系统辨识考试题最终

2009-2010 学年第二学期研究生课程考核
（读书报告、研究报告）
考核科目：系统辨识理论及应用
学生所在院：电信学院
学生所在学科：信号与信息系统
姓名：
学号：
1. 简述系统辨识的基本概念、定义和主要步骤（15分）
答：系统辨识的概念：根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。

对系统分析大的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。

对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。

而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。

系统辨识的定义：根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型，是现代控制理论中的一个分支。

对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。

对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。

系统辨识的主要步骤：系统辩识包括结构辩识和参数估计两个主要内容。

辩识的一般步骤如下：
(1)明确目的和获取先验知识
首先要尽可能多的获取关于辨识对象的先验知识和明确辩识的目的。

明确目的和掌握尽可能多的先验知识往往是辨识结果好坏的重要先决条件。

(2)实验设计
实验设计主要包括以下六个方面内容：
a.选择观测点；
b.输入信号的形状和幅度（可持续激励条件）；
c.采样间隔T0 ；
d.开环和闭环辩识（闭环可辩识条件）；
e.在线和离线辩识；
f.测量数据的存储和预处理。

(3)模型结构的确定
(4)参数估计（Parameter Estimation）
(5)模型验证
模型精度是否可以接受？否则需要重复实验，重复辩识。

系统辩识的内容和步骤见后示意框图。

辩识目的
与
先知识验
实验设计
模型结构
的确定
输入/输出
数据获取
参数估计
模型验证
最终模型
2. 简述相关辨识的基本原理和基于二进制伪随机序列的相关辩识方法。

（15分）
答：相关辨识的基本原理如下图所示。

g(t)
延时
τ
1/T
π
×x(t)
w(τ)
x(t-τ)
y(t) ×(t-τ)
kg(t)
x(t) — 输入（白噪声）； y(t) — 测量输出；w(τ) ω（t ）—随机干扰（不可测）
基于二进制伪随机序列的相关辩识方法：
x(t)用二位式周期性伪随机信号，积分时间大大缩短
()()xy 0
R () 1/T x t y(t )dt g()T
τττ=+⇒⎰ ()s T T >
二位式信号使得乘法运算简化。

g(t)
相关运算
延时
×
x(t)
f(t)
w
y (t)
x(t -τ)
x(t) — 二进制伪随机码； y(t) — 测量输出； ω（t ）—随机干扰（不可测）；f(t) — 系统输入。

在线辩识时要求系统输入()0f t ≡；或者f(t)与x(t)不相关( 例
如 ()f t Const
≡)。

发生器产生x(t) 和x(t-τ),相关完成以下运算：
()xy R () x (t ) y t ()
dt g τττ∞-∞
=
-⇒⎰
3. 简述离散线性动态过程参数估计最小二乘方法（LS 法）的主要内容和优缺点。

带遗忘因子递推最小二乘估计（RLS 法）的计算步骤和主要递推算式的物理意义。

（20分）
答：离散线性动态过程参数估计最小二乘方法（LS 法）的主要内容：
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合。

其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

LS 法优点：白噪声可得渐进无偏估计;
该算法简单、可靠，所以应用广泛;
在所有的最小二乘法及改进算法中计算量最小； LS 法是一次完成算法,适于离线辩识。

LS 法缺点：在有色噪声下最小二乘法参数估计是有偏的；
随着数据的增长（比如递推），最小二乘法将出现所
谓的“数据饱和”现象。

带遗忘因子递推最小二乘估计（RLS 法）的计算步骤：
()T
N 1N N 1N 1N K (y N 1)
θθϕθ+++=++- 式1
式2
式3
()()()()T
N 1 [y N y N n 1 , u N ,u N n 1 ]
ϕ+=-⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅-+，， 式4
模型：
()()
T
N 1y N 1 N 1ϕθξ++=++
N 时刻对N+1时刻的预报，
T
N 1N
y(N 1/N )ϕθ++= 式5
（估计值N θ代入
T
N 1ϕθ
+预报误差(被称为 新息 )，用绿色表示
()()()T
N 1N
y N 1(/) y N 1εϕθ++=+-+=+-N 1y N 1N 式6
则式1可表达成
()
N 1N N 1K θθε++=++N 1 式7
物理意义：新的参数估计N 1θ+是对上次老的估计 N θ 进行修正而
得出的，修正是利用在N θ 对新的输出()
y +N 1预报的预报误差乘以一
个修正系数向量。

N 1K +是修正系数向量，它需要递推计算得出，在递推计算N 1K +时要用到估计误差的协方差阵N P ，而后者也是递推得出的。

4. 设某物理量Y 与X 满足关系式Y=aX 2+bX+c ，实验获得一批数据如下表，试辨识模型参数a ，b 和c 。

（50分） X 1.01 2.03 3.02 4.01 5 6.02 7.03 8.04 9.03 10 Y
9.6
4.1
1.3
0.4
0.05
0.1
0.7
1.8
3.8
9.0
1
1
1
1
1+++++=
N N T N N N N P P K
ϕ
ϕ
ϕ1
1
11
11++++++-
=N N T N N T
N N N N N P P P P P ϕ
ϕ
ϕϕ
报告要求：要有问题描述、参数估计原理、程序流程图、程序清单，最后给出结果及分析。

问题描述：物理量Y 与X 满足关系式Y=aX 2+bX+c ，已知10次试验，X 和Y 的10组数据，有a, b 和c 三个参数。

在纯数学上，由方程组原理可知，其实有三组X 和Y 的对应关系就可以得到参数a, b 和c 的值。

而本题的采集样本有10组，从某种意义上算是一种重复，但又不像概率事件的N 次重复试验，其目的就是通过多组有梯度的数据，建立起辨识模型，通过数模转化，从而到达更为精确的结果。

参数估计原理：通过描述可知，本题符合最小二乘法的数学模型，属于多元线性回归的非参数模型。

进行了10次试验，得出10个方程：
T
k k k
y ϕθε=+ ； k=1、2…、10 其中：T
k
1210 [ 1,x ,x ,,x ]
ϕ=⋅⋅⋅
方程组可用矩阵表示为
y φθε
=+
其中： T
1210
y [ y ,y ,,y ]=⋅⋅⋅ T
1210 [,,,]
εεεε=⋅⋅⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T N
T T nN N
n n x x x x x x ϕ
ϕϕφ....
1
...........1 (1)
211212111 估计准则： 2
1
)(θϕT
k
N
k k y J -=
∑
= 接下来利用线性代数分别对上式求一阶和二阶偏导，解出参数估计向
量Ls ，从而得到参数a, b 和c 。

程序流程图：
输入样本矩阵
输出模型
得出өLs 根据上述公式计算
程序清单：>> x1=[1.01 2.03 3.02 4.01 5 6.03 7.03 8.04 9.03 10]; y=[9.6 4.1 1.3 0.4 0.05 0.1 0.7 1.8 3.8 9];
x=[1.0201 4.1209 9.1204 16.0801 25.0000 36.3609 49.4209 64.6416 81.5409 100.0000]; x2=ones(1,10); phai=[x' x1' x2']; T=phai'*phai; Q=phai'*y'; theta=inv(T)*Q; a=theta(1) b=theta(2) c=theta(3) a =0.4576 b = -5.0742 c = 13.3722。