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无穷级数的概念与性质(课堂PPT)
无穷级数
14
收敛的必要条件
级数
un
n 1
收敛
lim
n
un
0.
证明 设
un s
n1
则
un sn sn1 ,
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
逆否命题成立：
lim
n
un
0
级数 un 发散 n 1
无穷级数
15
例：判断级数(1)n n 的敛散性。 2n 1
解：lim (1)n n
12 23 34
n n1
1 1 n 1
lim
n
S
n
1 lim (1 )
n n 1
1
(无穷小与无穷大的互逆 关系)
上级数收敛
无穷级数
8
例：判断级数ln 2 ln 3 ln 4 ... ln n 1 ...是否收敛
123
n
解：上述数列的通项可用公式ln A ln A ln B化简 B
n 1 an ln n ln(n 1) ln n
解：部分和 Sn
n(n 1) 2
(等差数列求和公式 )
lim
n
Sn
lim n2 n n 2
上级数发散
无穷级数
7
例：判断级数 1 1 1 ... 1 ...是否收敛
1 2 23 3 4
n (n 1)
解：上述数列的通项有规律可循
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
部分和Sn
(1 1) (1 1) (1 1) ... (1 1 )
若级数 un 的每一项 un 均为常数 , n1
高等数学下教学new-第六节-taylor级数与函数的幂级数展开课件.ppt
二、函数展开为幂级数
1、直接展开法
先求出 f (z) 的各阶导数 f (n)(z)和 f (n)(a)，n 1, 2,
代入
f (z)=
f (n)(a)(z a)n ，再确定收敛半径即可。
n0 n!
例5 设(1 z)a ealn(1z)（, 称为(1 z)a的主值支），求它的 Marclaurin展开式。
电气学院学习部资料库
故f (z)的Marclaurin展式为
f (z) (1 z)a 1 a(a 1) (a n 1) zn, ( z 1)
n1
n!
特别地，当a 1和a 2时，有
1
(z)n ,( z 1)
1 z n0
1
(1)n1 nzn1, ( z 1)
(1 z)2 n1
f (z)在闭圆 z - a r 内解析。
电气学院学习部资料库
现记圆周Kr { : a r}，由Cauchy积分公式，
f (z) = 1 f ( ) d
2 i Kr z
由 z a 1，有
a
1
1
z ( a) (z a)
1 a
1
1 z
a
a
1 a
n0
z
a a
2
n!
电气学院学习部资料库
1 x 1
说明：（7）在 - 1 x 1 恒成立，但当a 取不同值时，
端点 - 1、1处的收敛情况是不同的。
1
(1＋x )2
(1)n (n 1)xn , (1
n0
x
1)
1
(1 x) 2
1
(1)n (2n 1)!! xn, (1 x 1)
n1
(2n)!!
《傅里叶级数》课件
FFT基于分治策略，将大问题分解为小问题，从而显著提高了计算效率。
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
数学分析级数课件ppt
就是该区间上的一个函数。
幂级数的求和公式
幂级数的求和公式
对于形如 (a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots) 的幂级数，其和可以通过以下公式求得：(S = lim_{n to infty} sum_{k=0}^{n} a_k x^k)
求和公式的应用
求和公式是研究幂级数的重要工具，可以用于计算函数的值、求函数的导数和积分等。
等差级数的求和公式
前n项和公式
S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)。
任意项和公式
S=n/2*(a_1+a_n)。
无限项和公式
S=a_1/2*d*(n^2+(3*n)/2)。
04
幂级数
幂级数的定义
幂级数：由形如 (a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots) 的无穷序列组成的级数，其中 (a_0, a_1, a_2, ldots) 是常数，(x) 是变量。
VS
表示方法
a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1是首项，d是 公差，n是项数。
等差级数的性质
递增性
如果公差d>0，则等差级数递增；如果公差 d<0，则等差级数递减；如果公差d=0，则 等差级数为常数。
对称性
等差级数的对称轴是首项和末项的中点，即 (a_1+a_n)/2。
有界性
等差级数的值域为[a_1-d/2, a_1+d/2]，即 首项减去公差的一半和首项加上公差的一半 之间的所有实数。
THANKS
感谢观看
等比级数的求和公式
当公比$q$不等于1时，等比 级数的和为$frac{a(1q^n)}{1-q}$。
高教社2024高等数学第五版教学课件-8.3 任意项级数
注意：上述定理的逆定理不成立。即不能由级数 σ∞
=1 收敛得出级
数σ∞
=1 收敛。
例4
∞
判定级数σ=1
2
解
考 虑 级 数 σ∞
=1
σ∞
=1
(为常数)的敛散性。
2
，因为
2
=
2
1
∞
σ
收敛，由比较判别法可知，级数 =1
−1
= 0，由定理1知级数σ∞
(−1)
=1
2
<1
2
2
收敛。
2
2
= ，
二、绝对收敛与条件收敛
为了判定任意项级数 σ∞
=1 的敛散性，通常先考察其各项的绝对值组
成的正项级数σ∞
=1 的收敛性。
定义2
∞
σ
如果级数σ∞
收敛，则称级数
=1
=1 绝对收敛；如果级数
=1
或
∞
(−1) = −1 + 2 − 3 + 4 + ⋯ + (−1) + ⋯
=1
其中 > 0 (n=1,2,3,…)
−1 或级数σ∞ (−1) 为交错级数。
则称级数σ∞
=1(−1)
=1
= − σ∞ (−1)−1 ，所以在后面的讨论中，
第八章 无穷级数
第三节 任意项级数
任意项级数 σ∞
=1 中 (n=1,2,3,…)为任意实数，
本节只讨论某些特殊类型任意项级数的敛散性问题。
一、交错级数
《高数-傅里叶级数》课件
02
该公式将复杂的函数f(x)表示为简单的三角函数之和，便于分析函数的性质和求 解相关问题。
03
展开公式中的系数a0、an、bn可以通过函数的积分得到。
傅里叶级数的展开步骤
01
第一步是将待展开的函数f(x)进行傅里叶级数的展开，得到展开式。
02
第二步是求解展开式中的系数a0、an、bn，可以通过函数的积分得 到。
傅里叶级数的应用领域
傅里叶级数在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用。
在信号处理、图像处理、振动分析、 量子力学等领域，傅里叶级数被用于 分析信号和系统的频率成分，以及进 行频域分析和处理。
02
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
收敛的条件
傅里叶级数在满足一定条件下收敛， 如狄利克雷条件和黎曼条件等。这些 条件限制了周期函数的波形和振幅， 以确保级数收敛。
傅里叶级数的对称性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的 性质和级数的运算规则。
傅里叶级数的周期性
周期性的应用
周期性在信号处理、图像处理等领域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中， 可以利用周期性来分析信号的频率成分和周期性变化。
周期性的证明
傅里叶级数的周期性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的周 期性和级数的运算规则。
03
第三步是将求解出的系数代入展开式中，得到函数的傅里叶级数展开 式。
04
第四步是利用傅里叶级数的性质和公式，对展开后的函数进行分析和 求解相关问题。
04
傅里叶级数的应用实例
信号处理中的傅里叶级数
信号分析
傅里叶级数提供了一种将复杂信号分解为简单正弦波的方法，有 助于信号的频谱分析和特征提取。
数学分析级数PPT课件
若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极
限来判别收敛性.
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*推论2设 un 为正项级数.
(i)若 lim u n 1q1,则 级 数 收 敛 ; u n
n
(ii)若 lim u n1q1,则 级 数 发 散 ; u n n
*例8 研究级数 1 b b c b 2 c b 2 c 2 b n c n 1 b n c n ( 8 )
( i ) 若 对 一 切 n N 0 , 成 立 不 等 式
un1q, un
(5)
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则级数 un 收敛.
( i i ) 若 对 一 切 n N 0 , 成 立 不 等 式
un11, un
(6)
则 级 数 u n 发 散 .
证 ( i ) 不 妨 设 不 等 式 ( 5 ) 对 一 切 n 1 成 立 , 于 是 有
则 级 数 u n发 散 .
( 1 0 )
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证 由(9)式有un l n , 因为等比级数 ln当 1l1 时收敛, 故由比较原则, 这时级数 un 也收敛, 对
于情形(ii), 由(10)式可得 un 1n 1.
显 然 当 n 时 ,u n 不可能以零为极限, 因而由级数
§2 正项级数
收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将 对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.
一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法 三、积分判别法
*四、拉贝判别法
前页 后页 返回
一、正项级数收敛性的一般判别原则
若数项级数各项的符号都相同, 则称它为同号级数.
对于同号级数, 只须研究各项都是由正数组成的级 数(称正项级数).若级数的各项都是负数,则它乘以
高等数学级数教学ppt
的敛散性.
a (1 q n ) ， 当q 1时 2 n 1 解： Sn a aq aq aq 1 q . a na， 当q 1时 lim S ， 当q 1时， n n
故级数 aq
n 1
n 1
a 且和为 . 收敛， 1 q
n 1
则 lim S S ， 其中Sn为部分和. n n lim S2 n S， lim ( S2 n Sn ) S S 0. n n
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三、 级数收敛的必要条件
1、 必要条件： 设级数 un收敛， 则 lim un 0. n
n 1 n
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三、 级数收敛的必要条件
1、 必要条件： 设级数 un收敛， 则 lim un 0. n
证：设级数 un的部分和为Sn， 且 lim S S , n n
n 1
因为 un Sn Sn1， S lim S 所以lim un lim( Sn Sn1 ) lim n n 1 n n
n 1 n 1
设级数 un收敛， 则称 5、 余项：
n 1
rn S Sn un1 un 2
为级数 un的余项.
n 1
k n1
uk
这时用Sn代替和S产生的误差为rn ， 且
lim r lim ( S S ) S S 0 . n n n n
n 1
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三、 级数收敛的必要条件
1、 必要条件： 设级数 un收敛， 则 lim un 0. n
高等数学方明亮版数学课件101常数项级数的概念与性质.ppt
都是公比小于1 的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为
2 和 4，由性质 2 知所给级数收敛，其和为
(1 1)
1 2
3 4
1 22
32 42
1 2n1
3n1 4n1
1
1 2
1 22
1
2n1
1
3 4
32 42
3n1 4n1
246
2024年9月27日星期五
10
目录
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
2024年9月27日星期五
14
目录
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例6 判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
2024年9月27日星期五
15
目录
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内容小结
1. 常数项级数的基本概念: 常数项级数、 收敛、发散、等比级数、调和级数
2. 收敛级数的5个性质
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
2024年9月27日星期五
19
目录
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3、 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
(2)
n1n3
1 3n2
2n
;
解: (1) 令
则
e n1 ( n 1) !
un1 un
(n1)n1 enn!第十章 无穷级数（Infinite Series）
主要内容
第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 第六节 傅立叶级数
高等数学 课件 PPT 第十一章 无穷级数
第二节 正项级数及其审敛法
定 理3
（比较审敛法的极限形式）设有两个正项级数
(1)如果
级数
收敛.
，且级数 收敛，则
(2)如果
，且级数
发散，则级数
发散．
第二节 正项级数及其审敛法
证 因为 n>N时
对任给ε>0，存在正整数N，当
（1）当n>N时
因为 收敛，由比较审敛法的推论可知
也收敛．
第二节 正项级数及其审敛法
则 （1）当ρ<1时，级数 （2）当ρ>1时，级数 （3）当ρ=1时，级数
收敛. 发散（包括ρ=∞）. 可能收敛也可能发散．
第二节 正项级数及其审敛法
证 由极限的定义可知，对任给ε>0，存在正整数N， 当n>N时，不等式
成立． （1）当ρ<1时，取ε使得ρ+ε=q<1，于是当n>N时，
即
第二节 正项级数及其审敛法
二、收敛级数的基本性质
性质1
设k为非零常数，若级数 敛，且其和为ks.
收敛于和s，则级数
也收
证明
设级数
，
的部分和分别为sn，τn，则
二、收敛级数的基本性质
于是
因此，级数
也收敛，且其和为ks.
二、收敛级数的基本性质
性质2
若级数
与
分别收敛于s与τ，则级数
也收敛，其和为 s±τ.
二、收敛级数的基本性质
第二节 正项级数及其审敛法
容易看出，上式各项小于下面级数所对应的各项，即
因为后一个级数是公比为
的等比级数，并且由
得知r<1．所以该级数收敛．再根据比较审敛法推得前 一个级数也收敛．又因为收敛的正项级数去掉括号后仍收敛，所以 原级数收敛．
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推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.
17
性质4 去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响 它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变). 证略。
18
例4 已知 (1)n1 un 2 , u2n1 5 , 求 un .
n1
n1
n1
解 由性质3， (1)n1 un 2 (u2n1 u2n ) 2 ,
的收敛性.
解
un
1 (2n 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
,
11
1
Sn
1 3
35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 1 (n ) , 2 2n 1 2
| |
q q
| |
1时, 1时,
收敛 发散
1
a
q
5
公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno) 用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：
如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌 龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定 阿基里斯的速度是乌龟的10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理 论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟 仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然 前于他10米,…,
级数收敛, 且和为1 . 2
9
例3 讨论级数 ln(1 1 ) 的敛散性.
n1
n
解
un
ln(1 1 ) ln(n 1) lnn , n
所以
Sn ln2 ln1 ln3 ln2 ln(n 1) lnn
ln(n 1) n
所以级数发散.
10
性质1 (级数收敛的必要条件)
如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远 也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理 在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？
6
如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论 就会不攻自破.
设乌龟的速度为 v,则阿基里斯的速度为 10v,他跑完 1000 米所化
1000 1 1
10000 11111 ，
9
9
10
7
1000 1 1
10000 11111 ，
9
9
10
也就是说,如果赛程比这个距离短,则乌龟胜；如果赛程恰好 等于这个距离,则双方平分秋色；否则,阿基里斯就要在距离起点
1 1111 处追上并超过乌龟.
9
8
例2
讨论无穷级数
1 1 3
1 35
1
(2n 1) (2n 1)
n1
n1
所以 (un vn) 发散.
n1
16
性质3 收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.
证略。
例如，若级数 un 收敛， 则级数
n1
(u2n1 u2n ) 、 (u3n2 u3n1 u3n ) 均收敛，
n1
n1
且和不变.
注 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (11) (11)
15
注:
(1) 不能由 (un vn) 收敛推出 un 、 vn 收敛；
n1
n1
n1
(2) 若 un 收敛,而 vn 发散,则 (un vn) 必发散.
n1
n1
n1
证 假设 (un vn) 收敛,由 vn (un vn ) un , n1
而已知 un 收敛, 由上述性质得 vn 收敛, 矛盾.
aqn1
a aqn ， 1q
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
Sn
a 1
q
收敛
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
Sn
发散
4
如果q 1，
当q 1时, Sn na 发散 当q 1时, 级数变为a a a a
lim
n
Sn不
存
在,
发散
综上所述,
n0
aq
n
当 当
n1
n1
n1
解 (u2n1 u2n ) 8 , 记 Sn u1 u2 un ， n1
所以
lim
n
S2n
8
,
由性质2，
lim
n
lim
n
S2 S2
n
n1
S
S
lim
n
S
n
S
(1)n1 un
n1
2
lim
n
un
0
,
所以
lim
n
S2n1
lim(
n
S2n
u2n
)
8
,
于是
un
n1
lim
n
Sn
n1
— (常数项)无穷级数
级数的部分和
n
Sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
S1 u1, S2 u1 u2 , S3 u1 u2 u3 , , Sn u1 u2 un ,
2
当 n 时,如果级数 un 的部分和数列Sn 有极限 S,
n1
即
lim
n
Sn
234
n1
| un | 1 , 所以 un 0 , 级数发散；
再如，cos
2
cos
4
cos
8
cos 2n
lim cos 2n 1 0 ,
级数发散。
12
2、必要条件不充分：
若
lim
n
un
0 ,级数却不一定收敛.
如 ln(1 1 ) : ln(1 1 ) 0 (n ) , 但级数发散。
若级数
un
收敛,则必有
lim
n
un
0
.
n1
证明 un Sn Sn1,
lim
n
Sn
S
，
lim
n
un
lim(
n
Sn
Sn1 )
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
SS 0.
11
若级数
un
收敛,则必有
lim
n
un
0
.
n1
说明： 1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；
例如 1 2 3 (1)n1 n
S
,则称无穷级数
un 收敛,
n1
这时极限 S 叫做级数 un 的和，并写成
n1
un S
n1
如果数列{Sn } 没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
3
例1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn
n0
的收敛性.
(a 0)
解 如 果q 1，
Sn
a aq aq2
n1
n
n
再举一个重要例子：
调和级数 1 1 1 1 1 ,
n1 n
23
n
lim 1 0 ,但级数是否收敛? n n
13
调和级数
1
11
1
1
,
n1 n
23
n
讨论
S2n
Sn
1 n1
1 n2
1 2n
n 2n
1 2
,
假设调和级数收敛, 其和为S .
于是 便有
lnim（S2n Sn） S S 0 , 0 1 (n ) , 矛盾，
8
.
20
例5 判断下列级数的敛散性：
1.
1 5 n0 ( 3n 4n )
解
因为
1 n0 3n ,
1 n0 4n
都收敛， 故原级数收敛，
且和为
1 n0 ( 3n
5 4n )
n0
1 3n
5
n0
1 4n
1
1
1
1
5
1
49 . 6
34
21
例5 判断下列级数的敛散性：
2.
1 2 3
10100
的时间为 1000 100 ,在这段时间里,乌龟又爬了v 100 100 米,
10v v
v
阿基里斯为跑完这段路又花费时间 100 10 ,此时乌龟又在他前面 10v v
10 米处,……,依次类推,阿基里斯需要追赶的全部路程为
1000 100 10
这是一个公比为 q 1 1 的几何级数,易求得它的和；
3. 1 1 1 1 2 4 6 2n
1 1
2 n1 n
发散。
22
n1
n1
由性质2， u2n [u2n1 (u2n1 u2n )]
n1
n1
u2n1 (u2n1 u2n ) 5 2 3 ,
n1
n1
所以
(u2n1 u2n ) u2n1 u2n 8 ,
n1
n1
n1
注意：不能去括号 19
例4 已知 (1)n1 un 2 , u2n1 5 , 求 un .
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分, 它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值 计算的一种工具.
一、级数的基本概念
计算圆的面积
R 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 a2 正 3 2n 形的面积 a1 a2 an 即 A a1 a2 an
1
一般项
un u1 u2 u3 un