向量值函数积分学17页PPT
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《向量的点积与叉积》课件
混合积的性质
混合积为零
混合积与点积的关系
混合积的几何意义
如果三个向量共面，则它们的混合积 为零。
$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = mathbf{B} cdot (mathbf{C} times mathbf{A}) = mathbf{C} cdot (mathbf{A} times mathbf{B})$。
2023 WORK SUMMARY
《向量的点积与叉积 》PPT课件
REPORTING
目录
• 向量点积的定义与性质 • 向量叉积的定义与性质 • 向量点积与叉积的应用 • 向量的混合积 • 总结与展望
PART 01
向量点积的定义与性质
向量点积的定义
总结词
线性代数中，两个向量的点积定义为它们的模长与夹角的余弦值的乘积。
向量点积与叉积的未来发展方向
理论完善
随着数学理论的发展，向量的点积与叉积的概念和性质可 能会得到更深入的研究和探讨，有助于完善数学基础理论 体系。
应用拓展
随着科技的发展，向量的点积与叉积在各个领域的应用将 会更加广泛，例如在人工智能、机器学习、数据科学等领 域中可能会发现更多新的应用场景。
计算优化
两个向量的夹角可以通过 它们的点积来计算，这在 解析几何中非常重要。
向量的线性变换
向量的线性变换可以用向 量的叉积来实现，这在解 析几何中有着广泛的应用 。
在计算机图形学中的应用
3D渲染
游戏开发
在3D渲染中，需要使用向量的点积和 叉积来计算光照方向、阴影、旋转等 效果。
在游戏开发中，需要使用向量的点积 和叉积来处理游戏角色的移动、碰撞 检测、视角控制等。
01-向量值函数及其导数
(
x,
y)
y
x ,
Df (1,1) 1 1 .
0
2 y
0 2
3 df (1,1) 1
10
x
3x x y
0 2 y 2y
(
x0
)
fi (x0 x j
)
mn
当m=n时,Jacobi矩阵的行列式称为f 在x0处的Jacobi行列式.
记为
J
f
(
x0)
1((
f 2
x1
, ,
f , , n
x2 , ,
f xn
) )
x
0
当m=1时， f 为数量值函数
例如f x 2 2 xy , g y 2 x
则 ( f , g) ( x, y)
质点v的(t速) 度li向m量r(为t
t
)
r (t
)
t0
t
dr dt
(dx , dy , dz )T dt dt dt
质点a的(t加) 速li度m向v(量t 为t
)
v(t
)
t0
t
dv dt
(d2 x , d2 y , d2 z )T dt 2 dt 2 dt 2
3 一元向量值函数的微分
记为lim
x x0
k (x) ak
f ( x) （k
a. 1,2,,m）
2 一元向量值函数连续的概念
定义2
设一元向量值函数f
( f1( x),
f2 ( x),,
fm
(
x)) T
在U (
x
)
0
内有定义，若有
lim f (x) f ( x0 )
向量数量积的坐标运算与度量公式PPT课件
k t3 3t 4
k t2 1 t2 4t 3 1 t 22 7
t4
4
4
当t 2时，k t 2 有最小值 7 .
t
4
说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联 系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含 条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系， 利用二次函数求最值。
2 2 ≤ cos ≤1
3
课堂小结：
这节课我们主要学习了平面向量数量积 的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐 标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几
何问题。 设a （x1，y1），b （x2，y2）
a b x1 x2 y1 y2
（1）两向量垂直条件的坐标表示
a b x1 x2 y1 y2 0
解: (Ⅰ) OP OQ 2 cos x , OP OQ 1 cos2 x ,
cos
OP OQ OP OQ
2cos x 1 cos2 x
,∴
f
(x)
2cos x 1 cos2 x
(x
4
, 4
)
第20页/共24页
变形 2：平面直角坐标系有点 P(1, cosx) ， Q(cos x,1) ，
（2）两向量平行条件的坐标表示
a / /b x1y2 x2 y1 0
第22页/共24页
设a （x1，y1），b （x2，y2）
（3）向量的长度（模）
a
2
2
a
x2 1
y2 1
或a
x2 1
y2 1
（4）两向量的夹角
cos a b
ab
= x1x2 + y1y2 x12 + y12 x22 + y22
8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用
M
z z0 (F , G) ( x , y )
M
法平面方程
(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )
M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 法平面方程
(F , G) (F , G) ( x x0 ) ( y y0 ) ( y, z ) M ( z , x) M (F , G) ( z z0 ) 0 ( x , y) M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 例4. 求曲线 x t , y t 2 , z t 3 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解： x 1, y 2 t , z 3t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于 思考: 光滑曲线 y ( x) 因此所求切线方程为 : z ( x) x 1 y 1 z 1 的切向量有何特点? 2 3 1 xx 法平面方程为 答: : y ( x ) ( x 1) 2 ( y 1) 3( z 1) 0 z ( x) 即 x 2 y 3z 6 切向量 T (1, , ) 故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3)
T
M
利用
点向式可建立曲线的切线方程 点法式可建立曲线的法平面方程
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设 上的点 M ( x0 , y0 , z0 ) 对应 t t0 , (t0 ), (t0 ), (t0 )不全
为0, 则 在点M 的导向量为
z z0 (F , G) ( x , y )
M
法平面方程
(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )
M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 法平面方程
(F , G) (F , G) ( x x0 ) ( y y0 ) ( y, z ) M ( z , x) M (F , G) ( z z0 ) 0 ( x , y) M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 例4. 求曲线 x t , y t 2 , z t 3 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解： x 1, y 2 t , z 3t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于 思考: 光滑曲线 y ( x) 因此所求切线方程为 : z ( x) x 1 y 1 z 1 的切向量有何特点? 2 3 1 xx 法平面方程为 答: : y ( x ) ( x 1) 2 ( y 1) 3( z 1) 0 z ( x) 即 x 2 y 3z 6 切向量 T (1, , ) 故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3)
T
M
利用
点向式可建立曲线的切线方程 点法式可建立曲线的法平面方程
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设 上的点 M ( x0 , y0 , z0 ) 对应 t t0 , (t0 ), (t0 ), (t0 )不全
为0, 则 在点M 的导向量为
向量函数的定积分与变限积分
向量函数的定积分与变限积分在微积分学中，向量函数的积分是一个非常重要的概念。
它不仅能够应用于物理学、工程学等自然科学领域，还可以用于经济学、统计学等社会科学领域。
其中较为常见的形式有定积分和变限积分两种。
它们不仅有着不同的表达方式，而且其应用和性质也不尽相同。
一、向量函数的定积分向量函数的定积分是指将一个向量函数沿着一段固定的曲线上的积分。
如果我们将向量函数f（t）表示为一个向量值函数，那么其定积分可以用如下的形式来表达：∫ab f（t）·ds其中，a、b是曲线上任意两个点，而s是从a到b的弧长参数。
这里需要注意的是，积分结果是一个向量，其大小和方向都与弧长的路径有关。
现在我们以一个简单的例子来说明一下这种向量函数的定积分。
假设有一个向量函数f（t）= (cos t, sin t)与一条圆周曲线C：x^2+y^2=1相对应。
其在曲线上的定积分可以写为：∫C f（t）·ds = ∫0^2π (cos t, sin t)·(dx,dy)= ∫0^2π cos t dx + sin t dy= 0这里可以看出，其中的积分结果是一个标量，因为对于这个圆周曲线，从起点到终点的弧长为零。
二、向量函数的变限积分向量函数的变限积分是指将一个向量函数沿着一段曲线段上的积分。
如果我们将向量函数f（t）表示为一个向量值函数，那么其变限积分可以用如下的形式来表达：∫p q f（t）·dr其中，p、q是曲线上任意两个点，而r是从p到q的位移向量。
这里需要注意的是，积分结果是一个向量，其大小和方向都与位移的路径有关。
现在我们以一个简单的例子来说明一下这种向量函数的变限积分。
假设有一个向量函数f（x, y）= (x^2y, xy^2)与一条线段L: y=x, 0≤x≤1相对应。
其在曲线上的变限积分可以写为：∫L f（x, y）·dr = ∫0^1 (x^2y, xy^2)·(dx, dx)= ∫0^1 x^2y dx + xy^2 dx= 1/12这里可以看出，其中的积分结果是一个向量，其大小和方向都与从起点走到终点的路径有关。
向量值函数积分学
x x(t),
y
y(t ),
z z(t),
r (t )
x(t)i
y(t) j
z(t)k,
t
.
因此一元向量值函数在物理上是质点运动的轨迹，
几何上表示空间一条曲线。
z
（2)当 Rr (t ) 0时, 得r平面向量r 值函数
f ( x) P( x)i Q( x) j , x I x
Q(
x)
,
lim
x0
R(
x
x) x
R(
x)
dP dx
,
dQ dx
,
dR dx
dP dx
r i
dQ dx
r j
dR dx
r k
r
即 df {dP , dQ , dR } dx dx dx dx
例：设f (t ) t i t 2 j t 3k .
(1)(C ) 0,其 中C是 常 向 量 ；
（2）(a u b v) a u b v, a, b是 常 数 ；
（3）(u v) u v u v;
(4)(u v) u v u v;
(5)r
r( (t )),
( x)v2 u2v2
(
x)u,
v
u
v
3、一元向量值函数导数的物理意义与几何意义
rr(t )
r x(t )i
r y(t) j
r z(t )k
向量值函数的导数与积分ppt课件
高等数学分级教学A2班教学课件
Dept. Math. & Sys. Sci. 应用数学教研室
例6 求空间曲线 :xt,yt2,zt3在点(1, 1, 1)处的 切线方程与法平面方程．
解 由于 x1,y2t,z3t2,且点(1,1,1) 与 t = 1对应,
所以，在点(1, 1, 1)处曲线的切线向量为 T(t)(1,2,3), 因此，所求切线方程为
(3) d[ku(t)]ku(t); dt
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(4 )d [f(t)u (t)] f(t)u (t) f(t)u (t); d t
(5 )d [u (t)v (t)] u (t)v (t) u (t)v (t); d t
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可导的向量值函数 r = r (t) 的微分定义为 drr(t)dt.
对于可导的二维向量值函数 r(t)f(t)ig(t)j, d r d f ( t ) i d g ( t ) j f ( t ) d t i g ( t ) d t j .
明显地，r ( t ) 也是一个向量值函数．假设向量值函
数 r(t) 在 t 处可导，那么r(t) 在 t 处延续.
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与一元数量函数类似，可以进一步定义向量值函数的 高阶Байду номын сангаас数，如 r(t)的二阶导数定义为 r ( t ) 的导数, 即:
r ( t) f( t) i g ( t)j h ( t) k .
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例6 求空间曲线 :xt,yt2,zt3在点(1, 1, 1)处的 切线方程与法平面方程．
解 由于 x1,y2t,z3t2,且点(1,1,1) 与 t = 1对应,
所以，在点(1, 1, 1)处曲线的切线向量为 T(t)(1,2,3), 因此，所求切线方程为
(3) d[ku(t)]ku(t); dt
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(4 )d [f(t)u (t)] f(t)u (t) f(t)u (t); d t
(5 )d [u (t)v (t)] u (t)v (t) u (t)v (t); d t
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可导的向量值函数 r = r (t) 的微分定义为 drr(t)dt.
对于可导的二维向量值函数 r(t)f(t)ig(t)j, d r d f ( t ) i d g ( t ) j f ( t ) d t i g ( t ) d t j .
明显地，r ( t ) 也是一个向量值函数．假设向量值函
数 r(t) 在 t 处可导，那么r(t) 在 t 处延续.
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与一元数量函数类似，可以进一步定义向量值函数的 高阶Байду номын сангаас数，如 r(t)的二阶导数定义为 r ( t ) 的导数, 即:
r ( t) f( t) i g ( t)j h ( t) k .
8.5向量值函数在定向曲面上的积分
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
为向量值函数 F ( x, y, z )在定向曲面 上的积分或第 二类曲面积分 , 记为： F ( x, y, z ) dS
R( x, y, z ) cos dS 同时存在 , 则称积分 [ P( x, y, z ) cos Q( x, y, z) cos R( x, y, z) cos ]dS
流量
实例: 流向曲面一侧的流量.
A
en
A | v | cos
Av en
（2）设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
由方程 y = y(z,x) 表示的曲面分左侧和右侧， 封闭曲面分内侧和外侧.
曲面法向量的指向决定曲面的侧. 规定:定向曲面上任一点处的法向量的方向总是 指向曲面取定的一侧.
若光滑曲面 的方程为： z( x, y ) , z 取上侧 , 则法向量 n 的指向朝上 , 即： n ( z x ( x, y ) , z y ( x, y ) , 1 ) , 取下侧 , 则法向量 n 的指向朝下 , 即： n ( z x ( x, y ) , z y ( x, y ) , 1 ) ,
1.1 向量函数课件
1、 a b a b 0 x1x2 y1 y2 z1z2 0
x1 y1 z1 2、 a // b a b 0 x2 y2 z2
3、 a, b , c共面 (abc ) (a b ) c 0
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相关定理
定理1. 已知两个非零向量 a {x1 , y1 , z1}, x y z b {x2 , y2 , z2}, 则 a, b 共线的充要条件是 x y z 定理2. 已知三个非零向量 a {x1 , y1 , z1}, b {x2 , y2 , z2}, c {x3 , y3 , z3} ，则 a, b, c 共面的
的数量积的坐标表达式
则 a, b
a b x1 y1 x2 y2 x3 y3
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四、向量的向量积
定义2 两个向量 a 和 b 的叉积 （也称为向量积） 是一个向量,记作 a b ,并由下述规则确定： （1） a b a b sin(a, b ) （2） a b 的方向规定为: 注： a b 既垂直于 a 又垂 直于 b ,并且按顺序 a , b , a b 符
1
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或 M1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. a 向量的模： 向量的大小.| a | 或 | M1 M 2 |
或 e 单位向量： 模为1的向量. ea M M
零向量： 模为0的向量. 0
1
2
定义. 如果两个向量的模相等且方向相，那么 叫做相等向量.记为 a b
x1 y1 z1 2、 a // b a b 0 x2 y2 z2
3、 a, b , c共面 (abc ) (a b ) c 0
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相关定理
定理1. 已知两个非零向量 a {x1 , y1 , z1}, x y z b {x2 , y2 , z2}, 则 a, b 共线的充要条件是 x y z 定理2. 已知三个非零向量 a {x1 , y1 , z1}, b {x2 , y2 , z2}, c {x3 , y3 , z3} ，则 a, b, c 共面的
的数量积的坐标表达式
则 a, b
a b x1 y1 x2 y2 x3 y3
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四、向量的向量积
定义2 两个向量 a 和 b 的叉积 （也称为向量积） 是一个向量,记作 a b ,并由下述规则确定： （1） a b a b sin(a, b ) （2） a b 的方向规定为: 注： a b 既垂直于 a 又垂 直于 b ,并且按顺序 a , b , a b 符
1
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或 M1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. a 向量的模： 向量的大小.| a | 或 | M1 M 2 |
或 e 单位向量： 模为1的向量. ea M M
零向量： 模为0的向量. 0
1
2
定义. 如果两个向量的模相等且方向相，那么 叫做相等向量.记为 a b
《向量值函数积分学》PPT课件
O
2021/4/26
M(x,y,zy)
6
二、一元向量值函数的极限、导数、积分
设f ( x) P( x)i Q( x) j R( x)k {P( x), Q( x), R( x)};
(1) lim f ( x) { lim P( x), lim Q( x), lim R( x)};
x x0 df
向数量量场场如如：：速密度度场场v((xx,,yy,,zz)),力 ,温场度F场( xT,(yx,,zy)等, z)。等；
如果场描述的物理量在所考察的时间段内不随时 间的变化而变化，称其为稳定场；而随时间的变化 而变化的场称其为不稳定场。
本课程中主要研究稳定场。
2021/4/26
16
小结
一、一元向量值函数的概念 二、一元向量值函数的导数与积分 三、多元向量值函数
向量值函数的极限存在性、连续性、可导、可微、 可积等均依赖于其坐标的极限存在性、连续性、可导、 可微、可积等。
2021/4/26
17
位移
向 量r
r (t
t
)
r (t),
dr 是质点运动的速度向量，
dt
dr ( x(t))2 ( y(t))2 (z(t))2是速度的大小，
dt
dr (
)0
{x(t), y(t), z(t)}
是速度的方向。
dt
( x(t))2 ( y(t))2 (z(t))2
2021/4/26
12
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
F ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
{P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)}.
高等数学向量及其运算PPT(“向量”文档)共40张可修改文字
a相同, 当<0时与a相反.
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
11
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a;
(2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
9
的三角形是等腰三角形 .
思考: 五、向量的模、方向角、投影
“”
以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有
例3 已知两点A(x1 y1 z1)和B(x2 y2 z2)以及实数
1
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
20
任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使
则 r =OM = xi + yj + zk .
• 上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z之
间有一一对应的关系
M r =OM = xi + yj + zk (x, y, z) .
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM -OA , MB =OB-OM ,
=OM -OA , MB =OB-OM ,
因此 OM -OA=(OB-OM ) ,
从而
OM
=
1
1+
(OA+
OB)
(x,
y,
z)
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
11
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a;
(2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
9
的三角形是等腰三角形 .
思考: 五、向量的模、方向角、投影
“”
以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有
例3 已知两点A(x1 y1 z1)和B(x2 y2 z2)以及实数
1
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使
则 r =OM = xi + yj + zk .
• 上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z之
间有一一对应的关系
M r =OM = xi + yj + zk (x, y, z) .
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM -OA , MB =OB-OM ,
=OM -OA , MB =OB-OM ,
因此 OM -OA=(OB-OM ) ,
从而
OM
=
1
1+
(OA+
OB)
(x,
y,
z)
§1.5、向量函数的积分
§1.5、向量函数的积分
1、体积分
f 设D是R3中的一个体积元V， ( x ) 在V中定义的函数。
定义（体积分）：设 V1 , , V n 是V的一个分割，
V m ax V1 , , V n ，任取点 x i V i ，作和式：
n
f ( x i ) V i
Gauss公式：设空间曲面 S 是分片光滑的双侧闭曲面，其内部
区域记为V ，设函数
在 S 和 V 上连续，在 V 内具有一阶偏导数，则： f ( x ) d S f ( x )d V
Stokes公式：设空间曲面 S 是光滑的有界曲面，其边界l是一条
l
l
l
f x ( x )dx f y ( x )dy f z ( x )dz
例4：设 l 为平面 x y z 1 与三个坐标平面的交线所围的
闭曲线，曲线方向如图所示，求函数
T f ( x ) ( z y, x z, y x)
1 0
1 0 1 0
(1 y ) d y (1 y ) d y 1
同理：
BC
f ( x ) dl
CA
f ( x ) dl 1
最后得：
l
f ( x ) dl 3
4、Gauss公式和Stokes公式
f (2) 设 a 为常向量， ( x )为向量函数，则： a f ( x ) d V a f ( x )d V
V V V V
f (3) 设 a 为常向量， ( x )为向量函数，则： a f ( x )d V a f ( x )d V
1、体积分
f 设D是R3中的一个体积元V， ( x ) 在V中定义的函数。
定义（体积分）：设 V1 , , V n 是V的一个分割，
V m ax V1 , , V n ，任取点 x i V i ，作和式：
n
f ( x i ) V i
Gauss公式：设空间曲面 S 是分片光滑的双侧闭曲面，其内部
区域记为V ，设函数
在 S 和 V 上连续，在 V 内具有一阶偏导数，则： f ( x ) d S f ( x )d V
Stokes公式：设空间曲面 S 是光滑的有界曲面，其边界l是一条
l
l
l
f x ( x )dx f y ( x )dy f z ( x )dz
例4：设 l 为平面 x y z 1 与三个坐标平面的交线所围的
闭曲线，曲线方向如图所示，求函数
T f ( x ) ( z y, x z, y x)
1 0
1 0 1 0
(1 y ) d y (1 y ) d y 1
同理：
BC
f ( x ) dl
CA
f ( x ) dl 1
最后得：
l
f ( x ) dl 3
4、Gauss公式和Stokes公式
f (2) 设 a 为常向量， ( x )为向量函数，则： a f ( x ) d V a f ( x )d V
V V V V
f (3) 设 a 为常向量， ( x )为向量函数，则： a f ( x )d V a f ( x )d V
多元向量值函数积分
L1 L2
高 等 数 学 dl A dl.
L
i 1 Li
7 /24
四、两型曲线积分的关系
第 八
若 L为空间有向曲线,则
A(M ) dl P( x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz
章L
L
第 一
其中dl (dx,dy,dz)是空间曲线L在点M(x, y, z)
二、第二型曲线积分
定义8.3.1 设向量场A(M ), L是其场域中一条
节
1
由A到B的可求长的光滑有向曲线.将有向曲线
1
|| 1 2
L任意分成n个小弧段;在小 弧段Mi1Mi 上任取 点Ti (i 1,2,, n),作乘积A(Ti ) Mi1Mi ;再作
高 等
和式
数
n
F (Ti ) Mi1Mi ;
高
等 数
(2)沿上半圆周y
2x x2由点(0,0)到点(1,1).
学
9 /24
解 (1)直线上指定方向的切向量 (1,1),
第
单位化得方向余弦
e
(cos ,cos ) (
1 2
,
1 ),
2
八
章 所以
Pdx Qdy P Qdl.
第 一
L
L2
节 (2)圆弧上指定方向的切向量
y y 2x x2
zi 1 j
zi ), zi k ,
八
章 第
Ti
n
(
i
,i
,
i
)
M
i 1
M
i
n
一
节
1
lim
0
i 1
A(Ti )
高等数学向量值函数的积分
接续【例8-3】
解：由已知，L的方程为
z 3 z 4 x2 y2
消去z得
x2 y2 1 z 3
可设L的参数方程为：x=cost，y=sint，z=3( 0 t 2 ),
所以
I 2 [cos2 t sin3 t(sin t) 3cos t 0]dt 0
2 sin4 t(1 sin2 t)dt 3
L f ( x, y)dx g( x, y)dy O
x
L g( x0 , y)dy
（图8-2）
【例8-3】计算曲线积分 I
x2 y3dx zdy L
ydz,
其中L
是抛物面 z 4 x2 y2 与平面 z=3的交线，从 z 轴正向往
负向看，其方向为逆时针．这里积分号 L 表示沿闭合
曲线L积分．
1.格林公式 2.平面曲线积分与路径无关的条件 3.原函数与全微分方程
1.格林公式 格林公式，可以看做一般的斯托克斯公式的特例，
也可以看做牛顿-莱布尼茨公式的推广。而一般形式 的斯托克斯公式，也被称为整个微积分学的基本定 理。牛顿莱布尼茨公式，仅仅是一元微积分学的基 本定理。
解释和证明一般形式的斯多克斯公式属于高级微积 分学，需要较多的其它方面的数学知识。
由于原方程是全微分方程所以有方程通解为两边对x积分得所以由此得dydzdzdxdxdy1考察向量积各个分量的几何意义根据向量积的代数表示有设有z型曲面考虑如下定义和表示的向量即所由行列式的几何意义下面三个行列式恰好就是以为邻边的平行四边形在三个坐标平面上投影所得平行四边形的面积有向即可正可负
第八章 向量值函数的 曲线与曲面积分
＝L F ( x, y, z) •ds
（5）
这个关系也提供了计算第二型曲线积分的主要方法。
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因此一元向量值函数在物理上是质点运动的轨迹，
几何上表示空间一条曲线。
z
（2)当 Rr (t ) 0时, 得r平面向量r 值函数
f ( x) P( x)i Q( x) j , x I x
O
M(x,y,zy)
二、一元向量值函数的极限、导数、积分
设 f ( x ) P ( x ) i Q ( x ) j R ( x ) k { P ( x ) Q ( x ) , R ( x ) , }
r
rr
( 3 ) f ( x ) d x P ( x ) d x ,Q ( x ) d x ,R ( x ) d x F(x)C;
br
b
b
b
rr
(4 )f(x )d x { P (x )d x ,Q (x )d x ,R (x )d x } F (b ) F (a ).
a
a
a
a
dF
f (t)
u ( u vv ) uu 11 (v x1 ) vu 11 (v x1 ) u 2 u v 2 2( xu )2 vv 2 2( x)u ,v u v
3、一元向量值函数导数的物理意义与几何意义 r r ( t) x ( t) i r y ( t) r j z ( t) k r
0
23 4
2、一元向量值函数求导运算法则
(1)(C) 0,其中C是常向量； （2）(aub v) au b v,a,b是常数； （3）(uv) uvuv;
(4)(uv) uvuv;
(5)r r((t)),dr drd (r r(s),s (t)).
仅证3） （ ,并且 dtu 设 ,vd是 s dt平面向量： u {u1(x),u2(x)}v, {v1(x),v2(x)}则 ,
dt
设 f ( x ) P ( x ) i Q ( x ) j R ( x ) k { P ( x ) Q ( x ) , R ( x ) , }
r
r
r
注 ： d f(x)lim f(x x)f(x)
d x x 0
x
lx im 0 1 x P (x x),Q (x x),R (x x)P (x),Q (x),R (x)
一、向量值函数的概念
r
空 间 曲 线 的 切 向 量 ： T x ( t ) ,y ( t ) , z ( t )
空间F 曲 (x,y面 ,z)0的法向 n{量 F,： F,F} x y z
定 义1 设I是 一 个 区间 V3是 ，一 个 三 维 向 量 空
向 从I量 到V值 3的函映数射，， f即 记 f:,I称 为 为 V 3,定
位移 r r (t 向 t) r (量 t),
dr是质点运动的速度，向量
dt
dr (x(t))2 (y(t))2 (z(t))2是速度的大小，
dt
(dr )0
{x(t),y(t),z(t)} 是速度的方向。
dt
(x(t))2 (y(t))2 (z(t))2
r r ( t) x ( t) i r y ( t) r j z ( t) k r
r
rr r
f ( t ) d t t d ti t 2 d tj t3 d tk
t2 r t3 r t4 r ur
i j kC.
23 4
1f (t)d t1ti t2 j t3 k d t
0
0
1td tir1t2 d tr j1t3 d tk r
1ir 1
r j
1
r k.
0
0
r ( 1 ) l i m f ( x ) { l i m P ( x ) ,l i m Q ( x ) ,l i m R ( x ) } ;
x x 0 x x 0 x x 0 x x 0
d f d P d Q d R dd Pd QR (2 ) i jk { , , }; dx dx dx dxdd xd xx
从几何上看，当drr
r 0时，
d0 {x(t0), y(t0),z(t0)}是曲线rr(t)
参数增加 的方向
rO(r t()trt) Q
P
在M(x(t), y(t),z(t))处的切线的方向向量，
r
r
考 察 r : 无 论 t 0 , 还 是 t 0 , r 都 与 参 数 增 加 的 方 向 一 致 ，
义I上在的
一
元
f(x ) P (x )i Q (x )j R (x )k , x I
或 者 f(x ) { P ， (x ) ， Q (x ) ， R (x )}x , I
其 P 中 (x),Q(x),R(x)称 f为 的 坐 标 ， 是 通
元数量值函数。
注：（1）一元向量值函数的物理意义与几何意义
本章内容
第一节 向量值函数的概念与性质； 第二节 第二类曲线积分的概念与计算； 第三节 格林公式及其应用 第四节 第二类曲面积分的概念与计算； 第五节 高斯公式与斯托克斯公式；
第十章 第一节 向量值函数的概念与性质
本节主要内容
一、一元向量值函数的概念 二、一元向量值函数的导数与积分 三、多元向量值函数
设起点在原O点(0,0,0),终点在M(x, y, z)
的 向 量 记 为 r, 质 点 运 动 的 参 数 方 x x(t), y y(t),z z(t), t
则 质 点 的 位 置 变 化 可示表为
程： ,
x y z
x ( t ), y ( t ), z ( t ),
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k, t .
即df {dP,dQ,dR} dx dx dx dx
例 f( t) ： ti t2 j 设 t3 k .
r
rrr r r r
则 有 ： lim f( t) lim ti t2 j t3 k2i4j8k
t 2
t 2
d d tfr(t)d d t tirt2r jt3k rir2tr j3t2k r
l x 0 iP ( m x x x ) P ( x ) , l x 0 iQ ( m x x x ) Q ( x ) , l x 0 iR ( m x x x ) R ( x )
d dP x,d d Q x,d dR x d dP xird d Q xr jd dR xk r r