复变函数公式定理合集

=
p! 2πi
C
(ζ
f (ζ) − z)p+1
dζ
.
ˆ
ˆ
9. F (z) = f (t, z) dt ⇒ F ′(z) = ∂f (t, z) dt
C
C ∂z
要求 f (t, z) 单值解析, C 分段光滑（可以是实轴的一部分）.
10.
ζ ∈ ∂G ; z ∈ G ; |f (ζ)| ≤ M ; |ζ − z| ≥ R 有
有一个例外.
13. * 伯努利数
ez
z −
1
=
∑ ∞
Bn zn, n!
|z| < 2π
n=1
4
B2n+1
=
1 − 2 δn0
[∑ k/2]
k!
B2n
1 =
(k − 2n + 1)! (2n)! 2
n=0
B2
=
1 ,
6
B4
=
1 − 30 ,
B6
=
1 ,
42
B8
=
1 − 30 ,
B10
=
5 66
B12
则
1 2πi
˛
C
w′(z) w(z)
dz
=
N (w, C)
−
P (w, c)
=
∆C
arg w(z) 2π
其中其中 N (w, C) 与 P (w, C) 分别表示 w(z) 在 C 内零点与极点的个数（一
个 m 阶零点算作 m 个零点; 一个 n 阶极点算 n 个极点）.
12. 儒歇定理 函数 w(z) 和 φ(z) 在简单闭合曲线 C 内以及 C 上解析, 且在 C 上恒满 足 |w(z)| > |φ(z)| , 则函数 w(z) 与 w(z) + φ(z) 在 C 内有同样多的零点（几阶算 几个）.
=
691 −
2730
B14
=
7 6
B16
=
3617 −,
510
···
14. * 欧拉数
2ez/2 ez + 1
=
1
cos
z 2
= ∑ ∞ En ( z )n , n! 2
n=0
|z| < π
E2n+1 = 0,
∑k
(2k)! (2l)!(2k −
2l)! E2l
=
0,
l=0
E0 = 1, E2 = −1, E4 = 5, E6 = −61, · · ·
复变函数公式定理合集
吕铭 物理 21 2013 年 6 月 20 日
1 解析函数
1.
柯西 –
黎曼方程:
∂u ∂x
=
∂v ∂y
;
∂u ∂y
∂v = −∂x
(
⇔
i∂f ∂x
=
∂f ∂y
⇔
∂f ∂z∗
=0
)
( ∂u
)( ∂u
∂v/∂y
)
,−
=0
∂y ∂x −∂v/∂x
∂2u ∂2u ∂2v ∂2v ∂x2 + ∂y2 = ∂x2 + ∂y2 = 0 函数可导的充要条件是柯西 – 黎曼方程成立且 u 和 v 可微.
uk(z) dz ( C 分段光滑)
C k=1
k=1 C
(c)
( ∑ ∞
)(p)
uk(z)
=
∑ ∞
u(kp)(z)
k=1
k=1
∑ ∞
n∑−1
6. 渐近级数（在一定辐角范围内） w(z) ∼ ψk(z) ⇔ w(z) − ψk(z) ∼ ψn(z)
k=1
k=1
7. 阿贝尔定理:
3
∑ ∞
(a)
cn(z − a)n 在 z = z0 收敛, 则它在 |z − a| < |z0 − a| 上绝对收敛, 内闭一
) 1
5. 黎曼存在定理: 在扩充的复平面上任意两单连通区域存在唯一的（单叶）保角映射
使得两区域可以相互变换.
6. 保角变换: 对于 f (x + iy) = ξ + iη ;
[ ∂2
∂2 ]
∂x2 + ∂y2 u(x, y) = ρ(x, y)
[ ∂2
∂2 ]
1
⇐⇒
∂ξ2 + ∂η2 u(x(ξ, η), y(ξ, η)) = |f ′(z)|2 ρ(x(ξ, η), y(ξ, η))
1) B2nz2n
n=1
ln
tan z z
=
∑ ∞ (−)n−1
22n(22n−1 − n(2n)!
1)
B2nz2n
n=1
π |z| <
2 π |z| < 2
tan z = z + z3 + 2z4 + O (z6) 3 15
cot z = 1 − z − z3 − 2z5 + O (z6) z 3 45 945
C
k=1
2.
z = b 是 f (z) 的 m 阶极点,
a−1 =
(m
1 −
1)!
dm−1 dzm−1 (z
−
b)mf (z)
z=b
3. z = b 是 f (z) 的一阶极点, a−1 = lim(z − b)f (z)
z→b
4.
f (z) = P (z) , Q(z)
z = b 是 Q(z) 的一阶零点,
dζ
(C ⊂ G)
11. 解析函数的零点孤立性定理: 若 f (z) 不恒等于零, 且在包含 z = a 在内的区域内 解析, 则必能找到圆 |z − a| < ρ , 使在圆内除了 z = a 可能为零点外, f (z) 再无 其他零点. 推论包括解析函数的唯一性定理, 解析延拓的意义等.
12. 奇点:
2. sin iz = i sinh z ; cos iz = cosh z
(√
)
(√
)
3. sinh−1 z = ln z + z2 + 1 ; cosh−1 z = ln z + z2 − 1
4.
arcsin
z
=
1 i
( ln iz
+
√ 1
−
) z2
;
arccos
z
=
1 i
ln
( z
+
√ z2
−
n=1
z
csc
=
z sin z
=
∑ ∞ (−)n−1
2(22n−1
−
(2n)!
1 B2nz2n
n=0
ln
sin z z
=
∑ ∞ (−)n
22n−1 n(2n)!
B2nz2n
n=1
5
|z| < 2π |z| < π |z| < π |z| < π
ln
cos z
=
∑ ∞ (−)n
22n−1(22n
−
n(2n)!
=
n=0
∑ ∞
() α zn
n
( (1 + z)α|z=0 = 1)
n=0
|z| < 1 |z| < ∞ |z| < 1 |z| < ∞ |z| < ∞ |z| < 1
z
cot z
=
∑ ∞ (−)n
B2n
z2n
22
(2n)!
n=0
z 2
tan
z 2
=
∑ ∞ (−)n−1
22n − 1 (2n)!
B2nz2n
k=1
4. 维尔斯特拉斯的 M 判别法:
∑ ∞
∑ ∞
∀.z ∈ G, |uk(z)| < ak, ak 收敛 ⇒ uk(z) 绝对而且一致收敛
k=1
k=1
5. 一致收敛级数的性质:
∑ ∞ (a) uk(z) 连续 ⇒ S(z) = uk(z) 连续
k=1
ˆ ∑ ∞
∑ ∞ ˆ
(b)
uk(z) dz =
∑ ∞ un 绝对收敛 ⇐ ∃.{vn} vn ≥ |un|, vn 收敛
n=0
⇐ ∀.n, un+1 < ρ < 1 un
⇐ lim un+1 < l < 1 n→∞ un
⇐
lim
n→∞
|un|1/n
<
1
2. 绝对收敛的性质:
(a) 改换次序; (b) 可以把一个绝对收敛级数拆成几个子级数，每个子级数仍绝对收敛; (c) 两个绝对收敛级数之积仍然绝对收敛.
1 sin z
=
1 z
+
z 6
+
7z3 360
+
31z5 15120
+ O (z6)
1 cos z
=
1+
x2 2
+
5x4 24
+ O (x6)
π |z| <
2 0 <|z| < π
0 <|z| < π π
0 <|z| < 2
4 留数定理
˛
∑n
1. f (z) dz = 2πi res f (bk) , bk 为 f (z) 在 C 内的奇点
R→∞ CR
圆弧.
在不同辐角范围内满足相似条件也可成立.
8.
In
≡
ˆ∞
−∞
sinn x xn
dx
=
π (n − 1)!
[∑ n/2]
() n
(
n
−
2k
)n−1
k
2
k=0
3
2
115
I1 = π,
I2 = π,
I3
=
π, 4
I4
=
π, 3
I5
=
π, 192
11
I6
=
π, · 20
·
·
9.
∑ ∞ 1 π2 n2 = 6
∑ ∞
f (z) =
an(z − a)n
n=0 ˛
an
=
1 2πi
C
(ζ
f (ζ) − a)n+1
dζ
10. 洛朗展开: f (z) 在 G = {z|Rz < |z − b| < R2} 内单值解析, 则 ∀.z ∈ G
∑ ∞
f (z) =
an(z − a)n
n=−∞˛
an
=
1 2πi
C
(ζ
f (ζ) − a)n+1
15. 常用展开:
1
∑ ∞ = zn
1−z
n=0
ez = ∑ ∞ zn n!
n=0
ln(1 − z) = − ∑ ∞ zn n
n=1
( ln(1 − z)|z=0 = 0)
cos z = ∑ ∞ (−)nz2n (2n)!
n=0
sin z = ∑ ∞ (−)nz2n+1
(2n + 1)!
(1
+
z)α
2 复变积分
˛
˛
∑n ˛
1. 柯西定理: f (z) dz = 0 ; f (z) dz =
f (z) dz
C
C0
i=1 Ci
f (z) 在 G 内解析, C 是 G 内的一个分段光滑闭合围道, 也可以是 G 的边界.
2.
˛
(z
∂G
−
a)n
dz
=
2πi, 0,
n = −1, a ∈ G 其他情况
f (n)(z)
n!M ≤ Rn
最大模定理: 解析函数 f (z) 模 |f (z)| 在定义域的内不存在极值, 除非 f (z) 是常函
数（令 n = 0 ）
刘维尔定理: 在全平面上解析且有界的函数为常函数（令 n = 1, R → ∞ ）
11. * 泊松公式: 对于 f (x + iy) = u + iv :
1
ˆ
3. lim f (z) dz = ik (θ2 − θ1)
δ→0 Cδ
θ1
≤
arg
(z
−
a)
≤
θ2
(闭?);
lim (z
z→a
−
a)
f (z)
=
k
(一致地?);
f (z)
在 z = a 的（空
心）邻域内连续.
ˆ
4. lim f (z) dz = iK (θ2 − θ1)
R→∞ CR
当 θ1 ≤ arg z ≤ θ2 且 lim zf (z) = K (一致地?); f (z) 在 ∞ 的邻域内连续.
n=0
致收敛
∑ ∞
(b)
cn(z − a)n 在收敛圆 G 内收敛到 f (z) 且在收敛圆上一点 z0 也收敛
n=0
（到 S ）, 则 lim f (z) = S
z→z0,z∈G
8. 收敛半径 R =
1
= lim cn
limn→∞ |cn|1/n n→∞ cn+1
9. 泰勒展开: f (z) 在以 a 为圆心的元 C 内解析, 则在圆内
P (z) a−1 = Q′(z)
5. ∞ 点的留数是 −a−1 , 不要求为奇点
6. 对于有限个奇点的解析函数,
∑ res f (b) = 0
扩充复平面
7. 约 当 引 理ˆ : 在 0 ≤ arg z ≤ π 范 围 内, |z| → ∞ 时 Q(z) 一 致 地 趋 近 于 0,
则 lim
Q(z)eipz dz = 0 , 其中 p > 0 , CR 是以原点为圆心, R 为半径的半
n=1
10.
ˆ∞
0
xα−1 x + eiφ
dx
=
π sin πα
eiφ(α−1)
6
ˆ ∞ xα−1 dx
ˆ∞
0
x2
+
0
xαwk.baidu.com1
2x cos
1 φ
+ +
x 1
dx
= =
π sin πα
π sin(1 − α)φ sin πα sin φ
11. 辐角原理 w(z) 满足: 在简单闭合曲线 C 内除极点外解析; 在 C 上解析且不为零,
• 非孤立奇点（含枝点）
• 孤立奇点
– 可去奇点: 展开式不含负幂项（ ∞ 点为正幂项）, 在该点存在有限的极 限.
– 极点: 展开式含有限个负幂项（ ∞ 点为正幂项）, 阶数与倒数的零点阶 数相同, 在该点的极限是 ∞ .
– 本性奇点: 展开式含无穷多负幂项（ ∞ 点为正幂项）, 在本性奇点的任 意一个小邻域内, 可以取（并且取无穷多次）任意的有限数值, 顶多可能
u(x, y) v(x, y)
= = = =
1 π 1 π
−
1 π
π1ˆˆˆ−−−ˆ∞ ∞ ∞∞ ∞ ∞−∞∞((((ξξξξ((−−−−ξyyξuv−−xxxx((ξ)))ξ)xx22v2,,))0(0+++u2ξ))(,+yyyξ022,2)y0ddd2)ξξξdξ
2
3 级数展开
1. 绝对收敛判定:
z→∞
˛
5.
柯西积分公式:
f (a) =
1 2πi
f (z) dz C z−a
（有界区域） f (z) 在区域 G 内单值解析, C = ∂G 分段光滑, a ∈ G ;
（无界区域） C 顺时针, f (z) 在 C 上和外解析, 且 lim f (z) = 0 , a 在 C 外.
z→∞
6.
均值定理 f (a) =
3. 收敛判定:
∑ ∞ un 收敛 ⇔ ∀.ϵ > 0, ∃.n, ∀.p > 0, |un+1 + un+2 + · · · + un+p| < ϵ
n=0
∑n
⇐ un = vnwn, {Sn =
vk }
有界,
vn
正项递减,
lim
n→∞
vn
=
0
k=1
∑n ⇐ un = vnwn, {Sn = vk} 收敛, vn 单调有界
1
ˆ 2π f (a + Reiθ) dθ
2π 0
˛
7.
f (n)(z)
=
n! 2πi
∂G
(ζ
f (ζ) − z)n+1
dζ
.
要求
f (z)
在
G
内解析,
z
∈
G
ˆ
8. 柯西型积分:
ϕ(ζ )
是在曲线
C 上的连续函数, ˆ
定义
f (z)
=
1 2πi
ϕ(ζ) dζ 是 C 外 C ζ−z
的解析函数,
有
f (p)(z)