大学数学基础(1)04-第二章高等数学预备知识随堂测验答案
大学预科数学试题及答案
大学预科数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程 \( x^2 - 4 = 0 \) 的解？A. \( x = 2 \)B. \( x = -2 \)C. \( x = 2 \) 或 \( x = -2 \)D. 以上都不是答案：C2. 函数 \( f(x) = 3x + 2 \) 的斜率是多少？A. 2B. 3C. -3D. -2答案：B3. 集合 \( A = \{1, 2, 3\} \) 和集合 \( B = \{2, 3, 4\} \) 的并集是什么？A. \( \{1, 2, 3, 4\} \)B. \( \{1, 2, 3\} \)C. \( \{2, 3\} \)D. \( \{4\} \)答案：A4. 如果 \( \sin \theta = \frac{1}{2} \)，那么 \( \theta \) 的值可能是：A. \( \frac{\pi}{6} \)B. \( \frac{5\pi}{6} \)C. \( \frac{\pi}{6} \) 或 \( \frac{5\pi}{6} \)D. \( \frac{3\pi}{2} \)答案：C5. 圆的方程 \( (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9 \) 表示的圆心坐标是：A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)答案：A6. 函数 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 的极值点是：A. \( x = 1 \)B. \( x = 3 \)C. \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)D. 无极值点答案：C7. 矩阵 \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式值是：A. 2B. -2C. 5D. -5答案：B8. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模长是：A. 5B. 7C. √13D. √17答案：A9. 等差数列 \( 2, 5, 8, \ldots \) 的第五项是多少？A. 11B. 12C. 15D. 18答案：C10. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 2 \) 处的导数是：A. 0.5B. -0.5C. 2D. -2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 计算 \( \int_0^1 (2x + 3) dx \) 的结果是 ________。
预科高等数学习题参考答案上学期
第一章函数与极限1.1数列的极限1 (1) 对任意的自然数n 有 7)1(5750++<+<n n ，所以有07)1(51751>++>+n n ，即01>>+n n x x ，因此数列}{n x 是单调递减数列．显然对于任意的自然数n 有 175>+n ，因而有17510<+=<n x n ．进而存在1=M ，对任意的自然数n 有，M x x n n =<=1，所以数列}{n x 是有界的．综上数列是单调递减有界数列，因此必有极限．观察出0lim =∞→nn x．nn n x x n n 1517510<<+==-．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n x n 10，故0lim =∞→n n x ． (2) 对任意的自然数n 有 5)1(2520++<+<n n ，所以有10+<<n n x x ，因此数列}{n x 是单调递增数列．显然对于任意0>M ，存在}25,1max{0⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=M n ，使得M n x n >+=5200，因此数列}{n x 是无界的．综上数列是单调递增无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在．(3) 从数列的前几项 ,5,0,3,0,154321==-===x x x x x 可以看出数列}{n x 既非单调递减数列也非单调递增数列．显然对于任意0>M ，存在}21,1max{0⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=M k ，使得M k k k x k >-=--=-122)12(sin)12(000120π，因此数列}{n x 是无界的．综上数列既不是单调数列也不是无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在． 2 分析 用“N -ε”语言证明数列极限A xnn =∞→lim 的步骤如下：(1) 化简A x n -(往往需将它适当放大后)得)(n f ；(2) 逆序分析求N ．0>∀ε，要使ε<)(n f ，(解不等式后知))(εg n >，于是取正整数[])(εg N ≥；(3) 按定义作结论 则当N n >时，就有ε<-A x n ．故A xnn =∞→lim ．证明 (1)nn n 110144<=-．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n n 1014，故014lim =∞→n n ．(2)nn n n 1241231213<+=-++．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-++n n n 1231213，故231213lim=++∞→n n n ． (3) nn C C C C nn n n n n n n n 1919991)91(11011999.022109<<++++=+==-个． 0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n n 11999.09个，故1999.09lim =∞→ 个n n ． 3证明222222656112136561121365611213lim limlim lim limlim lim limnn n n nn n n n n n n n n n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→++++=++++=++++6130060013=++++=．4 证明 当0=q 时，显然00lim lim==∞→∞→n n n q ；当0≠q 时，显然nnq q =-0．0>∀ε(10<<ε)，要使ε<nq ，由于10<<q ，因此只要εq n l o g >，于是取正整数[]εqN l o g ≥．则当N n >时，就有ε<=-nn q q 0，故0lim =∞→n n q ．综上所述，当1<q 时，0lim =∞→nn q．5证明 (N -ε定义证明)令01>-=n n n h ，则有n n h n )1(+=，即nn n n n n n n h nh h n n nh h n +++-++=+=-122)1(1)1( ， 进而22)1(n h n n n ->，即)1(12>-<n n h n ． 0>∀ε，要使ε<-<=-121n h n n n ，只要212ε<-n ，即1112>+>εn ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥112εN ．则当N n >时，就有ε<-<-121n n n，故1lim =∞→nn n ．(夹逼定理证明) 由于nn n n n n n n n n nn n 2211111111212-+=+++++≤⋅⋅⋅⋅⋅=≤--个个， 并且122lim=-+∞→n n n n ，因此1lim =∞→nn n ．5 证明 由数列}{n x 有界知，0>∃M ，使得数列}{n x 的每一项都有M x n ≤． 又0lim=∞→n n y ，则有0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，My y n n ε<=-0．进而当N n >时，εε=⋅<=-MM y x y x n n n n 0．因此0lim =∞→n n n y x ．1.2 函数的极限1证明 0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，ε<=-0c c ．因此c c x x =→lim 0．2证明)1sin (1sin 0sin ≤≤=-x xx x x x．0>∀ε，要使ε<x 1，只要ε1>x ，于是取正数ε1≥M ．则当M x >时，就有ε<≤-x x x 10sin ，故0sin lim =∞→x x x ． 343434343433412313412313423lim lim lim lim lim lim lim limx x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+-+-=+-+-=+-+- 0001000=+-+-=．4解()()()()()()3212223213212321limlim44+++-+++-+=--+→→x x x x x x x x x x ()()()()()()34381242321223214242lim lim 44=+++=+++=++-+-=→→x x x x x x x x ．5解a x ax a x a x a x ax ax -+-=--→→2cos2sin2sin sin lim lima a a x a x a x ax cos cos 12cos 22sinlim =⋅=+⋅--=→． 另解a x aa a x a x a x ax ax --+-=--→→sin ])sin[(sin sin lim limax aa a x a a x ax ---+-=→sin sin )cos(cos )sin(lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅--=→a a x a x a a x a x a x sin 1)cos(cos )sin(lim⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅-⋅--⋅--=→a a x a x a a x a x a x sin 2sin 22sin cos )sin(lim a a a cos sin 01cos 1=⋅⋅-⋅=．6 因为0)1()(lim lim00=-=++→→x x x e x f ，00)(lim lim 00==--→→x x x f ，即0)()(lim lim00==-+→→x f x f x x ．因此函数)(x f 在0=x 点处极限存在，并且0)(lim0=→x f x ．7 ()()()()()()111111113323323131lim lim+++-+++-=--→→x x x x x x x x x x x x()()()()3211111133213321limlim=+++==++-+-=→→x x x x x x x x x x ． 8x x x x x x x x x )2sin()2sin()2sin()2sin(lim lim--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+→→ 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2lim lim=⋅=⋅=→→x xx x x x ．92122322233221231212314232lim lim lim-⋅⋅∞→∞→∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++e eex x x x x x x x x xxx xx ． 另解221)42(421142114232lim lim lim-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-∞→∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x xx xx x x x x221)42(42114211lim--+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x x221)42(42114211limlim -∞→-+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x x 21211--=⋅=e e10aba b ax x bxx bxx ax ax ax ax -⋅+∞→∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++33113113114lim lim lima b a b a b ab ax x e e ax ax 333311131131lim=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+∞→．另解ab ab a b ab ax ab ax x bxbxx bxx e eeax ax ax ax ax ax 344441*********lim limlim==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅∞→∞→∞→．1.3 无穷小与无穷大1因为∞→x ，1sin ≤x ，01lim=∞→xx ，即∞→x 时x sin 是有界变量，x 1是无穷小量，因此01sin sin lim lim=⋅=∞→∞→x x x x x x ． 2 (利用无穷大的)(M E δ-定义求解) 0>∀E ，要使E x x >+523，只要)5(223>>x E xx，即E x 2>，于是取}5,2max{E M =，当M x >时，E x x >+523．所以523+x x 是∞→x 时的无穷大量，即∞=+∞→523lim x x x ． 另解 (利用无穷大与无穷小的关系求解)显然当∞→x 时，0523≠+x x ，但是01515332lim lim=+=+∞→∞→x x x x x x ，进而根据无穷大与无穷小的关系有，∞=+=+∞→∞→3223515lim limx x x x x x ． 3 (利用无穷大的)(M E δ-定义求解)0>∀E ，要使E x x x x >--=+-21232，只要)3(121≥>->--x E x x x ，即1+>E x ，于是取}3,1m a x {+=EM ，当M x >时，E x x >+-232．所以232+-x x 是∞→x 时的无穷大量，即()∞=+-∞→232lim x xx ．4414144tan sin lim lim lim220220===→→→x x x x x x x ． 52121cos 12220lim lim==-→→x xx xx x ． 6设00>δ，当000δ<-<x x 时，)(x g 有界，则存在00>M ，使得当000δ<-<x x 时，0)(M x g ≤．当0x x →时，)(x f 是无穷大量，则0>∀M ，存在01>δ，当100δ<-<x x 时，0)(M M x f +>．取},min{10δδδ=，则当δ<-<00x x 时， 00)()()()(M M M x g x f x g x f -+>-≥±，因此)()(x g x f ±是0x x →时的无穷大量．7x x y cos =在()+∞∞-,不是有界变量，即x x y cos =在()+∞∞-,是无界的．因为0>∀M ，存在ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1][0M x ，使得M M x x >⎪⎭⎫⎝⎛+=ππ1][cos 00．下面证明当+∞→x 时，x x y sin =不是无穷大量．1=∃E ，对于0>∀M ，存在ππ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10M x ，使得M x >0，并且E x x <=0sin 00．因此当+∞→x 时，x x y sin =不是无穷大量．1.4 函数的连续性与间断点1 (1) 函数)(x f 的定义域是),3()3,5()5,(+∞---∞ ．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的连续区间是),3(),3,5(),5,(+∞---∞．(2) 函数)(x f 的定义域是]6,4[．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的在区间)6,4(内连续．又())4(464464)(limlim44f x x x f x x =-+-=-+-=++→→，则)(x f 在4=x 处右连续；())6(664664)(limlim 66f x x x f x x =-+-=-+-=--→→，则)(x f 在6=x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]6,4[．(3) 函数)(x f 的定义域是]2,1[．显然函数)(x f 在区间)2,1(),1,0(),0,1(-内连续．又)1(11)(lim lim11f x f x x ===++-→-→，则)(x f 在1-=x 处右连续；1)(lim lim 00--→-→=x x x f)0(1f ==，)0(1sin )(limlim 00f x xx f x x ===++→→，即)0()()(l i m l i m 00f x f x f x x ==+-→-→，则)(x f 在0=x 处连续；)1(81sin sin )(limlim 11f xxx f x x =≠==--→-→，即)(x f 在1=x 处不左连续，则)(x f 在1=x 处不连续；)2(14)83()(lim lim22f x x f x x ==+=--→-→，则)(x f 在2=x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]2,1(),1,1[-．2 (1) 函数)(x f 的定义域是),7()7,2()2,(+∞-∞ ，进而函数的间断点只可能为2=x 和7=x ．对于2=x ，72)7)(2()2)(2(1494)(lim lim limlim222222-+=---+=+--=→→→→x x x x x x x x x x f x x x x 54-=，因此2=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点． 对于7=x ，∞=---+=+--=→→→)7)(2()2)(2(1494)(lim limlim72277x x x x x x x x f x x x ，因此2=x 是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，2=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，7=x 是第二类间断点中的无穷间断点．(2) 显然函数)(x f 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈∈ Z k Z k k k k k ππππππ)1(,22,，进而函数)(x f 的间断点只可能为πk x =和)(2Z k k x ∈+=ππ．对于0=x ，1tan )(limlim==→→xxx f x x ，因此0=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)0,(≠∈=k Z k k x π，∞==→→xxx f k x kx tan )(limlim ππ，因此当0≠k 时，πk x =是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于)(2Z k k x ∈+=ππ，0tan )(lim lim 22==+→+→xxx f k x k x ππππ ， 因此2ππ+=k x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．综上，0=x 和)(2Z k k x ∈+=ππ是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，)0,(≠∈=k Z k k x π是第二类间断点中的无穷间断点．(3) 显然函数)(x f 的定义域是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，进而函数)(x f 的间断点只可能为0=x 和1=x ．对于0=x ，∞=-=-→→111)(limlimx x x x e x f ， 因此0=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于1=x ，011)(111limlim=-=-→→++x xx x ex f ，111)(111limlim =-=-→→--x x x x ex f ，即函数)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，0=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点，1=x 是第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x ．21arctan )(lim lim 00π==++→→x x f x x ，21arctan )(lim lim0π-==--→→x x f x x ，即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(5) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x 和1=x ．对于0=x ，0223)(limlim=-=→→xx f x x ， 因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于1=x ，∞=-=→→xx f x x 223)(limlim11， 因此1=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，1=x 是第二类间断点中的无穷间断点．(6) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x ．22cos 1cos 1)(2000lim limlim=-=-=+++→→→x x x x x f x x x ， 22cos 1cos 1)(200lim limlim-=--=-=---→→→x x x x x f x x x ， 即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(7) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为1=x ．∞=--=→→xxx f x x 12)(limlim 11， 因此1=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点． 1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性1 (1) 当1<x 时，02lim =∞→nn x，则有x x x x x f nnn =⋅+-=∞→2211)(lim ；当1>x 时，∞=∞→nn x2lim ，并且11122lim-=+-∞→n n n x x ，则有x x xx x f nnn -=⋅+-=∞→2211)(lim ；当1±=x 时，012=-n x ，则有011)(22lim=⋅+-=∞→x x xx f nnn ．因此111,,0,)(<±=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f ． 显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，1)(lim lim11-==++-→-→x x f x x ，1)()(lim lim11=-=---→-→x x f x x ，即)(x f 在1-=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1-=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1=x ，1)()(lim lim11-=-=++→→x x f x x ，1)(lim lim11==--→→x x f x x ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(+∞---∞，1±=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(2) 显然1-=x 时，函数)(x f 无定义；当1<x 时，0lim =∞→nn x，则有01)(lim=+=∞→n n n x x x f ；当1>x 时，∞=∞→nn x lim ，则有11)(lim =+=∞→nn n x x x f ；当1=x 时，1=n x ，则有211)(lim=+=∞→nn n x x x f ．因此111,0,21,1)(<=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=x x x x f ． 显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，00)(lim lim11==++-→-→x x x f ，11)(lim lim11==---→-→x x x f ，即)(x f 在1-=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1-=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1=x ，11)(lim lim11==++→→x x x f ，00)(lim lim11==--→→x x x f ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(+∞---∞，1±=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(3)当10<≤x 时，0lim =∞→nn x ，则有111)(lim =+=∞→nn x x f ；当1>x 时，∞=∞→n n x lim，则有011)(li m =+=∞→nn xx f ；当1=x 时，1=n x ，则有2111)(lim=+=∞→nn x x f ．因此1011,1,21,0)(<≤=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=x x x x f ． 显然函数)(x f 在区间),1(),1,0(+∞内连续．对于0=x ，)0(11)(lim lim00f x f x x ===++→→，因此)(x f 在0=x 处右连续．对于1=x ，00)(lim lim11==++→→x x x f ，11)(lim lim11==--→→x x x f ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,0[+∞，1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 当0<x 时，∞==-∞→∞→xn xn nnlim lim ,0，则有1)(lim-=+-=--∞→xx xx n nn n n x f ；当0>x 时，0,lim lim =∞=-∞→∞→xn xn nn ，则有1)(lim =+-=--∞→xxxx n nn n n x f ；当0=x 时，1=±xn，则有0)(lim=+-=--∞→xx x x n n n n n x f ．因此000,1,0,1)(<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x f ． 显然函数)(x f 在区间),0(),0,(+∞-∞内连续．对于0=x ，11)(lim lim00==++→→x x x f ，1)1()(lim lim00-=-=--→→x x x f ，即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),0(),0,(+∞-∞，0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(5) 显然1-=x 时，函数)(x f 无定义．又xe x n xn x f x xnn nxn +=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→1111111)(lim lim， 因此xe xf x+=1)(，并且定义域为),1()1,(+∞---∞ ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，∞=+=-→-→xe xf xx x 1)(lim lim11，因此1-=x 函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,(+∞---∞，1-=x 函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．2 (1) 因为函数)(x f 在区间),0(),0,(+∞-∞内是初等函数，因此函数)(x f 在()+∞∞-,连续，只需在分段点0=x 处连续，即)0()()(lim lim00f x f x f x x ==-+→→．又在0=x 处，b f =)0(，b b ax x f x x =+=++→→)()(lim lim 00，1)(lim lim00==--→→x x x e x f ，因此1=b ．由于2)1(=f ，即2=+b a ，因此1=a ．综上当1,1==b a 时，函数)(x f 在()+∞∞-,上连续．(2) 因为函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内是初等函数，因此函数)(x f 在()+∞∞-,连续，只需在分段点1±=x 处连续，即)1()()(lim lim11-==-+-→-→f x f x f x x ，)1()()(lim lim 11f x f x f x x ==-+→→．在1-=x 处，1)1(-=-f ，b a bx ax x f x x -=+=++-→-→)()(211lim lim ，11)(limlim11-==---→-→xx f x x ， 因此1-=-b a ．在1=x 处，1)1(=f ，11)(limlim 11==++→→xx f x x ， b a bx ax x f x x +=+=--→→)()(211lim lim，因此1=+b a ．于是有⎩⎨⎧=+-=-11b a b a ，解得1,0==b a ．综上当1,0==b a 时，函数)(x f 在()+∞∞-,上连续． 3 )(x f 在1=x 处连续，则)1()(lim1f x f x =→，即4313)(lim1=+-+++→x x b x b a x ．由于()0313lim 1=+-+→x x x ，则有[]0)(lim 1=++→b x b a x ，即02=+b a ，进而b a 2-=．从而313313)(limlim11+-++-=+-+++→→x x b bx x x b x b a x x()()()313313313)1(lim1++++-++++--=→x x x x x x x b x())1(2313)1(lim1-+++--=→x x x x b x()b x x b x 22313lim1-=+++-=→．因此42=-b ，即2-=b ，于是4=a ．综上当2,4-==b a 时，)(x f 在1=x 处连续．1.6 闭区间上连续函数的性质1若)0()(f a f =，则0=δ或a =δ．因此下面假设)0()(f a f ≠． 令)()()(a x f x f x F +-=．显然)(x F 在],0[a 上连续，并且)2()()(),()0()0(a f a f a F a f f F -=-=．由于)2()0(a f f =，所以有0)]0()()][()0([)()0(<--=⋅f a f a f f a F F ，从而根据根的存在定理知，),0(a ∈∃δ，使得0)(=δF ，即)()(a f f +=δδ． 综上存在一点],0[a ∈δ，使得)()(a f f +=δδ．2由于b x f a <<)(，则b b f a f a <<)(),(．令x x f x F -=)()(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且0)()(>-=a a f a F ，0)()(<-=b b f b F ，从而根据根的存在定理知，],[),(b a b a ⊂∈∃δ，使得0)(=δF ，即δδ=)(f ．3令bx b x a ax B x f A x F =<<=⎪⎩⎪⎨⎧=,),(,)(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且A a F =)(，B b F =)(．又0<AB ，因此0)()(<b F a F 从而根据根的存在定理知，),(b a ∈δ，使得0)(=δF ，即0)(=δf ．4方程可以变为),,(0))(())(())((321213312321λλλλλλλλλ≠=--+--+--x x x a x x a x x a ．令))(())(())(()(213312321λλλλλλ--+--+--=x x a x x a x x a x F ．显然)(x F 在],[],,[3221λλλλ上连续，并且))(()(322111λλλλλ--=a F ， ))(()(321222λλλλλ--=a F ， ))(()(131333λλλλλ--=a F ．由于321λλλ<<，0,,321>a a a ，所以0)(1>λF ，0)(2<λF ，0)(3>λF ．进而根据根的存在定理知，),(211λλξ∈∃，),(322λλξ∈∃，使得0)(1=ξF ，0)(2=ξF ，即),(211λλξ∈∃，),(322λλξ∈∃，使得0313212111=-+-+-λξλξλξa a a ，0323222121=-+-+-λξλξλξa a a ．5 (反证法)假设存在),(βαδ∈∃，使得0)(<δf ． 若δγ< (或δγ>)， 则 函数)(x f 在],[δγ (或],[γδ)内连续，并且0)(>γf ，0)(<δf ，即0)()(<δγf f ．因此存在),(δγξ∈ (或),(γδξ∈)， 即),(βαξ∈，使得0)(=ξf ．这与α=x 和β=x 是0)(=x f 相邻的两个根相矛盾．故),(βα∈∀x 都有0)(>x f ．6若1)sin(=+b a ，则显然方程b x a x +=sin 有一个根是b a x +=．下面假设1)sin(≠+b a ．令b x a x x f --=sin )(．显然)(x f 在],0[b a +上连续，并且0)0(<-=b f ，0)]sin(1[)sin()(>+-=-+-+=+b a a b b a a b a b a f (因为0,0>>b a )， 进而0)()0(<+b a f f ．因此存在),0(b a +∈ξ，使得0)(=ξf ，即b x a x +=sin 在区间),0(b a +上至少有一个根．综上方程b x a x +=sin 至少有一正根，并且它不超过b a +．7 令)}(,),(),(min{21n x f x f x f m =，)}(,),(),(max{21n x f x f x f M =，则n x x x ,,,21 中至少有一个i x 使得m x f i =)(，至少有一个j x 使得M x f j =)(，显然有M x f nxf x f m j nk ki =≤≤=∑=)()()(1．若这个不等式中有一等号成立，则对应的i x 或j x 即为所求的点ξ．若不等式都是严格不等式时，又)(x f 在],[j i x x 或],[i j x x 上连续，由介值定理知，至少存在一点ξ介于i x 与j x 之间，使得n x f x f x f f n )()()()(21+++=ξ．综上存在],[b a ∈ξ，使得nx f x f x f f n )()()()(21+++=ξ．习 题 11 0>∀ε，要使ε<=--+-n n n n 11)1(1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ，当N n >时，ε<--+-1)1(1n n n ，因此1)1(1lim=-+-∞→n n n n ． 2由于当0→x 时，x e x~1-，所以x ex3~13-．进而331lim lim30==-→→x xx e x x x ． 3因为n n n n 333213⋅<++<，则有n nnn 33)321(31<++<，并且nn 33lim ∞→3=，因此3)321(1lim =++∞→nnnn ．4 令x t arcsin =，则t x sin =，并且00→⇔→t x ．因此1sin arcsin lim lim00==→→ttx x t x ． 53sin 2tan 2limxx x x +-+→ ()()()xx x xx xx x sin 2tan 2sin 2tan 2sin 2tan 23lim+++++++-+=→()xx x x x x sin 2tan 2sin tan 3lim+++-=→()xx x x x x sin 2tan 2)cos 1(tan 3lim+++-=→()x x x x x x sin 2tan 22132lim+++⋅=→()x x x sin 2tan 221lim+++=→ 82241==． 6任取),(0b a x ∈，对0>∀ε，存在0>=kεδ，当δ<-<00x x 时，εδ=⋅<-≤-k x x k x f x f 00)()(．因此)()(0limx f x f x x =→，即)(x f 在0x x =处连续．由0x 的任意性知，)(x f 在),(b a 上连续．当δ<-<a x 0时,εδ=⋅<-≤-k a x k a f x f )()(．因此)()(lima f x f ax =+→， 即)(x f 在a x =处右连续．当0<-<-b x δ时，εδ=⋅<-≤-k b x k b f x f )()(．因此)()(limb f x f bx =-→，即)(x f 在b x =处左连续．综上)(x f 在],[b a 上连续，又由于0)()(<b f a f ，所以根据根的存在定理知，存在),(b a ∈ξ使得0)(=ξf ．7 函数)(x f 的定义域为),2()2,1()12,12(0,+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-<∈ k Z k k k ．显然)(x f 的间断点只可能是)0,(12<∈+=k Z k k x ，0=x 和2=x ．由于)(x f 在区间)0,)(12,12(<∈+-k Z k k k ，)0,1(-，)2,0(，),2(+∞内是初等函数，因此)(x f 在这些区间上连续．对于2=x ，∞=-→4222limx x ，则有42sin )(222lim lim -=→→x x f x x 不存在，但是在1-到1之间来回振荡，因此2=x 是)(x f 的第二类间断点中的振荡间断点．对于0=x ，21sin 42sin)(2lim lim-=-=++→→x x f x x ， 02cos)1()(limlim00=+=--→→xx x x f x x π，即左右极限存在但不相等, 因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1-=x ,)1(2cos )1(2cos )1()(limlimlim111--+=→+=-→-→=t t t xx x x f t x t x x ππππππ2)1(22)1(2sin )1(lim lim lim000-=-=-=-=→→→t t t t t t t t t t ， 因此1-=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)1,(12-<∈+=k Z k k x ，∞=+=+→+→xx x x f k x k x 2cos )1()(limlim1212π，因此12+=k x )1,(-<∈k Z k 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上所述，函数)(x f 在区间)0,)(12,12(<∈+-k Z k k k ，)0,1(-，)2,0(，),2(+∞内连续；0=x 是第一类间断点中的跳跃间断点；1-=x 是第一类间断点中的可去间断点；2=x 是第二类间断点中的振荡间断点；)1,(12-<∈+=k Z k k x 是第二类间断点中的无穷间断点．8先证命题：若)(x F 在],[b a 上连续，则)(x F 在],[b a 上也连续． 由于)(x F 在],[b a 上连续，则任取],[0b a x ∈，)()(0lim 0x F x F x x =→ (a x=0时取右极限，b x =0时取左极限)．若)0(0)(0<>x F ，则根据极限的局部保号性知，在0x 的某个邻域内)0(0)(<>x F ，进而)()()()(00lim lim00x F x F x F x F x x x x ===→→()()()()(00lim limx F x F x F x F x x x x =-=-=→→)，注意a x =0时取右极限，b x =0时取左极限．因此)(x F 在],[b a 上也连续．由于)(),(x g x f 在],[b a 上连续，则)()(x g x f -在],[b a 上连续，进而)()(x g x f -在],[b a 上连续．又2)()()()()}(),(max{x g x f x g x f x g x f -++=，因此)}(),(max{x g x f 在],[b a 上连续．9由于n 为非零有理数，则可令qp n =，其中q p ,为非零整数，并且0>p ．进而α=nx 与方程0>==q p x αβ同解．(存在性)令p x x f =)(．则)(x f 在),0[+∞内连续，并且当+∞→x 时，+∞→)(x f ．因此存在),0(+∞∈a 使得β>)(a f ．显然)(x f 在],0[a 上连续，并且)()0(0a f f <<=β，根据介值定理知，存在),0(a ∈ξ，使得βξ=)(f ， 即ξ是方程β=p x 的一个正根．(唯一性)假设21,ξξ是方程β=p x 的两个正根. 进而有pp21ξξ=，即))((012221221112121----++++-=-=p p p p p p ξξξξξξξξξξ ，由于0,21>ξξ，则01222122111>++++----p p p p ξξξξξξ ．因此21ξξ=，即方程β=p x 只有一个正根．10狄利克雷(Dirichlet)函数 是无理数是有理数，，x x x D ⎩⎨⎧=01)(．显然狄利克雷函数在),(+∞-∞上每一点都有定义, 但是在每一点都不连续．第二章 一元函数的导数和微分2.1 导数的概念1 分析 (1) A A x f x f A x f ==⇔=+)(')(')('00_0； (2)2 函数在0x x =处可导，则函数在0x x =处必连续； (3)0 4ln )(=x f 是常值函数，因此0)('=x f ； (4)0 驻点：函数的导数值为0的点． 2 (1)[]x x f x x f x x f x x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆2)()2(2)()2(000000lim lim)('22)()2(20000limx f xx f x x f x =∆-∆+=→∆．(2)[]x x f x x f x x f x x f x x ∆--∆--=∆-∆-→∆→∆)()()()(000000lim lim)(')()(0000limx f xx f x x f x -=∆--∆--=→∆．(3)[][]hx f h x f x f h x f h h x f h x f h h )()()()(212)()(00000000limlim----+=--+→→ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=→h x f h x f h x f h x f h )()()()(2100000lim )(')()()()(210000000lim lim x f h x f h x f h x f h x f h h =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=→→． (4)[]0000)()()()(limlimx x x f x f x x x f x f x x x x ---=--→→ )(')()(000limx f x x x f x f x x -=---=→．3 (1) 22)12(]1)(2['lim lim lim000=∆∆=∆---∆+=∆∆=→∆→∆→∆xx x x x x x y y x x x ；(2) xx x x x x x x x y y x x x ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆2sin2sin 2cos )cos('lim lim lim00x x xx x x sin 22sin2sin lim-=∆∆⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=→∆； (3) x x x x x x x x y y x x ∆--∆+-∆+=∆∆=→∆→∆)()]()[('220lim lim[]12)12()()12(lim lim2-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x x x x x x x x x ；(4) 1)1()](1['lim lim lim000-=∆∆-=∆--∆+-=∆∆=→∆→∆→∆xxx x x x x y y x x x ． 4因为0)0(=f ，01sin)(lim lim==→→x x x f x x ，即)0()(l i m 0f x f x =→，因此)(x f 在0=x 处连续．因为x x x x x f x f x x x 1sin 1sin0)0()(lim lim lim→→→==--不存在，因此)(x f 在0=x 处不可导．5 (1) 因为x y cos '=，故曲线在点)0,0(处的切线斜率为10cos '====x y k ，进而曲线x y sin =在点)0,0(处的切线方程是x y =，法线方程是x y -=．(2) 因为x y sin '-=，故曲线在点)1,0(处的切线斜率为00sin '=-===x y k ，进而曲线x y cos =在点)1,0(处的切线方程是1=y ，法线方程是0=x ．(3) 因为xy 1'=，故曲线在点)0,1(处的切线斜率为1'1===x y k ，进而曲线x y ln =在点)0,1(处的切线方程是1-=x y ，法线方程是1+-=x y ．6因为速度是t t t t S t V 22)'211()(')(2+=++==，加速度是)(')(t V t a =2)'22(=+=t ，因此速度2)2(,6)2(==a V ，即2=t 秒时，运动物体的速度是s m /6，加速度是2/2s m ．2.2 求导公式和求导法则1 (1)1620'3+-=x x y ．(2)'221'21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=--x x m x x m y32232121111xx x m m x x mx m -+-=-+-=---． (3)x x y 55ln 5'4⋅+=． (4)01111'22=---=xxy ．(5)52)2()3()'3)(2()3()'2('+=+++=+++++=x x x x x x x y ．(6)xx x x x x x x x x x x y 1ln 21)1(ln 2)')(ln 1(ln )'1('2222++=⋅++=+++=．(7)x x x x x x e e e e e y 3)13(ln )3ln()3(]')3[()'3('+====． (8))'(sin sin )'()'(cos '22x x x x x y ++=x x x x x x x x x cos sin )12(cos sin 2sin 22+-=++-=．(9)x x x x y 22csc sec tan '++= ．(10))'(ln sin ln )'(sin ln sin ''x x x x x x x x x y ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=x x x x x x xxx x x x x x sin ln cos ln sin sin ln cos ln sin +⋅⋅+⋅=⋅+⋅⋅+⋅=． (11)222ln 1ln 1'ln )'(ln 'xxx xx x x x x x x y -=-⋅=⋅-⋅= ． (12)()2cos 1)'cos 1(sin )cos 1()'(sin 'x x x x x y ++⋅-+=()()xx xx xx x x cos 11cos 1cos 1cos 1sin sin )cos 1(cos 22+=++=+⋅++⋅=．另解2sec 21'2tan 'cos 1sin '2x x x x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=．(13)22''sin cos sin cos sin sin sin 'x xx x x x x x x x x x y -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= ． (14)422)')(ln ()'ln ('xx x x x x x y +-⋅+= 342ln 21)ln (211xx x x x x x x x --=+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=． (15)2)ln 1()'ln 1)(ln 1()ln 1()'ln 1('x x x x x y --+--+=22)ln 1(2)ln 1(ln 1ln 1x x x x xx x -=-++-=．另解222)ln 1(2)ln 1(12)ln 1()'ln 1(2'1ln 12'x x x x x x x y -=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=． (16)2222)1()'1(ln )1()'ln ('x x x x x x x y ++⋅-+= 22222222)1(ln )1(1)1(ln 2)1)(1(ln x xx x x x x x x +-++=+-++=． 2 (1)2222222)'(1'x a x x a x a y --=-⋅-=．(2))53cos(3)'53()53cos('-=-⋅-=x x x y ． (3))1sin(2)1()1sin('222+-=+⋅+-=x x x x y ． (4)xx x x y ln 1)'(ln ln 1'=⋅=． (5)x xe x ey 333)'3('=⋅=．(6)222)'('2x x xe x e y ---=-⋅=．(7)22'24121212211'xx x x y -=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=．(8)()422212)'(11'x xx x y +=⋅+=．(9)222'21111111111'x x x x x y +=⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=． (10)222'211)1(21111111111'x x x x x x x x y +=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=． (11)()()x e x e x e x e y x x x x 3sin 33cos 3cos 3cos '''------=⋅+⋅=．(12)()'2'21sin 1sin '⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=x x x xyx x x x xx x x 1cos 1sin 21cos 11sin222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=． (13)())'(arccos 1arccos 1'2'2x x x x y ⋅-+⋅-=11arccos 111arccos 12222---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-+⋅--=x xx x x x x x． (14)''11112111111111'⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅⋅+-⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-=x x xx x x x x x x y ()()1112112122-=+-⋅+-=x x xx ．另解()11111121)1ln()1ln(21'2'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=x x x x x y ． (15))'(sin )sin 2(22ln )'(sin 22ln '22sin 2sinx x x y x x⋅⋅⋅=⋅⋅=x x x x x 2sin 22ln cos )sin 2(22ln 22sin sin ⋅=⋅⋅⋅=．(16)x xx x x x x y 4csc 42cos 2sin 2)]2(sec 2[2tan 1)'2(tan 2tan 1'2==⋅=⋅=．(17)x x x x x y 6sin 3)3cos 3()3sin(2)'3(sin 3sin 2'=⋅=⋅=． (18)())'12(sin sin '21212'12122222++⋅⋅-=⋅-=++++++++x x e ee ey x xx x x xx x121212122222sin )1(2)22(sin +++++++++-=+⋅⋅-=x xx xx xx xe e x x e e ．3 (1) 由于()22222)21(2)('22'x x x x xe x e x ee x ex f ------=-=⋅+=，因此1)21()0('022=-==-x xe xf ．(2) 由于()xx x x xx x f 42ln 214)44(ln 4)('2⋅-=⋅⋅-=，因此142ln 21)1('=⋅-=x x x f42ln 21-=． (3) 由于2tan42sec 2sec 212tan 212tan 2tan 21)('22'xxx x x x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=，因此 2122tan42sec 2'2===⎪⎭⎫ ⎝⎛ππx x xf ． (4) 由于()'22221)('ax x ax x x f -+⋅-+=222222111ax a x xa x x -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-+=，因此aax a x a f 3321)2('22==-=． 4 (1)[])('3)'()(')(3233'3x f x x x f x f dxdy=⋅==． (2) [])'(cos )(cos ')'(sin )(sin ')(cos )(sin 2222'22x x f x x f x f x f dxdy⋅+⋅=+= )sin cos 2()(cos ')cos sin 2()(sin '22x x x f x x x f -⋅+⋅=)](cos ')(sin '[2sin 22x f x f x -⋅=．(3)[])(')()'()(')(1'e x e x e x e x e x x e f ex e x e x e f x e f dxdy+⋅+=+⋅+=+=-． (4) [][][]')()('')()()()(x f x x f x x f x e e f e e f e e f dxdy+== )()()()(')('x f x x f x x e e f x f e e f e +=．。
高等数学测试及答案(第二章)
20.设 ，求 .
【解析】因为 ，
所以 .
21.设
【解析】对等式两边同时求微分，可得， ，
即 ，故 .
22.（8分）求曲线 在 处的切线方程和法线方程
【解析】因为 ，所以 .当 时，x= ， ， .
.
23.求由方程 所确定的隐函数 的二阶导数
【解析】对x求导，可得， ，即 .
再对x求导，得 .
24.设函数 ，适当选择 的值，使得 在 处可导
【解析】因为 在 处可导，则 ， .即 .
又知 ， ，即 .
25.若 ，其中 为可微函数，求
【解析】因为 ，对x求导可得， ，即 .
四.证明题
26.设 在点 处连续，且 (A为常数)，证明 在点 处可导.
【证明】因为 ，则 .又因为 在点 处连续，所以 .于是 ,故 在点 处可导，且 .
高பைடு நூலகம்数学测试（第二章）
一．选择题（每小题２分，共20分）
1．设函数 在 处（）A．不连续B．连续但不可导C．可导D．可微
2．设函数 在 处可导，且 ，则 等于（）A．1 B． C． D．
3．设函数 在点 处可导，则 等于（）
A．0B． C． D．
4．设 ， ，则 （）
A． B． C． D．
5．设函数 在 内可导，则下列结论中正确的是（）
23.（5分）求由方程 所确定的隐函数 的二阶导数 .
24.（7分）设函数 ，适当选择 的值，使得 在 处可导.
25.（8分）若 ，其中 为可微函数，求 .
四.证明题（共10分）
26.（10分）设 在点 处连续，且 (A为常数)，证明 在点 处可导.
答案：
一.选择题1—5 BBCCA 6—10BBCAD
大学高等数学基础教材答案
大学高等数学基础教材答案（字数：1631）第一章：函数与极限1. 函数与映射1.1 函数定义与性质1.2 函数的四则运算1.3 反函数与复合函数2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义2.2 极限存在的判定定理2.3 极限的性质与四则运算2.4 极限存在的唯一性3. 极限运算法则3.1 数列极限的性质3.2 函数极限的性质3.3 极限运算法则第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质1.1 导数定义1.2 导数存在的条件1.3 函数可导的判定定理2. 导数运算法则2.1 基本导数运算法则2.2 高阶导数与Leibniz公式3. 高阶导数与隐函数求导3.1 高阶导数定义与性质3.2 隐函数求导原理第三章：微分中值定理及其应用1. 微分中值定理1.1 罗尔中值定理1.2 拉格朗日中值定理1.3 柯西中值定理2. 函数的极值与最值2.1 函数极值的判定定理2.2 求解函数最值的方法3. 函数图形的简单性质与描绘 3.1 函数的对称轴与奇偶性3.2 函数的图像描绘第四章：不定积分1. 不定积分的定义与性质1.1 不定积分的定义1.2 不定积分的基本性质2. 基本不定积分与换元积分法 2.1 基本不定积分表2.2 第一换元法2.3 第二换元法3. 分部积分法与有理函数的积分 3.1 分部积分法3.2 有理函数的积分第五章：定积分1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的定义1.2 定积分的基本性质1.3 可积函数与Riemann积分2. 定积分计算方法2.1 基本积分公式2.2 定积分的几何应用3. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的换元法 3.1 牛顿-莱布尼茨公式3.2 定积分的换元法第六章：微分方程1. 微分方程的基本概念1.1 微分方程的定义与解1.2 微分方程的阶与类型2. 可分离变量的微分方程2.1 可分离变量的微分方程解法2.2 可分离变量的应用3. 一阶线性微分方程3.1 一阶线性微分方程解法3.2 一阶线性微分方程的应用第七章：级数1. 级数的定义及基本性质1.1 级数的定义1.2 级数的基本性质1.3 级数的敛散性判定2. 收敛级数的性质与判别法2.1 收敛级数性质2.2 正项级数判别法2.3 任意项级数判别法3. 幂级数3.1 幂级数的性质3.2 幂级数的收敛半径以上是大学高等数学基础教材的答案，希望对你的学习有所帮助。
XXX《高数基础形考》1-4答案
XXX《高数基础形考》1-4答案2020年XXX《高等数学答案》2020年XXX《高等数学》基础形考1-4答案，高等数学基础作业一第1章函数，第2章极限与连续。
一）单项选择题1.下列各函数对中，（C）中的两个函数相等。
A。
f(x) = x^2.g(x) = xB。
f(x) = x^2.g(x) = x/(x^2 - 1)C。
f(x) = ln(x)。
g(x) = 3ln(x)D。
f(x) = x+1.g(x) = 3/(x-1)2.设函数f(x)的定义域为(-∞。
+∞)，则函数f(x) + f(-x)的图形关于（C）对称。
A。
坐标原点B。
x轴C。
y轴D。
y=x3.下列函数中为奇函数是（B）。
A。
y=ln(1+x^2)B。
y=xcos(x)C。
y=ax+a^-xD。
y=ln(1+x)/24.下列函数中为基本初等函数是（C）。
A。
y=x+1B。
y=-xC。
y=x^2D。
y=|x|5.下列极限中计算不正确的是（D）。
A。
lim(x^2/(x^2+2x)) = 1B。
lim(ln(1+x)/x^2) = 0C。
lim(sin(x)/x) = 1D。
lim(xsin(1/x)) = 06.当x→0时，变量（C）是无穷小量。
A。
1/sin(x)B。
x/xC。
xsin(x)D。
ln(x+2)7.若函数f(x)在点x满足（A），则f(x)在点x连续。
A。
lim(x→x)(f(x) = f(x))B。
f(x)在点x的某个邻域内有定义C。
lim(x→x)(f(x) = f(x))D。
lim(x→x)(f(x)) = lim(x→x)(f(x))二）填空题1.函数f(x) = (x^2-9)/(x-3) + ln(1+x)的定义域是{x|x>3}。
2.已知函数f(x+1) = x^2 + x，则f(x) = x^2-x。
3.lim(x→∞)((1+x)/(2x))^x = e^(1/2)。
4.若函数f(x) = {x(1+x)。
预科高等数学习题参考答案（上学期）
预科高等数学习题参考答案（上学期）第一章函数与极限1.1 数列的极限1 (1) 对任意的自然数n 有 7)1(5750++<+<="">07)1(51751>++>+n n ，即01>>+n n x x ，因此数列}{n x 是单调递减数列．显然对于任意的自然数n 有 175>+n ，因而有17510<+=<="">1=M ，对任意的自然数n 有，M x x n n =<=1，所以数列}{n x 是有界的．综上数列是单调递减有界数列，因此必有极限．观察出0lim =∞→nn x．nn n x x n n 1517510<<+==-．0>?ε，要使εn ，于是取正整数??≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n x n 10，故0lim =∞→n n x ． (2) 对任意的自然数n 有 5)1(2520++<+<="" ，所以有10+<}{n x 是单调递增数列．显然对于任意0>M ，存在}25,1max {0??-=M n ，使得M n x n >+=5200，因此数列}{n x 是无界的．综上数列是单调递增无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在．(3) 从数列的前几项Λ,5,0,3,0,154321==-===x x x x x 可以看出数列}{n x 既非单调递减数列也非单调递增数列．显然对于任意0>M ，存在}21,1max {0??+=M k ，使得M k k k x k >-=--=-122)12(sin)12(000120π，因此数列}{n x 是无界的．综上数列既不是单调数列也不是无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在． 2 分析用“N -ε”语言证明数列极限A xnn =∞→lim 的步骤如下：(1) 化简A x n -(往往需将它适当放大后)得)(n f ；(2) 逆序分析求N ．0>?ε，要使ε<)(n f ，(解不等式后知))(εg n >，于是取正整数[])(εg N ≥；(3) 按定义作结论则当N n >时，就有ε<-A x n ．故A xnn =∞→lim ．证明 (1)n n n 110144<=-．0>?ε，要使ε<="" p="">1>n ，于是取正整数≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n n 1014，故014lim =∞→n n ．(2)n n n n 1241231213<+=-++．0>?ε，要使ε<="" p="">1>n ，于是取正整数≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-++n n n 1231213，故231213lim =++∞→n n n ．(3) n n C C C C nnn n n n n n n 1919991)91(11011999.022109<<++++=+==-Λ321Λ个．0>?ε，要使εn ，于是取正整数??≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n n 11999.09321Λ个，故1999.09lim =∞→321Λ个n n ． 3证明 222222656112136561121365611213lim lim lim lim limlim lim lim nn n n nn n n n n n n n n n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→++++=++++=++++6130060013=++++=．4 证明当0=q 时，显然00lim lim ==∞→∞→n nn q；当0≠q 时，显然nnq q =-0．0>?ε(10<<ε)，要使ε<n< p="">q ，由于10<因此只要εqn log >，于是取正整数[]εq N log ≥．则当N n >时，就有ε<=-nn q q 0，故0lim =∞→n n q ．综上所述，当10lim =∞→nn q．5证明 (N -ε定义证明)令01>-=n n n h ，则有n n h n )1(+=，即nn n n n n n n h nh h n n nh h n +++-++=+=-122)1(1)1(Λ，进而22)1(n h n n n ->，即)1(12>-?ε，要使ε<-<=-121n h n n n ，只要212ε<-n ，即1112>+>εn ，于是取正整数??+≥112εN ．则当N n >时，就有ε<-<-121n n n，故1lim =∞→n n n ． (夹逼定理证明) 由于nn n n n n n n n n nn n 2211111111212-+=+++++≤=≤--48476Λ43421Λ个个，并且122lim =-+∞→n n n n ，因此1lim =∞→n n n ． 5 证明由数列}{n x 有界知，0>?M ，使得数列}{n x 的每一项都有M x n ≤．又0lim =∞→n n y ，则有0>?ε，存在0>N ，当N n >时，My y n n ε<=-0．进而当N n >时，εε=?<=-MM y x y x n n n n 0．因此0lim =∞→n n n y x ．1.2 函数的极限1证明0>?ε，0>?δ，当δ<-<00x x 时，ε<=-0c c ．因此c c x x =→lim 0．2证明)1sin (1sin 0sin ≤≤=-x xx x x x ．0>?ε，要使εx ，于是取正数ε1≥M ．则当M x >时，就有ε<≤-x x x 10sin ，故0sin lim =∞→x x x ． 3 43434343433412313412313423lim lim lim lim lim lim lim lim xx x x x xx x xx x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+-+-=+-+-=+-+-0001000=+-+-=．4解()()()()()()3212223213212321limlim 44+++-+++-+=--+→→x x x x x x x x x x()()()()()()34381242321223214242lim lim 44=+++=+++=++-+-=→→x x x x x x x x ．5解 a x ax a x a x a x ax a x -+-=--→→2cos2sin2sin sin lim lim a a a x a x a x ax cos cos 12cos 22sinlim =?=+?--=→．另解a x aa a x a x a x ax a x --+-=--→→sin ])sin[(sin sin lim lim a x aa a x a a x ax ---+-=→sin sin )cos(cos )sin(lim---+?--=→a a x a x a a x a x a x sin 1)cos(cos )sin(lim-?---?--=→a a x a x a x a a x a x a x sin 2sin 22sin cos )sin(lima a a cos sin 01cos 1=??-?=．6 因为0)1()(lim lim 0=-=++→→xx x ex f ，00)(lim lim 00==--→→x x x f ，即0)()(lim lim 00==-+→→x f x f x x ．因此函数)(x f 在0=x 点处极限存在，并且0)(lim 0=→x f x ．7 ()()()()()()111111113323323131limlim +++-+++-=--→→x x x x x x x x x x x x ()()()()3211111133213321limlim=+++==++-+-=→→x x x x x x x x x x ． 8x x x x x x x x x )2sin()2sin()2sin()2sin(lim lim 00--+=--+→→ 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2lim lim=?=?=→→x xx x x x ．9 2122322233221231212314232lim lim lim -??∞→∞→∞→==?? +??? ??+=??? ??+??? ??+=??? ??++e e e x x x x x x x x x x xx xx ．另解221)42(421142114232lim lim lim -??-?+-∞→∞→∞→??? ?+-=??? ??+-=??? ??++x x xx x x x x x x221)42(42114211lim --+-∞→??+-+-=x x x x221)42(42114211lim lim -∞→- +-∞→??? ?+-+-=x x x x x21211--=?=e e10aba b ax x bxx bxx ax ax ax ax -?+∞→∞→∞→? ++=?++=??++33113113114lim lim lima b a b a b ab ax x e e ax ax 333311131131lim =?=??? ??++???++=-+∞→．另解 a ba b a ba bax ab ax x bx bxx bxx e e e ax ax ax ax ax ax 344441*********lim lim lim ==??+??? ??+=??? ??+??? ??+=?++??∞→∞→∞→． 1.3 无穷小与无穷大1因为∞→x ，1sin ≤x ，01lim =∞→x x ，即∞→x 时x sin 是有界变量，x 1是无穷小量，因此01sin sin lim lim =?=∞→∞→x x x x x x ． 2 (利用无穷大的)(M E δ-定义求解) 0>?E ，要使E x x >+523，只要)5(223>>x E xx，即E x 2>，于是取}5,2max {E M =，当M x >时，E x x >+523．所以523+x x 是∞→x 时的无穷大量，即∞=+∞→523lim x x x ．另解 (利用无穷大与无穷小的关系求解)显然当∞→x 时，0523≠+x x ，但是01515332lim lim =+=+∞→∞→x x x x x x ，进而根据无穷大与无穷小的关系有，∞=+=+∞→∞→3223515lim lim x x x x x x ． 3 (利用无穷大的)(M E δ-定义求解)0>?E ，要使E x x x x >--=+-21232，只要)3(121≥>->--x E x x x ，即1+>E x ，于是取}3,1max{+=E M ，当M x >时，E x x >+-232．所以232+-x x 是∞→x 时的无穷大量，即()∞=+-∞→232 lim x x x ．</n<>。
高等数学基础教材答案
高等数学基础教材答案第一章：函数与极限1.1 函数及其图像1.1.1 函数的定义与性质1.1.2 常见函数的图像与性质1.2 极限1.2.1 极限的概念与性质1.2.2 极限的运算法则1.2.3 连续函数与间断点1.3 无穷小与无穷大1.3.1 无穷小的概念1.3.2 无穷小的比较1.3.3 无穷大的概念第二章：导数与微分2.1 导数的概念2.1.1 导数的定义与性质2.1.2 常见函数的导数2.2.1 微分的定义与性质2.2.2 微分中值定理2.3 高阶导数与高阶微分2.3.1 高阶导数的定义与性质 2.3.2 高阶微分的概念第三章：函数的应用3.1 高等数学基础知识的应用3.2.1 极限在物理问题中的应用 3.2.2 导数在几何问题中的应用3.2 泰勒展开3.2.1 泰勒公式的定义与性质 3.2.2 泰勒展开的应用3.3 求曲线的弧长与曲率3.3.1 弧长的定义与计算3.3.2 曲率的概念与计算第四章：定积分与不定积分4.1.1 定积分的概念与性质4.1.2 定积分的计算方法4.2 不定积分4.2.1 不定积分的定义与性质4.2.2 常见函数的不定积分4.3 定积分的应用4.3.1 定积分在物理问题中的应用 4.3.2 面积与体积的计算第五章：多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.1.1 多元函数的定义与分类5.1.2 多元函数的图像与性质5.2 偏导数5.2.1 偏导数的定义与计算5.2.2 高阶偏导数与混合偏导数5.3 多元函数的极限与连续性5.3.1 多元函数的极限的概念与性质 5.3.2 多元函数的连续性与间断点第六章：多元函数的微分学6.1 全微分与偏微分6.1.1 全微分的定义与计算6.1.2 偏微分与全微分的关系6.2 隐函数与参数方程的导数6.2.1 隐函数的导数与高阶导数6.2.2 参数方程的导数与高阶导数6.3 多元函数的极值与最值6.3.1 多元函数的极值与最值的概念 6.3.2 多元函数极值的判定与求解第七章：重积分与曲线积分7.1 重积分7.1.1 二重积分的概念与性质7.1.2 三重积分的概念与性质7.2 曲线积分7.2.1 第一类曲线积分的概念与性质7.2.2 第二类曲线积分的概念与性质7.3 曲线积分与重积分的关系7.3.1 平面曲线与平面重积分的关系7.3.2 空间曲线与空间重积分的关系第八章：向量场与格林公式8.1 向量场及其性质8.1.1 向量场的定义与分类8.1.2 向量场的性质与运算法则8.2 格林公式8.2.1 格林公式的概念与性质8.2.2 格林公式的应用与简化注意：以上仅为模拟文章，并没有真实的高等数学基础教材答案。
高等数学(一)智慧树知到答案章节测试2023年聊城大学
第一章测试1.A:B:C:D:答案:B2.A:B:C:D:答案:B3.A:是奇函数，非偶函数B:既非奇函数，又非偶函数C:既是奇函数，又是偶函数D:是偶函数，非奇函数答案:C4.下列数列收敛的是（）.A:B:C:D:答案:C5.A:充分必要条件B:必要条件C:充分条件D:无关条件答案:D6.下列极限存在的是（）.A:B:C:D:答案:A7.A:0B:2C:0.5D:不存在答案:C8.A:-1B:0C:1D:2答案:D9.下列极限中结果等于e的是（）.A:B:C:D:答案:A10.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（）.A:B:C:D:答案:A第二章测试1.A:1B:4C:2D:3答案:D2.下列函灵敏在点x=0外均不连续，其中点x=0是f(x)的可去间断点的是（）．A:B:C:D:答案:B3.A:充要条件B:必要非充分条件C:充分非必要条件D:无关条件答案:B4.A:B:C:D:答案:B5.A:B:C:D:答案:B6.A:第二类间断点B:连续点C:跳跃间断点D:可去间断点答案:D7.A:B:C:D:答案:A8.A:0B:1C:2D:3答案:D9.A:跳跃间断点B:连续点C:可去间断点D:无穷间断点答案:A10.A:B:C:D:答案:D第三章测试1.A:B:C:D:答案:D2.A:2B:不存在C:4D:0答案:C3.A:4B:3C:5D:2答案:B4.A:-2B:-1C:1D:0答案:A5.A:连续不可导B:可导C:极限不存在D:极限存在，但不连续答案:A6.A:无定义B:可导C:连续但不可导D:不连续答案:C7.下列结论错误的是（）.A:如果函数f(x)在点x=x0处连续，则f(x)在点x=x0处可导.B:如果函数f(x)在点x=x0处不可导，则f(x)在点x=x0处也可能连续C:如果函数f(x)在点x=x0处可导，则f(x)在点x=x0处连续D:如果函数f(x)在点x=x0处不连续，则f(x)在点x=x0处不可导答案:A8.设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),则f’(0)=( ) .A:6B:2C:3D:0答案:A9.A:B:C:D:答案:D10.A:B:C:D:答案:A第四章测试1.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）.A:B:C:D:答案:D2.求下列极限能直接使用洛必达法则的是（）.A:B:C:D:答案:A3.A:f(x)与x是同阶非等价无穷小量B:f(x)是比x较高阶的无穷小是C:f(x)是比x较低阶的无穷小量D:f(x)与x是等价无穷小量答案:A4.A:不增不减B:单调增加C:有增有减D:单调减少答案:C5.A:有极大值B:有极小值C:单调减少D:单调增加答案:D6.函数y=f(x)在x=x0处取得极大值，则必有（）.A:f ”(x0)<0B:f ‘(x0)=0或f ‘(x0)不存在C:f ‘(x0)=0且f “(x0)<0D:f’(x0)=0答案:B7. f ’(x0)=0，f “(x0)>0是函数f(x)在点x=x0处以得极小值的一个（）.A:既非必要也非充分条件B:必要非充分条件C:充分非必要条件D:必要充分条件答案:C8.函数y=x3+12x+1在定义域内（）.A:图形上凹B:单调增加C:图形下凹D:单调减少答案:B9.f(x)在点x=x0处可微，是f(x)在点x=x0处连续的（）.A:必要非充分条件B:充分非必要条件C:充分且必要条件D:既非充分也非必要条件答案:B10.A:B:C:D:答案:C第五章测试1.A:B:C:D:答案:C2.A:B:C:D:答案:B3.A:B:C:D:答案:C4.A:B:C:D:答案:D5.A:B:C:D:答案:A6.A:B:C:答案:B7.A:xsinx+cosx+CB:xcosx+sinx+CC:xcosx-sinx+CD:xsinx-cosx+C答案:C8.A:B:C:D:答案:D9.A:B:C:D:答案:D10.A:B:C:D:答案:D第六章测试1.下列积分可直接使用牛顿-莱布尼茨公式的是（）.A:B:C:D:答案:D2.A:B:C:D:答案:D3.A:40B:-80C:80D:-40答案:C4.A:B:C:答案:C 5.A:-1B:-2C:2D:1答案:C。
预科教材高等数学教材答案
预科教材高等数学教材答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是一个从一个集合到另一个集合的映射关系。
函数的定义域、值域、图像以及函数的奇偶性、周期性等性质在数学中都有重要的研究价值。
1.2 极限的定义与性质极限是描述函数趋近某个值的概念。
通过数列的极限来定义函数的极限，将其推广到实函数和复函数的极限。
极限的性质包括四则运算、复合函数、收敛性等。
1.3 函数的连续性与间断点函数的连续性是指函数在定义域上没有跳跃、断裂等情况，可通过极限的方法来判断。
间断点包括可去间断点、跳跃间断点和第一类间断点。
1.4 导数与微分导数是描述函数局部变化率的概念，可以通过极限的方法求得。
微分是导数的几何解释，可用于描述函数在某点的切线。
1.5 高阶导数高阶导数是导数的导数，通过迭代求导可以得到。
高阶导数可以用于描述函数的曲率和变化率。
第二章：微分学2.1 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性是指函数图像的弯曲情况，可以通过一、二阶导数来判断。
拐点是函数图像由凹变凸或凸变凹的点。
2.2 函数的单调性及最值问题函数的单调性描述函数在某个区间上的递增、递减情况。
最值问题是求取函数在某个区间内的最大值和最小值。
2.3 弧长与曲率弧长是曲线长度的概念，可以通过曲线参数方程和弧微分来求解。
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可通过曲线的切线和曲率半径来计算。
第三章：积分学3.1 不定积分与定积分不定积分是求导的逆运算，可以得到函数的原函数。
定积分是求取函数在某个区间上的面积，可以通过黎曼积分进行计算。
3.2 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法牛顿-莱布尼茨公式是将不定积分与定积分联系起来的重要公式。
换元积分法是通过变量代换来简化积分计算。
3.3 定积分与曲线的面积定积分可以用于计算曲线与坐标轴所围的面积。
可以通过参数方程和旋转体体积来求解。
3.4 反常积分与广义积分反常积分是积分上限或下限取无穷或无界的情况。
广义积分是对于无界区间上的积分。
国家开放大学《高等数学基础》形考任务1—4参考答案
国家开放大学《高等数学基础》形考任务1—4参考答案形考任务1（一）单项选择题（每小题5分，共50分）1-1.（）1-2.（3f=，xxln(x)(=）)x3g ln2-1.（）。
2-2.（）。
3-1.（）。
3-2.（）。
4-1.（）。
5-1.（）.5-2.（）.6-1.（y轴）6-2.设函数)f(xf--的图形关于（坐标原点）对)xf的定义域为)(x(,(+∞-∞，则函数)称．7-1.（）。
7-2.（）。
8-1.（）。
8-2.（）。
9-1.（）9-2.（1)x）ln(+10-1.（）（二）判断题（每小题5分，共50分）11-1.（×）11-2.（×）12-1.已知函数f（x+1）=x2+2x+9，则f（x）=-x2+8.（×）12-2.（√）13-1.（√）13-2.（√）14-1.（√）14-2.（×）15-1.（×）15-2.（√）16-1.（×）16-2.（×）17-1.（√）17-2.（×）18-1.（√）18-2.（√）19-1.（√）19-2.（×）20-1.（√）20-2.（√）形考任务2（一）单项选择题（每小题5分，共50分）1-1.（）。
1-2.（）。
2-1.（）s。
2-2．（）s。
3-1.（e）。
3-2.（4）4-1.（0）。
4-2.（-99!）5-1.（）。
5-2.下列结论中正确的是（）6-1.（）（）6-2.（）7-1.下列结论中（）不正确．7-2. 下列结论中（）不正确．8-1.（）（）8-2.（）9-1.（）。
9-2.（）10-1.（）。
10-2.（）。
（二）判断题（每小题5分，共50分）11-1.（×）11-2.（√）12-1.12-2.（×）13-1.（×）13-2.（√）14-1.（×）14-2.（×）15-1.（√）15-2.（√）16-1.（√）16-2.（×）17-1.（×）17-2.（√）18-1.（×）18-2.（√）19-1.（×）19-2.（√）20-1.（×）20-2.（×）形考任务3（一）单项选择题（每小题5分，共50分）1-1.（）。
高等数学基础-国家开放大学电大易考通考试题目答案
高等数学基础1、函数为基本初等函数.A. 是B. 否正确答案：B2、一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
A. 是B. 否正确答案：A4、1755年，_________给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。
”A. 欧拉B. 伽利略C. 梅根D. 柯西正确答案：A7、设Δx是曲线y=f(x)上的点M的在_____上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在_____上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。
A. 纵坐标；横坐标B. 横坐标；纵坐标C. 横坐标D. 以上都不对正确答案：B10、印度喀拉拉学校也曾发现可用于计算圆周率的无穷级数，并利用它将圆周率的值精确到小数点后第9位和第10位，后来又精确到第（）位。
A. 18B. 15C. 17D. 19正确答案：C11、1821年，_________从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。
”A. 康托B. 梅根C. 欧拉D. 柯西正确答案：D12、变量x的变化范围叫做这个函数的？A. 值B. 定义域C. 真集D. 以上都不是正确答案：B14、如果变量的变化是连续的，则常用（）来表示其变化范围。
A. 区间B. 集合C. 子集D. 补集正确答案：A15、十七世纪_________在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
A. 笛卡尔B. 伽利略C. 柯西D. 欧拉正确答案：B16、两偶函数和为（）函数。
A. 奇B. 偶C. 反D. 以上都不对正确答案：B18、定积分的大小。
A. 与y＝f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B. 与y＝f(x)有关，与积分区间[a，b]和ξi的取法无关C. 与y＝f(x)和ξi的取法有关，与积分区间[a，b]无关D. 与y＝f(x)、积分区间[a，b]、ξi的取法均无关正确答案：A19、微分可以近似地描述当函数_____的变化量取值作足够小时，函数的值是怎样改变的。
预备阶段 高数习题
⑴ ⑶; 6．计算下列定积分： ⑴
⑶
⑵ ⑷；
⑵ ⑷
⑸
⑹
⑺ 设，求
7． 设在[0，1]上连续，且单调递减，,证明在（0，1）内。
8． 设,求在内的表达式。 9． 设，且,
证明：⑴ ⑵方程在内有且仅有一个根。
10.计算下列定积分：
（1）； ; （3）；; （5）；
（2）; （4）；
（6）；
（7） ;
（8）；
极值.
25. 求下列函数在指定区间上的最大值,最小值:
(1);
(2);
26.绘下列函数的图形
（1）
（2）
期中测试题
一、填空题
1．在连续，
2．设函数由参数方程所确定，则
3．，
4．的渐近线有 条
5．，则 ，
二、求下列极限 1． 2.
3． 4.
三、求下列导数或微分 1．求。 2．，其中有两阶连续导数，求。 3．设函数由所确定，求。 四、设，当时，证明： 五、设函数具有二阶连续导数，证明： 使。
(4) ;
(5) ; (6) ;
(7) ;
(8) ;
(9) ;
(10) ;
(11) ;
(12) ; (15) ;
(18) ;
(13) ;
(14) ;
(16) ; (17) ;
(19) .
11. 设函数和可导，且，试求函数的导数. 12. 设可导，求下列函数y的导数
(1)
(2)
13. 求下列各题的二阶导数:
1.求下列函数表达式:
(1)，求
(2)，求
2.求下列极限:
(1)
(2)
(3)
(4)
3.证明下列函数当时极限不存在:
高等数学(上)-本科智慧树知到课后章节答案2023年下北京大学
高等数学（上）-本科智慧树知到课后章节答案2023年下北京大学北京大学第一章测试1.答案:2.答案:3.答案:4.答案:5.答案:6.答案:7.答案:8.答案:9.答案:10.答案:11.答案:12.答案:13.答案:14.答案:15.答案:16.答案:17.答案:18.答案:19.答案:20.答案:21.答案:22.答案:23.答案:24.答案:25.答案:26.答案:27.答案:28.答案:29.答案:30.答案:31.答案:32.答案:33.答案:34.答案:35.答案:36.答案:37.答案:38.答案:39.答案:40.答案:41.答案:42.答案:43.答案:44.答案:45.答案:46.答案:47.答案:48.答案:49.答案:50.答案:第二章测试1.答案:2.答案: 3.答案:4.答案:5.答案:6.答案: 7.8.答案:9.答案:10.答案: 11.12.答案:13.答案:14.答案: 15.16.答案:17.答案:18.答案: 19.答案:20.答案:21.答案:22.答案:23.答案:24.答案:25.答案:26.答案:27.答案: 28.答案:29.答案:30.答案: 31.答案:32.答案:33.答案:34.答案:35.答案:36.答案:37.答案:38.答案:39.答案:40.答案: 41.答案:42.答案:43.答案:44.答案: 45.答案: 第三章测试1.答案:2.答案:3.答案: 4.答案:5.答案:6.答案:7.答案:8.答案:9.答案:10.答案:11.答案: 12.答案:第四章测试1.（视频4.1.1测试题）下列式子中，正确的是（）.答案:2.答案:3.答案:4.答案:5.答案:6.答案:7.答案:8.答案:9.答案:10.答案:11.答案: 12.答案:含有反三角函数，不含有对数函数13.答案:14.答案:15.答案:16.答案:17.答案:18.答案:19.答案:20.答案:第五章测试1. 5.1定积分基本概念和性质测试题答案:2. 5.1定积分基本概念和性质测试题答案:33.（5.1定积分基本概念和性质测试题)答案:null4.(5.1定积分定义与性质测试题)答案:null5.（5.1定积分基本概念与性质测试题）答案:106. 5.1定积分基本概念和性质测试题6. 下列命题不正确的是( )答案:7. 5.1定积分基本概念和性质测试题答案:8. 5.1定积分基本概念和性质测试题答案:9.答案:10.答案:11.答案:12.答案:413.答案:高阶无穷小14.答案:null第六章测试1.（视频6.1.1测试题）答案:242.（视频6.1.1测试题）答案:3.（视频6.1.2测试题）答案:4.（视频6.1.7测试题）答案:5.（视频6.1.7测试题）答案:306.（视频6.2.1测试题）答案:7.（视频6.2.2测试题）答案:8.（视频6.2.2测试题）答案:9.（视频6.2.3测试题）答案:10.（视频6.2.3测试题）答案:11.（视频6.2.4测试题）答案:12.（视频6.2.5测试题）答案:13.（视频6.2.5测试题）答案:14.（视频6.2.6测试题）答案:15.（视频6.2.6测试题）答案:16.（视频6.2.7测试题）答案:17.（视频6.2.7测试题）答案:18.（视频6.2.7测试题）答案:19.（视频6.2.8测试题）答案:220.（视频6.2.8测试题）答案:21.（视频6.2.8测试题）答案:无极值点，有零点22.（视频6.2.9测试题）答案:23.（视频6.2.9测试题）答案:24.（视频6.2.10测试题）答案:25.（视频6.2.10测试题）答案:26.（视频6.2.11测试题）答案:第七章测试1.7.1.1测试题答案:发散2.7.1.4测试题( )答案:收敛3.7.1.5测试题答案:收敛4. 7.1.5测试题答案:发散5.7.1.5测试题答案:收敛6.7.1.6测试题答案:发散7.7.1.6测试题答案:收敛8.7.1.6测试题答案:收敛9.7.1.7测试题答案:发散10.7.1.8测试题答案:条件收敛11.7.1.8测试题答案:发散12.7.1.8测试题答案:。
大学数学基础试题及答案
大学数学基础试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = sin(x)答案：B2. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 以下哪个选项是行列式的性质？A. 行列式与矩阵的行交换，行列式的值不变B. 行列式的值等于其转置矩阵的行列式的值C. 行列式的值等于其逆矩阵的行列式的值D. 行列式的值等于其伴随矩阵的行列式的值答案：B4. 以下哪个选项是泰勒级数的正确描述？A. 泰勒级数是函数在某一点的幂级数展开B. 泰勒级数是函数在某一点的傅里叶级数展开C. 泰勒级数是函数在某一点的三角级数展开D. 泰勒级数是函数在某一点的指数级数展开答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求f(1)的值为______。
答案：22. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx 的值为______。
答案：1/33. 给定矩阵 A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的行列式值为______。
答案：-24. 设函数f(x) = e^x，求f'(x)的导数为______。
答案：e^x三、解答题（每题15分，共40分）1. 求函数y = ln(x) + 2x的导数。
答案：y' = 1/x + 22. 求解方程组：\begin{cases}x + 2y = 3 \\3x - y = 1\end{cases}答案：\begin{cases}x = 1 \\y = 1\end{cases}四、证明题（20分）证明：对于任意正整数n，n^2 - n + 41是一个素数。
答案：略（此处应提供详细的证明过程）。
大学高等数学基础教材答案
大学高等数学基础教材答案第一章：函数与极限1.1 函数基本概念与性质1.1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
记作f(x)，其中x为定义域中的元素，f(x)为值域中的唯一对应元素。
1.1.2 函数的性质（1）定义域与值域：函数的定义域为所有可能的输入值的集合，值域为所有可能的输出值的集合。
（2）奇偶性：若函数满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；若满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
（3）周期性：若存在正数T，使得对于任意x在定义域中，有f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期T。
1.2 极限的定义与性质1.2.1 极限的定义对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一实数a时，使得函数值f(x)无限接近于L，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限。
记作lim(x→a) f(x) = L。
1.2.2 极限的性质（1）唯一性：若极限存在，则唯一。
（2）有界性：若极限存在，则函数在某一邻域内有界。
（3）保号性：若函数在某一邻域中不变号，且极限存在，则极限必为非负数。
1.3 极限计算方法1.3.1 无穷小量与无穷大量（1）无穷小量：若函数f(x)当x趋于零时，极限为零，则称f(x)为无穷小量。
（2）无穷大量：若函数f(x)当x趋于某一实数a时，极限趋于正无穷或负无穷，则称f(x)为无穷大量。
1.3.2 两个重要极限（1）常用极限：lim(x→0) sinx/x = 1，lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。
（2）函数极限：根据函数极限的定义，结合泰勒展开式等数学工具，可以计算各类函数的极限。
第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义对于函数y=f(x)，若存在实数a，使得当自变量x无限接近a时，函数的增量Δy和自变量的增量Δx之比的极限存在，则称该极限为函数在点a处的导数。
记作f'(a)或dy/dx|（x=a）。
高等数学基础教材课后答案
高等数学基础教材课后答案1. 第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义与性质1.3 常用极限和极限运算法则2. 第二章：导数与微分2.1 导数的定义与基本性质2.2 高阶导数与导数的计算2.3 微分的概念与运算3. 第三章：微分中值定理与导数应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 洛必达法则与泰勒公式3.3 极值与最值的判定3.4 应用题：切线与法线、曲率与弧长4. 第四章：不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本积分表与积分方法4.4 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法5. 第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的概念与性质5.2 偏导数与全微分5.3 隐函数与参数方程的求导5.4 高阶导数与泰勒展开5.5 一元函数与多元函数的导数比较6. 第六章：多元函数的极值与条件极值6.1 多元函数的极值判定与求解6.2 条件极值的求解6.3 隐函数的极值7. 第七章：重积分与曲线积分7.1 二重积分的概念与计算7.2 广义积分的概念与性质7.3 三重积分的概念与计算7.4 曲线积分的概念与计算8. 第八章：无界区域上的积分8.1 狄利克雷条件8.2 无界闭区域上的积分8.3 圆周率的计算9. 第九章：常微分方程9.1 一阶常微分方程的解法与应用9.2 高阶常微分方程的解法9.3 变量分离与恰当方程9.4 拉普拉斯变换与常系数线性微分方程10. 第十章：偏微分方程10.1 偏微分方程的基本概念10.2 分离变量方法与特征线法10.3 热传导方程与波动方程10.4 边界值问题与最值问题以上为《高等数学基础教材》课后习题答案的大致内容。
对于每个章节的习题，下面是一些示例题目及其解答作为参考：【第一章：函数与极限】习题1：已知函数f(x)=3x^2+2x-1，求f(-2)的值。
解答：将x=-2代入f(x)，得到f(-2)=3*(-2)^2+2*(-2)-1=13。
习题2：证明函数f(x)=x^3+2x^2-3x+5是奇函数。
高等数学第二章习题详细解答答案
1 ⎧ 2 1 ⎪ x sin , x ≠ 0 （2）∵ y = ⎨ ，而 lim y = lim x 2 sin = 0 = y x = 0 ，所以函数在 x = 0 处连续 x x →0 x →0 x ⎪ x=0 ⎩ 0,
1 x = 0 ，所以函数在 x = 0 点处可导. 而 lim x →0 x−0 x 2 sin
−2 sin cos (x + Δx) − cos x 3．解： ( cos x)′ = lim = lim Δx → 0 Δx →0 Δx Δx sin 2 x + Δx 2 = − sin x = - lim sin ⋅ lim Δx → 0 Δx → 0 Δx 2 2
4. 解：（1）不能，（1）与 f ( x ) 在 x0 的取值无关，当然也就与 f ( x ) 在 x0 是否连续无关， 故是 f ′( x0 ) 存在的必要条件而非充分条件. （2）可以，与导数的定义等价. （3）可以， 与导数的定义等价. 5. 解：（1） 5 x
9 −1 = 4 ，而 y′ = (x 2 )′ = 2 x ，令 2 x = 4 ， 3 −1
得： x = 2 ，所以该抛物线上过点 (2, 4) 的切线平行于此割线. 10.解：（1）连续，但因为
f (0+ h )− f (0 ) = h
因而 lim
h→0
3
h −0 1 = 2/ 3 h h
f (0 + h) − f (0) 1 = lim 2 / 3 = +∞ ，即导数为无穷大。 → h 0 h h
∴ f +′(0) ≠ f −′(0) = −1 ，所以 f ′(0) 不存在.
13. 解 ： 当 x > 0 时 ， f ( x) = x 是 初 等 函 数 ， 所 以 f ′( x) = 3 x ； 同 理 ， 当 x < 0 时
大学数学1第二章答案
习题二P 871.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件? 如满足就求出定理中的数值ξ. (1) 2()23,[1,1.5]f x x x =---; (2) 21()1f x x=+,[2,2]-. 解(1) (1)(1.5)0f f -==. 满足. 1()41,4f x x ξ'=-=;(2)满足.222(),0(1)xf x x ξ'=-=+ 2. 下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的所有条件? 如满足就求出定理中的数值ξ. (1) 2(),[0,],0f x x a a =>; (2) ()ln ,[1,2]f x x =; (3) 32()52,[1,0]f x x x x =-+--. 解(1)满足. 2202(0),2a a a ξξ-=-=.(2)满足. 11ln 2ln1(21),ln 2ξξ-=-=. (3)满足. 22(9)(3101)[0(1)]ξξ---=-+--,5(1,0)3ξ=-. 4. 对函数()sin f x x =及()cos F x x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上验证柯西中值定理的正确性. 解由柯西中值公式sinsin 0cos 21sin (cos )(0cos0)22πξππξ-=-+-+,或1cos 1sin 1sin cos 12ξξπξξ+==--,1sin 12cos πξξ--= 从而22(1)2cos (0,1)1(1)2πξπ-=∈+-, 而(0,)2πξ∈.5. 不用求出函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数, 说明方程()0f x '=有几个实根, 并指出它们所在的区间.解(1)(2)(3)(4)f f f f ===;故有1231234ξξξ<<<<<<, 使()0f x '=.6. 若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数, 且123()()()f x f x f x ==, 其中123a x x x b <<<<, 证明: 在13(,)x x 内至少有一点ξ, 使得()0f ξ''=.证 存在11223x x x ξξ<<<<, 使12()()0f f ξξ''==, 故存在12ξξξ<<, 使()0f ξ''= 7. 证明下列不等式.(1) |sin sin |||a b a b -≤-; (2)ln(1)(0)1xx x x x<+<>+; (3) 1(0)x e x x >+≠, (4) xe e x >⋅(1x >); (5) 当1202x x π<<<时,2211tan tan x x x x >; (6) 当0x >时, arctan ln(1)1xx x+>+. 证(1) |sin sin ||cos ()||cos |||||a b a b a b a b ξξ-=⋅-=-≤-.(2) 在区间[0,]x 上对函数()ln(1)f x x =+运用拉格朗日中值定理, 有ln(1)ln1(0)1x x x ξξ+-=<<+,从而得ln(1)110x xx x <+<++. (3)在区间[0,]x 上对函数()1xf x e x =--运用拉格朗日中值定理, 有(1)0(1)(0)0((0,))x e x e x x ξξ---=--≥∈,其中等号当且仅当0x =时成立.(4) ()xf x e e x =-⋅;()0xf x e e '=->(1x >); ()(1)0f x f >=(1x >). (5) 令tan ()xf x x=, 则 2222sec tan 2sin 2()02cos x x x x xf x x x x--'==>,其中我们已经知道2sin 20(0)x x x ->>. 于是tan ()x f x x =在区间(0,)2π内是严格单调增加的, 从而得所欲证.(6) 在区间[0,](0)x x >上对函数()(1)ln(1)arctan f x x x x =++-运用拉格朗日中值定理, 有21ln(1)1(1)ln(1)arctan 0(0)0(0)1x x x x x ξξξ⎡⎤++-++--=-><<⎢⎥+⎣⎦. 从而得证.8. 试用微分中值定理证明下列各等式.(1) arctan x =; (2) 222arctan arcsin1xx xπ+=+(1)x ≥. 证(1)令()arctan f x x =-则21()0()1f x x x'=-=-∞<<+∞+. 可知()f x 在(,)-∞+∞上是个常数函数, 于是()(0)0()f x f x ==-∞<<+∞, 得所欲证. (2)令22()2arctan arcsin1xf x x x=++, 则222222[1(1)2)]()01(1)x x x f x x x ⋅+-⋅'=+=++. 而()f x 在点1x =处是右连续的, 故()f x 在[1,)+∞上是个常数函数, 于是()(1)(1)f x f x π==≥. 9. 利用罗必塔法则求下列各式的极限.(1) 1ln lim 1x x x →-; (2) 021lim 31x x x →--; (3) 0cos lim sin x x x x x x →--; (4) 0cot lim ln x x x+→; (5)30tan limsin x x xx →- (6) 011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭; (7) 2tan 3lim tan x x x π→; (8) sin 0lim xx x →; (9)1lim(1)(0)x x a x a →∞->; (10) 211000lim xx e x-→;(11) 1ln(1)lim cot x x arc x →+∞+ (12) 2lim arctan x x x π→+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭解(1) 原式=11lim11x x →=.(2) 原式=02ln 2ln 2lim 3ln 3ln 3x x x →=.(3) 原式=001(cos sin )sin (sin cos )limlim 1111cos sin x x x x x x x x x x x→→---+==⋅=-.(4) 原式=200csc 1lim lim 1sin sin x x x x x xx++→→--=⋅=-∞.(5) 原式=2332000tan 1sec 2sec tan sec lim ()lim lim sin 36x x x x x x x x x xx x x x→→→---⋅⋅== 302sec sin 1lim 63x x x x →-⋅==-.(6) 原式=00001111lim lim lim lim (1)(1)(1)1(1)2x x x x x x x x x x x x x x e x e e e x e e xe x e e x e →→→→----====--++-++. (7) 原式=22sin 3cos 1sin 111limlim sin cos313sin 313(1)3x x x x x x x x ππ→→----=⋅=⋅=---.(8) 令sin xy x=, 则ln ln sin ln csc xy x x x==001sin lim ln limlim tan 0csc cot x x x x x y x x x x →→→==-⋅=-.于是sin ln 00lim lim lim 1xy x x x xy e e →→→====.(9) 原式=11001ln lim lim ln 1t t t t xxa a aa t =→=→-==. (10) 原式=()25025011limlim t x t xx t ee →→+∞== … = 0. (11) 原式=10021ln(1)1lim lim 11arctan 1t t xt t t t →+=→+++==+(12) 原式=令2arctan xy x π⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则2ln (ln ln arctan )y x x π=+, 于是2222211lnln arctan 112arctan 1lim ln limlim lim 111arctan 12x x x x x x x x y x x xxπππ→+∞→+∞→+∞→+∞+⋅+===-⋅=-⋅=-+- 从而 2ln 2lim lim lim arctan xyx x x y e e x ππ-→+∞→+∞→+∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭.10. 写出下列函数在指定点的泰勒展开式(n 阶).(1)530()21,1f x x x x x =-+-=-; (2) 0(),xf x e x a -==. 解 (略)11. 写出下列函数的麦克劳林展开式 (1) ()x f x x e =⋅; (2) ()f x =解 (略)12. 求下列函数的单调递增区间.(1) 322312y x x x =+-; (2) xy x e =-; (3) ln(1)y x x =-+; (4) 21x y x=+;(5) ln(y x =; (6) |sin 2|y x x =+. 解(1) 266126(2)(1)y x x x x '=+-=+-, (,2)2(2,1)1(1,)00maxminx y y-∞---+∞'+-+(2) 1xy e '=-, (,0)0(0,)0maxx y y-∞+∞'+-(3) 1111xy x x'=-=++ (,1)1(1,0)0(0,)0m a xm i nx y y -∞---+∞'+∞-+(4) 2211111,111(1)x y x y x x x -+'==-+=-+++. (,2)2(2,1)1(1,0)0(0,)00maxminx y y-∞------+∞'+--∞-+(5) ln(0()y x x '==+=>∀∈¡故ln(y x =在(,)-∞+∞单调增加.(6) 1sin 2,();21sin 2()(1).2x x k x k y x x k x k ππππ⎧+≤<+⎪=⎨-+≤<+⎪⎩.112cos 2,();2112cos 2()(1).2x k x k y x k x k ππππ⎧+≤<+⎪'=⎨-+≤<+⎪⎩当1()2k x k ππ≤<+且12cos20x +=即当512x k ππ=+时0y '=,在该点左侧附近0y '>, 在右侧附近0y '<.单调增加区间5(,)12k k πππ+,单调减少区间51(,())212k k πππ++当1()(1)2k x k ππ+≤<+且12cos20x -=即当5()6x k π=+时0y '=,在该点左侧附近0y '>, 在右侧附近0y '<.单调增加区间51(),()26k k ππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,单调减少区间5(),(1)6k k ππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦.13. 讨论函数1112(1),0;(),0x x x x f x e e x -⎧⎡⎤⎪+>⎢⎥⎪=⎢⎥⎨⎣⎦⎪⎪≤⎩在点0x =处的连续性.解 当0x >时, 2ln(1)1ln(1)ln ()x x x x f x x x+-+-==, 有 2000011ln(1)111lim ln ()lim lim lim 22(1)2x x x x x x x f x x x x →+→+→+→+-+--+===-+. 于是1ln ()2lim ()lim (0)lim ()f x x x x f x eef f x -→+→+→-====, 从而知函数在点0x =处连续.14. 设lim ()x f x k →∞'=, 求lim[()()]x f x a f x →∞+-.解(,)lim[()()]lim[()]lim ()x x x a x f x a f x f a a f ak ξξξξ→∞∈+→∞→∞''+-=⋅==15. 求下列函数的极值.(1) 3237y x x =-+; (2) 4y x x=+; (3) sin y x x =-; (4) 2ln y x x =;(5) y x =(6) 1xy x =;(7) 2x xy e e -=+;(8) 232(1)y x =--; (9) 1332(1)y x =-+.解(1) 令2363(2)0y x x x x '=-=-=, 得驻点0,2x =.(,0)0(0,2)2(2,)00max 7min 3x y y-∞+∞'+-+==(2) 224(2)(2)1x x y x x +-'=-=. (,2)2(2,0)0(0,2)2(2,)00max 4min 4x y y-∞---+∞'+--∞-+=-∞=(3) 令1cos 0y x '=-=, 得驻点2x k π=. 在每一个驻点的两侧, y '符号不变(都是正的), 故这些驻点都不是极值点.(4) (2ln 1)y x x '=+.12111(,)(,)2201min 2x ey ye ---∞--+∞'-+=-(5) 1y '=333(,)(,1]44405max 4x y y-∞'+-=(6) 11221ln 1(1ln )xxx x x y x x x x-⋅-⋅'=⋅=-, 驻点有x e =. 经过驻点时, y '由正变负, 故1x y x =有极大值1ey e =.16. 试问a 为何值时, 函数1sin sin 33y a x x =+在3x π=处取得极值? 它是极大值还是极小值? 并求此值.解 cos cos3y a x x '=+.由30x y π='=即1102a ⋅-=得2a =. (sin 3sin3)y a x x ''=-+由3(230)02x y π=''=-⋅+⋅<知函数在3x π=处取得极大值? 18. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值.(3) y x =+04x ≤≤.解1y '=+, 没有使导数为零的点或使导数不存在的点. 而00x y ==,46x y ==,故1y '=在点x = 0处取得它在[0, 4]上的最小值0, 在x = 4处取得最大值6.21. 池塘氧气的恢复. 设()f t 是某一池塘氧气的衡量标准. 当()1f t =时是标准水平, 时间t 以周计算. 当0t =时, 池塘倒入垃圾, 一些有机物开始氧化, 池塘里氧气的数量是由模型221()1t t f t t -+=+,0t ≤<+∞确定的. 试问何时池塘里氧气水平最低? 何时氧气水平最高?解 2()11tf t t =-+,22221(1)21()11t t t t f t t t ⋅+-⋅-'=-=++, 得驻点t =1. 0(0,1)1(1,)01112x y y+∞+∞'-+氧气水平当t=1时最低(为12), 当t=0时最高(为1)22. 求下列各函数图形的凹凸区间及拐点. (2) 2x x y e=; (5) arctan xy e =解(2) 222()2(1)(2)xxx x y x e x ex e x x e ----''==⋅+⋅⋅-=-+.2(42)(22x x y x x e x x e --''=-+=--(5) arctan x y e =,arctan 21x e y x '=+,arctan 2arctan arctan 22222(1)(2)(12)1(1)(1)x xx e x e x e x x y x x ⋅+-⋅-+''==++ 111(,)(,)2220x y y-∞+∞''+-⋃⋂拐26. 设()f x 在[0,]a 上连续, 在(0,)a 内可导, 且()0f a =, 证明: 存在一点(0,)a ξ∈, 使()()0f f ξξξ'+⋅=.证 令()()g x xf x =, 有(0)()0g g a ==. 在[0,]a 上对()g x 应用罗尔定理, 知存在(0,)a ξ∈, 使()0g ξ'=即()()0f f ξξξ'+⋅=.27. 作出下列各函数的图形. (4)2(3)4(1)x y x -=-.。
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第二章高等数学预备知识随堂测验答案第一讲合并与化简1.c o s x c o s x xn2去掉分母得：c o s x 1_ _ _ _ _ _ .(A ) 1 (co s x 1) (co s x co s x 1)2(B ) 1 (co s x 1) (co s x c o s x 1)2(C ) 1 co s x c o s x x2 1(D ) 1 c o s x c o s x2n 1 x答案：B解c o s x co s x2c o s x 1 c o s x1(co s x 1) (co s x 1)(co s x 1) (co s x 1)(co s x co s x 1)x 1) 22c o s x 1c o s x c o s x2(co s x 1) (co s x 1)(co s x 1) (co s x 1)(co s x c o s x 1)2n 1 n 2(co s x 1)(co s x c o s x 1)(co s x 1) 1 (co s x 1) (co s x c o s x 1)2故c o s x co s x xn2c o s x 12 1 n 2 x=1 (co s x 1) (co s x c o s x 1) x c o s1) 2.1 1_ _ _ _ _ _ .已知x ，则xn n23 1 54 n 11 1 1 1答案：C (A ) 1 (B ) 12 2 n 1 2 2 n 11 1 1 1(C ) 1 (D ) 12 2 n 1 2 2 n 11 1 1 1解=，4 1 2 2 1 2 1n n n21 1 1 1 1 1 1 1 故xn1 12 3 3 5 2 n 1 2 n 1 2 2 n13.n合并乘积得：(1 x )(1 x )(1 x ) ) _ _ _ _ _ _ .2 4n 1 n 1 n 1 n1 x 1 x 1 x 1 x2 2 2 2 1(A ) (B)(C) (D )1 x 1 x 1 x 1 x 答案：An (1 x )(1 x )(1 x ))2 4n (1 x )(1 x )(1 x )(1 x ))2 41 x(1 x )(1 x )(1 x )2 2 41 x 1 xn n n n 1(1 x ) (1 x ) 1 ( x ) 1x2 2 2 2 21 x 1 x 1 x4.n1设x ，则数列 { x } _ _ _ _ _ _n nnk k 1(A ) 单调递减但无界(B)单调递减且有界(C) 单调递增但无界(D) 单调递增且有界答案：D解xnn1 1 1 1n k n 1 n 2 n nk 1x n1n 1k 11(n 1)k1 1 1(n 1) 1 ( n 1) 2 ( n 1) ( n 1)1 1 1 1则x x = 0，故 { x }单增n 1 n n2 n 1 2 n 2 n 1 2 (2n 1)(n 1)n n1 1 1又x 1，所以 { x }有上界，下界为x .n n 1n k n2 k 1 k 15.x x x x化简：c o s c o s c o s_ _ _ _ _ _ .2 n 1 n2 2 2 2si n x sin x c o s x si n x (A ) (B)(C) (D)x x x x n 1 n n n2 sin 2 sin 2 sin 2 c o sn n n n2 2 2 2答案：B解x x xc o s c o s c os2 n 1 n2 2 22x x x x xc o s c o s c o s 2 sin2 n 1 n n2 2 2 2 2x2 sinn2x x x x x x xc o s c o s2 n 1 n 1 2 n 22 2 2 2 2 2 2x x22 sin 2 si nn n2 2x xc o s sinsi n x2x xn 1 n2 sin 2 sinn n2 2第二讲常用求和方法11.2已知a ，则数列{a }的前n项和为______ .n n1 24 n n 4 n n(A) (B)(C )(D )n 1 n 1 n 1 n 1答案：A2 2 4 1 1 解an4n n n n n n1)( 2 )1 2 ( 1) 12S a an 1 2 n1 1 1 1 1 1 14 12 23 34 n n 11 4 n4 1 .n 1 n 12.1已知数列 a 的通项 a n，S 为前n项和，则数列前n项和为{ } 2 { } ______ .n n nSnn 1 n 2 n(A) (B)(C )(D )n 1 n 1 n 1 n 1答案：Cn (a a ) 1 1 1 1解 a 2 n S n (n 1)，1 nn n2 S n (n 1) n n 1n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1S S S 2 2 3 3 4 n n 11 2 n1 n1 .n 1 n 13.1 1 1 1已知数列，，，，，则数列的前n项和为2 4 4 6 6 8 8 10______.n n n 1(A ) (B )(C )(D )2(n 1) 4(n 1) n 1 4(n 1)解an1 1 1 1 1 12 (22) 4 ( 1) 41n n n n n nS a an 1 2 n1 1 1 1 1 1 114 2 2 3 3 4 n n 11 1 n14 n 1 4(n1).答案：B4.1 1 1______. 已知a n ，则na a a a a a1 2 2 3 n 1 nn(A ) (B )n (C )n 1 (D )n 12答案：D解1 1 1a a a a aa1 2 2 3 n 1 n=1 1 11 2 2 3 n 1n2 13 2 n 1 n 15.1 2 3 4 5 6 1 0 0 _ _ _ _ _ _ .2 2 2 2 2 2 2(A ) 5 0 5 0 (B) 5 0 5 0 (C ) 1 0 0 (D) 5 0 5答案：A解 1 2 3 4 5 61002 2 2 2 2 2 2(1 2 )(1 2)(3 4)(3 4)100)(99 100)100 (1 100)(1 2 3 4 100) 50502第三讲常用求和方法21.1 2 3 nSn 2 3 n3 3 3 3______.1 1 1 n 3 1 1 n(A ) 1 (B ) 1n n n n4 3 2 3 4 3 2 3答案：B3 1 1 n 1 1 n(C ) 1 (D) 1n n n n 14 3 2 3 2 3 3解S1 2 3 4n 2 3 4 n3 3 3 3 31 123 nSn n n2 3 4 13 3 3 3 3 3.两式相减得1 1 1 1 n1 Sn n n2 3 13 3 3 3 3 31 113 3 n 1 1 nn11 323 3n 1 n n 1132 1 1 n3 1 1 n 即，故S 1 S 1n n n 1 n n n3 2 3 34 3 2 32.n 1已知a (2n 1)4 ，则a a a ______.n 1 2 3 n1 1n n(A ) (6 n5)4 5 (B )(6 n5)4 59 91 1n n(C )(6 n3)4 5 (D )(6 n5)4 39 9答案：A解Sn2 3 n 11 3 4 5 4 7 41)42 3 4 n 1n 4 S 1 4 3 4 5 4 7 4 3)4 (2n 1)4n两式相减得3T 1 2 (4 4 4 (2n1)42 3 nn故1S (6n5)4 5nnn93.已知a 2n 3 ，则a a a ______.nn 1 2 3 n3(1 3 ) 3 (1 3 )n nn n 1(A ) n 3 (B )n 32 21 3 3 (1 3 )n nn 1 n 1(C )n 3 (D ) 32 2答案：B解 2 3 n 1 n S 2 3 4 3 6 3 2 ) 32 n 3n2 3 n 1 n n1 3 S234 3 4 ) 3 (2n 2 ) 32 n 3n两式相减得 2 3 n n 1 n n12 S 2 (3 3 3 3 ) 2 n 3 3(3 1)2 n 3n故3(1 3 )nS n n2n 13 .4.已知数列 {a }满足a 1, a a n ，则a = _ _ _ _ _ _ .2n 1 n 1 n 1 0 1(A ) 5 0 5 0 (B) 5 0 5 0 (C ) 5 0 5 1 (D) 5 0 5 1 答案：Da a n a a (n 1)2 2n 1 n n n 1解由已知得，，n 1 n n 1 n n 1 n( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)a a (n 2 ) a 12 2n 1 n 2 2 1，，n 1 n 2 n 1 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1)叠加得a an11 2 3 4 (n 1)n12 2 2 2 2 ( 1) 1na a1 0 111 2 3 41 0 112 2 2 2 ( 1) 11 0 1 ( 1) (1 0 11)1 0 1 21 2 3 42 2 2 2(1 2 )(1 2 ) (3 4 )(3 4 ) 1 0 0 ) (9 9 1 0 0 )(1 2 3 0 0 ) 5 0 5 0a 1 5 0 5 0 5 0 5 1 .1 0 15.已知f (2x) f ( x) x ，则f ( x ) ______.22 2x x 1 x x 1(A) f ( ) [1 ( ) ] (B) f ( ) [1 ( ) ]n nn n2 3 4 2 3 22 2x x 1 x x 1(C ) f ( ) [1 ( ) ] (D ) f ( ) [1 ( ) ]n nn n2 3 4 2 3 2答案：C解由f (2x ) f ( x ) x 得22 2 2x x x x x x x xf ( x ) f ( ) f ( ) f ( ) ) f ( ) ,，，，n 1 n n2 4 2 4 1 6 2 2 4将以上各式累加,得2 2 2 2x x x x x f ( x ) f ( )n n2 4 1 6 6 4 4于是2x x 1 f ( x ) f ( ) [1 ( ) ].nn2 3 4第四讲常用求和公式1.1 2 ) ______ .2 2 2n (n 1)(2 n 1) (n 1)(2 n1) (A ) (B )6 6n (2n 1)(2 n 1) (n 1)(n 2)(2n3) (C )(D)6 6答案：D解代入公式2 2 n (n 1)(2 n 1)自然数平方和公式：1 262.1 2 0 _ _ _ _ _ _ .2 2 2(A ) 3 8 6 (B) 3 8 5 (C) 3 8 4 (D) 3 8 3答案：B解代入公式2 2 1 0 1 1 2 1自然数平方和公式：1 2 3 8 563.1 2 ) ______.3 3 32 2(n 1)(n 2) (n 2)(n 3)(A ) (B)2 22n n n n( 1)( 2)( 1)( 2)(C )(D )2 2答案：C解代入公式2n (n 1)自然数立方和公式：1 23 322(n 1)(n 2 )1 2 )23 3 34.答案：C 1 2 99______.3 3 32 2(A ) 4949(B )4950(C )4950(D )4949解代入公式2n (n 1)自然数立方和公式：1 23 3229 9 1 0 01 2 4 9 5 0 .3 3 225.2 2 (n 1)(2n 1)1 26答案：错误2 2 n ( n 1)( 2n 1)解自然数平方和公式：1 26第五讲和差化积1.sin 5sin 3______ .(A ) 2 sin 8cos 2(B ) 2 sin 4cos(C )sin 4c os(D )sin 8cos 2答案：B解根据公式sin sin 2 sin c os2 2得sin 5 sin 3 2 sin 4c o s .2.sin 3sin 5_ _ _ _ _ _ .1(A ) 2 c o s 4sin (B)c o s 4sin21(C ) 2 c o s 4c o s(D) c o s 4c o s2答案： A解根据公式sin sin 2 c o s sin2 2得sin 3sin 5 2 c o s 4sin .3.sin sin______ .cos cos(A) sin (B)cos (C )tan (D ) cot2 2 2 2 答案：D解公式，sin sin 2 sin c o s c o s c o s 2 sin sin2 2 2 22 sin c o s c o ssin sin 2 2 2c o t.c o s c o s 22 sin sin sin2 2 24.22c os cos ______.3 31 1 1 1 1 1 1 1(A) c os2(B)c os(C )c os2(D )c os2 4 2 4 2 4 2 4答案：C解根据公式1c o s c o s c o s( ) c o s()2得22 1 2222c o s c o s c o s() c o s()3 3 2 3 3 3 31 4 1 1c o s c o s 2c o s 2.2 3 2 45.1sin x sin y cos( x y ) cos( x y ) .2答案：正确解根据公式1sin x sin y cos( x y ) cos( x y ).2第六讲参数方程1.x＝2＋t，x2 y2已知曲线C：(t 为参数)．则曲线C 的参数方程，4＋9＝1，直线l：y＝2－2t及直线l 的普通方程分别为______.2 co s 2 co sx x(A) x y 6 0 (B) 2 x y 6 0，，y 3 sin y 3 sinx 3 co s x 2 c o s(C )，2 x y 6 0 (D )，2 x y 6 0y 2 sin y 3 sin答案：Dx＝2cos θ，解曲线C 的参数方程为(θ为参数)．y＝3sin θ直线l 的普通方程为 2x＋y－6＝0.2.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．x cos x sin2 2(A ) (为参数 ) (B )(为参数 )y sin c os y sin co s2x cos2x cos(C )( ) (D ) 1 ( )为参数为参数 2yy sin cossin2答案：A1 1解如图，圆的半径为2，记圆心为C2，0 ，连接CP，1 1 1则∠PCx＝2θ，故x P＝2sin 2θ＝sin θcos θ(θ2＋2cos 2θ＝cos2θ，y P＝为参数)．x＝cos2θ，故圆的参数方程为(θ为参数)．y＝sin θcos θ3.x＝1－22 t，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，y＝2＋22 t直线l 与抛物线y2＝4x 相交于A，B 两点，则线段AB 的长为______．(A ) 8 (B )8 2 (C ) 6 2 (D ) 2 2答案：Bx＝1－22 t，解：将直线l 的参数方程2＋代入抛物线方程y2＝4x ，得y＝2＋ 2 t22 22 t ＝41－22 t ，解得t1＝0，t2＝－8 2.所以AB＝|t1－t2|＝8 2.4.x＝2cos t，已知动点P，Q 都在曲线C：(t 为参数)上，对应参数分别为t＝α与y＝2sin tt ＝2α(0＜α＜2π)，M 为 PQ 的中点，则 M 的轨迹的参数方程为______.xco scos 2xco ssin 2(A )(0)(B )(02)y sin sin 2ysincos 2xcos cos 2xcossin 2(C )(02)(D )(0)y sin sin 2ysincos 2答案：C解：依题意有 P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为x yc o s c o s 2 sin sin2(02 )．5.x＝t，x＝3cos φ在平面直角坐标系xOy 中，若直线l：(t 为参数)过椭圆C：y＝t－a y＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．答案：3x＝t，解由直线l 的参数方程(t 为参数)消去参数t，得直线l 的一般方程y＝t－a为y＝x－a，由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以 3－a＝0，即a＝3.第七讲极坐标方程1.x＝t cos α，在直角坐标系xOy 中，曲线C1：(t 为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π.y＝t sin α，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：r＝2sinθ，C3：r＝2 3cosθ. 则C2 与C3 交点的直角坐标为______.3 3 3 3(A) (1,1)和 ( , ) (B)(0, 0)和 ( , )2 2 2 23 3(C )(0, 0)(D)( , )2 2答案：B解：(1)曲线C2 的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3 的直角坐标方程为x2＋y2－2 3x＝0.x＝32 ，x2＋y2－2y＝0，x＝0，联立解得或x2＋y2－2 3x＝0，y＝0， 3y＝2.所以C2 与C3 交点的直角坐标为(0，0)和 3 32 ，2 .若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x (0≤x≤1)的极坐标方程为______.(A) r =1 π，0≤θ≤cos θ＋sin θ 2(B) r =1π，0≤θ≤cos θ＋sin θ 4π(C) r = cosθ＋sinθ，0≤θ≤2π(D) r = cosθ＋sinθ，0≤θ≤ 4 答案：A解∵xryrc ossin∴y＝1－x 化成极坐标方程为r cos θ＋r sin θ＝1，1即r＝cos θ＋sin θ.π∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤ 2 .3.x＝t，设曲线C 的参数方程为(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴y＝t2的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．(A ) r sin cos(B)r sin co s2(C )r cos sin (D )r c o s sin2答案：C解曲线C 的直角坐标方程是y＝x2，化为极坐标方程得r sinθ＝r 2cos2θ.即r cos2θ＝sinθ.在极坐标系中，圆r 2 cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为______.(A ) 0 (r R ) 和r c os 2 (B)(r R ) 和r c o s 22(C )(r R ) 和r c os 1 (D )0 (r R ) 和r c o s 12答案：B解在直角坐标系中，圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.从而垂直于x 轴的两条切线方程分别为x＝0，x＝2，π即θ＝2 (r∈R)和r cos θ＝2.故选 B.5.π在极坐标系中，点32，到直线r(cosθ＋3sinθ)＝6 的距离为________．答案：1π解把极坐标转化为直角坐标，点(2，)对应的直角坐标为点(1，3)，3极坐标方程r(cosθ＋3sinθ)＝6对应的直角坐标方程为x＋3y＝6，即x＋3y－6＝0.|1＋3×3－6|∴点到直线的距离为d＝＝1.2第八讲有理分式的分解1.分解1x( x1)2______.1 x 1 x 1 1 12 x(A ) (B )(C )(D )x x 1 x x 1 x x 1 x x 12 2 2 2答案：A解法一1 A B x C A ( x 1) x ( B xC )2x ( x 1) x x 1 x ( x 1)2 2 21 A ( x 1) x ( B x C ) ( A B ) x C x A2 2A B A0 11 1 xC 0 B 1 .故x ( x 1) x x 12 2A 1 C 0解法二1 (1 x ) x 1 x2 2.x ( x 1) x ( x 1) x x 12 2 22.分解x x22( x 1)( x1)2______.1 1 1 1(A ) (B )x 1 x 1 x 1 ( x 1)21 2 1 1(C )(D )x 1 ( x 1) x 1 ( x 1)2 2答案：D解x x 2 ( x 2 x 1) ( x1) 2 22 2( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)2 2 ( x 1) ( x 1) 1 12( x 1)( x 1) x 1 ( x 1)2 23.分解4 x 3( x 1)3______.4 7 4 7(A ) (B )( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)2 3 2 32 7 4 11(C )(D )( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)2 3 2 3答案：B解4 x 3 A B C A ( x 1) B ( x 1)C2( x 1) x 1 ( x 1) ( x 1) ( x 1)3 2 3 3即 4 x 3 A ( x 1) B ( x 1)C 22A ( x 2 x 2 )B ( x 1)C A x ( 2 A B ) x (2A B C )2 2，A 0 A比较系数得解得2 A B 4 B 42 A B C3 C 7.4 x 3 4 7故( x 1) ( x 1) ( x1)3 2 34.分解______.x 4 x 4x3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1答案：C(A ) (B )4 x 4 x 2 2 ( x 2) 4 x 4 x 2 2 ( x 2)2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(C )(D )4 x 4 x 2 2 ( x 2) 4 x 4 x 2 2 ( x 2)2 21 1 A B C解x 4 x 4 x x x 2 x x 2x 23 2 2 2A ( x 2 )B x ( x 2 )C x22因为 1 A x 2 B x x 2 C x，x ( x 2 )21 1 1令x 0,得A ；令x 2，得C ；令x 1，得B .4 2 4.1 1 1 1 1 1 1所以x ( x 2 ) 4 x 4 x 2 2 ( x2 )2 25.分解______ .1 3 x 1 x229 1 1 3 x 1 9 1 1 3 x 1答案：B(A ) (B )10 1 3 x 10 1 x 10 1 3 x 10 1 x2 29 1 1 3 x 1 1 3 x 1(C )(D )10 1 3 x 10 1 x 1 3 x 1 x2 21 A B x C A (1 x ) ( B x C )(1 3 x )2解，21 3 x 1 x (1 3 x )(1 x )2 21 3 x 1 x因为 A x B x C x A B x B C x A C ，1 1 1 3 ( 3 ) ( 3 ) ( )2 29A1 0A 3B 03B 3C 0 B1 0A C 11C1 0于是9 3 1x1 1 0 1 0 1 0 9 1 1 3 x121 3 x 1 x 1 3 x 1 x 1 0 1 3 x 1 0 1x2 2.。