二次函数周长最小问题

周长最小问题
基本解题方法：
1.如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点A（0，－6）和B（3，－9）．
>
（1）求抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；
（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小．
、
解：（1）依题意有⎩⎨⎧a ×02
－4×0＋c ＝－6
a ×32
－4×3＋c ＝－9
即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－69a －12＋c ＝－9 ······················ 2分 ∴⎩⎪⎨
⎪
⎧a ＝1c ＝－6
·························· 4分
∴抛物线的解析式为：y ＝x 2
－4x －6 ·············· 5分 （2）把y ＝x 2－4x －6配方，得y ＝(x －2)2
－10
∴对称轴方程为x ＝2 ····················· 7分
<
顶点坐标（2，－10） ····················· 10分
（3）由点P （m ，m ）在抛物线上
得m ＝m 2
－4m －6 ······················· 12分 即m 2
－5m －6＝0
∴m 1＝6或m 2＝－1（舍去） ··················· 13分 ∴P （6，6）
∵点P 、Q 均在抛物线上，且关于对称轴x ＝2对称
∴Q （－2，6） ························· 15分 （4）连接AP 、AQ ，直线AP 与对称轴x ＝2相交于点M
由于P 、Q 两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M 能够使得△QMA 的周长最小 ·························· 17分 设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b
、
则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－66k ＋b ＝6 ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝－6
∴直线AP 的解析式为：y ＝2x －6 18分 设点M （2，n ）
则有n ＝2×2－6＝－2 19分
此时点M （2，－2）能够使得△QMA 的周长最小 20分
2.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－3x －3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝
ax 2
－
3
3
2x ＋c （a ≠0）经过点A 、C ，与x 轴交于另一点B ． &
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）若P 是抛物线上一点，且△ABP 为直角三角形，求点P 的坐标；
（3）在直线AC 上是否存在点Q ，使得△QBD 的周长最小，若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．。

（1）∵直线y ＝－3x －3与x 轴交于点A ，与y 轴交于C ∴A （－1，0），C （0，－3） ∵点A ，C 都在抛物线上
∴⎩⎨⎧a ＋332＋c ＝0c ＝－3 解得⎩⎨⎧a ＝33
c ＝－3
∴抛物线的解析式为y ＝33x 2－332x －3＝33(x －1)2－334∴顶点D 的坐标为（1，－3
3
4） （2）令
33x 2－3
3
2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3 ∴B （3，0） ∴AB
2
＝(1＋3)2
＝16，AC
2
＝12
＋(3)2
＝4，BC
2
＝32
＋(3)2
＝12
~
∴AC
2
＋BC
2
＝AB
2
，∴△ABC 是直角三角形∴P 1（0，－3）
由抛物线的对称性可知P 2的纵坐标为－3
（3）存在．延长BC 到点B ′，使B ′C ＝BC ，连接B ′D 交直线过点B ′作B ′H ⊥x 轴于H
在Rt△BOC 中，∵BC ＝12＝32，
∴BC ＝2OC ∴∠OBC ＝30° ∴B ′H ＝
2
1BB ′
＝BC ＝32，BH ＝3B ′H ＝6，∴OH ＝3 ∴B ′（－3，－32）设直线B ′D 的解析式为y ＝kx ＋b
⎩⎨⎧
－32＝－3k ＋b
－3
34＝k ＋b 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝63b ＝－2
3
3联立⎩⎨⎧y ＝－3x －3y ＝63x －233 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73y ＝－7310∴Q （73
，－7310）故在直线AC 上存在点Q ，使得△QBD 的周长最小，Q 点的坐标为（7
3
，－7310）
《
′
$
·
3.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．
（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
}
解：（Ⅰ）如图1，作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD ′与x 轴交于点E ，连接DE
若在边OA 上任取点E ′（与点E 不重合），连接CE ′、DE ′、D ′E ′ 由DE ′＋CE ′＝D ′E ′＋CE ′＞CD ′＝D ′E ＋CE ＝DE ＋CE 可知△CDE 的周长最小
（
∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点 ∴BC ＝3，D ′O ＝DO ＝2，D ′B ＝6 ∵OE ∥BC ，∴Rt △D ′OE ∽Rt △D ′BC ，∴BC OE ＝
B
D O
D '' ∴O
E ＝
B D O D ''·B
C ＝6
2
×3＝1 ∴点E 的坐标为（1，0） ················· 6分
（Ⅱ）如图2，作点D 关于x 轴的对称点D ′，在CB 边上截取CG ＝2，连接D ′G 与x 轴交于点
E ，在EA 上截取E
F ＝2，则四边形GEFC 为平行四边形，得GE ＝CF
又DC 、EF 的长为定值，∴此时得到的点E 、F 使四边形CDEF 的周长最小 ∵OE ∥BC ，∴Rt △D ′OE ∽Rt △D ′BG ，∴
BG OE ＝
B
D O
D '' ∴O
E ＝
B
D O
D ''·BG ＝
B D O D ''·(B
C －CG )＝62×1＝3
1
…
∴OF ＝OE ＋EF ＝3
1＋2＝37
∴点E 的坐标为（31，0），点F 的坐标为（37
，0） ······ 10分
3.如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，
顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大并求出最大面积．
|
解：（1）由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋4＝04a ＋2b ＋4＝0 解得a ＝－21
，b ＝－1
∴抛物线的函数解析式为y ＝－
21x 2－x ＋4，顶点D 的坐标为（－1，2
9
） ························· 4分
（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．因为EF 垂直平分BC ，即C 关于直线EG 的对称点
为B ，连结BD 交EF 于一点，则这一点为所求点H ，使DH ＋CH 最小，即最小为：
DH ＋CH ＝DH ＋HB ＝BD ＝22DM BM
＋＝132
3
而CD ＝224291)(-
＋＝2
5
∴△CDH 的周长最小值为CD ＋DR ＋CH ＝2
13
35+
设直线BD 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，则 ⎩⎪⎨⎪
⎧2k 1＋b 1＝0
－k 1＋b 1＝2
9
解得k 1＝－
2
3
，b 1＝3 ∴直线BD 的解析式为y ＝－
2
3
x ＋3
…
由于BC ＝52，CE ＝
2
1
BC ＝5，Rt △CEG ∽Rt △COB 得CE :CO ＝CG :CB ，∴CG ＝
25，GO ＝23，∴G （0，2
3） 同理可求得直EF 的解析式为y ＝21x ＋2
3
联立 ⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝－23x ＋3y ＝21x ＋23 解得⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝
4
3y ＝
8
15
故使△CDH 的周长最小的点H 坐标为（43，8
15
）
（3）设K （t ，－
2
1t 2
－t ＋4），x F ＜t ＜x E ．过K 作x
则KN ＝y K －y N ＝－
21t 2－t ＋4－(21t ＋23)＝－21t 2－23t ＋2
5 ∴S △EFK ＝S △KFN ＋S △KNE
＝
21KN (t ＋3)+2
1
KN (1－t )＝2KN -
＝－t 2
－3t ＋5＝－(t ＋
23)2＋4
29
············· 10分 ∴当t ＝－
23时，△EFK 的面积最大，最大面积为429，此时K （－23，835
） ························· 14分
…
·
4.如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－334，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点
分别为B ′、C ′
．
（1）求折痕所在直线EF 的解析式；
（2）一抛物线经过B 、E 、B ′
三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．
!
解：（1）由于折痕所在直线EF 过E （－3，1）、F （－
3
3
4，0） ∴tan ∠EFO ＝3，直线EF 的倾斜角为60° ∴直线EF 的解析式为：y －＝tan60°[x －(－3)]
化简得：y ＝3x ＋4． ························ 3分 （2）设矩形沿直线EF 向右下方翻折后，B 、C 的对应点为B ′（x 1，y 1），C ′（x 2，y 2）
过B ′作B ′A ′⊥AE 交AE 所在直线于A ′点 ∵B ′E ＝BE ＝32，∠B ′EF ＝∠BEF ＝60° ∴∠B ′EA ′＝60°，∴A ′E ＝3，B ′A ′＝3。

∴A 与A ′重合，B ′在y 轴上，∴x 1＝0，y 1＝－2，即B ′（0，－2）
【此时需说明B ′（x 1，y 1）在y 轴上】 ················· 6分 设二次函数的解析式为：y ＝ax 2
＋bx ＋c
∵抛物线经过B （－33，1）、E （－3，1）、B ′（0，－2） ∴⎩
⎨⎧27a －33b ＋c ＝13a －3b ＋c ＝1c ＝－2 解得⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
2
33431－－－ ＝＝＝c b a ∴该二次函数解析式为：y ＝－31x 2－334
x －2 ·············· 9分
（3）能，可以在直线EF 上找到P 点，连接B ′C 交EF 于P 点，再连接BP 由于B ′P ＝BP ，此时点P 与C 、B ′在一条直线上，故BP ＋PC ＝B ′P ＋PC 的和最小 由于为BC 定长所以满足△PBC 周长最小． ················ 10分 设直线B ′C 的解析式为：y ＝kx ＋b 则⎪⎩⎪⎨⎧b
k b ＋＝＝－－
3302 解得⎪⎩
⎪⎨⎧2932－－
＝＝
b k ∴直线B ′C 的解析式为：y ＝－9
3
2x －2
············· 12分
又∵点P 为直线B ′C 与直线EF 的交点 ∴⎪⎩⎪⎨⎧4
3 29
32
＋＝＝－－x x y y 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧1110 311
18
－－＝＝y x ∴点P 的坐标为（－31118，－11
10
）···················
14分。