高一数学必修一函数的最值问题试题(1)
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.（1）若在上单调递减,求的取值范围．（2）若使函数和都在上单调递增,求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据题意知，函数的定义域满足：在上恒成立，且函数在上单调递减，分别运用变量分离法和二次函数的单调性求出参数所满足的取值范围，取交集即可得出答案；（2）分别根据一次函数的图像和反比例函数图像知，当时，函数为单调递增的；当时，在上单调递增．试题解析：（1）由题意在上单调递减且在上恒成立．若在上单调递减，则,即；由在上恒成立得，当时显然成立；时可得：在上恒成立．因为，所以，故的取值范围是．（2）由函数在单调递增得: ，所以．又因为在上单调递增,所以．综上所述：的取值范围是．【考点】二次函数的单调性；一次函数的单调性；反比例函数的单调性．2.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上为减函数，且；且，；又因为在上为减函数，所以.【考点】函数的单调性与奇偶性.3.已知函数是定义在的奇函数，当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，∵函数是奇函数∴当x＞0时，，∴∴f（x）在R上是单调递减函数，且满足9f（x+t）=f（3x+3t），不等式f（x）≤9f（x+t）在[t，t+1]恒成立，x≥3x+3t在[t，t+1]恒成立，即：在[t，t+1]恒成立，∴，解得，故实数t的最大值是．故选：A．【考点】函数恒成立问题, 函数的单调性与奇偶性．4.若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y)是y＝f(x)图象的对称中心，且x∈，求点A的坐标．【答案】(1)m＝－或m＝，a＝2(2)或.【解析】（1）先通过二倍角公式、两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为的形式，根据T=可求出a，函数f（x）的最大值等于m等于A+b 可求m的值．（2）若点A（x0，y）是y=f（x）图象的对称中心，且x∈，求出x＝,利用0≤≤，求出点A的坐标．.试题解析：解：.(1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax＝sin2ax＝，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－或m＝；由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，所以m＝－或m＝，a＝2.(2)∵f(x)＝，∴令＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，由0≤≤(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此点A的坐标为或.【考点】1.由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2.正弦函数的对称性．5.已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】要使在区间上具有单调性，只需对称轴不在该区间即可，所以或即得的范围.【考点】二次函数的单调性.6.已知函数定义在(―1，1)上，对于任意的，有，且当时，。
高一数学必修1 函数的最值
高一数学必修1 函数的最值【学习导航】知识网络学习要求1．了解函数的最大值与最小值概念； 2．理解函数的最大值和最小值的几何意义； 3．能求一些常见函数的最值和值域．自学评价1．函数最值的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =；若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =；2．单调性与最值：设函数()y f x =的定义域为[],a b ，若()y f x =是增函数，则max y =()f a ，min y =()f b ；若()y f x =是减函数，则max y =()f b ，min y =()f a ．【精典X 例】一．根据函数图像写单调区间和最值：例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解】 由图可以知道：当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-；当3x =时，函数取得最大值为3；函数的单调递增区间有２个：( 1.5,3)-和(5,6)；该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7)二．求函数最值：例2：求下列函数的最小值： （1）22y x x =-； （2）1()f x x=，[]1,3x ∈． 【解】（１）222(1)1y x x x =-=-- ∴当1x =时，min 1y =-； （２）因为函数1()f x x =在[]1,3x ∈上是单调减函数，所以当3x =时函数1()f x x=取得最小值为13．听课随笔追踪训练一1.函数2()4(0)f x x mx m =-+>(,0]-∞上的最小值（A ）()A 4 ()B 4-()C 与m 的取值有关 ()D 不存在０ ，最大值是32． 2. 函数()f x =的最小值3.求下列函数的最值：(1)4()1,{1,0,1,2}f x x x =+∈-；(2)()35,[3,6]f x x x =+∈ 析：值，所以求函数的最值的方法有时和求函数值域的方法是相仿的． 解(1)(1)(1)2f f =-=;(0)1f =;(2)17f = 所以当0x =时，min 1y =；当2x =时max 17y =； (2)函数()35f x x =+是一次函数，30>故()35f x x =+在区间[3,6]所以当3x =时，min 14y =； 当6x =时，max 23y =；【选修延伸】含参数问题的最值：例３:求2()2f x x ax =-，[0,4)x ∈值．【解】22()()f x x a a =--，称轴为x a =的抛物线．[]min ()(0)0f x f ==； ①若0a ≤，则()f x 在[0,4)[]2min ()()f x f a a ==-；②若04a <<，③若4a ≥，则()f x 在[0,4)()f x 的最小值不存在．点评:含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了我们再进行讨论！思维点拔：一、利用单调性写函数的最值？我们可以利用函数的草图，如果函数在区间[,]a c 上是图像连续的，且在[,]a b 是单调递增的，在[,]b c 上是单调递减的，则该函数在区间[,]a c 上的最大值一定是在x b =处取得；同理，若函数在区间[,]a c 上是图像连续的，且在[,]a b 是单调递减的，在[,]b c 上是单调递增的，则该函数在区间[,]a c 上的最小值一定是在x b =处取得．追踪训练１．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是( D)()A 54()B 45()C 43()D 34 2. y=x 2+12-x 的最小值为( C ) A.0B.43C.1D 不存在.3. 函数2()21(0)f x ax ax a =++>在区间[3,2]-上的最大值为4，则a =____38____． 4.函数23(0)()5(0)x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为5. 5．已知二次函数2()21f x ax ax =++在[]3,2-上有最大值4，某某数a 的值．解：函数2()21f x ax ax =++的对称轴为1x =-，当0a >时，则当2x =时函数取最大值4，即814a +=即38a =； 当0a <时，则当1a =-时函数取得最大值4，即14a -=，即3a =-所以，38a =或3a =-。
人教A版高中数学必修一新课标第课时函数的最大值、最小值训练学生专用无答案
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y ＝x －1x在[1,2]上的最大值为( ) A ．0 B.32C ．2D ．32．函数y ＝kx ＋b 在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k 的值为( )A ．2 B.12C ．－2或2D ．－23．函数f (x )＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为( )A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值－144．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为( )A ．(－∞，2]B ．(0，2]C ．[2，＋∞)D ．[0，＋∞)二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2,6]上递增，且f (－4)＜f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 的值为________．三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数y ＝x 2x －3在区间[1,2]上的最大值和最小值． 8．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈(－∞，0)x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数最小值．尖子生题库☆☆☆9．(10分)某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件．经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数y ＝kx ＋b 的关系(如图所示)．(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；(2)设公司获得的利润为S 元(利润＝销售总价－成本总价；销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝成本单价×销售量)．①试用销售单价x 表示利润S ；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？。
数学必修一《函数的最值》精选练习(含答案解析)
数学必修一《函数的最值》精选练习（含答案解析）一、选择题1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)>4,则f(x)的最小值是( )A.4B.f(4)C.4.001D.不能确定2.函数f(x)=2-在区间[1,3]上的最大值是( )A.2B.3C.-1D.13.函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为( )A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对4.已知函数f(x)=x2-4x+10,x∈[-1,m],并且f(x)的最小值为f(m),则实数m的取值范围是( )A.(-1,2]B.(-1,+∞)C.[2,+∞)D.(-∞,-1)5.已知f(x)=,则y=f(x+2)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为( )A.与B.与1C.与D.与6.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( )A.2B.-2C.2或-2D.07.函数f(x)=的最大值是( )A. B. C. D.二、填空题8.函数y=f(x)的定义域为[-4,6],且在区间[-4,-2]上递减,在区间(-2,6]上递增,且f(-4)<f(6),则函数f(x)的最小值是,最大值是.9.函数f()=x-1的最小值是.10.若函数y=(k>0)在[2,4]上的最小值为5,则k的值为.11.函数y=|-x2+2x+3|在区间[0,4]上的最大值是.12.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1,x2,总有>0成立,且f(-3)=a,f(-1)=b,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是.三、解答题(每小题10分,共20分)13.求函数f(x)=+x在[2,+∞)上的最小值.14.已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)+f(-x)=0.(2)若f(-3)=a,试用a表示f(24).(3)如果x>0时,f(x)<0,且f(1)=-,试求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小值.15.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示).(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的解析式.(2)设公司获得的利润为S元(利润=销售总价-成本总价;销售总价=销售单价×销售量,成本总价=成本单价×销售量).①试用销售单价x表示利润S;②试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?16.已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.(1)求证:f(x)是R上的单调减函数.(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.参考答案与解析1【解析】选D.根据函数最小值的概念可知,此函数的最小值不能确定.【误区警示】对于最小值概念理解不到位而错选A.2【解析】选D.易判断f(x)在区间[1,3]上是单调递增的,所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)=1.【补偿训练】函数f(x)=在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是( ) A.,1 B.1, C.,1 D.1,【解析】选B.函数f(x)=在[2,6]上单调递减,当x=2时,f(x)有最大值为1,当x=6时,有最小值为.3【解析】选 A.函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,所以函数f(x)的最大值为f(2)=10,最小值为f(-1)=6.【补偿训练】设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则f(x) ( )A.只有最大值B.只有最小值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值又无最小值【解析】选D.f(x)=画出图象可知,函数f(x)既无最大值又无最小值.4【解题指南】由条件可知f(x)在区间[-1,m]上单调递减,所在区间[-1,m]是f(x)在R上的减区间的子集,据此可求得m的范围.【解析】选A.函数f(x)=x2-4x+10的对称轴为直线x=2,所以f(x)在(-∞,2]上单调递减,又f(x)在[-1,m]上的最小值是f(m),所以[-1,m]是f(x)的单调减区间,所以-1<m≤2.5【解析】选A.因为f(x+2)=,x∈[2,8],易证f(x+2)=在[2,8]上是减少的,所以x=8时,y min=;x=2时,y max=,故选A.6【解析】选C.当a=0时,不满足题意;当a>0时,y=ax+1在[1,2]上为增函数,所以2a+1-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,y=ax+1在[1,2]上为减函数,所以a+1-(2a+1)=2,解得a=-2,故a=±2.7【解析】选D.分母1-x(1-x)=x2-x+1=+≥,显然0<f(x)≤,故最大值为.8【解析】因为y=f(x)在[-4,-2]上递减,在(-2,6]上递增,故当x=-2时f(x)取最小值f(-2),又因为f(-4)<f(6),所以最大值为f(6).答案:f(-2) f(6)9【解析】设=t,t≥0,所以f(t)=t2-1,t≥0,所以f(x)=x2-1,x≥0,因为f(x)=x2-1在[0,+∞)上为增函数,所以f(x)的最小值为-1.即f()=x-1的最小值是-1.答案:-110【解析】因为k>0,所以函数y=在[2,4]上是减函数,所以当x=4时,y min=,此时=5,所以k=20.答案:2011【解析】由y=知此函数在[0,3]上的最大值为4,在[3,4]上的最大值为5,所以在[0,4]上的最大值为5.答案:512【解析】由>0,得f(x)在R上是增函数,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是f(-1)=b.答案:b13【解析】设2≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=+x1--x2=+(x1-x2)=(x1-x2)<0.所以f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).所以f(x)=+x在[2,+∞)上单调递增.所以f(x)min=f(2)=+2.14【解析】(1)令x=y=0得f(0)=0,再令y=-x得f(-x)=-f(x),所以f(x)+f(-x)=0.(2)因为f(-3)=a则f(3)=-a,所以f(24)=8f(3)=-8a.(3)设x∈(-∞,+∞),且x1<x2,则f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1),又因为x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,f(x1)+f(x2-x1)<f(x1),所以f(x2)<f(x1),所以f(x)在R上是减少的,所以f(x)max=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(x)min=f(6)=6f(1)=6×=-3.15【解析】(1)由图象知,当x=60时,y=40;当x=70时,y=30,代入y=kx+b中,得解得所以y=-x+100(50≤x≤80).(2)①由题意可知:S=xy-50y=x(-x+100)-50(-x+100)=-x2+150x-5000=-(x-75)2+625(50≤x≤80).②由①知S=-(x-75)2+625(50≤x≤80),当x=75时,利润S取得最大值625,所以当销售单价为75元/件时,可获得最大利润625元,此时销售量为25件. 16【解析】(1)设x1和x2是任意的两个实数,且x1<x2,则x2-x1>0,因为x>0时,f(x)<0,所以f(x2-x1)<0,又因为x2=(x2-x1)+x1,所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)<f(x1).所以f(x)是R上的单调减函数.(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数,所以f(x)在[-3,3]上也是减函数,所以f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2. 所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.。
高一数学函数的最值练习题
高一数学函数的最值练习题题型四：函数的最值【例1】 函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-，上的最大值和最小值分别是（ ）A ．11-，B ．117-，C ．317-，D ．919-，【例2】 已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-，上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（ ） A ．5- B ．11- C ．29- D ．37-【例3】设函数1()20)f x x x x=+< 则()f x 的最大值为 ．【例4】 函数3()34([01])f x x x x =-∈，的最大值是（ ） A ．1 B ．12C ．0D ．1-【例5】 设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【例6】 对于函数()f x ，在使()f x M ≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函数()f x 的“下确界”，则函数221()(1)x f x x +=+的下确界为 ．【例7】 设函数()y f x =在()-∞+∞，内有定义．对于给定的正数K ，定义函数()()()()K f x f x Kf x Kf x K ⎧=⎨>⎩≤， 取函数()2x f x x e -=--，若对任意的()x ∈-∞+∞，，恒有()()K f x f x =，则（ ）A ．K 的最大值为2B ．K 的最小值为2C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1【例8】 下列说法正确的是（ ）A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值C ．满足()0f x '=的点可能不是函数的极值点D ．函数()f x 在区间()a b ，上一定存在最值典例分析【例9】 函数42()25f x x x =-+在区间[22]-，上的最大值是 ；最小值是 ．【例10】 对于函数22e ,0()12,02x x x f x x x x ⎧⋅⎪=⎨-+>⎪⎩≤，有下列命题： ①过该函数图象上一点()()2,2f --的切线的斜率为22e-；②函数()f x 的最小值为2e-；③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数()f x 在(,1]-∞-上为减函数，在(0,1]上也为减函数．其中正确命题的序号是 ．【例11】 已知函数()e ln x f x a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题：① 对于任意()0,a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数；② 对于任意(),0a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；③ 存在()0,a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④ 存在(),0a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）．【例12】 已知32()21f x x bx cx =+++在区间[]12-，上是减函数，那么2b c +（ ） A ．有最大值152- B ．有最大值152 C ．有最小值152- D ．有最小值152【例13】 求32()395f x x x x =--+在[44]-，上的最大值和最小值．【例14】 已知函数24()f x x x=+．⑴ 求函数()f x 的单调递减区间； ⑵ 当[14]x ∈，时，求函数()f x 的最大值和最小值．【例15】 已知函数32()6([12])f x ax ax b x =-+∈-，的最大值为3，最小值为29-，求a 、b 的值．【例16】 已知函数321()23f x ax x =+，其中0a >．若()f x 在区间[11]-，上的最小值为2-，求a 的值．【例17】 已知0a ≥，函数2()(2)x f x x ax e =-，当x 为何值时，()f x 取得最小值？【例18】 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1(1))f ，处的切线与直线670x y --=垂直，导函数()f x '的最小值为12-． ⑴求a ，b ，c 的值；⑵求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[13]-，上的最大值和最小值．【例19】 设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； ⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． ⑶若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，时的最大值为1，求a 的值．【例20】 已知函数()3239f x x x x a =-+++，⑴ 求()f x 的单调递减区间；⑵ 若()f x 在区间[]22-，上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【例21】 已知()ln()[0)f x ax x x e =--∈-，，．⑴ 当1a =-时，讨论()f x 的单调性、极值；⑵ 是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【例22】 设0a >，函数2()|ln 1|f x x a x =+-．⑴ 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； ⑵ 当3a =时，求函数()f x 的单调性； ⑶ 当4a =，[1)x ∈+∞，时，求函数()f x 的最小值．【例23】 设3x =是函数23()()e ()x f x x ax b x -=++∈R 的一个极值点．⑴求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；⑵设0a >，225()e 4xg x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若存在12[04]ξξ∈，，使得12()()1f g ξξ-<成立， 求a 的取值范围．【例24】 已知函数247()2x f x x-=-，[01]x ∈，．⑴求()f x 的单调区间和值域；⑵设1a ≥，函数32()32g x x a x a =--，[01]x ∈，．若对于任意1[01]x ∈，，总存在0[01]x ∈，，使得01()()g x f x =成立，求a 的取值范围．【例25】 已知函数()ln f x ax x =+，(1)x e ∈，，且()f x 有极值．⑴求实数a 的取值范围； ⑵求函数()f x 的值域；⑶函数3()2g x x x =--，证明：1(1)x e ∀∈，，0(1)x e ∃∈，，使得01()()g x f x =成立．【例26】 已知函数()()1ln 1af x x ax a x-=-+-∈R ． ⑴ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；⑵ 设()224g x x bx =-+．当14a =时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．【例27】 设函数()()()ln ln 20f x x x ax a =+-+>⑴当1a =时，求()f x 的单调区间；⑵若()f x 在(]01，上的最大值为12，求a 的值．【例28】 已知函数()ln af x x x=+． ⑴当0a <时，求函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 在[]1,e 上的最小值是3,2求a 的值．【例29】 已知a 是实数，函数()()2f x x x a =-．⑴若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； ⑵求()f x 的极值．⑶求()f x 在区间[]02，上的最大值．【例30】 已知函数()21ln f x x a x x=-+-，0a >．⑴ 讨论()f x 的单调性；⑵ 设3a =，求()f x 在区间21e ⎡⎤⎣⎦，上的值域，其中e=2.71828L 是自然对数的底数．【例31】 已知a 为实数，2()(4)()f x x x a =--．⑴求导数()f x '；⑵若(1)0f '-=，求()f x 在[22]-，上的最大值和最小值； ⑶若()f x 在(2)-∞-，和(2)+∞，上都是递增的，求a 的取值范围．【例32】 已知函数32()2f x x ax x =+-+，()a R ∈⑴ 若()f x 在()01，上是减函数，求a 的最大值； ⑵ 若()f x 的单调递减区间是113⎛⎫- ⎪⎝⎭，，求函数()y f x =图像过点()11，的切线与两坐标轴围成图形的面积．【例33】 设曲线e (0)x y x -=≥在点(e )t M t -，处的切线l 与x 轴，y 轴所围成的三角形的面积为()S t ， ⑴求切线l 的方程；⑵求()S t 的最大值．【例34】 已知函数323()2f x x mx n =-+，12m <<，⑴ 若()f x 在区间[11]-，上的最大值为1，最小值为2-，求m 、n 的值； ⑵ 在⑴的条件下，求经过点(2, 1)P 且与曲线()f x 相切的直线l 的方程；⑶ 设函数()f x 的导函数为()g x ，函数2()31()6xg x x F x e ++=⋅，试判断函数()F x 的极值点个数，并求出相应实数m 的范围．【例35】 在实数集R 上定义运算(1)x y x a y ⊗⊗=+-：（），若()2f x x =，()g x x =，若()()()F x f x g x =⊗．⑴求()F x 的解析式；⑵若()F x 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围；⑶若53a =，()F x 的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．【例36】 已知函数()2()ln 12ax f x x a x =+-+，a ∈R ，且0a ≥．⑴若(2)1f '=，求a 的值；⑵当0a =时，求函数()f x 的最大值； ⑶求函数()f x 的单调递增区间．【例37】 已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=， 求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；⑶当0a ≠时，若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围．【例38】 已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=， ①求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；②求函数()[()(2)]()x G x f x m x m e m -'=+++∈R 的单调区间．【例39】 已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >．⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【例40】 已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．⑴若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；⑵当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【例41】 已知函数()ln f x x =-，(0)x e ∈，．曲线()y f x =在点(())t f t ，处的切线与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，设O 为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值．【例42】 已知函数()f x ⑴写出函数()f x 的定义域，并求函数()f x 的单调区间；⑵设过曲线()y f x =上的点P 的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为S ，求S 的最小值，并求此时点P 的坐标．【例43】 函数2()1(00)f x ax a x =->>，，该函数图象在点P 200(1)x ax -，处的切线为l ，设切线l 分别交x 轴和y 轴于两点M 和N ．⑴将MON ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示为0x 的函数0()S x ；⑵若1(0)M x ，，函数()y f x =的图象与x 轴交于点(0)T t ，，则1x 与t 的大小关系如何？证明你的结论；⑶若在01x =处，0()S x 取得最小值，求此时a 的值及0()S x 的最小值．【例44】 如图，曲线段OMB 是函数2()(06)f x x x =≤≤的图象，BA x ⊥轴于点A ，曲线段OMB 上一点2()M t t ，处的切线PQ 交x 轴于点P ，交线段AB 于点Q ，⑴若t 已知，求切线PQ 的方程；⑵求QAP ∆的面积的最大值．。
(完整word版)高一数学必修一函数的最值问题试题(1).doc
函数的最值问题（高一）一．填空题：1. f ( x)3x 5, x[3,6] 的最大值是。
f ( x)11,3 的最小值是。
， xx2.函数 y 12 4x x 2 的最小值是，最大值是 3.函数 y1的最大值是，此时 x2 x 2 8x104.函数 y 2x 3 3, 2 的最小值是，最大值是x , x15.函数 y 3 2, 1 的最小值是，最大值是x , xx 16.函数 y= x 2 - 的最小值是。
y x 1 2x 的最大值是x 27.函数 y=|x+1| –|2-x| 的最大值是 最小值是.8.函数 f x2 在 [2,6] 上的最大值是 最小值是。
x 19.函数 y= 3x（ x ≥ 0）的值域是 ______________.1 2x10.二次函数 y=-x 2+4x 的最大值11. 函数 y=2x 2-3x+5 在[-2 ，2] 上的最大值和最小值 。
12.函数 y= -x 2 -4x+1 在 [-1 , 3] 上的最大值和最小值13.函数 f （ x ） =1 的最大值是y 2x 22x 5的最大值是1 x(1 x)x 2 x 114. 已知 f （ x ） =x 2－ 6x+8， x ∈［ 1，a ］并且 f （ x ）的最小值为 f （ a ），则 a 的取值范围是15.函数 y= –x 2–2ax(0 x 1)的最大值是 a 2,那么实数 a 的取值范围是16．已知 f （ x ）=x 2－2x+3 ，在闭区间［ 0， m ］上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是17. 若 f(x)= x2+ax+3 在区间 [1,4] 有最大值 10，则 a 的值为：18.若函数 y=x 2 3x 4 的定义域为 [0,m], 值域为 [ 25/4, 4],则 m 的取值范围是19. 已知 f （ x ） =-x 2+2x+3 , x ∈［ 0， 4］ ,若 f （ x ）m 恒成立， m 范围是。
高一数学函数的单调性与最值试题
高一数学函数的单调性与最值试题1.下列四个函数中，在上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】对于选项A，在上为单调递减，不符合题意；对于选项B，在上为单调递增，而在上不是增函数，不符合题意；对于选项C，在上为单调递增，所以在上是增函数，符合题意；对于选项D，在上为单调递减，不符合题意.故应选C.【考点】函数的单调性.2.已知是定义域为R的偶函数，当x≥0时，那么，不等式的解集是．【答案】【解析】由函数特点绘出函数的图象，可求得函数与的交点坐标为,要使，则有，故有解集.【考点】函数性质，数形结合.3.已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当时，f(x)＝x＋sinx，则( )A．f(1)<f(2)<f(3)B．f(2)<f(3)<f(1)C．f(3)<f(2)<f(1)D．f(3)<f(1)<f(2)【答案】D【解析】由已知得函数关于对称，当时，是单调递增函数，当时函数是单调递减函数，比较1,2,3距离对称轴的远近得出,故选D.【考点】1.函数的对称性；2.函数的单调性.4.下列函数中，在R上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A、的单调增区间是[0，+∞）；故A不正确；B、的定义域是（0，+∞），故不正确；C、的定义域是R，并且是增函数，故正确；D、在R上单调递减，故不正确,故选C．【考点】函数单调性的判断与证明．5.设偶函数的定义域为R，当时是增函数，则的大小关系是..（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要比较函数值的大小，一般要把自变量的值变换到函数的同一个单调区间上.本题中是偶函数，，，在上是增函数，故，选D.【考点】函数的奇偶性，单调性.6.对于定义在上的函数，有如下四个命题：①若，则函数是奇函数；②若则函数不是偶函数；③若则函数是上的增函数；④若则函数不是上的减函数．其中正确的命题有______________.（写出你认为正确的所有命题的序号）.【答案】②④【解析】①例如满足，但函数不是奇函数；故①错误②若则函数不是偶函数；正确③例如，，但函数在R上不是增函数；故③错误④若，则函数不是R上的减函数，正确所以填②④【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．7.下列函数中既是奇函数，又是在上为增函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，函数，在区间上是减函数，在是增函数，故A不正确；对于B，函数的定义域是，不是奇函数，故B不正确；对于C，由函数在R上是增函数，知在R上是减函数，故C不正确；对于D，可变形为，是关于x的一次函数，根据奇函数的定义和函数单调性的定义知是奇函数，在R上是增函数，故D正确.【考点】函数的单调性；函数的奇偶性8.下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，>的是 ( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】对任意，（0，），当<时，>则是上的减函数.A中是上的减函数,B中是上的减函数,是上的增函数C中是R上的增函数D中是上的增函数故选A【考点】函数的单调性9.函数的单调递减区间是（）A．B．(-,-1),(3,+)C．(1,3)D．(1,+)【答案】C【解析】因为，又，对称轴为，单调递减区间(1,3).【考点】二次函数单调性、无理函数定义域.x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为( )10.函数f(x)＝|log3A．2B．C．D．1【答案】Bx|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，结合对数函数的图象的【解析】根据题意，由于函数f(x)＝|log3对称变换可知，x=3.x=时函数值为1，那么可知b－a的最小值为1-=，故可知答案为B.【考点】函数的单调性点评：主要是考查了函数最值的求解，属于基础题。
高一数学必修一函数的最值问题试题
函数的最值问题（高一）一．填空题：1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是 。
1()f x x=，[]1,3x ∈的最小值是 。
2.函数y =的最小值是 ，最大值是3.函数212810y x x =-+的最大值是 ，此时x = 4.函数[]23,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是 5.函数[]3,2,1y x x x=-∈--的最小值是 ，最大值是 6.函数y=2-x -21+x 的最小值是。
y x =-的最大值是 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 最小值是 .8.函数()21f x x =-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。
9.函数y =x x 213+-（x ≥0）的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。
12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 222251x x y x x ++=++的最大值是 14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为：18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。
二、解答题20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。
高中数学必修一函数的最大(小)值练习题测试题及答案解析
1.3.1.2函数的最大（小）值双基限时练 新人教A 版必修11．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A.13 B ．－12C ．1 D.12解析 函数y ＝1x －1在[2,3]上是减函数，∴当x ＝3时，取最小值为12. 答案 D2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1，则函数f (x )的最大值和最小值分别为( )A ．8,6B ．8,8C ．10,6D ．10,8解析 当x ∈[1,2]时，f (x )∈[8,10]；当x [－1,1)时，f (x )∈[6,8)，∴f (x )的最大值和最小值分别为10,6.答案 C3．函数y ＝|x ＋1|＋2的最小值是( ) A ．0 B ．－1 C ．2D ．3解析 y ＝|x ＋1|＋2的图象如下：所以最小值为2. 答案 C4．函数f (x )＝x 2＋2x －1，x ∈[－3,2]的最大值、最小值分别为( ) A ．9,0 B ．7,3 C ．2，－2D ．7，－2解析 f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，∴当x ＝－1时，有最小值－2，当x ＝2时，有最大值7.答案 D5．函数f (x )＝2x －1＋x 的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 易知当x ≥12时，函数f (x )为增函数，故值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案 A6．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，若该公司在两地共销售15辆(销售量单位：辆)，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析 设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，则利润y ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋4814∴当x ＝9或10时，可获最大利润120万元． 答案 C7．函数y ＝1x 在[1，a ]上的最小值为14，则a ＝______.解析 ∵y ＝1x在[1，a ]上是减函数，∴最小值为f (a )＝1a ＝14，∴a ＝4.答案 4 8．函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的值域为________．解析 f (x )＝xx －1＝1＋1x －1，易知f (x )在[2,5]上为减函数，∴最小值为f (5)＝54，最大值为f (2)＝2，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2 9．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是________．解析 y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，作出图象，由图象知，1≤m ≤2.答案 [1,2]10．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a ，b 的值． 解 由f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b 的对称轴为x ＝1知，无论f (x )的单调性怎样，f (x )在[2,3]上存在最值的情况有两种：⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧f ＝5，f＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最值； (2)若f (x )是单调函数，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，∵x ∈[－5,5]，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2的图象是抛物线，其对称轴为x ＝－a . 若函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． 是单调函数，则有－a ≤－5，或－a ≥5， ∴a ≥5，或a ≤－5.故所求实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 12．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝1，∴c ＝1， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ， ∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立， 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.。
人教版高中数学必修一《函数的最值、奇偶性》精选习题(含答案)
人教版高中数学必修一《函数的最值、奇偶性》精选习题（含答案）一、选择题1．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x1>0，x2<0，且f(x1)<f(x2)，那么一定有()A．x1＋x2<0B．x1＋x2>0C．f(－x1)>f(－x2) D．f(－x1)·f(－x2)<02．下列判断：①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数；②对于定义域为实数集R的任何奇函数f(x)都有f(x)·f(－x)≤0；③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数；④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一．其中正确的序号为()A．②③④B．①③C．②D．④3．定义两种运算：a⊕b＝ab，a⊗b＝a2＋b2，则函数f(x)＝2⊕x(x⊗2)－2为()A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数也是偶函数4．用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－12对称，则t的值为()A．－2B．2C．－1D．15．如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是()A．增函数且最小值为3B．增函数且最大值为3C．减函数且最小值为－3D．减函数且最大值为－36．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是()A．(－1,0) B．(－∞，0)∪(1,2) C．(1,2) D．(0,2)二、填空题7．若函数f(x)＝－x＋abx＋1为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为____．8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＋f(0)＝________.9．函数f(x)＝x2＋2x＋a，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题10．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0.(1)求证：函数f(x)在(－∞，0)上是增函数；(2)解关于x的不等式f(x)<0.11．已知f(x)＝x2＋ax＋bx，x∈(0，＋∞)．(1)若b≥1，求证：函数f(x)在(0,1)上是减函数；(2)是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列两个条件：①在(0,1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是3.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．能力提升12．设函数f(x)＝1－1x＋1，x∈[0，＋∞)(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是增函数；(2)设g(x)＝f(1＋x)－f(x)，判断g(x)在[0，＋∞)上的单调性(不用证明)，并由此说明f(x)的增长是越来越快还是越来越慢？13．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD＝2x，梯形ABCD 的周长为y.(1)求出y关于x的函数f(x)的解析式；(2)求y的最大值，并指出相应的x值．参考答案与解析1．B[由已知得f(x1)＝f(－x1)，且－x1<0，x2<0，而函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此由f(x1)<f(x2)，则f(－x1)<f(x2)得－x1<x2，x1＋x2>0.故选B.]2．C[判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件，但并非充分条件，故①错误．判断②正确，由函数是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，特别地当x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.判断③，如f(x)＝x2，x∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在1∈[0,1]，而－1 [0,1]；又如f(x)＝x2＋x，x∈[－1,1]，有f(x)≠f(－x)．故③错误．判断④，由于f(x)＝0，x∈[－a，a]，根据确定一个函数的两要素知，a取不同的实数时，得到不同的函数．故④错误．综上可知，选C.]3．A[f(x)＝2xx2＋2，f(－x)＝－f(x)，选A.]4．D[当t>0时f(x)的图象如图所示(实线)对称轴为x＝－t2，则t2＝12，∴t＝1.]5．D[当－5≤x≤－1时1≤－x≤5，∴f(－x)≥3，即－f(x)≥3.从而f(x)≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[－5，－1]上是减函数．故选D.]6．D[依题意，因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)<0化为f(|x－1|)<0，又x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，所以|x－1|－1<0，即|x－1|<1，解得0<x<2，故选D.]7．1解析f(x)为[－1,1]上的奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(0)＝0，故a＝0.又f(－1)＝－f(1)，所以－－1－b＋1＝1b＋1，故b＝0，于是f(x)＝－x.函数f(x)＝－x在区间[－1,1]上为减函数，当x取区间左端点的值时，函数取得最大值1.8．－1解析∵f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，且f(2)＝22－3＝1.∴f(－2)＝－f(2)＝－1，∴f(－2)＋f(0)＝－1.9．a>－3解析∵f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，∴[1，＋∞)为f(x)的增区间，要使f(x)在[1，＋∞)上恒有f(x)>0，则f(1)>0，即3＋a>0，∴a>－3.10．(1)证明设x1<x2<0，则－x1>－x2>0.∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(－x1)>f(－x2)．∵f(x)是奇函数，∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，∴－f(x1)>－f(x2)，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)在(－∞，0)上是增函数．(2)解若x>0，则f(x)<f(1)，∴x<1，∴0<x<1；若x<0，则f(x)<f(－1)，∴x<－1.∴关于x的不等式f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．11．(1)证明设0<x1<x2<1，则x1x2>0，x1－x2<0.又b>1，且0<x1<x2<1，∴x1x2－b<0.∵f(x1)－f(x2)＝x1－x2x1x2－bx1x2>0，∴f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0,1)上是减函数．(2)解设0<x1<x2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2x 1x 2－bx 1x 2由函数f (x )在(0,1)上是减函数，知x 1x 2－b <0恒成立，则b ≥1.设1<x 1<x 2，同理可得b ≤1，故b ＝1.x ∈(0，＋∞)时，通过图象可知f (x )min ＝f (1)＝a ＋2＝3.故a ＝1.12．(1)证明 设x 1>x 2≥0，f (x 1)－f (x 2)＝(1－1x 1＋1)－(1－1x 2＋1)＝x 1－x 2x 1＋1x 2＋1. 由x 1>x 2≥0⇒x 1－x 2>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，得f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在定义域上是增函数．(2)解 g (x )＝f (x ＋1)－f (x )＝1x ＋1x ＋2，g (x )在[0，＋∞)上是减函数，自变量每增加1，f (x )的增加值越来越小，所以f (x )的增长是越来越慢．13．解 (1)作OH ，DN 分别垂直DC ，AB 交于H ，N ，连结OD .由圆的性质，H 是中点，设OH ＝h ，h ＝OD 2－DH 2＝4－x 2.又在直角△AND 中，AD ＝AN 2＋DN 2＝2－x 2＋4－x 2＝8－4x ＝22－x ，所以y ＝f (x )＝AB ＋2AD ＋DC ＝4＋2x ＋42－x ，其定义域是(0,2)．(2)令t ＝2－x ，则t ∈(0，2)，且x ＝2－t 2，所以y ＝4＋2·(2－t 2)＋4t ＝－2(t －1)2＋10，当t ＝1，即x ＝1时，y 的最大值是10.。
高一求最值的试题及答案
高一求最值的试题及答案1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5，求f(x)的最大值和最小值。
答案：首先，对函数f(x)求导得到f'(x) = 6x^2 - 18x + 12。
令f'(x) = 0，解得x = 1 或 x = 2。
将x = 1和x = 2代入原函数f(x)，得到f(1) = 10，f(2) = 17。
因此，f(x)的最小值为10，最大值为17。
2. 一个矩形的长为3x，宽为2x，求矩形面积的最大值。
答案：矩形的面积S = 长× 宽 = 3x × 2x = 6x^2。
对S求导得到S' = 12x。
令S' = 0，解得x = 0（舍去，因为x为矩形的长宽，不能为0）。
因此，面积S随x的增大而增大，没有最大值。
3. 已知函数g(x) = x^2 - 6x + 9，求g(x)的最小值。
答案：观察函数g(x) = (x - 3)^2，可以看出这是一个完全平方的形式。
因为平方项总是非负的，所以g(x)的最小值为0，当x = 3时取得。
4. 一个圆的半径为r，求圆的面积的最大值。
答案：圆的面积A = πr^2。
对A求导得到A' = 2πr。
令A' = 0，解得r = 0（舍去，因为r为圆的半径，不能为0）。
因此，面积A随r的增大而增大，没有最大值。
5. 已知函数h(x) = 4x^2 - 12x + 9，求h(x)的最小值。
答案：函数h(x) = 4(x - 1.5)^2 + 1.5。
可以看出，这是一个顶点式的形式，顶点为(1.5, 1.5)。
因此，h(x)的最小值为1.5，当x = 1.5时取得。
6. 一个直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边为c，求c的最小值。
答案：根据勾股定理，c^2 = a^2 + b^2。
对c求导得到c' = (a^2 + b^2)' = 2a + 2b。
(完整版)高一数学必修一函数的最值问题试题(1)
函数的最值问题（高一）一．填空题：1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是 。
1()f x x =，[]1,3x ∈的最小值是 。
2.函数y =的最小值是 ，最大值是3.函数212810y x x =-+的最大值是 ，此时x =4.函数[]23,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是5.函数[]3,2,1y x x x =-∈--的最小值是 ，最大值是6.函数y=2-x -21+x 的最小值是。
y x =-的最大值是7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 最小值是 .8.函数()21f x x =-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。
9.函数y =x x213+-（x ≥0）的值域是______________.10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。
12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 222251x x y x x ++=++的最大值是14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为：18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。
二、解答题20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。
高一数学专题：函数最值(含答案)
3.1课时作业B 函数最值（时间：40分钟 出题人：吴丁盟 审题人：梅洪风）一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 函数f(x)=5+2x −x 2(−1≤x ≤4)的最大值是 ( )A. 5B. 7C. 6D. 82. 已知函数f(x)=−x 2+2x +4，则当x ∈(0,3]时，f(x)的最大值为( )A. 4B. 1C. 3D. 53. 函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为 ( )A. f(32)，f(−32)B. f(0)，f(32) C. f(−32)，f(0)D. f(0)，f(3)4. 已知函数f(x)={−x 2+ax −3a,x ≥12ax +1,x <1在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. (−12,0)B. [−12,0)C. (−∞,2]D. (−∞,0)5. 函数y =x 2−2x +3在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. [0,2]C. (−∞,2]D. [1,2]二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。
在每小题有多项符合题目要求） 6. 几位同学在研究函数f(x)=|x|+2x 2−4时给出了下列结论正确是( )A. f (x )的图象关于y 轴对称B. f (x )在(2,+∞)上单调递减C. f (x )的值域为RD. 当x ∈(−2,2)时，f (x )有最大值第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）7. 已知函数f(x)=mx 2−mx −1.若对于x ∈{x|1≤x ≤3}，f(x)<5−m 恒成立，则实数m 的取值范围为 ．8. 若x 2−2ax +a +2≥0对任意x ∈[0,2]恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 9. 函数f(x)=√x 2−5x−6的单调递增区间是 ．四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。
高一数学 函数单调性与最值(含解析)
函数单调性引入对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ，，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义一般地，设函数 的定义域为 ： 如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f(x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【例5】证明：函数 在R 上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数 在区间 上是增函数。
人教A版高中数学必修一函数的最值同步练习新
1.3.1.2函数的最值一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋7 x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对[答案] A[解析] 分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最小者．当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10， 当－1≤x ≤1时，6≤x ＋7≤8. ∴f (x )min ＝f (－1)＝6， f (x )max ＝f (2)＝10. 故选A.2．函数y ＝x |x |的图象大致是( )[答案] A[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ≥0－x 2 x <0，故选A.3．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量x 单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元[答案] C[解析] 设公司在甲地销售x 辆(0≤x ≤15，x 为正整数)，则在乙地销售(15－x )辆， ∴公司获得利润 L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30.∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元． 故选C.[点评] 列函数关系式时，不要出现y ＝－x 2＋21x ＋2x 的错误． 4．已知f (x )在R 上是增函数，对实数a 、b 若a ＋b ＞0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )－f (b )＞f (－a )－f (－b ) D ．f (a )－f (b )＜f (－a )＋f (－b ) [答案] A[解析] ∵a ＋b ＞0 ∴a ＞－b 且b ＞－a ，又y ＝f (x )是增函数 ∴f (a )＞f (－b ) 且f (b )＞f (－a )故选A.5．(河南郑州市智林学校2009～2010高一期末)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1][答案] D[解析] ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数，∴a ≤1， 又∵g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，∴a >0，∴0<a ≤1.6．函数y ＝3x ＋2x －2(x ≠2)的值域是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，2]C ．{y |y ∈R 且y ≠2}D ．{y |y ∈R 且y ≠3}[答案] D[解析] y ＝3x ＋2x －2＝3(x －2)＋8x －2＝3＋8x －2，由于8x －2≠0，∴y ≠3，故选D.7．函数y ＝f (x )的图象关于原点对称且函数y ＝f (x )在区间[3,7]上是增函数，最小值为5，那么函数y ＝f (x )在区间[－7，－3]上( )A ．为增函数，且最小值为－5B ．为增函数，且最大值为－5C ．为减函数，且最小值为－5D ．为减函数，且最大值为－5 [答案] B[解析] 由题意画出示意图，如下图，可以发现函数y ＝f (x )在区间[－7，－3]上仍是增函数，且最大值为－5.8．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|有( ) A ．最大值4，最小值0 B ．最大值0，最小值－4 C ．最大值4，最小值－4 D ．最大值、最小值都不存在 [答案] C[解析] y ＝|x －3|－|x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 (x ≥3)2－2x (－1＜x ＜3)4 (x ≤－1)，因此y ∈[－4,4]，故选C.9．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( ) A ．f (－1)<f (1)<f (2) B ．f (1)<f (2)<f (－1) C ．f (2)<f (－1)<f (1) D ．f (1)<f (－1)<f (2) [答案] B[解析] 因为二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，所以f (－1)＝f (3)．又函数f (x )的图象为开口向上的抛物线，知f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，故f (1)<f (2)<f (3)＝f (－1)．故选B.10．(08·重庆理)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为( )A.14 B.12 C.22D.32[答案] C[解析] ∵y ≥0，∴y ＝1－x ＋x ＋3 ＝4＋2(x ＋3)(1－x ) (－3≤x ≤1)，∴当x ＝－3或1时，y min ＝2，当x ＝－1时，y max ＝22，即m ＝2，M ＝22，∴m M ＝22.二、填空题11．函数y ＝－x 2－10x ＋11在区间[－1,2]上的最小值是________． [答案] －13[解析] 函数y ＝－x 2－10x ＋11＝－(x ＋5)2＋36在[－1,2]上为减函数，当x ＝2时，y min ＝－13.12．已知函数f (x )在R 上单调递增，经过A(0，－1)和B(3,1)两点，那么使不等式|f (x ＋1)|<1成立的x 的集合为________．[答案] {x |－1<x <2}[解析] 由|f (x ＋1)|<1得－1<f (x ＋1)<1，即f (0)<f (x ＋1)<f (3)，∵f (x )在R 上是增函数， ∴0<x ＋1<3∴－1<x <2∴使不等式成立的x 的集合为{x |－1<x <2}．13．如果函数f (x )＝－x 2＋2x 的定义域为[m ，n ]，值域为[－3,1]，则|m －n |的最小值为________．[答案] 2[解析] ∵f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，当m ≤x ≤n 时，－3≤y ≤1，∴1∈[m ，n ]， 又令－x 2＋2x ＝－3得，x ＝－1或x ＝3， ∴－1∈[m ，n ]或3∈[m ，n ]，要使|m －n |最小，应取[m ，n ]为[－1,1]或[1,3]，此时|m －n |＝2. 三、解答题14．求函数f (x )＝－x 2＋|x |的单调区间．并求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大、小值． [解析] 由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．①∵f (x )＝－x 2＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x ≥0)－x 2－x (x ＜0)即f (x )＝⎩⎨⎧－(x －12)2＋14(x ≥0)－(x ＋12)2＋14(x ＜0)作出其在[－1,2]上的图象如右图所示由图象可知，f (x )的递增区间为(－∞，－12)和[0，12]，递减区间为[－12，0]和[12，＋∞)．②由图象知：当x ＝－12或12时，f (x )max ＝14，当x ＝2时，f (x )min ＝－2.15．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2(0≤x ≤400)，80000 (x ＞400)，其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) [解析] (1)设月产量为x 台，则总成本为u (x )＝20000＋100x ，从而f (x )＝R (x )－u (x )， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20000(0≤x ≤400)，60000－100x (x ＞400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x ＞400时，f (x )＝60000－100x 是减函数，f (x )＜60000－100×400＝20 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000.答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元． 16．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x (x ∈[2，＋∞))，(1)证明函数f (x )为增函数． (2)求f (x )的最小值．[解析] 将函数式化为：f (x )＝x ＋3x ＋2①任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(1－3x 1x 2)．∵x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0，又∵x 1≥2，x 2＞2，∴x 1x 2＞4,1－3x 1x 2＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即：f (x 1)＜f (x 2)． 故f (x )在[2，＋∞)上是增函数． ②当x ＝2时，f (x )有最小值112.。
高一数学 必修一函数的最大(小)值
答案：y＝f(x)在x＝－1.5处取得最小值，即ymin＝－2，在 x＝3处取得最大值，即ymax＝3.
点评：用图象法求最值的一般步骤是
栏 目 链 接
跟踪 训练
1．函数f(x)的图象如下图所示，则最大值、最小值分别为 ()
栏 目 链 接
点评：1.解决实际问题，首先要理解题意，然后建立数学 模型转化成数学问题解决．
2．分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关 栏
键．
目 链
接
3．对分段函数求最大(小)值时，要分别求出函数在各段
上的最大(小)值，然后比较，最大(小)的一个即为函数的最大
(小)值．
跟踪 训练
栏 目
首选方法．
链
接
跟踪 训练
2．求函数f(x)＝
在区间[2,5]上的最大值与最小值． 栏
目 链 接
栏 目 链 接
题型三 实际问题中的最值
例3 A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地
建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全，核电站距城
____3____．
栏 目
3．函数y＝x2－2x＋4的最小值为___3____ .
链 接
4．函数f(x)＝ (x∈R)的最大值是____1____，最小值是 __不__存__在__.
栏 目 链 接
题型一 利用函数的图象求函数的最值 例1 函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象如下图所示，求它的最 大值、最小值．
2．若函数f(x)满足：对定义域中的任意x都有f(x)≥f(2)，能 说函数f(x)的最小值是f(2)吗？
栏
解析：由最小值的定义可知函数f(x)的最小值是f(2)．但取 目
(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：3.1.2.2 函数的最大值、最小值 (含答案)
第2课时函数的最大值、最小值1.函数的最值(1)定义．前提函数f(x)的定义域为D,且x0∈D,对任意x∈D 条件都有f(x)≤f(x0)都有f(x)≥f(x0)结论最大值为f(x0),x0为最大值点最小值为f(x0),x0为最小值点最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点①配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；②换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；③数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观求出；④利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值．最值点是点吗？提示：不是，是实数值，是函数值取得最值时的自变量x 的值．2．直线的斜率(1)直线斜率的定义．平面直角坐标系中的任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当x 1≠x 2时，称y 2－y 1x 2－x 1 为直线的斜率，记作Δy Δx ； ②当x 1＝x 2时，称直线的斜率不存在．(2)直线的斜率与函数单调性的关系①函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0． ②函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0．3．函数的平均变化率(1)平均变化率的定义：若I 是函数y ＝f (x )的定义域的子集，对任意x 1，x 2∈I ，且x 1≠x 2，记y 1＝f (x 1)，y 2＝f (x 2)，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫即Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1 ， 称Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1为函数在区间[x 1，x 2](x 1<x 2时)或[x 2，x 1](x 1>x 2时)上的平均变化率．(2)函数的平均变化率与函数的单调性y ＝f (x )在I 上是增函数⇔Δy Δx >0在I 上恒成立y ＝f (x )在I 上是减函数⇔Δy Δx <0在I 上恒成立函数图像上任意两点连线的斜率大于0时，函数图像从左向右的变化趋势是什么？提示：函数图像从左向右逐渐上升．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)任何函数都有最大值、最小值．( × )提示：如函数y ＝1x 既没有最大值，也没有最小值．(2)一个函数的最大值是唯一的，最值点也是唯一的．( × )提示：函数的最大值是唯一的，但最值点不唯一，可以有多个最值点．(3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率．( × )提示：过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x 1≠x 2.2．过函数图像上两点A (－1，3)，B (2，3)的斜率Δy Δx ＝________．【解析】Δy Δx ＝3－32＋1＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，x ∈[1，3]，则函数f (x )的最大值为________，最小值为________．【解析】f (x )＝x －1x ＋1 ＝1－2x ＋1，x ∈[1，3]， 因为f (x )在[1，3]上为增函数，所以f(x)max＝f(3)＝1＝f(1)＝0.2，f(x)min答案：120类型一利用函数的图像求最值(数学运算、直观想象)1．(2021·太原高一检测)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图像，则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3D．当直线y＝t与y＝f(x)的图像有三个交点时－1<t<2【解析】选C.A选项，由函数图像可得，f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，故A错；B选项，由图像可得，f(x)在区间(－1，3)上的最大值为f(1)＝3，无最小值，故B错；C选项，由图像可得，f(x)在[－4，1]上有最小值f(－1)＝－2，有最大值f(1)＝3，故C正确；D选项，由图像可得，为使直线y＝t与y＝f(x)的图像有三个交点，只需－1≤t≤2，故D错．2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.则f (x )的最小值、最大值点分别为________，________．【解析】作出函数f (x )的图像(如图).由图像可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值，最小值为0，故f (x )的最小值为0，最大值点为±1.答案：0 ±13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5]， (1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出f (x )的图像．(2)由图像指出函数f (x )的最值点，求出最值．【解析】(1)由题意，当x ∈[－1，2]时，f (x )＝－x 2＋3，为二次函数的一部分；当x ∈(2，5]时，f (x )＝x －3，为一次函数的一部分；所以，函数f (x )的图像如图所示：(2)由图像可知，最大值点为0，最大值为3；最小值点为2，最小值为－1.图像法求最值、最值点的步骤【补偿训练】 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2－x （0≤x≤2），2x －1（x ＞2），求函数f(x)的最大值、最小值． 【解析】作出f(x)的图像如图：由图像可知，当x ＝2时，f(x)取最大值为2；当x ＝12 时，f(x)取最小值为－14 .所以f(x)的最大值为2，最小值为－14 .【拓展延伸】求二次函数最值的常见类型及解法求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论．求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在区间[m ，n ]上的最值一般分为以下几种情况：(1)若对称轴x ＝－b 2a 在区间[m ，n ]内，则最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，最大值为f (m )，f (n )中较大者(或区间端点m ，n 中与直线x ＝－b 2a 距离较远的一个对应的函数值为最大值).(2)若对称轴x ＝－b 2a <m ，则f (x )在区间[m ，n ]上是增函数，最大值为f (n )，最小值为f (m ).(3)若对称轴x ＝－b 2a >n ，则f (x )在区间[m ，n ]上是减函数，最大值为f (m )，最小值为f (n ).【拓展训练】1．定轴定区间上的最值问题【例1】已知函数f (x )＝3x 2－12x ＋5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．(1)R .(2)[0，3].(3)[－1，1].【思路导引】求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图像法求解．【解析】f (x )＝3x 2－12x ＋5＝3(x －2)2－7.(1)当x ∈R 时，f (x )＝3(x －2)2－7≥－7，当x ＝2时，等号成立．故函数f (x )的最小值为－7，无最大值．(2) 函数f (x )＝3(x －2)2－7的图像如图所示，由图可知，在[0，3]上，函数f (x )在x ＝0时取得最大值，最大值为5；在x ＝2时取得最小值，最小值为－7.(3)由图可知，函数f (x )在[－1，1]上是减函数，在x ＝－1时取得最大值，最大值为20；在x ＝1时取得最小值，最小值为－4.(1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 上是增函数，当x ＝－b 2a 时，函数取得最小值． (2)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 上是减函数，当x ＝－b 2a 时，函数取得最大值． 2．动轴定区间上的最值问题【例2】已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1，1]，求函数f (x )的最小值．【思路导引】二次函数开口方向确定，对称轴不确定，需根据对称轴的不同情况分类讨论．可画出二次函数相关部分的简图，数形结合解决问题．【解析】f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的图像开口向上，且对称轴为直线x＝a.当a≥1时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；当－1<a<1时，函数图像如图(2)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为f(a)＝2－a2；当a≤－1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.3．定轴动区间上的最值问题【例3】已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式．【思路导引】二次函数的解析式是确定的，但定义域是变化的，需依据t的大小情况画出对应的简图(二次函数的一段)，从而求解．【解析】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图像如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图像如图(2)所示，最小值为g (t )＝f (1)＝1；当t >1时，函数图像如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数， 所以最小值为g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.本题中给出的区间是变化的，从运动的观点来看，让区间从左向右沿x 轴正方向移动，分析移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．类型二 函数的平均变化率与单调性、最值(数学运算、逻辑推理)【典例】已知函数f (x )＝2x －3x ＋1. (1)判断函数f (x )在区间[0，＋∞)上的单调性，并用平均变化率证明其结论．【思路导引】任取x1，x2∈[0，＋∞)⇒Δf（x）Δx>0⇒函数单调递增【解析】f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，f(x2)－f(x1)＝2x2－3x2＋1－2x1－3x1＋1＝（2x2－3）（x1＋1）（x1＋1）（x2＋1）－（2x1－3）（x2＋1）（x1＋1）（x2＋1）＝5（x2－x1）（x1＋1）（x2＋1）.所以Δf（x）Δx＝5（x2－x1）（x1＋1）（x2＋1）x2－x1＝5（x1＋1）（x2＋1）.因为x1，x2∈[0，＋∞)，所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以Δf（x）Δx>0，所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．(2)求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值．【思路导引】由第(1)问可知f(x)在[2，9]上是增函数⇒f(2)是最小值，f(9)是最大值【解析】由(1)知函数f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函数f(x)在区间[2，9]上的最大值为f(9)＝2×9－39＋1＝32，最小值为f(2)＝2×2－32＋1＝13.利用函数的平均变化率证明单调性的步骤(1)任取x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2.(2)计算f (x 2)－f (x 1)，Δf （x ）Δx .(3)根据x 1，x 2的范围判断Δf （x ）Δx 的符号，确定函数的单调性．已知函数f (x )＝x ＋1x －2，x ∈[3，7]. (1)判断函数f (x )的单调性，并用平均变化率加以证明．【解析】函数f(x)在区间[3，7]内单调递减，证明如下： 在[3，7]上任意取两个数x 1和x 2，且x 1≠x 2，因为f(x 1)＝x 1＋1x 1－2 ，f(x 2)＝x 2＋1x 2－2， 所以f(x 2)－f(x 1)＝x 2＋1x 2－2 －x 1＋1x 1－2 ＝3（x 1－x 2）（x 1－2）（x 2－2）. 所以Δf （x ）Δx ＝3（x 1－x 2）（x 1－2）（x 2－2）x 2－x 1 ＝－3（x 1－2）（x 2－2）， 因为x 1，x 2∈[3，7]，所以x 1－2＞0，x 2－2＞0，所以Δf （x ）Δx ＜0，函数f(x)为[3，7]上的减函数．(2)求函数f (x )的最大值和最小值．【解析】由单调函数的定义可得f(x)max ＝f(3)＝4，f(x)min ＝f(7)＝85 .类型三 常见函数的最值问题(直观想象、数学运算)不含参数的最值问题【典例】函数f(x)＝－2x 2＋x ＋1在区间[－1，1]上最小值点为________，最大值为________．【思路导引】求出一元二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系解题．【解析】函数f(x)＝－2x 2＋x ＋1的对称轴为x ＝－12×（－2） ＝14 ，函数的图像开口向下，所以函数的最小值点为－1，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 ＝－2×116 ＋14 ＋1＝98 .答案：－1 98含参数的最值问题【典例】设a 为实数，函数f(x)＝x 2－|x －a|＋1，x ∈R .(1)当a ＝0时，求f (x )在区间[0，2]上的最大值和最小值．【思路导引】代入a 的值，化简后求最值．【解析】当a ＝0，x ∈[0，2]时函数f (x )＝x 2－x ＋1，因为f (x )的图像开口向上，对称轴为x ＝12 ，所以，当x ＝12 时f (x )值最小，最小值为34 ，当x ＝2时，f (x )值最大，最大值为3.(2)当0<a <12 时，求函数f (x )的最小值．【思路导引】讨论对称轴与区间的位置关系求最值．【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ＋1，x ≥a ，x 2＋x －a ＋1，x <a .①当x ≥a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2 ＋a ＋34 . 因为0<a <12 ，所以12 >a ，则f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝34 ＋a ； ②当x <a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2 －a ＋34 .因为0<a <12 ，所以－12 <a ，则f (x )在(－∞，a )上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝34 －a .综上，f (x )的最小值为34 －a .将本例的函数改为f (x )＝x 2－2ax ＋1，试求函数在区间[0，2]上的最值．【解析】函数的对称轴为x ＝a ，(1)当a <0时，f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝1；当0≤a ≤2时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋1；当a >2时，f (x )在区间[0，2]上是减函数，所以f (x )min ＝f (2)＝5－4a ，所以f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a <0，－a 2＋1，0≤a ≤2，5－4a ，a >2.(2)当a ≤1时，f (x )max ＝f (2)＝5－4a ；当a >1时，f (x )max ＝f (0)＝1，所以f (x )max ＝⎩⎨⎧5－4a ，a ≤1，1，a >1.一元二次函数的最值(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值．(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x ＝m ，区间[a ，b ]为例，①最小值：f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （a ），m ≤a ，f （m ），a ≤m ≤b ，f （b ），m ≥b .②最大值：f (x )max ＝⎩⎨⎧f （a ），m ≥a＋b 2，f （b ），m <a ＋b 2． 当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系．(1)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，求f (x )在[0，1]上的最大值.【解析】因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图像开口向上，其对称轴为x ＝a 2 ，当a 2 ≤12 ，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ；当a 2 ＞12 ，即a ＞1时，f (x )的最大值为f (0)＝1.(2)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，求f (x )在[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值．【解析】f (x )＝x 2－x ＋1，其图像的对称轴为x ＝12 ， ①当t ≥12 时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1； ②当t ＋1≤12 ，即t ≤－12 时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数，所以f (x )min ＝f (t ＋1)＝t 2＋t ＋1；③当t ＜12 ＜t ＋1，即－12 ＜t ＜12 时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1 上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝34 .1．(2020·西安高一检测)函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0，3]上的最大值为( )A ．9B ．9(1－a )C ．9－aD ．9－a 2【解析】选A.因为a ＞0，所以f (x )＝9－ax 2开口向下，以y 轴为对称轴，所以f (x )＝9－ax 2在[0，3]上单调递减，所以x ＝0时，f (x )最大值为9.2．函数f (x )＝x ＋2x －1 ( )A ．有最小值12 ，无最大值B ．有最大值12 ，无最小值C ．有最小值12 ，有最大值2D ．无最大值，也无最小值 【解析】选A.f (x )＝x ＋2x －1 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ ，在定义域内单调递增，所以f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝12 ，无最大值． 3．(2021·菏泽高一检测)设f (x )＝x 2－2ax ＋a 2，x ∈[0，2]，当a ＝－1时，f (x )的最小值是________，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．【解析】当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋2x ＋1，开口向上，对称轴为x ＝－1， 所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋1在(0，2)上单调递增，所以函数在x ∈[0，2]上的最小值f (x )min ＝f (0)＝1.若f (0)是f (x )的最小值，说明对称轴x ＝a ≤0，则a ≤0，所以a 的取值范围为(－∞，0].答案：1 (－∞，0]【补偿训练】二次函数f (x )＝12 x 2－2x ＋3在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则实数m 的取值范围是________．【解析】因为f (x )＝12 x 2－2x ＋3在[0，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．则当0<m <2时，⎩⎨⎧f （0）＝3，f （m ）＝1， 此时无解；当2≤m ≤4时，x ＝2时有最小值1，x ＝0时有最大值3，此时条件成立； 当m >4时，最大值必大于f (4)＝3，此时条件不成立．综上可知，实数m 的取值范围是[2，4].答案：[2，4]备选类型 函数最值的应用(数学建模)【典例】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：厘米)满足关系式：C (x )＝k 3x ＋5 (0≤x ≤10).若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )最小？并求其最小值．【思路导引】【解析】(1)由题意知C(0)＝8，代入C(x)的关系式，得k ＝40，因此C(x)＝403x ＋5 (0≤x≤10)，而每厘米厚的隔热层建造成本为6万元， 所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋6x ＝8003x ＋5＋6x(0≤x≤10). (2)令t ＝3x ＋5，由0≤x≤10，得5≤t≤35，从而有函数h(t)＝800t ＋2t －10(5≤t≤35).令5≤t 1<t 2≤35，则h(t 1)－h(t 2)＝(t 1－t 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－800t 1t 2 ， 当5≤t 1<t 2≤20时，h(t 1)－h(t 2)＝(t 1－t 2)(2－800t 1t 2)>0； 当20≤t 1<t 2≤35时，h(t 1)－h(t 2)＝(t 1－t 2)(2－800t 1t 2)<0. 所以h(t)＝800t ＋2t －10(5≤t≤35)在区间[5，20]上单调递减，在区间[20，35]上单调递增，所以当t ＝20时，h(t)min ＝70，即当t ＝3x ＋5＝20，x ＝5时，f(x)min ＝70.所以当隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小，为70万元．(1)通过换元，使函数式变得简单，易于研究其单调性．(2)以20为分界点将[5，35]分成两个单调区间，可结合对勾函数的单调性规律来理解．(2020·枣庄高一检测)某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20 000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益(单位：元)满足分段函数φ(x)，其中φ(x)＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0<x ≤400，80 000，x>400，x 是“玉兔”的月产量(单位：件)，总收益＝成本＋利润． (1)试将利润y 表示为月产量x 的函数．(2)当月产量为多少件时利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)依题设，总成本为20 000＋100x ，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0<x≤400，且x ∈N ，60 000－100x ，x >400，且x ∈N .(2)当0<x ≤400时，y ＝－12 (x －300)2＋25 000，则当x ＝300时，y max ＝25 000；当x >400时，y ＝60 000－100x 是减函数，则y <60 000－100×400＝20 000，所以当月产量为300件时，有最大利润25 000元．1．函数f (x )的图像如图，则其最大值、最小值点分别为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 ，－32B ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ，f (0) D ．f (0)，32 【解析】选D.观察函数图像，f (x )最大值、最小值点分别为f (0)，32 .2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a (x ∈[0，2])有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．6C ．1D ．2【解析】选B.f (x )＝x 2＋2x ＋a (x ∈[0，2])为增函数，所以最小值为f (0)＝a ＝－2，最大值f (2)＝8＋a ＝6.3．(2021·大冶高一检测)若函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( )A ．(2，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 ∪[2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 【解析】选D.因为函数y ＝2x －1在(－∞，1)和[2，5)上都是单调递减函数，当x <1时，y <0，x ＝2时，y ＝2，x ＝5时，y ＝12 ，所以函数的值域是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 . 4．(教材练习改编)函数y ＝1x －3在区间[4，5]上的最小值为________． 【解析】作出图像可知y ＝1x －3在区间[4，5]上是减函数(图略)，所以其最小值为15－3＝12 . 答案：125．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有f （a ）－f （b ）a －b＞0成立，且f (－3)＝a ，f (－1)＝b ，则f (x )在[－3，－1]上的最大值是________．【解析】由f （a ）－f （b ）a －b＞0，得f (x )在R 上是增函数， 则f (x )在[－3，－1]上的最大值是f (－1)＝b .答案：b6．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.(1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (x )－kx ≤0在x ∈[2，3]上恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】(1)因为f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)的图像开口向上，且对称轴为x ＝1，所以f (x )在[2，3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f （x ）min ＝f （2）＝4a －4a ＋1＋b ＝1f （x ）max ＝f （3）＝9a －6a ＋1＋b ＝4. 所以a ＝1，b ＝0； (2)由(1)得f (x )＝x 2－2x ＋1，所以不等式f (x )－kx ≤0，即x 2－(2＋k )x ＋1≤0在x ∈[2，3]上恒成立， 令g (x )＝x 2－(2＋k )x ＋1，g (x )的图像开口朝上， 则要使g (x )≤0在x ∈[2，3]上恒成立，所以⎩⎨⎧g （2）＝4－4－2k ＋1≤0g （3）＝9－6－3k ＋1≤0，解得k ≥43 ， 所以实数k 的取值范围为k ≥43 .。
必修一函数的单调性与最值(含答案)
∴函数f(x)在［1,2］上具有“DK”性质.
(2)f(x)=x2-ax+2,x∈［a,a+1］，
其对称轴为x= .
①当 ≤ a，即a≥0时，函数f(x)min=f(a)=a2-a2+2=2.
若函数f(x)具有“DK”性质，则有2≤a总成立，即a≥2.
②当a< <a+1，即-2<a<0时，f(x)min=f( )=- +2.
由已知条件得 ≤ ,则a≤2,f(2)=11-2a≥7.
答案：［7,+∞)
8.【解析】∵5x-2≥0,∴x≥ ,∴y≥0.
又y= (当且仅当x= 时取等号).
答案：
9.【解析】由已知x1≠x2,都有 <0，知f(x)在R上为减函数，则需
解得0<a≤ .
答案：(0, ］
10.【解析】(1)当x>0时，f(x)= .
当a>1时，f(x)在［0，1］上为增函数，由已知有 ,得a=2,综上知a=2.
4.【解析】选 . 由函数解析式知f(x)在(-∞,4)和（4，+∞）都是减函数，又 ∴减区间有两个(-∞,4)和（4，+∞）.
5.【解析】选A.因为f(x+2)的图象关于x=0对称，所以f(x)的图象关于x=2对称，又f(x)在区间(-∞,2)上是增函数，则其在(2，+∞)上为减函数，作出其图象大致形状如图所示.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·青岛模拟)已知函数f(x)= ,
(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并加以证明;
(2)求函数f(x)的值域.
11.（2012·南平模拟）已知函数f(x)=ax2-2x+1.
20120920高一数学(1.3.1-3函数的最值)
6
4
x=1
2
0 -2
2 5
4
6
2 –2x – 3. 例1、已知函数 f(x)= x y = x 2∙x 3 y =[ x – 22 ∙x ， 3 0 ]，求函数f(x)的最值； （1）若x∈ （2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
2 2
10
解：画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x=1
b x =- 2 a ymax= 4ac b
4a
2
y = x2 y = x2
2∙x 2∙x
3 3
练习：已知函数f(x)= –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；
10 8
x2–2x
解：画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x=1 由图知，y=f(x)在[ –2，0 ]上为减函数 故x=-2时有最大值f(-2)=5 x=0时有最小值f(0)=-3
-1 O
2
x
练一练
1.已知y=－x2+ax+3 ，x∈[－1,1]， 求y的最大值
y
O
-1 1
x
总结：求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上 的最值或值域的一般方法是：
b （1）检查x0= 是否属于 [ m，n]； 2a
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0） 中的较大者是最大值,较小者是最小值； （3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大 者是最大值，较小者是最小值.
k+2
5
2
8
k
10
2
即k2-2k-3 ≤ k2+2k-3 即0≤ k<1时
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函数的最值问题（高一）
一．填空题：
1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是 。
1
()f x x =，[]1,3x ∈的最小值是 。
2.
函数y =的最小值是 ，最大值是
3.函数21
2810y x x =-+的最大值是 ，此时x =
4.函数[]23
,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是
5.函数[]3
,2,1y x x x =-∈--的最小值是 ，最大值是
6.函数y=2-x -21
+x 的最小值是。
y x =-的最大值是
7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 最小值是 .
8.函数()2
1f x x =-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。
9.函数y =x x
213+-（x ≥0）的值域是______________.
10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值
11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。
12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值
13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 22225
1x x y x x ++=++的最大值是
14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是
15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是
16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是
17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为：
18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是
19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。
二、解答题
20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。
21.已知二次函数 在 上有最大值2，求a 的值。
[]2,3-∈x 12)(2++=ax x a x f []1,0∈x a ax x x f -++-=12)(2
22.求函数y=x 2-2ax-2在区间[0，2]上的最小值．
23..求函数y=2x 2+x- 1在区间[t, t+2]上的最小值
24.已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3
,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，求实数a 的值。
函数的最大值和最小值问题（高一）
一．填空题：
1.函数[]243,1,1y x x x =-+∈-的最大值是 ，最小值是 8；0
2.
函数y =的最小值是 ，最大值是 0；4
3.函数212810y x x =
-+的最大值是 ，此时x = 12
；2 4.函数[]23,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是 92；113 5.函数[]3,2,1y x x x =-∈--的最小值是 ，最大值是 12
-；2 6.函数y=2-x -21+x 的最小值是。
y x =-的最大值是 12 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 3 最小值是 -3 .
8.函数()21
f x x =
-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。
9.函数y =x x 213+-（x ≥0）的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值
11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。
12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值
13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 222251
x x y x x ++=++的最大值是 6 14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是 （1，3］
15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是 （–1≤a ≤0）
16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__m ∈［1，2］
17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为： －4
9 18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是 [3/2,3]
19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。
二、解答题
20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。
解：因为有固定的对称轴 ，且 （1）若 时，则 即 ∴
（2）若 时，则 即 ∴ 综上可知： 或 21.已知二次函数 在 上有最大值2，求a 的值。
解：分析：对称轴 与区间 的相应位置分三种情况讨论： （1）当 时， ∴
[]2,3-∈x 0>a 4)2(=f 418=+a 3=
a []2,31-∈
-1-=x 0<a 4)1(=-f 412=+
-a a 3-=a 3-=a 3=a 1
2)(2++=ax x a x f []1,0∈x []1,0a x =
0<a 21)0(=-=a f 1-=a a ax x x f -++-=12)(2
（2）当10≤≤a 时， 即 无解；
（3）当 时， ∴a=2. 综上可知：a=-1 或 a=2
22.求函数y=x 2-2ax-2在区间[0，2]上的最小值．
解：对称轴x=a 与区间[0，2] 的相应位置分三种情况讨论：
（1）a ＜0时，在区间[0，2]上单调递增，故ymin=-2
（2）0≤a ≤2时，在对称轴处取最小值，故ymin=-a 2-2
（3）a ＞2时，在区间[0，2]上单调递减，故ymin=2-4a ，
综合可得，a ＜0时，ymin=-2
0≤a ≤2时，ymin=-a 2-2
a ＞2时，ymin=2-4a ．
23..求函数y=2x 2+x- 1在区间[t, t+2]上的最小值
解: 函数y= 2x 2 + x-1 的对称轴是 x=14-
（1）当对称轴x= 1
4-在区间[ t , t+2 ] 的左侧时, 则 t >14- 此时函数y= 2x 2 + x-1在区
间[ t , t+2 ]上是增函数。
所以，当x= t 时 y m in = 2t 2 + t-1
(2) 当对称轴x=14-
在区间[ t , t+2 ] 上时, 则 t ≤14-≤t+2 即 9
4- ≤t ≤14-时，所以，当x=14-时 y m in = 98-
(3)当对称轴x=1
4-
在区间[ t , t+2 ] 的右侧时, 则 t+2<14- 即t <9
4-时， 函数在区间[ t , t+2 ]上是减函数。
所以，当x=t+2 时 y m in =2t 2 +9t+9
24.已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，求实数a 的值。
分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a 0>与a 0<两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。
若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。
解：（1）令2a 1f ()32a --=，得1a 2
=-此时抛物线开口向下，对称轴方程为x 2=-，且32,22⎡⎤-∉-⎢⎥⎣⎦，故12-不合题意； （2）令f (2)3=，得1a 2=此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故1a 2
=符合题意； （3）若3f ()32-
=，得2a 3=-此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故2a 3
=-符合题意。
综上，1a 2=或2a 3=- 1>a 2)1(==a f 21)(2=+-=a a a f 12+-a a。