知识讲解_空间点线面的位置关系(基础)

又D、D、FHF、,EC四点共面.
方法二：如图，延长 FE，DC 分别与 AB 交于点 M， M ' ，∵BE // 1 AF，∴B 为 MA 中点。 2
∵BC // 1 AD，∴B 为 M ' A 中点，∴M 与 M ' 重合，即 FE 与 DC 交于点 M（ M ' ）， 2
∴C、D、F、E 四点共面。
MN//AC，∴A、M、N、C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线。
2 是异面直线。证明如下： ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体，∴B、C、C1、D1 不共面。假设 D1B 与 CC1 不是异面直线，则
存在平面 α，使 D1B 平面 α，CC1 平面 α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与 ABCD-A1B1C1D1
由已知可FG得又GA, FH HD,
GH // 1 AD. BC// 1 AD,GH //BC,
2
2
四边形B为C平HG行四边形。
（2）方法一：
BE// 1 AF,G为中FA点知ห้องสมุดไป่ตู้四边BE形/F为G平,行四边形 B，EFG EF2// BG.由(知1)与B共G面//.CH , EF // CH , EF CH
1 AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由；（2）D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理
由。 【解析】（1）不是异面直线。理由：连接 MN、A1C1、AC。∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的
中点，∴MN// A1C1，又∵A1A
CC1，∴A1ACC1为平行四边形。∴A1C1//AC，得到
空间点线面的位置关系
【考纲要求】 1 理解空间直线、平面位置关系的定义； 2 了解可以作为推理依据的公理和定理； 3 能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
【知识网络】
空间点线面位置关系
平面 空间两条直
三个公理、三个推论
平行直
公理 4 及等角定理
异面直
异面直线所成的角
【答案】取 AC 的中点 G，连接 EG、FG，则 EG//AB，GF//CD，且由 AB=CD 知 EG=FG，∴∠GEF（或它的补角）为 EF 与 AB 所成的角，∠ＥＧＦ（或它的补角）为ＡＢ与 ＣＤ所成的角。
∵ＡＢ与 CD 所成的角为 300，∴∠ＥＧＦ=300 或 1500。由 EG=FG 知 ΔEFG 为等腰三角 形，当∠ＥＧＦ=300 时，∠GEF=750；当∠ＥＧＦ=1500 时，∠GEF=150。故 EF 与 AB 所成的 角为 150 或 750。
【解析】要求 EF 与 AB 所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到 E、F 为 中点，故可过 E 或 F 作 AB 的平行线。取 AC 的中点，平移 AB、CD，使已知角和所求的角在 一个三角形中求解。
【点评】（1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另 一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：①直 接平移②中位线平移③补形平移；
求证：点 C1、O、M 共线． 【证明】
A1A∥CC1 确定平面 A1C A1C 面 A1C
O∈面 A1C
O∈A1C 面 BC1D∩直线 A1C＝O
O∈面 BC1D
O 在面 A1C 与平面 BC1D 的交线 C1M 上
D1 A1
C1 B1
D A
O C
M B
∴C1、O、M 共线
举一反三： 【变式】如图，在四面体 ABCD 中作截面 PQR，若 PQ、CB 的延长线交于 M，RQ、DB
是正方体矛盾。∴假设不成立，即 D1B 与 CC1 是异面直线。 【点评】（1）易证 MN//AC，∴AM 与 CN 不异面。（2）由图易判断 D1B 和 CC1 是异面直
线，证明时常用反证法。
举一反三：
【变式】已知 E，F 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 AA1 和棱CC1 上的点，且 AE C1F ，求证：四边形 EBFD1 是平行四边形 【证明】由 AE C1F 可以证得ABE ≌ C1D1F 所以 BE D1F 又可以由正方体的性质证明 BE // D1F 所以四边形 EBFD1 是平行四边形
【点评】（1）G、H 为中点 GH // 1 AD，又 BC // 1 AD GH // BC；（2）方法一：证明
2
2
D 点在 EF、GJ 确定的平面内。方法二：延长 FE、DC 分别与 AB 交于 M， M ' ，可证 M 与
M ' 重合，从而 FE 与 DC 相交。
类型三、异面直线所成的角 例 3 空间四边形 ABCD 中，AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角为 300，E、F 分别是 BC、AD 的 中点，求 EF 与 AB 所成角的大小。
（2）异面直线所成的角
①定义：设 a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a’∥a,b’∥b,把 a’与
b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 与 b 所成的角（或夹角）.
②范围：
0，2
要点诠释：证明两直线为异面直线的方法：
1、定义法（不易操作） 2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，
要点诠释：证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 α，再证明其余元素确定平面 β，最后 证明平面 α、β 重合。
考点二、直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类
共面直线相平交行直直线线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
相交直
异面直线间的距离
空间直 线
空间两个 平面
直线在平面内 直线与平面平行 直线与平面相交 两个平面平行
两个平面相交
垂直 斜交
概念 三垂线定理 直线与平面所成的角
【考点梳理】 考点一、平面的基本性质
1、平面的基本性质的应用 1 公理 1：可用来证明点在平面内或直线在平面内； 2 公理 2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面； 3公理 3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。 2 、平行公理主要用来证明空间中线线平行。
3、公理 2 的推论： 1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面
1 点共线问题 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上。 2 线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问 题转化为证明点在直线上。
公共 点
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号
a
表示
a A
a //
图形 表示
2、两个平面的位置关系
位置关系
图示
两平面平 行
表示法
公共点个数
//
0
两平面相 交
斜交
垂直
a
a
有无数个公共 点在一条直线
上
有无数个公共 点在一条直线
上
考点四、平行公理、等角定理
平行于同一条直线的两条直线互相平行。（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可 能平行，可能相交，也可能异面）
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 要点诠释：
1 以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力； 2 通过判断位置关系，考查空间想象能力； 3 应用公理、定理证明点共线、线共面等问题； 4 多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。
【典型例题】 类型一、异面直线的判定
例 1 如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点。问：
经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中
经常用到。 3、客观题中，也可用下述结论： 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：
考点三、直线和平面、两个平面的位置关系 1、直线和平面的位置关系
位置 关系
直线 a 在平面 α 内
直线 a 与平面 α 相交 直线 a 与平面 α 平行
（2）求异面直线所成角的步骤： ①作：通过作平行线，得到相交直线；
②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角； ③求：通过解三角形，求出该角。 类型四、点共线、线共点、线共面问题 例 4．正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，对角线 A1C 与平面 BDC1 交于 O，AC、BD 交于点 M．
的延长线交于 N，RP、DC 的延长线交于 K。求证：M、N、K 三点共线。
【证明】 因为 M∈PQ 平面 PQR，M∈BC 平面 BCD，又因为 M 是平面 PQR 与平 面 BCD 的一个公共点，即 M 在平面 PQR 与平面 BCD 的交线 l 上。
同理可证：N、K 也在 l 上，所以 M、N、K 三点共线。
类型二、平面的基本性质及平行公理的应用
例 2 如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，
∠BAD=∠FAB=900，BC // 1 AD，BE // 1 FA，G、H 分别为 FA、FD 的中点。
2
2
1 证明：四边形 BCHG 是平行四边形； 2 C、D、F、E 四点是否共面？为什么？ 【解析】（1）