一元二次方程的解法(5)---根的判别式

方程化成一般形式后方可使用！
例题评讲：
例1：不解方程判别下列方程根的情况
（1）x2+3x+1=0 （2）x2 -6x+9=0 （3）2x2 -x+1=0

例2：关于x的方程2x2 +mx-2=2x-m，当m为何值 时方程有两个相等的根？并求出它的根.


练习：

(注意：△≠
b
2
2-4ac) ， 应△ = b 4ac
定理揭示：
（1）关于一元二次方程ax2+bx+c=0(b≠0)根的判别式定理： 在一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac 若△＞0 则方程有两个不相等的实数根 若△=0 则方程有两个相等的实数根 若△≥0时， 则方程有（两个）实数根
1、当K为何值时方程（k-2）x2 +2kx-1=0有两个相等的
实数根.

2、当K为何值时，方程kx2 +（2k+1）x+k=0（k≠0） （1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根

（3）没有实数根
例3：求证：
1 2 关于x的方程X -(m-2)x4
m2=0，无论m为何值，方程总
有两个不相等的实数根.

例 4. 已 知 a 、 b 、 c 是 Δ ABC 的 三 条 边 ， 那 么 方 程
cx2+2(a+b)x+c=0,的根的情况是（

）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断
思考
（1）k为何值时，关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数 根？
（2）k为何值时，关于x的方程kx2-2x+1=0有实数根？
归纳小结
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（△=b2-4ac）
判别式 情况 △＞0
b x1 , x2 ( x1 x2 ) 2a
根的情况 △ ≥0 ↑↓
定理与逆定理
△＞0 等实数根
← → 有两个不
△＝0
b0 x1 x2 ( x1 x2 ) 2a
若△＜0 则方程没有实数根
定理揭示：
（2）我们说：这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：
在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac
若方程有两个不相等的实数根，则△＞0 若方程有（两个）实数根，
若方程有两个相等的实数根， 若方程没有实数根， 则△=0 则△＜0 则△≥0
注意
有（两个）实数 根
△=0 → 有两个相等 实数根
←
△＜0
无意义, x1,x2不存在
→无实根 △＜0 ←
再 见
一元二次方程的解法（5） ——根的判别式
常熟市实验中学 谭文倩

一元二次方程 ax bx c 0(a 0） ，
2
一定有解吗？

做一做：用公式法解下列方程
（1）x2+3x+1=0 （2）x2 -6x+9=0
（3）2x2 -x+1=0

发现：b2-4ac的作用是决定方程是否有解. 规定：把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别 式，通常用符号“△”来表示，即△=b2-4ac.