多边形的内角和与外角和()

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多边形内角和与外角和

课堂练习
求下列图形中x的值：
1400
x0
x0
(1)
800
1200
750
x0
(3)
1500
1200
2X 0
x0
(2)
D
E
x0
1500
600
C
1350
A (4) B
AB∥CD
巩固练习
1、十二边形的内角和是________；
2、若一个多边形的内角和是1620°，则此多边形的边数是_________.
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多边形的内角和与外角和知识点-例题-习题

第二十四讲多边形的内角和与外角和【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n-°；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形凹多边形【典型例题】类型一、多边形的概念例1．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形?【答案与解析】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。

多边形的内角和与外角和

多边形的内角和与外角和多边形是一种有多个直角或不是直角的边的几何图形。

它由一系列线段组成，这些线段的端点称为顶点。

在一个多边形中，内角和与外角和是两个重要的概念。

一、内角和内角是多边形内部两条边所形成的角，可以通过计算多边形的内角和来了解多边形的性质。

多边形的内角和可以通过以下公式来计算：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n表示多边形的边数。

可以看出，内角和与多边形的边数呈线性关系，边数越多，内角和也会增加。

例如，对于三角形（三边形），它有3个内角，内角和为180°。

对于四边形（四边形），它有4个内角，内角和为360°。

同理，五边形（五边形）的内角和为540°，六边形（六边形）的内角和为720°。

二、外角和外角是多边形内部一条边与其相邻边的延长线之间所形成的角。

多边形的外角和可以通过以下公式来计算：外角和 = 360°不论多边形的边数是多少，其外角和总是等于360°。

这是因为多边形的各个外角之间构成了一个完整的圆周角。

三、内角和与外角和的关系多边形的内角和与外角和之间存在一定的关系。

根据数学原理，多边形内角和与外角和相差180°。

证明如下：设多边形的边数为n，每个内角为a°，每个外角为b°。

多边形的内角和为 (n - 2) × 180°，外角和为360°。

根据角度的差值关系，可以得到：(n - 2) × 180° = n × a° - n × b°化简得到：360° = n × (a° - b°)因此，a° - b° = 180°，即内角和与外角和相差180°。

这个关系在解决一些几何问题时非常有用。

通过计算内角和和外角和，我们可以推导出多边形的各种性质和特点。

多边形的内角和与外角和

多边形的内角和与外角和多边形是指由若干直线段连接而成的封闭图形，其中的每个直线段被称为边，相邻两个边交汇的点称为顶点。

多边形的内角和与外角和是几何学中关于多边形角度性质的重要定理之一，本文将详细论述这一定理的推导及其应用。

首先，我们来看一下多边形的内角和。

对于一个n边形（n≥3），我们可以通过连接其中的每一对顶点得到n个三角形。

由于三角形的内角和为180度，因此n边形的内角和可以表示为180度的n-2倍。

即内角和 = (n-2) × 180度。

接下来，我们来探讨一下多边形的外角和。

对于一个n边形，我们可以在每个顶点处延长一条边，从而形成一些外角。

显然，每个外角等于其对应的内角的补角。

由于一个完整的圆周角是360度，因此n 边形的外角和可以表示为360度减去各个内角。

即外角和 = 360度 - 内角和。

综上所述，我们可以得出多边形的内角和与外角和的关系：内角和 + 外角和 = (n-2) × 180度 + 360度 - 内角和化简得：内角和 + 外角和 = (n-2) × 180度 + 360度这个定理的一个重要推论是：n边形的外角和等于360度。

由于每个外角等于其对应的内角的补角，因此外角和一定等于内角和的补角和。

即外角和 = 内角和的补角和 = 360度。

多边形的内角和与外角和的关系在几何学中有广泛的应用。

以正多边形为例，正n边形的内角和等于(n-2) × 180度，而每个内角又相等于360度除以n。

因此可以计算出正n边形的每个内角大小。

同时，正多边形的外角和等于360度，即每个外角的大小也可以计算出来。

除了正多边形，对于任意的n边形，我们也可以利用内角和与外角和的关系来计算其中的角度。

通过测量或计算几个已知角度，我们可以推导出其他未知角度的大小，从而解决与多边形角度相关的问题。

总结起来，多边形的内角和为(n-2) × 180度，外角和为360度，这个定理为我们研究和解决多边形角度问题提供了重要的理论基础，并在实际应用中发挥着重要的作用。

多边形外角和公式的推导过程

多边形外角和公式的推导过程
任意凸多边形的外角和都为360°。

多边形所有外角的和叫做多边形的外角和。

接下来分享多边形外角和公式的推导过程。

多边形外角和的推导过程
证明：根据多边形的内角和公式求外角和为360°
n边形内角之和为(n-2)*180,设n边形的内角为∠1、∠2、∠3、...、∠n,对应的外角度数为：180-∠1、180°-∠2、180°-∠3、...、180°-∠n，外角之和为：
(180-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)+...+(180°-∠n)
=n*180°-(∠1+∠2+∠3+...+∠n)
=n*180°-(n-2)*180°
=360°
多边形的内角和公式
正多边形内角和定理n边形的内角的和等于：(n-2)×180°(n大于等于3且n 为整数)。

根据三角形内角和推导算出：从一个顶点分别连接其他各个顶点分成n-2个三角形,n表示边数。

多边形任意两条相邻边连线所构成的三角形是等腰三角形。

由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形。

在不同平面上的多条线段首尾顺次连结且不相交所组成的图形也被称为多边形，是广义的多边形。

多边形的外角与内角

多边形的外角与内角多边形是几何中常见的图形，它由多个直线段组成，每个直线段被称为边，而多边形的顶点则是边的两个端点的连接点。

多边形的外角和内角是研究多边形性质中的重要概念。

本文将详细介绍多边形的外角和内角，并探讨它们之间的关系及其性质。

一、多边形的内角多边形的内角是指多边形内部的角，也即是顶点处的角。

我们先来考虑一下n边形（其中n > 3）的内角之和。

我们可以先画一个三角形，它的内角之和已经被证明等于180度。

而对于n边形，我们可以将其划分为n-2个三角形，这样每个三角形的内角之和是180度，而整个n边形的内角之和就是(n-2) × 180度。

举例来说，一个四边形（矩形）的内角之和为(4-2) × 180度 = 360度。

同样地，一个五边形（正五边形）的内角之和为(5-2) × 180度 = 540度。

从这个规律可以看出，多边形的内角之和与其边数n之间存在着线性关系。

二、多边形的外角多边形的外角是指多边形外部的角，也即是顶点处的角。

和内角不同，多边形的外角之和是一个常数。

对于n边形，它的外角之和等于360度。

为了更好地理解外角和内角之间的关系，我们可以通过观察多个不同的多边形来进行比较。

以三角形为例，一个三角形的内角之和为180度，而它的外角之和为360度。

可以看出，外角之和恰好是内角之和的两倍。

再以四边形为例，一个四边形的内角之和为360度，而它的外角之和同样也是360度。

可以发现，多边形的外角之和总是等于360度，不论多边形的边数是多少。

三、多边形的外角和内角之间的关系我们已经知道，一个多边形的内角和外角之和都等于360度。

那么，多边形的外角和内角之间是否有其他的关系呢？事实上，我们可以通过外角和内角之间的关系来得出一个更普遍的结论：一个多边形的内角和外角之间存在着线性关系。

具体来说，设一个多边形的内角之和为S，外角之和为T，边数为n，则有如下关系：S + T = (n-2) × 180度 + 360度 = (n-2) × 180度 + 2 ×180度 = n × 180度。

多边形内角和外角

多边形内角和外角多边形是几何学中重要的概念之一，它由若干条边和相应的角所组成。

多边形内角和外角是多边形的重要属性，它们在数学和几何学中具有重要意义。

1. 多边形内角多边形内角指的是多边形内部的相邻两条边所围成的角。

一般来说，n边形（n≥3）的内角和可以通过以下公式计算得到：内角和 = (n - 2) × 180°例如，一个三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，五边形的内角和为540°，以此类推。

这个公式适用于所有的n边形。

2. 多边形外角多边形外角指的是多边形的一边与其相邻两边所围成的角。

多边形的每个外角所对应的内角可以通过以下公式计算得到：内角 = 180° - 外角由此可见，多边形内角和外角之间存在着特殊的关系。

例如，一个三角形的外角与其相对的内角之和为180°，四边形的外角与其相对的内角之和为360°，五边形的外角与其相对的内角之和为540°，以此类推。

3. 多边形内角和外角的性质多边形内角和外角有一些重要的性质：(1) 任意n边形的内角和等于360°。

(2) 多边形的每个外角与其相对的内角之和等于180°。

(3) 在任意n边形中，外角与内角所对应的边所夹的角度是相等的。

通过这些性质，我们可以在解决与多边形相关的问题时，更加方便地计算内角和外角的数值。

4. 例题解析让我们通过几个例题来更好地理解多边形内角和外角的概念。

例题1：一个六边形的内角和是多少？解析：根据公式，六边形的内角和可以通过计算得到：内角和 = (6 - 2) × 180° = 720°答案为720°。

例题2：一个六边形中的某个外角大小为60°，则这个外角所对应的内角是多少？解析：根据性质，外角与对应的内角之和为180°，所以这个外角所对应的内角大小为180° - 60° = 120°。

多边形的外角和与内角和(1)

《多边形的内角和与外角和》第1课时教案一、教学目标1、知识与技能（1）、了解多边形的内角和，正多边形的概念，掌握多边形的内角和公式。

（2）、通过探索多边形的内角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题（4）、会用多边形的内角和公式进行简单的计算。

2、过程与方法通过把多边形转化为三角形，让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，感受转化思想在数学中的运用，体验解决问题策略的多样性。

3、情感目标通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质。

二、教学重难点重点：多边形的内角和公式及应用。

难点：如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和公式。

三、教具准备三角尺四、教学过程活动1 复习引入教师提问：(1)（2）你知道三角形的内角和是多少度吗？学生回答：三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相结组成的平面图形；三角形的内角和是180°。

教师总结：三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相结组成的平面图形；三角形的内角和是180°。

您想知道任意一个多边形的内角和吗？今天我们就来进一步探讨多边形的内角和板书课题：多边形的内角和活动2 探索新知教师提问：如果把三角形中的三条线段变成四条、五条、六条又是哪种图形呢？请画出来。

根据三角形概念的叙述，说说什么是四边形、五边形、、、n 边形？1、多边形的概念（板书）要求学生在教材中勾画出来，强调按顺时针或逆时针方向书写，指出多边形边教师提问；如果多边形的各边相等，各内角也相等的多边形又怎么称呼呢？学生回答，教师板书 2、正多边形的概念要求学生在教材中勾画出来，如等边三角形，正方形，正五边形等。

所学过的图形最简单的是三角形，往往都是把复杂的图形转化成三角形，转化时需要添加辅助线，教师在四边形中演示，这就是对角线，教师板书 3、多边形的对角线要求学生在教材中勾画出来，三角形有对角线吗？从四边形的一个顶点出发，可以引多少条对角线，在图形上画一画；五边形、六边形呢？从n 边形一个顶点出发可以画多少条对角线呢？学生回答后教师补充：n 边形一个顶点可画对角线（n —3）条。

五边形的外角和与内角和的关系

五边形的外角和与内角和的关系五边形是一个具有五个边的多边形，每个角为五边形的内角。

内角和是指五边形所有内角的总和。

而外角是指从五边形的每个顶点向外延伸的角度，我们来研究一下五边形的外角和与内角和的关系。

首先，我们需要知道五边形的内角和的计算公式。

对于任意一个 n边形（其中包括五边形），它的内角和可以通过以下公式来计算：(n-2) × 180度。

将 n 替换为 5，我们得到五边形内角和的公式为：(5-2) × 180度 = 540度。

接下来，我们来探究五边形的外角和与内角和的关系。

对于任意一个多边形，它的外角和等于360度。

这意味着五边形的外角和也是360度。

那么，五边形的外角和与内角和之间是否存在某种关系呢？答案是肯定的。

我们可以通过以下的方法来推导出五边形的外角和与内角和的关系。

考虑一个五边形，我们可以从一个顶点开始，逆时针标记为A、B、C、D 和 E。

我们以顺时针方向测量外角。

首先，我们可以测量顶点 A 处的外角。

这个外角等于从边 AB 到边AC 的转角，我们将它记为α1。

同样地，我们可以测量顶点 B、C、D和 E 处的外角，分别记为α2、α3、α4 和α5。

根据定义，顶点处的内角等于360度减去顶点处的外角。

因此，我们可以得到以下等式：内角 A = 360度 - α1内角 B = 360度 - α2内角 C = 360度 - α3内角 D = 360度 - α4内角 E = 360度 - α5现在，我们来计算五边形的内角和。

将所有内角相加，我们有：内角和 = 内角 A + 内角 B + 内角 C + 内角 D + 内角 E= (360度 - α1) + (360度 - α2) + (360度 - α3) + (360度 - α4) + (360度 - α5)= 5 × 360度 - (α1 + α2 + α3 + α4 + α5)我们注意到α1 + α2 + α3 + α4 + α5 正好是五边形的外角和。

多边形内角和和外角和的公式

多边形内角和和外角和的公式多边形是指由三个或更多条线段组成的封闭图形。

在数学中，多边形的内角和和外角和是一个重要的概念。

本文将介绍多边形的内角和和外角和的公式，并解释其含义和应用。

1. 多边形的内角和公式多边形的内角和指的是多边形内部所有角的和。

对于任意n边形（其中n大于等于3），其内角和可以通过以下公式计算得出：内角和 = (n - 2) × 180度这个公式的推导可以通过将多边形分割成n-2个三角形来进行。

每个三角形的内角和为180度，因此n边形的内角和就是(n-2)个三角形的内角和之和。

举例来说，对于一个三角形（3边形），其内角和为180度。

对于一个四边形（四边形），其内角和为360度。

对于一个五边形（五边形），其内角和为540度。

依此类推，随着边数的增加，多边形的内角和也会增加。

2. 多边形的外角和公式多边形的外角和指的是多边形外部所有角的和。

对于任意n边形，其外角和可以通过以下公式计算得出：外角和 = 360度这个公式的推导可以通过将多边形的每个外角和其相邻的内角相加得到。

根据三角形的性质可知，三角形的外角和为360度。

因此，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。

举例来说，对于一个三角形，其外角和为360度。

对于一个四边形，其外角和为360度。

对于一个五边形，其外角和为360度。

可见，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。

3. 内角和和外角和的关系内角和和外角和有一个重要的关系：它们的和始终等于多边形的边数乘以180度。

这可以通过以下公式表示：内角和 + 外角和= n × 180度这个公式的推导可以通过将多边形的每个内角和其对应的外角相加得到。

根据三角形的性质可知，内角和和外角和的和为180度。

因此，多边形的每个内角和其对应的外角的和为180度。

由于多边形共有n个内角和n个外角，所以它们的和为n × 180度。

举例来说，对于一个三角形，其内角和为180度，外角和为360度，满足内角和 + 外角和= 3 × 180度。

多边形内角和与多边形外角和

多边形内角和与多边形外角和是初中数学重要内容，在解题中如能将这两者巧妙结合起来，可以化难为易，事半功倍的效果，现举例说明.例1.一个多边形每一个内角都是144°，求此多边形的边数。

析解：本题有两种思路：思路一：设边数为n，由内角和公式列方程: (n-2)·180°=n·144°，解得n=10.思路二：先求出外角的度数，再由外角和公式求边数：多边形每一个外角为180°-144°=36°，所以边数为360°÷36°=10.评注：比较这两种思路，不难发现思路二较好，通过内外角的关系求出外角，再根据多边形外角和直接求出边数.例2.多边形的外角中最多有几个钝角？内角中最多有几个锐角？析解：若一个多边形有4个外角为钝角，则多边形外角和大于360°，这与多边形外角和等于360°相矛盾，可见多边形外角中最多有3个钝角.第二个问题实际上与第一个问题是同一个问题，因为内角为锐角，外角必为钝角，根据第二个问题可知多边形外角中最多有3个钝角，其相应内角为锐角，可见多边形最多有3个内角为锐角.例3.已知n边形恰有四个内角是钝角．这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？析解：本题与例2相类似，根据例2中的结论：n边形外角中最多有3个钝角，而本题中的 n边形恰有四个内角是钝角，即 n边形恰有四个外角是锐角，所以可分三种情况进行讨论：（1）若n边形恰有四个外角是锐角和一个钝角，则是五边形；（2）若n边形恰有四个外角是锐角和两个钝角，则是六边形；（3）若n边形恰有四个外角是锐角和三个钝角，则是七边形；所以其中边数最少的是五边形；边数最多的是七边形.[回答2] 7条边. 凸边形不管几条边，外角和是360度，内角度数越大，边数越多，即该四边形4个钝角，其他角都是直角. 由此设边数为N，即内角个数也为N，4个钝角对应的外角度数分别为ABCD，联立方程：. （N-4）*90度+A+B+C+D=360 . N 属于正整数. 0>A,B,C,D>90. 要想N最大，A,B,C,D的和需要无限趋近于0，按照都为0近似得到N=8. 所以最多7条边例1. 如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，求原来多边形的边数。

多边形的内角和与外角和

B 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
F
E
HM
D
A
G
B
C
C 讨论：是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的
五分之一？为什么？
谢谢观赏
探究求五边形的外角和
探究求五边形的外角和
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？
∠1+∠6=？ ∠2+∠7=？ ∠3+∠8=？ ∠4+∠9=？ ∠5+∠10=？
°
=180
1A
6
B
7 2
5
10 E
∠6+∠7+∠8+∠9+∠10=？五边形外角和 = 五个平角-五边形内角和
8ห้องสมุดไป่ตู้
C3
= 5×180°-(5-2) × 180°
注意： 1.多边形的内角和随着边数的增加而增加； 2.多边形的外角和为一个定值，与边数无关； 3.特殊情况：
如果多边形（边数为n）的每个外角都相等
n × 每个外角的度数 =360°.
例题4 一个多边形的每个外角都是72 º，这个多边形是几边形？
分析： n × 每个外角的度数 =360°.
解：设多边形的边数为n，根据题意，得 n·72º= 360º．解得n=5．
A r=2
D r=2
r=2 B
r=2 C
A
A r=2 r=2 B
r=2 C
F r=2 E r=2
r=2 D
B
课堂小结
2.多边形外角和的定义本节1.3多课.任对边你意多形有边多外哪形边角的些形的每收的一定获个外义或内角角思和，考等从？于与它

初中数学多边形的内角和与外角和

第3节多边形的内角和与外角和一，多边形（1）定义：平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形（2）分类：多边形可以分为凸多边形和凹多边形，我们研究的是凸多边形（3）其中内角相等，边也相等的多边形叫正多边形（4）多边形的内角和与外角和性质1：多边形的内角和等于(n－2)·180°，多边形的外角和等于360°.推导：2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：(1)n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.3.正n边形：正n边形的内角的度数为（n－2）·180°n，外角的度数为n360.【类型一】利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是()A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为()A．1620°B．1800°C．1980°D．以上答案都有可能【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝()A．450°B．540°C．630°D．720°【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解：设此多边形的内角和为x ，则有1125°＜x ＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x ＜180°×7＋45°，探究点二：多边形的外角和定理【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A ．八边形B ．九边形C ．十边形D ．十一边形【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A ．五边形B ．四边形C ．三角形D ．不能确定4.多边形对角线的条数N 边形对角线的条数公式 21N(N-3) 例1：一个凸多边形的每个内角都是140°，求这个多边形对角线的条数例2：一个多边形的内角和比它外角和的3倍少180°，求它对角线的条数。

多边形的内角和与外角和

课题：6.4.1多边形的内角和与外角和课型：新授课年级：八年级教学目标：1.经历探索多边形内角和公式的过程，发展合情推理能力.2.掌握多边形内角和公式，运用多边形的内角和公式解决简单的几何问题,发展应用意识..3. 通过多边形内角和定理的探索过程，体会类比、转化和从特殊到一般的思想方法. 教学重点与难点：重点：探索多边形内角和公式.难点：多边形内角和公式的应用.课前准备：多媒体课件．教学过程:一、复习回顾，导入新课活动内容：回顾三角形相关知识，梳理知识顺序，确立研究对象和研究思路。

处理方式：以问题串的形式让学生回忆三角形的研究思路，引导学生对多边形的性质内容提出问题，进而解决问题.设计意图：激发学生提出问题，为接下来的自主学习、探究做作铺垫．二、探究学习，感悟新知活动内容1：探索四边形内角和（多媒体出示）处理方式：让学生回顾三角形内角和的探究方法，几何画板演示“拼凑法”，总结“实验---猜想---证明”的一般研究思路，类比猜想四边形的内角和，并用几何语言证明。

设计意图：让学生进一步认识转化的方法，为下一步的多边形内角和的探讨作何准备.活动内容2：探索五边形内角和（多媒体出示）处理方式：学生们通过小组合作，互相交流，分享方法，并展示小组成果，利用Geogebra 软件动态演示，便于学生直观理解。

设计意图：学生可以类比四边形的内角和的证明方法，合作探究五边形的内角和，并说明自己采用的方法和依据，提高学生应用的熟练程度.主要还是为下一步的探索做好伏笔.活动内容3：探索n边形内角和（多媒体出示）提出问题： n边形的内角和又是多少呢？你会计算吗?下面请同学们完成学习任务单。

处理方式：1.学生自主完成，教师巡视学生的探索情况，必要时给予引导点拨.学生完探索三：成后小组派代表展示自己的探索成果，同时渗透从“特殊到一般”的数学思想.得到定理：n 边形内角和等于(n-2)·180 °.（n是大于等于3的正整数）2.教师带领学生总结探究多边形内角和的方法。

多边形的内角和与外角和

对多边形有什么样的了解
呢？
四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形 ABCD
五边形
多边形的内角和与外角和
五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE .
多边形
那么多边形的定义呢？
多边形的内角和与外角和
一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．
有没有什么规律呢？
六边形ABCDEF共有9条对角线.
多边形的内角和与外角和
请问：四边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ 1
请问：五边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ 2 请问：六边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
3
……
请问：N边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ N-3
小结
通过这节课的学习你
4 45 56源自67 7n n6
8
10
12
14
2n
正多边形
多边形的内角和与外角和
三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这样的三角形就叫做正三角形.
正三角形正方形正五边形 (或正三边形) (或正四边形)
正六边形
正八边形
如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形.如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等.
多边形的内角和与外角和
下面所示的图形也是多边形，但不在我们现在研究的范围内.
凸多边形
有什么不同？
凹多边形
注意：我们现在研究的是如右图所示的多边形，也就是所谓的凸多边形.
多边形的内角和与外角和
既然三角形有三个内角、三条边，六个外角，那么四边形有几个内角？几条边？几个外角呢？

多边形的内角和及外角和

DB OC A ② C O A BD ③ 多边形的内角和及外角和知识体系：1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段；首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，在多边形中，组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．2．多边形的内角和：n 边形的内角和=(n －2)180°．3．正多边形：在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形．4．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角．在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和都等于360°．5．过n 边形的一个顶点共有(n －3）条对角线，n 边形共有(3)2n n 条对角线． 6．过n 边形的一个顶点将n 边形分成(n －2)个三角形．题型体系：例1.正n 边形的内角和等于1080°，那么这个正n 边形的边数n=______解：8 点拨：主要考查n 边形的内角和公式．例2.四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.问题的提出：四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形，其中相对的两对三角形的面积之积有何关系？你能探索出结论吗？（1）为了更直观的发现问题，我们不妨先在特殊的四边形――平行四边形中，研究这个问题：已知：在平行四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点（如图①）；求证：S △OBC ·S △OAD =S △OAE ·S △OCD .（2）有了（1）中的探索过程作参照，你一定能类比出在一般四边形（如图②）中，解决问题的办法了吧！填写结论并写出证明过程。

已知：在四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点（如图②）求证：_________________。

多边形的内角和与外角和

∠6分别为六边形ABCDEF的外角．
求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
考虑以下问题
⑴任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？
⑵六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，
所得总和是
？
⑶上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
联系这些问题，写出求外角和的过程（列式并计算）.
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
1. 一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为边形．
2. 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和等于．
3.多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（） A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角
4.一个多边形的内角和等于1260°，它是边形。 5.内角和等于外角和的多边形是边形． 6.一个多边形的内角和是外角和的一半，它是边形。
的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．这里用到的数学思想是：转化思想
动脑思考，例题解析
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一
组对角有什么关系？
已知：在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°．问：
∠B与∠D有什么关系．
C
解：如图，在四边形ABCD 中，
D
∠A +∠B +∠C +∠D
多边形
从一个顶点引对角线的条数分成三角形的个数
多边形的内角和
...... ...... ...... ......
归纳总结，梳理新知
结论： 1、多边形的内角和公式：n边形的内角和
等于（n -2）×180°. 2、多边形的边数增加一条，其内角和

五边形与六边形的内角和与外角和

五边形与六边形的内角和与外角和五边形和六边形是常见的多边形，它们的内角和和外角和是几何学中的基本概念。

本文将探讨五边形和六边形的内角和与外角和，并分析它们之间的关系。

一、五边形的内角和与外角和五边形是一个有五条边的多边形，每条边与相邻边连接，共形成五个角。

我们先求解五边形的内角和。

设五边形的内角分别为x1、x2、x3、x4、x5，利用内角和的性质：x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 540°因此，五边形的内角和为540°。

接下来，我们来求解五边形的外角和。

五边形的外角是在多边形外一边与相邻边之间形成的角。

每个外角可以表示为360°减去对应的内角。

设五边形的外角分别为y1、y2、y3、y4、y5，有以下关系：y1 = 360° - x1y2 = 360° - x2y3 = 360° - x3y4 = 360° - x4y5 = 360° - x5将上述等式相加可得：y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = (360° - x1) + (360° - x2) + (360° - x3) + (360°- x4) + (360° - x5)= 5 * 360° - (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)= 5 * 360° - 540°= 1800° - 540°= 1260°因此，五边形的外角和为1260°。

二、六边形的内角和与外角和六边形是一个有六条边的多边形，每条边与相邻边连接，共形成六个角。

我们先求解六边形的内角和。

设六边形的内角分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6，利用内角和的性质：x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 720°因此，六边形的内角和为720°。