1-2条件平差原理--条件平差的计算步骤
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测量平差第五章
式中常数项为：
wa a1 L1 a2 L2 an Ln a0 wb b1 L1 b2 L2 bn Ln b0 wr r1 L1 r2 L2 rn Ln r0
§5.1 条件平差原理
ˆ ˆ H h ˆH C A 1
一般地,设平差值函数为：
§5.3 精度评定
—— 称为权函数式！ 其矩阵形式为：
§5.3 精度评定
§5.3 精度评定
1 1 1 0 0 0 A 0 0 0 1 1 1
§5.3 精度评定
例（补）已知：
ˆ 和 求：L ˆ ˆ
PC
1.求观测量的平差值：
§5.2 条件方程
1.以角度改正数表示的图形条件方程 ˆ ˆ ˆ 360 0 1 2 3
ˆ ˆ ˆ 0 1 2 3
v1 v2 v3 w 0
w 1 2 3
v1 v2 v3 w பைடு நூலகம் 0
w 1 2 3 360
①列立条件方程式
PE
ˆ L 573216 1 ˆ 73 0308 L2 1 1 1 1 ˆ 360 0 W AL A0 [1 1 1 1]12651 28 360 12 L 3 ②组成并解算法方程 102 3 3 2 0 ˆ L4
2.解决问题的基本思想 根据 i2 02Qii 知：
2 要计算平差值函数的中误差，首先要求出 0 ；
最后，根据Q ˆ ˆ 求得平差值函数的中误差 ˆ。
然后，根据协因数传播律求出平差值函数 ˆ 的协因数 Qˆˆ ；
§5.3 精度评定
附有参数的条件平差
Naa K Bxˆ W 0 BT K 0
4）按式（8）和式（9）计算参数近似值的改正
数 xˆ 和观测值L的改正数V。
xˆ
N
1 bb
B
T
N aa1W
V
P
1
AT
N
1 aa
(
Bxˆ
W
)
5）计算观测值和参数的平差值。
Lˆ L V , Xˆ X 0 xˆ
6）用平差值重新列平差值条件方程，检核整个 计算的正确性。
QLK QWK Q XˆK QKK QVK QLˆK
QLV QWV Q XˆV QKV QVV QLˆV
QLLˆ QWLˆ
Q XˆLˆ QKLˆ
QVLˆ
QLˆLˆ
Q
L
W
Xˆ
K
V
Lˆ
L
Q
QAT QAT Naa1BQXˆXˆ QA T QKK
QVV
Q QVV
W
AQ
N aa
BQXˆXˆ
解 : 本题n=3 ，t=2,r=n-t=1,又设u=1 ，故条件方
程的总数等于2。 两个平差值条件方程为
lˆ1lˆ2 lˆ3 0 lˆ3 Xˆ 0
将 Lˆi Li vi Xˆ X 0 xˆ,X 0 l3 ， 代入以上条件方程，
并将它们线性化，可得
l2v1 l1v 2 v3 l1l2 l3 0 v3 xˆ 0
误差理论与测量平差
附有参数的条件平差
1.平差原理
一般地，附有参数的条件平差的函数模型为：
（1） A V B xˆ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
式中V为观测值L的改正数，xˆ 为参数近似值 X 0 的
改正数。其系数矩阵的秩分别为 rk(A) c, rk(B) u
4）按式（8）和式（9）计算参数近似值的改正
数 xˆ 和观测值L的改正数V。
xˆ
N
1 bb
B
T
N aa1W
V
P
1
AT
N
1 aa
(
Bxˆ
W
)
5）计算观测值和参数的平差值。
Lˆ L V , Xˆ X 0 xˆ
6）用平差值重新列平差值条件方程，检核整个 计算的正确性。
QLK QWK Q XˆK QKK QVK QLˆK
QLV QWV Q XˆV QKV QVV QLˆV
QLLˆ QWLˆ
Q XˆLˆ QKLˆ
QVLˆ
QLˆLˆ
Q
L
W
Xˆ
K
V
Lˆ
L
Q
QAT QAT Naa1BQXˆXˆ QA T QKK
QVV
Q QVV
W
AQ
N aa
BQXˆXˆ
解 : 本题n=3 ，t=2,r=n-t=1,又设u=1 ，故条件方
程的总数等于2。 两个平差值条件方程为
lˆ1lˆ2 lˆ3 0 lˆ3 Xˆ 0
将 Lˆi Li vi Xˆ X 0 xˆ,X 0 l3 ， 代入以上条件方程，
并将它们线性化，可得
l2v1 l1v 2 v3 l1l2 l3 0 v3 xˆ 0
误差理论与测量平差
附有参数的条件平差
1.平差原理
一般地，附有参数的条件平差的函数模型为：
（1） A V B xˆ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
式中V为观测值L的改正数，xˆ 为参数近似值 X 0 的
改正数。其系数矩阵的秩分别为 rk(A) c, rk(B) u
条件平差原理
§9.1 条件平差原理在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1ˆ⨯n L 作为未知数，列出v 个未知数的条件式，在min =PV V T 情况下，用条件极值的方法求出一组v 值，进而求出平差值。
9.1.1基础方程和它的解设某平差问题，有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。
当有r 个多余观测时，则平差值 应满足r 个平差值条件方程为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ221122112211οοοr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （9-1） 式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件方程的系数；0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数以ii i v L L +=ˆ（i =1、2、…n ）代入(9-1)得条件方程（9-2）式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即（9-3） 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯n n n n r r r r b b b a a a A212121⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L 211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L ˆˆˆˆ2111⨯n L nn P ⨯1⨯n V 1ˆ⨯n L 1ˆ⨯n L则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式为0ˆ0=+A LA （9-4） 0=+W AV （9-5）上改正数条件方程式中V 的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在V 的无穷多组解中，取PV V T = 最小的一组解是唯一的，V 的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。
测量平差10
-19-
第五章 第五章 条件平差 条件平差
3）
V QAT K
0.75 3.25 1.25 2.5 ( mm)
T
4）
ˆ h V L 2.502 2.006 1.352 1.851 V
T
2.5028 2.0028 1.3508 1.8535 ( mm)
T
5）
90 0
例2
-17-
第五章
条件平差
三、精度评定
1、观测值L的精度 2、单位权方差的估值
2 2 1 DLL 0 QLL 0 P
T V PV 2 ˆ0 r
3、各向量协因数阵的计算
-18-
第五章 ----精度评定 第五章 条件平差 条件平差
例1
已知： H A 10.000m H B 10 . 500 m S1=S2=S4=2km, S3=1km
x
ˆ L ˆ L ˆ 180 0 L 4 5 6
ˆ sin( L ˆ L ˆ ) sin L ˆ sin X 3 5 1 1 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ sin( L L ) sin( L X ) sin L
1 4 6 3
ˆ X ˆ 0 L 7 BD BC
-22-
本次课的主要内容 二、条件方程 1 2 3 4 5
以角度为观测值的条件方程 以边长为观测值的条件方程 以基线向量为观测值的条件方程 以坐标为观测值的条件方程 精度评定
-1-
第五章
条件平差----条件平差原理
一、条件平差原理
基础方程：
r , n n ,1
AV W 0,
r ,1 r ,1 n,n n , r r ,1
条件平差的基本原理
r1v1 r2v2 rnvn wr 0
v1
V
n ,1
v2
vn
wa F1L1, L2 ,, Ln
wb F2 L1, L2 ,, Ln
wr Fr L1, L2 ,, Ln
则相应方程的矩阵表达式分别为
F Lˆ 0
AV W 0 W FL
3. 基础方程
按求函数极值的拉格朗日乘数法，设乘数
5）求观测值的平差值； Lˆ L V
6）检核。 F (Lˆ) 0
7）检核。
3. 实例分析 例6-1水准网如右图：观测值及其权矩阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
P diag1 1 1 2.5 2.5 2.5
求各水准路线的最或然值。
解： 1）列出条件方程
或
v1 v2 v3 v2
0 0 v4 4 0
v1
1 0
1 1
1 0
0 1
v2 vv43
0 4
0 0
令c=1，则由定权公式
，有 pi
C Si
1 Si
P 1
1 p1
0
0
0
0
1 p2
0
0
0
0
1 p3
0
0 s1 0 0 0 2 0 0 0
0 0
0 0
1 p4
0
K
r ,1
ka
kb
kr T
，称为联系数向量。组成函数
V T PV 2K T AV W
将 φ 对V 求一阶导数，并令其为零，得
d dV
2V T P
2KT
A
0
两边转置，得
v1
V
n ,1
v2
vn
wa F1L1, L2 ,, Ln
wb F2 L1, L2 ,, Ln
wr Fr L1, L2 ,, Ln
则相应方程的矩阵表达式分别为
F Lˆ 0
AV W 0 W FL
3. 基础方程
按求函数极值的拉格朗日乘数法，设乘数
5）求观测值的平差值； Lˆ L V
6）检核。 F (Lˆ) 0
7）检核。
3. 实例分析 例6-1水准网如右图：观测值及其权矩阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
P diag1 1 1 2.5 2.5 2.5
求各水准路线的最或然值。
解： 1）列出条件方程
或
v1 v2 v3 v2
0 0 v4 4 0
v1
1 0
1 1
1 0
0 1
v2 vv43
0 4
0 0
令c=1，则由定权公式
，有 pi
C Si
1 Si
P 1
1 p1
0
0
0
0
1 p2
0
0
0
0
1 p3
0
0 s1 0 0 0 2 0 0 0
0 0
0 0
1 p4
0
K
r ,1
ka
kb
kr T
，称为联系数向量。组成函数
V T PV 2K T AV W
将 φ 对V 求一阶导数，并令其为零，得
d dV
2V T P
2KT
A
0
两边转置，得
条件平差
n ,1 n , n n , r r ,1
得法方程： AQATK-W=0 T 1 T N AQA AP A 令 aa r .r r .nn.nn.r 则有： NaaK-W=0
法方程系数阵Naa是一个r阶的满秩方阵，且可逆
N11k1 N12k 2 N1r k r W1 0 N 21k1 N 22k 2 N 2 r k r W2 0 N r1k1 N r 2 k 2 N rn k r Wr 0
目标函数：f x min n1 x a h x min F a , x f 1k 约束条件： h x 0 k 1 n1 F a, x
0 a F a, x 0 x
L2
L4 L1 L3 L2
A
B
C
§6-2 条件方程
条件方程的个数等于多余观测数r。条件方程之间 不能线性相关,在一个平差问题中，条件方程的个 数是固定不变的.
一、r的确定： r=n-t 二、条件方程的列立： 原则：足数（r个），线性无关，形式简单，易 于列立
控制网常见几何模型
水准网 三角网(测角网) 三边网(测边网) GPS基线向量网 单一附合导线
由此可得联系数K的解：
r ,1
K ( AQA ) W
T
T 1
V QA K
条件平差的 最小二乘解：
n,1
ˆ L V L
三、条件平差计算步骤：
1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程，条 件方程的个数等于多余观测数r。 2．组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r 3．解法方程，求出联系数K值。 4．将K代入改正数方程式，求出V值，并求出观测 值的平差值=L+V。 5．检验平差计算的正确性（可用平差值重新列出 平差值条件方程式，看其是否满足方程）。
得法方程： AQATK-W=0 T 1 T N AQA AP A 令 aa r .r r .nn.nn.r 则有： NaaK-W=0
法方程系数阵Naa是一个r阶的满秩方阵，且可逆
N11k1 N12k 2 N1r k r W1 0 N 21k1 N 22k 2 N 2 r k r W2 0 N r1k1 N r 2 k 2 N rn k r Wr 0
目标函数：f x min n1 x a h x min F a , x f 1k 约束条件： h x 0 k 1 n1 F a, x
0 a F a, x 0 x
L2
L4 L1 L3 L2
A
B
C
§6-2 条件方程
条件方程的个数等于多余观测数r。条件方程之间 不能线性相关,在一个平差问题中，条件方程的个 数是固定不变的.
一、r的确定： r=n-t 二、条件方程的列立： 原则：足数（r个），线性无关，形式简单，易 于列立
控制网常见几何模型
水准网 三角网(测角网) 三边网(测边网) GPS基线向量网 单一附合导线
由此可得联系数K的解：
r ,1
K ( AQA ) W
T
T 1
V QA K
条件平差的 最小二乘解：
n,1
ˆ L V L
三、条件平差计算步骤：
1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程，条 件方程的个数等于多余观测数r。 2．组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r 3．解法方程，求出联系数K值。 4．将K代入改正数方程式，求出V值，并求出观测 值的平差值=L+V。 5．检验平差计算的正确性（可用平差值重新列出 平差值条件方程式，看其是否满足方程）。
第三章条件平差
独立三角网
自由三角网
自由测角网
附合三角网（测角）
• 例：
∆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α ∆
当n=35、n=22、n=35+22时，其条件式个数各为多 少？有哪些类型？
图形条件（内角和条件）:
B
b1
a2
c1 D c2 a1 b3 c3 a3 b2 C
A
圆周条件（水平条件）:
b1
a2
c1 a1 a3 c3
c2 b2 b3
5.1.06、 5.1.07
上节内容回顾：
改正数条件式 观测值的协方差阵 法方程
AV W 0
D P Q
2 0 1 2 0
r n n n
Naa K W 0 N aa AQ AT
r r n r
改正数方程
V P A K QA K
T
1 T
wr
T
• 则条件方程可写成：
ˆA 0 AL 0
• 以及改正数条件式：
W AL A0
AV W 0
这样一来，对于一个平差问题，我们能够得到 其数学模型：
AV W 0 D P Q
2 0 1 2 0
下面要解决的问题是： 由上述的数学模型来求改正数V。
不难发现，不能求得V的唯一解！！！ 解决不唯一解的办法就是附加一个约束条件---“最小二乘估计” 即满足：
极条件（边长条件）:
b1 a2
c1
a1 b3 c3
c2 b2 a3
极条件（边长条件）就是指由不同路线推算得到 的同一边长的长度应相等。
三角网的基本图形 1） 单三角形 2）大地四边形
3）中点多边形。
第五章条件平差
二、法方程及改正数方程
将V T PV min的原则作用于条件方程 。
组成新函数:
V T PV－2k T AV W
式中
r 1
k k a , kb , k r 条件方程联系数
T
对新函数求导： T T 2V P 2A k ---改正数方程
dSCD ˆ f T dL SCD ˆ SCD T 2 T ˆ f D f f QL ˆL ˆ ˆL ˆ f 0 L S CD
得测边相对中误差为： 3、大地四边形测角网
2
ˆS
CD
SCD
＝
ˆ 0 f T QL ˆL ˆ f
设
F ( f1 , f 2 , f m )
T T
G ( g1 , g 2 , g m ) 有
均为m维向量函数，且 f i、g i 均为x的函数， d F G dG F T dG T dF F G dx dx dx dx
注意：当N为满秩方阵时，才有 N 1唯一存在,法方程才有唯
测方向网
测角网
测角网
三角网
测边网
测边长
测边＋测方向
边角网
（导线网） 测边＋测角
三、三角网的布设－－从高级到低级逐级布设 四、三角网平差的方法 1。严密平差 ----遵守VTPV=min原则 ； 2。近似平差
5.3 测角网条件平差
独立网（经典自由网）－-－只有必要起算数据d。
非独立网（附合网）－-－已知条件超过必要起算数据。
3 图形条件： n=12 t=2×2+4=8 r =4 1 极条件：
v2 v1 v6 v5 v11 v10 W1 0
测量程序设计_条件平差和间接平差
程序代码如下：
disp(‘-------水准网间接平差示例-------------’) disp(‘已知高程’) Ha = 5.015 % 已知点高程，单位m Hb = 6.016 % 已知点高程，单位m
A h2 D h1
C h6 E h7 B h4
h5
h3
disp(‘观测高差，单位m’)
L = [1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357] disp(‘系数矩阵B’)
则： PV AT K
V P A K QA K
T
1 T
4、法方程： 将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：
AQAT K W 0
r1 r1 r1
记作： 由于
N aa K W 0
rr
R( Naa ) R( AQAT ) R( A) r
Naa为满秩方阵， K Naa1W ( AQAT )1 ( AL A0 )
if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确') else disp(‘检核错误') end disp(‘平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
其中l＝L－d.
ˆ 设误差Δ和参数X的估计值分别为V 和 X
则有
ˆ V AX l
X0 为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值
ˆ ˆ X X0 x
则误差方程表示为
误差理论与测量平差基础第五章条件平差ppt课件.pptx
5-2 条件方程的列立
故有：
dA
1 ha
(dSa
cos CdS b
cos BdSc
)
将微分换成改正数，并将弧度换
成角度，得：
vA
ha (vSa
cos CvSb
cos BvSc
)
上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律：
任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻 边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的
3、几种非线性条件方程的线性形式
极条件： 在图5-4中，极条件为 线性化得：
sin aˆ1 sin aˆ2 sin aˆ3 sin bˆ1 sin bˆ2 sinbˆ3
1
sin(a1 va1 )sin(a2 sin(b1 vb1 )sin(b2
va2 )sin(a3 va3 ) vb2 )sin(b3 vb3 )
dV
dV
dV
VTP VTP
2V T P
5-1 条件平差原理
2.2 求偏导
2.3 法方程 改正数方程
d 2V T P 2K T A 0 dV
AP1 AT K W 0
V P1 AT K
举例
水准网如右图：观测值及其权阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
m1
yA yˆi yB 0 i 1
5-2 条件方程的列立
➢GIS数字化数据采集中，折角均为90度的N边形的条件 方程
1、观测值
观测值为N个顶点的坐标，其个数为n=2 N。
2、必要观测个数
t=N+1
h
3、多余观测个数
r=n-t=2N-N-1=N-1 4、条件方程的类型
3.1第1讲(条件平差原理)
平差值条件方程
v1 v 2 V = n ,1 M v n
ˆ L1 ˆ L ˆ L = 2 n ,1 M ˆ Ln
n ,1
ˆ L = L+V
n ,1
n ,1
p1 ˆ L1 L1 + v1 ˆ L2 + v 2 P = L2 = M M n ,n ˆ Ln + v n Ln
p2
O pn
一、条件平差原理
L 有n个观测值 n ,1 ，均含有相互独立的偶
然误差， 然误差，相应的权阵为 P ，改正 n,n ˆ V ，平差值为 L ，用矩阵 数为 n,1 n ,1 表示为： 表示为：
2012-3-29
必要 观测 数t, 多余 观测 数为r 数为r r=nr=n-t
1
第三章 条件平差
第一节
改正数条件方程： 改正数条件方程： a1v1 + a 2 v 2 + L + a n v n − wa = 0 b1v1 + b2 v 2 + L + bn v n − wb = 0 LLLLLLLLLLLLL r1v1 + r2 v 2 + L + rn v n − wr = 0 方程的闭合差
ˆ 2. L、W、K、V、L 的协因数阵及互 协因数阵
L=L
W = −( AL + A0 ) = − AL − A0
K = N −1W = − N −1 ( AL + A0 ) = − N −1 AL − N −1 A0 V = P −1 AT K
传播律中的K 传播律中的K
v1 v 2 V = n ,1 M v n
ˆ L1 ˆ L ˆ L = 2 n ,1 M ˆ Ln
n ,1
ˆ L = L+V
n ,1
n ,1
p1 ˆ L1 L1 + v1 ˆ L2 + v 2 P = L2 = M M n ,n ˆ Ln + v n Ln
p2
O pn
一、条件平差原理
L 有n个观测值 n ,1 ，均含有相互独立的偶
然误差， 然误差，相应的权阵为 P ，改正 n,n ˆ V ，平差值为 L ，用矩阵 数为 n,1 n ,1 表示为： 表示为：
2012-3-29
必要 观测 数t, 多余 观测 数为r 数为r r=nr=n-t
1
第三章 条件平差
第一节
改正数条件方程： 改正数条件方程： a1v1 + a 2 v 2 + L + a n v n − wa = 0 b1v1 + b2 v 2 + L + bn v n − wb = 0 LLLLLLLLLLLLL r1v1 + r2 v 2 + L + rn v n − wr = 0 方程的闭合差
ˆ 2. L、W、K、V、L 的协因数阵及互 协因数阵
L=L
W = −( AL + A0 ) = − AL − A0
K = N −1W = − N −1 ( AL + A0 ) = − N −1 AL − N −1 A0 V = P −1 AT K
传播律中的K 传播律中的K
6 第五章 条件平差
三角网的基本图形构成
单三角形； 大地四边形； 中点多边形
30
§2 条件方程
二.三角网 1.独立测角网条件方程
测角网的观测值
测角网的观测值很简单,全部是角度观测值
测角网的作用
确定待定点的平面坐标
测角网的基准
位置基准2个(任意一点坐标X0Y0) 方位基准1个(任意一边方位角α0) 长度基准1个(任意一边的边长S0)
Av f 0
V PV min
T
在满足 Av f 0 的条件下，
求函数 V PV min 的V值
T
条件 极值 问题
4
§1 条件平差原理 条件平差的步骤
5
§1 条件平差原理
列条件方程 观测值权阵
最小二乘原则
求唯一解
6
§1 条件平差原理 一.基础方程及其解
r个线性条件方程：
3 ka 3 k 2 0 6 b
写成矩阵形式：
(2)定权： 100米量距为单位权：Pi=100/Si
1/Pi=Si/100 1/P1=2， 3=3， 1/P 1/P2=3， 4=5， 1/P
2 0 Q 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5
AV f 0 PLL diag p1 p2 p4
组、解法方程： AQAT K f 0
由改正数方程求： V P A K
T 1
ˆ 求平差值： L L V
15
§1 条件平差原理 二.条件平差的求解步骤及示例
条件平差计算步骤
16
§1 条件平差原理
例：
r 1
r 1
r个改正数条件式：
a1v1 a2 v2 an vn wa 0 b1v1 b2 v2 bn vn wb 0 r1v1 r2 v2 rn vn wr 0
第五章 条件平差
ˆ 0 F L
v1 v V 2 n ,1 vn
W AL A0
则相应方程的矩阵表达式分别为
AV W 0
第五章：条件平差
3. 基础方程
按求函数极值的拉格朗日乘数法，设乘数 联系数向量。组成函数 将 φ 对V 求一阶导数，并令其为零，得
r , n n ,1
A V W 0 ——改正数条件方程 r ,1
W AL A0 —改正数条件方程常数项（闭合差）计算式
第五章：条件平差
例题 ：右图中L1、L2、L3为观测角度， 试列出该图形的条件方程和改正数条件方 程。 解：t=2, r=n-t=3-2=1 条件方程:
ˆ L ˆ L ˆ 180 0 L 1 2 3
试列出条件方程 解：t=2p-q-4=4，r=n-t=9-4=5 条件方程为：
ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L 1 2 3 ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L 4 5 6 ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L
7 8 9
ˆ L ˆ L ˆ 3600 0 L 3 6 9 ˆ sin L ˆ sin L ˆ sinL 1 4 7 1 ˆ ˆ ˆ sinL sin L sin L
第五章：条件平差
4.基础方程的解
将改正数方程代入改正数条件方程，得
AQAT K W 0
令 则有
N aa AQAT AP1 AT
N aa K W 0 ——联系数法方程
秩 RN aa RAQAT RA r ，即 N aa 是个r阶的满秩方阵，由此 可解出
试按条件平差法求C、D点高程的平差值。 解：此例 n=4，t=2，r=n-t=2，可列出两个条件方程。 （1）列条件方程：
v1 v V 2 n ,1 vn
W AL A0
则相应方程的矩阵表达式分别为
AV W 0
第五章：条件平差
3. 基础方程
按求函数极值的拉格朗日乘数法，设乘数 联系数向量。组成函数 将 φ 对V 求一阶导数，并令其为零，得
r , n n ,1
A V W 0 ——改正数条件方程 r ,1
W AL A0 —改正数条件方程常数项（闭合差）计算式
第五章：条件平差
例题 ：右图中L1、L2、L3为观测角度， 试列出该图形的条件方程和改正数条件方 程。 解：t=2, r=n-t=3-2=1 条件方程:
ˆ L ˆ L ˆ 180 0 L 1 2 3
试列出条件方程 解：t=2p-q-4=4，r=n-t=9-4=5 条件方程为：
ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L 1 2 3 ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L 4 5 6 ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L
7 8 9
ˆ L ˆ L ˆ 3600 0 L 3 6 9 ˆ sin L ˆ sin L ˆ sinL 1 4 7 1 ˆ ˆ ˆ sinL sin L sin L
第五章：条件平差
4.基础方程的解
将改正数方程代入改正数条件方程，得
AQAT K W 0
令 则有
N aa AQAT AP1 AT
N aa K W 0 ——联系数法方程
秩 RN aa RAQAT RA r ，即 N aa 是个r阶的满秩方阵，由此 可解出
试按条件平差法求C、D点高程的平差值。 解：此例 n=4，t=2，r=n-t=2，可列出两个条件方程。 （1）列条件方程：
条件平差
1
线性化，并经整理后得
[ctga1 ctg(a1 b1 )]va1 ctg(a1 b1 )vb1 ctga2va2 ctgb2vb2 ctg(a3 b3 )va3 [ctg(a3 b3 ) ctgb3 ]vb3 w 0
w (1 sin(a1 b1 ) sin b2 sin b3 )
主要内容
第一节 条件平差原理 第二节 条件方程 第三节 精度评定 第四节 水准网平差示例
第1页/共37页
第一节 条件平差原理 （ ） 介绍条件平差原理，给出计算公式
一、基础方程及其解
设有r个观测值平差值线性条件方程：
ALˆ A 0 a1Lˆ1
a2 Lˆ2
...Βιβλιοθήκη an Lˆna00
b1Lˆ1 b2 Lˆ2 ... bn Lˆn b0 0（ 4－1－5），矩阵形式为：
...
sin a1 sin a2 sin b1 sin b2
sin a3 sin b3
ctgb3
vb3
0
ctga1va1
...
ctga3va3
ctgb1vb1
... ctgb3vb3
(1 sin a1 sin a2 sin a3 ) 0
sin b1 sin b2 sin b3 第21页/共37页
..................................
0
r1Lˆ1 r2 Lˆ2 ... rn Lˆn r0
0
注意：第一个条件方程系数到最后一个条件方程系数分别 采用字母a-r,下标与观测值编号对应。r是最后一个条件方 程的编号，表示条件方程个数为r，但是r数目与r在英文字 母中序号无关。
求其一阶偏导数，并令其为0：
第3章条件平差原理
v1 v2 v3 v4
573233
730305
1265125
1043317
推导如下：
VTPV VTP(P1ATK) VTATK(AV )TKWTK
纯量形式
20.09.2019 4
第三章 条件平差
第一节 条件平差原理
二、精度评定
则上述方程可表示为：
2. L、 W 、 K 、 V、 L ˆ的协因数阵及互 协因数阵
LL
W (A L A 0) A L A 0
DFFˆ02QFF
函数的方差
为了检查平差计算的正确性，可以将平差值代入平差值条件方程式，看是否满足 方程关系。
20.09.2019 10
第三章 条件平差
第一节 条件平差原理
[例3-1] n=4 t=3 r=1
A 1 P A TKW 0
p1
1
P
p2
1
n,n
Lˆ
n ,1
Lˆ Lˆ
1 2
Lˆ
n
L LV
n,1 n,1 n,1
Lˆ Lˆ
1 2
L1
பைடு நூலகம்
L
2
v1
v
2
Lˆ
n
L
n
vn
p1 P n,n
p2
kb
rr
第六章 条件平差
CD BD AD Sin(a 2) Sin(a1) Sin(a3) • • = • • =1 BD AD CD Sin(b 2) Sin(b1) Sin(b3)
列条件的原则：将复杂图形分解成典型图形。
类型：图形条件、 极条件、 类型：图形条件、圆周条件 、极条件、固定方位 条件、固定边长条件、 条件、固定边长条件、固定坐标条件
三角形
t = 2*3 − 4 = 2 r = 3 − 2 =1
大地四边形
中心多边形
扇形
t = 2* 4 − 4 = 4 r = 8−4 = 4
t = 2*7 − 4 =10 r =18 −10 = 8 = k +2
t = 2*5 − 4 = 6 r =11− 6 = 5 = k +1
A
2 1 3
C
W = a11L1 + a12L2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nLn + a10 1 W2 = a 21L1 + a 22L2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a 2nLn + a 20 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Wr = a r1L1 + a r2L2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a rn Ln + a r0
r.nn.1 r.1 r,1 2 DLL = σ0 QLL n,n n,n 2 = σ0 −1 P LL n,n
条件平差计算步骤： 三、条件平差计算步骤：
1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程， 根据平差问题的具体情况，列出条件方程， 条件方程的个数等于多余观测数r 条件方程的个数等于多余观测数r。 组成法方程式， 2．组成法方程式，法方程的个数等于多余观 测数r 测数r 解法方程，求出联系数K 3．解法方程，求出联系数K值。 代入改正数方程式，求出V 4．将K代入改正数方程式，求出V值，并求 出观测值的平差值=L+V =L+V。 出观测值的平差值=L+V。 检验平差计算的正确性（ 5．检验平差计算的正确性（可用平差值重新 列出平差值条件方程式， 列出平差值条件方程式，看其是否满足方 程）。
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得： 3ka 9 0
3.步骤三
依据
K
N
W 1
aa
计算出联系数K。
解法方程得： ka 3
C
L3
L1
A
L2
B
三角形示例图
条件平差的计算步骤
4.步骤四
由式 V P 1 AT K 计算出观测值改正数，并依据式 Lˆ L V
出观测值的平差值。
计算
1 0 0 1
Lˆ3
L3
v3
731234
条件平差的计算步骤
5.步骤五
为了检查平差计算的正确性，将平差值待入平差值条件方程式 ALˆ A0 0 ，
看是否满足方程式关系。
583115 481611 731234 180 0
3
V P1AT K 0 1 0 1 3 3
0 0 1 1
3
Lˆ1 Lˆ2
L1
L2
v1 v2
583115 481611
条件平差的计算步骤
1.步骤一
根据实际问题，确定几何模型的总观测值的个数 n，必要观测值的个数 t 及
多余观测值的个数 r=n-t，进一步列出平差值条件方程 ALˆ A0 0 或改正数条 件方程 AV W 0 。
C
L3
L1
A
L2
B
三角形示例图
以确定三角形的形状为例，对三角形中的三个 内角等精度观测，得观测值如下： L1=58°31′12″，L2=48°16′08″，L3=73°12′31″，试用条 件平差法，计算三角形各内角的平差值。
0
v3
C
其中闭合差
5831 12
W ( AL A0 ) 1 1 1481608 180 9
731231
L3 L1
A
三角形示例图
L2
B
条件平差的计算步骤
2.步骤二
根据式 AP1AT K W 0 组成法方程式。
可见，经过平差计算得到的各角平差值满足三角形内角和等于180°的几 何条件，即闭合差为零，可知计算无误。此例虽然简单，但基本反映了条件平 差的计算过程，其计算结果与数测中阐述的简易平差有什么异同，请思考。
条件平差的计算步骤
1.步骤一
根据实际问题，确定几何模型的总观测值的个数 n，必要观测值的个数 t 及
因为是等精度观测，取观测值权阵为单位阵
P1 0 0 1 0 0
即：
P
33
0P20 01
0
0 0 P3 0 0 1
法方程式为：
1 0 0-1 1
1 1 1 0 1 0 1 K 9 0
0 0 1 1
多余观测值的个数 r=n-t，进一步列出平差值条件方程 ALˆ A0 0 或改正数条
件方程 AV W 0 。
2.步骤二
3.步骤三
根据式 AP1AT K W 0 组成法方程式。
依据
K
N
W 1
aa
计算出联系数K。
4.步骤四
由式 V P 1 AT K 计算出观测值改正数，并依据式 Lˆ L V 计算
Xi’an University of Science & Technology
举一 反三
治学 严谨
Error Theory and Surveying Adjustment
逻辑
性强
主讲人：史经俭 张静 席晶
本讲内容
条件平差的计算步骤
条件平差的计算步骤
条件平差是经典平差的重要方法之一，其实质是观测值的改正数在满足一定条 件下，求改正数带权平方和的极值问题，可采用拉格朗日乘常数法求条件极值。
条件平差的计算步骤
1.步骤一
解：本题中 n=3,t=2 ,则条件方程个数为 r=n-t=1 。
列出平差值条件方程 ALˆ A0 0 ：
Lˆ1
1
1
1
Lˆ
2
180
0
Lˆ 3
列出改正数条件方程 AV W 0 ：
v1
1
1
1
v2
9
出观测值的平差值。
5.步骤五
为了检查平差计算的正确性，将平差值待入平差值条件方程式 ALˆ A0 0 ，
看是否满足方程式关系。
理论
感谢聆听，批评指导
公式
思考
平差
算例