新教材高中数学课时跟踪检测四十三二倍角的正弦余弦正切公式新人教A版必修第一册

新教材高中数学课时跟踪检测四十三二倍角的正弦余弦正切公式新人教A 版必修第一册课时跟踪检测（四十三） 二倍角的正弦、余弦、正切公式A 级——学考水平达标练1．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35解析：选D cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.2．化简sin 235°－12sin 20°等于( )A ．12B ．－12C ．－1D ．1解析：选B 原式＝1－cos 70°2－12sin 20°＝－cos 70°2sin 20°＝－sin 20°2sin 20°＝－12.3．已知sin θ＝45，sin θcos θ＜0，则sin 2θ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．－45D ．2425解析：选A ∵sin θ＝45＞0，sin θcos θ＜0，∴cos θ＜0.∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425.4．已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，则cos 2α＝( )A ．－35B ．35C ．－45D ．45解析：选D 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，解得tan α＝13，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45.故选D. 5．计算：sin 65°cos 25°＋cos 65°sin 25°－tan 222.5°2tan 22.5°＝( )A ．12B ．1C ． 3D ．2解析：选B 原式＝sin 90°－tan 222.5°2tan 22.5°＝1－tan 222.5°2tan 22.5°＝1tan 45°＝1.6．已知sin 2θ＝34，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π42 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π22＝1＋sin 2θ2，∵sin 2θ＝34，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1＋342＝78.答案：787．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________. 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ＜0，所以θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3·cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＋32×32＝12.答案：128．若1＋tan α1－tan α＝2 019，则1cos 2α＋tan 2α＝________.解析：1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α ＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 019.答案：2 0199．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解：∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.10．(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值； (2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.解：(1)∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352 ＝－45.∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725 ＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.B 级——高考水平高分练1．已知tan x ＝12，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝( )A.110B.15C.35D.910解析：选 D 因为tan x ＝12，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 2＝1＋sin 2x 2＝12＋sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝12＋tan x tan 2x ＋1＝12＋25＝910.2．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝( ) A ．－79B ．－59C ．59D ．79解析：选 B 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝23，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－59.3．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α ＝ sin α cos α ＝43，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.4．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4和cos 2α的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②联立①②，解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×15－1＝－35.5.如图所示，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿由点B 到点E 的方向前进30 m 至点C ，测得顶端A 的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 3 m 到点D ，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．解：∵∠ACD ＝θ＋∠BAC ＝2θ， ∴∠BAC ＝θ，∴AC ＝BC ＝30 m.又∠ADE ＝2θ＋∠CAD ＝4θ，∴∠CAD ＝2θ， ∴AD ＝CD ＝10 3 m.∴在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin 4θ＝103sin 4θ(m)， 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin 2θ＝30sin 2θ(m)， ∴103sin 4θ＝30sin 2θ，即203sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，∴cos 2θ＝32， 又2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2θ＝π6，∴θ＝π12，∴AE ＝30sin π6＝15(m)，∴θ＝π12，建筑物AE 的高为15 m.。