线
y
h
1
、bx22轴 和x
轴所y
围成的平面图形对 轴和x轴的静y 矩，并
图 4-8-5
dSx
1 2
(1
cx 2 )dA
1 2
(1
cx 2 )(1
cx 2 )dx
1 1 c2x4 dx
2
yc
Sx A
a 1 (1 c2 x4 )dx
a 2
a c2a5 5
a (1 cx2 )dx
a
2
a
c 3
a3
3 10
5 c2a4 3 ca2
所以平面图形的重心为
A
A
O百度文库
yC
Sx A
y dA
A
A
C
x xC
6
静矩和形心坐标之间的关系：
y
xc C
yc
yC
Sx A
xC
Sy A
O
x
Sx yC A , S y xC A
7
由曲线 y f (x) ，直线 x a , x b (a b)
及x 轴所围成的曲边梯形的形心。
（1）取x 为积分变量，
积分区间为 [a,b],
分布荷载在其作用范围内的“某一点”的密
集程度，称为分布荷载集度，通常用 q
0，3 10
5 c2a4 3 ca2
轴和
4.8.2 平面图形的惯性矩
在工程力学中，反映截面抗弯特性的物理 量，简称惯性矩。
• 如图，在平面图形上取一微面积dA,dA
与其坐标平方的乘积y2dA、x2dA分别称
为该微面积dA对x轴和y轴的惯性矩，它
们在整个图形范围内的定积分
y
dA
x
y
Ix y2dA I y x2dA
【引例1】如图，平面图形面积为 A ,
求此平面图形面积分别对 x 轴和 y 轴的静矩。
解决思路：取微面积dA， y
dA的坐标分别为x和y，则
ydA、xdA分别称为微面积
x
dA对于x轴和y轴的静矩。
它们对整个平面图形面积的
定积分
O
dA
y
A
x
Sx
ydA
A
Sy
xdA
A
即为整个平面图形对于x轴和 y轴的静矩。
注意：静矩与坐标轴有关，同一平面图形 对于不同的坐标轴有不同的静矩。可以为 正，也可以为负。
（2）形心
由工程力学知，均质物体的重心位置完全 取决于物体的几何形状，而与物体的重量 无关。这时物体的重心就是物体几何形状 的中心，即形心。
y
在静力学中， 平面图形的
形心坐标： yC
xC
Sy A
x dA
A
A
分别定义为平面图形对
x、y
O
x 轴的惯性矩。
例3 求图4-8-7所示的宽为 b ，高为 h
的矩形对 x 轴和 y轴的惯性矩。
y
解 先求对 x 轴的惯性矩。
y dy
取 y为积分变量，积分区间为
h
dA y
O
h 2
,
h 2
选x为积分变 量可以吗？
在
h 2
,
h 2
任取一小区间[
y,
y
dy],
b
图 4-8-7
xh 1
x2 b2
dx
y
O
x b
图 4-8-4
x2
y
h
1
b2
x dx
1
Sx 2
b h2
0
1
x2 b2
2
dx
4bh 2 15
Sy
xdA
A
b 0
xh 1
x2 b2
dx
b2h 4
面积A
dA
A
b 0
h1
y2 b2
dy
2bh 3
所以形心坐标为
bh2
4bh2
确定图形的形心坐标。
y
y
h
1
x2 b2
x
O 11
。
解（1）取 x为积分变量，积分区间为 [0,b]
在[0,b] 上任取一个小区间 [x, x dx]
对应面积微元
dA
h 1
x2 b2
dx
h
对于x 轴和 y 轴的静矩微元为
dSx
ydA
1 2
h
2
1
x2 b2
2
dx
dS y
xdA
y y f (x)
在[a,b] 上任取一个小区间
dA
[x, x dx], 面积微元为 dA f (x)dx
0 a x x dx b x
图 4-8-2
对于x 轴和 y 轴的静矩微元为
dSx
ydA
1 2
f
(x)dA
1 2
f
2 ( x)dx
dSx
ydA
1 2
f
(x)dA
1 2
f
2 ( x)dx
dSy xdA xf (x)dx
xC
Sy A
x dA
A
A
(2) 该曲边梯形的形心坐标
(xc , yc ) 的积分表达式为
yC
Sx A
y dA
A
A
b
xc
Sy A
xf (x)dx
a b
f (x)dx
a
yc
Sx A
b 1 f 2 (x)dx a2
b
f (x)dx
a
由 x ( y) 和直线 y c, y d (c d )
4.8 定积分在工程中的应用
4.8.1 平面图形的静矩和形心 4.8.2 平面图形的惯性矩 4.8.3 分布荷载的力矩 4.8.4 水的压力 4.8.5 平均值
4.8.6变力作功
本节知识目标
掌握定积分的微元法在工程中 的各种应用
4.8.1 平面图形的静矩和形心
（1）静矩
定义1 静矩是平面图形面积与它到轴的 距离之和。静矩也称为面积矩，常用符号 S表示。
标为0，只要求纵坐标 yc 即可。
解（1）取 x为积分变量，积分区间为 [a,a]
在[a,a]上任取一个小区间 [x, x dx]
对应面积微元
dA 1 cx2 dx
与这一小区间相对应的一小
片形心的纵坐标可近似为
y1
y2
1 cx2
a
2
2
对于x 轴的静矩微元为
y dA
1
y1 1
y2 cx2
O x x dx a x
xc
Sy A
4 2bh
3b ， 8
yc
Sx A
15 2bh
2h 5
3
3
例2 土木工程中“鱼腹梁”的纵断面如图
4-8-5所示，设平面图形质量均匀分布，
面密度 1，求其重心。
y
分析：由题意知，求重心即为求 1
dA
y1 1
y1 1，y2 cx2
y2 cx2
所围的平面图形的形心。
由对称性知，形心的横坐 a O x x dx a x 图 4-8-5