向量值函数积分学17页PPT

位移 r r (t 向 t) r (量 t),
dr是质点运动的速度，向量
dt
dr (x(t))2 (y(t))2 (z(t))2是速度的大小，
dt
(dr )0
{x(t),y(t),z(t)} 是速度的方向。
dt
(x(t))2 (y(t))2 (z(t))2
r r ( t) x ( t) i r y ( t) r j z ( t) k r
l x 0 iP ( m x x x ) P ( x ) , l x 0 iQ ( m x x x ) Q ( x ) , l x 0 iR ( m x x x ) R ( x )
d dP x,d d Q x,d dR x d dP xird d Q xr jd dR xk r r
本章内容
第一节 向量值函数的概念与性质； 第二节 第二类曲线积分的概念与计算； 第三节 格林公式及其应用 第四节 第二类曲面积分的概念与计算； 第五节 高斯公式与斯托克斯公式；
第十章 第一节 向量值函数的概念与性质
本节主要内容
一、一元向量值函数的概念 二、一元向量值函数的导数与积分 三、多元向量值函数
义I上在的
一
元
f(x ) P (x )i Q (x )j R (x )k , x I
或 者 f(x ) { P ， (x ) ， Q (x ) ， R (x )}x , I
其 P 中 (x),Q(x),R(x)称 f为 的 坐 标 ， 是 通
元数量值函数。
注：（1）一元向量值函数的物理意义与几何意义
r
rr
( 3 ) f ( x ) d x P ( x ) d x ,Q ( x ) d x ,R ( x ) d x F(x)C;
br
b
b
b
rr
(4 )f(x )d x { P (x )d x ,Q (x )d x ,R (x )d x } F (b ) F (a ).
a
a
a
a
dF
f (t)
设起点在原O点(0,0,0),终点在M(x, y, z)
的 向 量 记 为 r, 质 点 运 动 的 参 数 方 x x(t), y y(t),z z(t), t
则 质 点 的 位 置 变 化 可示表为
程： ,
x y z
x ( t ), y ( t ), z ( t ),
Fra Baidu bibliotek
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k, t .
因此一元向量值函数在物理上是质点运动的轨迹，
几何上表示空间一条曲线。
z
（2)当 Rr (t ) 0时, 得r平面向量r 值函数
f ( x) P( x)i Q( x) j , x I x
O
M(x,y,zy)
二、一元向量值函数的极限、导数、积分
设 f ( x ) P ( x ) i Q ( x ) j R ( x ) k { P ( x ) Q ( x ) , R ( x ) , }
dt
设 f ( x ) P ( x ) i Q ( x ) j R ( x ) k { P ( x ) Q ( x ) , R ( x ) , }
r
r
r
注 ： d f(x)lim f(x x)f(x)
d x x 0
x
lx im 0 1 x P (x x),Q (x x),R (x x)P (x),Q (x),R (x)
r
rr r
f ( t ) d t t d ti t 2 d tj t3 d tk
t2 r t3 r t4 r ur
i j kC.
23 4
1f (t)d t1ti t2 j t3 k d t
0
0
1td tir1t2 d tr j1t3 d tk r
1ir 1
r j
1
r k.
0
0
即df {dP,dQ,dR} dx dx dx dx
例 f( t) ： ti t2 j 设 t3 k .
r
rrr r r r
则 有 ： lim f( t) lim ti t2 j t3 k2i4j8k
t 2
t 2
d d tfr(t)d d t tirt2r jt3k rir2tr j3t2k r
r ( 1 ) l i m f ( x ) { l i m P ( x ) ,l i m Q ( x ) ,l i m R ( x ) } ;
x x 0 x x 0 x x 0 x x 0
d f d P d Q d R dd Pd QR (2 ) i jk { , , }; dx dx dx dxdd xd xx
从几何上看，当drr
r 0时，
dt tt0
r
dr dt
tt0 {x(t0), y(t0),z(t0)}是曲线rr(t)
参数增加 的方向
rO(r t()trt) Q
P
在M(x(t), y(t),z(t))处的切线的方向向量，
r
r
考 察 r : 无 论 t 0 , 还 是 t 0 , r 都 与 参 数 增 加 的 方 向 一 致 ，
u ( u vv ) uu 11 (v x1 ) vu 11 (v x1 ) u 2 u v 2 2( xu )2 vv 2 2( x)u ,v u v
3、一元向量值函数导数的物理意义与几何意义 r r ( t) x ( t) i r y ( t) r j z ( t) k r
一、向量值函数的概念
r
空 间 曲 线 的 切 向 量 ： T x ( t ) ,y ( t ) , z ( t )
空间F 曲 (x,y面 ,z)0的法向 n{量 F,： F,F} x y z
定 义1 设I是 一 个 区间 V3是 ，一 个 三 维 向 量 空
向 从I量 到V值 3的函映数射，， f即 记 f:,I称 为 为 V 3,定
0
23 4
2、一元向量值函数求导运算法则
(1)(C) 0,其中C是常向量； （2）(aub v) au b v,a,b是常数； （3）(uv) uvuv;
(4)(uv) uvuv;
(5)r r((t)),dr drd (r r(s),s (t)).
仅证3） （ ,并且 dtu 设 ,vd是 s dt平面向量： u {u1(x),u2(x)}v, {v1(x),v2(x)}则 ,