数学物理方法复习整理

数学物理方法

一、本课程授讲内容

第1章 典型数学物理方程及定解问题 第2章 分离变量法 第3章 积分变换法

第4章 行波法与降维法(d ’Alembert 法) 第5章 数学物理方程差分解法

第6章 Green 函数法

第7章 Bessel 方程与函数 二、章节重点

第一章 典型数学物理方程及定解问题 1．名词解释：

(1)定解条件、定解问题、定解问题的适定性； (2).Dirichlet 、Neumann 定解问题；

(3)热传导Fourier 定律、Hooke 弹性定律； (4)发展方程、位势方程、Laplace 方程、Poisson 方程； 2．简述二阶线性偏微分方程分类方法。 3．推导一维波动、热传导方程。

4. 写出二阶偏微分方程的特征方程及其特征曲线。

5. 书1.4习题：1，3，4，7，8，9

6. 书例1.1.1，例1.1.3，例1.1.6，例1.2.1 第二章 分离变量法 1．名词解释：

(1)特征值、特征函数、Sturm-Liouville 问题； (2)驻波、腹点、节点、基频、固有频率； (3)三角函数系正交性； (4)Fourier 级数；

(5)矩形、园域上Laplace 问题；

2．简述采用分离变量法求解齐次边界条件的齐次线性偏微分方程定解问题的步骤。

3．书2.7习题：1，4，6，8，15，16（P65-67）。 4. 书例题：2.1.1、2.1.2、2.2.1。 第三章 积分变换法 1．名词解释：

(1)Fourier 变换； (2)Laplace 变换；

(3)Fourier 变换线性性质，位移性质，微分性质； (4)Laplace 变换线性性质，平移性质，微分性质； 2．简述积分变换法求解偏微分方程定解问题的基本骤 。 3．写出Fourier 变换、Laplace 变换存在条件。 4. 用Fourier 变换法推导无限长弦振动的d ’Alembert 公式。 5. 书3.6习题：1(1)(2)，6，9(1)(2),12,13（P93-94）。 6. 书例题：3.1.1；3.1.2；3.3.1、2、3、4、6；

例3.4.1、3.4.2、3.4.3解的像函数。 第四章 行波法与降维法(d ’Alembert 法) 1．名词解释：

(1)无限长弦自由振动的d ’Alembert 公式； (2)行波速度；

(3)特征变换，特征线； (4)球对称性，降维法；

2．简述d ’Alembert 公式的物理意义。 3．简述行波法与驻波法的区别。

4. 用行波法推导无限长弦的d ’Alembert 公式。

5. 书4.3习题：3，4。

6. 书例题：4.1.1；4.1.2。

第五章 数学物理方程差分解法 1．名词解释：

(1)二元函数的二阶中央差商； (2)逼近误差； (3)差分方程；

(4)球对称性，降维法；

2．简述用数值差分法求解偏微分方程的基本原理。 3．简述有限差分法求解应用问题的一般步骤。 4. 课件例题及习题。 第六章 Green 函数法 1．名词解释：

(1)Dirichlet 定解问题； (2)Neumann 定解问题；

(3)二维三维Laplace 方程基本解； 2．简述调和函数基本性质一及其物理意义。 3．简述调和函数平均值定理及其物理意义。 4. 简述Green 函数的物理意义。

5. 求解Laplace 方程在半空间x > 0 内的Dirichlet 问题。

6. 求解Laplace 方程在半空间y > 0 内的Dirichlet 问题。

7. 书5.6习题：6，7。 第七章 Bessel 方程与函数 1.名词解释：

(1)Helmholts 方程； (2)Bessel 方程； (3)Bessel 函数；

(4)Bessel 函数正交性；

2.简述整数阶Bessel 函数J0(x)和J1(x)的重要意义，并描绘其简图。

3.简述Bessel 函数零点的概念和特征。

4.设有半径为R 的薄圆盘，上下两面绝热，圆盘边界上温度始终保持为0，且初始温度已知，写出圆 盘内温度分布的定解问题。

5.书

6.5习题：6，7，8(1)。 6.书例题：6.2.1；6.2.2。