直线的法向量与点法式方程

A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 点法式方程
(1)v = (7, 2); (2)v = (−7, −2); r r (3)v = (−7, 0); (4)v = (0, 2).
r 2、已知直线的一个方向向量 v ， r 求它的一个法向量 n 。 r r
(1)n = (3,5); (2)n = (−3, −5); r r (3)n = (−3, 0); (4)n = (0,5).
作 业
课本86页 —第6题 练习册62页 —B组第3题
r 3、已知直线 l 的法向量为 n = (2, −3) ， 且与两坐标轴围成的三角形的面积为3， 求直线 l 的方程。 解：设直线 l与 x 轴相交于( a, 0) ， 由点法式方程，得
典 题
2( x − a ) + (−3)( y − 0) = 0
直线的一个法向量。 再由直线的点法式方程，得
整理，得所求直线方程为
4( x + 1) − 6( y + 1) = 0
整理，得所求直线方程为
2x − 3 y −1 = 0
直线的法向量 直线的点法式方程
r r n v k
A ( A, B ) ⇒ ( B, − A)或(− B, A) ⇒ k = − B (−k ,1) ⇐ (1, k ) ⇐ k
x
P0 ( x0 , y0 )
O
r r r v = ( B, − A) 则 v n = ( B, − A)( A, B) = B × A + (− A) × B = 0 r r r n = ( A, B ) 是直线 l 的一个法向量，则向量 的一个法向量， 所以 v ⊥ n r v = ( B, − A) 就是直线的一个方向向量。 就是直线的一个方向向量。
不唯一，互相平行（共线） 不唯一，互相平行（共线）
r 直线的法向量：与直线垂直的非零向量， 直线的法向量：与直线垂直的非零向量， 用 n 表示 垂直的非零向量
不唯一，互相平行（共线） 不唯一，互相平行（共线）
y
r n = ( A, B )
l P ( x, y ) r v = ( B, − A)
r r uuuu n p0 p = 0
r 1、已知直线的一个法向量 n ， r 求它的一个方向向量 v 。 r r
3、(1)直线的一个方向向量为 r v = (2, 2) ，则它的斜率k = r 它的一个法向量n = 。 r (2)直线的一个法向量为n = (1,1)， r 则它的一个方向向量 v = 它的斜率 k = 。
热 身 练 习
点向式方程： v2 ( x − x0 ) − v1 ( y − y0 ) = 0
x − x0 y − y0 = (v1 ≠ 0, v2 ≠ 0) v1 v2
点斜式方程： ( y − y0 ) = k ( x − x0 ) 斜截式方程： y = kx + b
直线的法向量 与点法式方程
r 与直线平行的非零向量， 平行的非零向量 直线的方向向量： 与直线平行的非零向量，用 v 表示 直线的方向向量：
即
2a 2a 令 x = 0 ，得 y = − 3
由三角形面积公式，得
2 x − 3 y − 2a =ห้องสมุดไป่ตู้0
1 2a S = | a || − |= 3 2 3 解得a = ±3
所以直线 l 的方程为
2 x − 3 y − 6 = 0或2 x − 3 y + 6 = 0
A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 1、求过点 P (1, 2)，且一个法向量为 r n = (3, 4) 的直线方程。 解：由直线的点法式方程，得
3( x − 1) + 4( y − 2) = 0
典 题
3x + 4 y − 11 = 0 2、已知点 A(−3, 2), B(1, −4) ，求线 段 AB 的垂直平分线的方程。 uuu r 解：由题意，向量 AB 即为所求 r 直线的一个法向量,即 n = (4, −6) ， 设法用已知的条件找到所求 线段AB 的中点坐标是(−1, −1)